熱點(diǎn)題型?解答題攻略

專題02函數(shù)（九大題型）

O---------------題型歸納?定方向----------<>

題型01證明函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性...............................................................1

題型02函數(shù)的值域、最值問題...................................................................2

題型03函數(shù)中的解不等式、比較大小問題........................................................2

題型04恒成立問題.............................................................................3

題型05有解問題...............................................................................5

題型06零點(diǎn)、實(shí)數(shù)根等問題.....................................................................5

題型07函數(shù)與數(shù)列.............................................................................5

題型08函數(shù)的其他應(yīng)用.........................................................................6

題型09函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用.........................................................................6

o---------------題型探析?明規(guī)律-----------O

【解題規(guī)律?提分快招】

1、確定函數(shù)單調(diào)性的四種方法:

（1）定義法；（2）導(dǎo)數(shù)法；（3）圖象法；（4）性質(zhì)法.

2、判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個(gè)必備條件

（1）定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，否則即為非奇非偶函數(shù).

（2）判斷人尤）與八一尤）是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)等量關(guān)系式

（/U）+八一無）=0（奇函數(shù)）或—八一x）=o（偶函數(shù)））是否成立.

3、利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原則，比較大小還可以借助中間量.

4、求解與指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題，要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問

題時(shí)，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷.

5、求解函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的基本方法

（1）直接法：令f（x）=0,方程有多少個(gè)解，則f（x）有多少個(gè)零點(diǎn)；

（2）定理法：利用定理時(shí)往往還要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等；

（3）圖象法：一般是把函數(shù)拆分為兩個(gè)簡單函數(shù)，依據(jù)兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)得出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

題型01證明函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性

【典例1-1].（2024?上海?三模）已知=函數(shù)y=是定義在（-2,2）上的奇函數(shù)，且/■⑴二.

⑴求“X）的解析式；

（2）判斷y=/（x）的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義加以證明.

【變式1-1】.（23-24高三上?上海楊浦?期中）已知。為實(shí)數(shù)，設(shè)/（力=/+歸-4.

⑴若a=l,求函數(shù)y=F(x),尤eR的最小值；

⑵判斷函數(shù)y=〃"，xeR的奇偶性，并說明理由.

【變式1-2］.(2022.上海浦東新.一模)已知函數(shù)/(x)=d+ax+l,awR.

(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并說明理由；

(2)若函數(shù)8(%)=0(彳＞0),寫出函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間并用定義證明.

X

【變式1-3］.(2021?上海徐匯?二模)已知函數(shù)/(尤)=|尤+4-廬7.

(1)若(2=0，求函數(shù)/(無)的零點(diǎn)；

(2)針對(duì)實(shí)數(shù)a的不同取值，討論函數(shù)/(x)的奇偶性.

題型02函數(shù)的值域、最值問題

【典例2-1］.(22-23高三上?上海楊浦?階段練習(xí))已知函數(shù)/(久)是定義在區(qū)間(-叫-1卜口,+8)上的奇函數(shù),

當(dāng)xNl時(shí)，〃x)=4x-X。

⑴求xW-1時(shí)f(x)的解析式；

(2)求函數(shù)g(x)="7一9的值域.

【變式2-1］.(21-22高三上.上海黃浦?階段練習(xí))已知二次函數(shù)/(x)=^_4x+c的值域?yàn)椋?,+8).

(1)若此函數(shù)在［1,2)上是單調(diào)減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)求/'(X)在［1,+⑹上的最小值g(a),并求g(a)的值域.

【變式2-2】.(24-25高三上?上海金山?期末)已知常數(shù)。＞1,函數(shù)y=/(x)的表達(dá)式為

/(x)=log?(x+2)-loga(2-x)

⑴證明：函數(shù)y=〃尤)是奇函數(shù)；

⑵若函數(shù)y=〃x)在區(qū)間［0,1］上的最大值為2,求實(shí)數(shù)a的值.

【變式2-3］.(21-22高三上.上海徐匯?開學(xué)考試)已知函數(shù)/(x)=*+ax+3-aMeR.

(1)求。的取值范圍，使y=/(x)在閉區(qū)間［-1,引上是單調(diào)函數(shù)；

(2)當(dāng)0VxV2時(shí)，函數(shù)y=f{x)的最小值是關(guān)于a的函數(shù)〃z(a).求m(a)的最大值及其相應(yīng)的a值.

題型03函數(shù)中的解不等式、比較大小問題

【典例3-1】?(24-25高三上?上海?階段練習(xí))設(shè)函數(shù)/(》)=匕4，且〃彳)+/1］=一1"#0).

1+x

⑴求。的值；

(2)判斷函數(shù)/(X)的奇偶性和單調(diào)性(不用說明理由)，并據(jù)此求解關(guān)于X的不等式+/?［止［+1＜。

4

【典例3-2].（24-25高三上?上海?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=x——+a.

x

⑴證明函數(shù)y=/（尤）在（-*0）上嚴(yán)格增；

⑵若函數(shù)y=/（x）在定義域上為奇函數(shù)，求不等式/U）＞o的解集.

【變式3-1】.（21-22高三上.上海浦東新?階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)y（x）=|2x-7|+冰+1（。為實(shí)數(shù)）.

（1）若a=-L解不等式〃x”0；

（2）若當(dāng)乙＞0時(shí)，關(guān)于x的不等式〃龍）21成立，求。的取值范圍.

1-X

0＜x＜4

【變式3.2】?（20-21高三上?上海奉賢?期中）已知/（九）=〃/~

lnx-l,?v＞4

（1）若函數(shù)“X）在的最大值為2,求“的值；

（2）若a=|,求不等式〃x）＜l的解集.

【變式3-3].（23-24高三上.上海長寧?期中）已知函數(shù)3（x）=|logJ,其中常數(shù)。＞0且"1.

（1）判斷上述函數(shù)在區(qū)間（0』上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性定義證明你的結(jié)論；

⑵若二＞0,利用上述函數(shù)在區(qū)間（0』上的單調(diào)性，討論/?）和的大小關(guān)系，并述理由.

題型04恒成立問題

【典例4-1].（2022?上海徐匯?三模）已知。為實(shí)數(shù)，函數(shù)〃力=力;-4一。，xeR.

⑴當(dāng)。=2時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

⑵若對(duì)任意xe（O,l）,〃x）＜。恒成立，求。的取值范圍.

【典例4-2].（24-25高三上?上海?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（x）="'-3＞0,bHl）是定義在R上的奇函數(shù).

b+2b

⑴求/'（x）的解析式；

（2）存在xc[2,3],使得/"（工”2，-2成立，求實(shí)數(shù)/的取值范圍.

【變式4-1】.（24-25高三上?上海楊浦?期中）已知函數(shù)/（X）=ME為奇函數(shù).

l+ex

⑴求〃的值并直接寫出了（%）的單調(diào)性（無需說明理由）；

（2）若存在實(shí)數(shù)"使得/?卜2-2。+/（2/一發(fā)）＞0成立，求實(shí)數(shù)上的取值范圍.

【變式4-2】.（23-24高三上?上海浦東新?期末）已知函數(shù)、=/（尤），其中〃x）=，^（keR）.

⑴是否存在實(shí)數(shù)%,使函數(shù)y=/（x）是奇函數(shù)？若存在，請寫出證明.

(2)當(dāng)人=1時(shí)，若關(guān)于x的不等式/(x)之。恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【變式4-3].(24-25高三上?上海?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=V-〃zx+m,g(x)=x+3-2,meR

x+1

⑴求/(X)的單調(diào)區(qū)間和值域；

⑵若對(duì)于任意局目0』，總存在百目。』，使得〃x0)=g(x)成立，求加的取值范圍.

【變式4-4].(23-24高三上?上海?期中)已知函數(shù)/(x)=log.1一：(；T)(a＞0,"1).

(1)若租=-1時(shí)，判斷函數(shù)/(x)在(2,”)上的單調(diào)性，并說明理由.

(2)若對(duì)于定義域內(nèi)一切x,++x)=0恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的值.

【變式4-5】.(2021.上海黃浦.三模)已知函數(shù)〃力=。-4(々為實(shí)常數(shù)).

(1)討論函數(shù)的奇偶性，并說明理由；

(2)當(dāng)〃x)為奇函數(shù)時(shí)，對(duì)任意xe[l,6],不等式"x"晟恒成立，求實(shí)數(shù)"的最大值.

【變式4-6].(22-23高三下?上海?階段練習(xí))己知力(尤)=忖+卜-4,其中aeR.

⑴判斷函數(shù)》=力("的奇偶性，并說明理由；

(2)當(dāng)。=4時(shí)，對(duì)任意非零實(shí)數(shù)c,不等式力(f)W2c+：均成立，求實(shí)數(shù)f的取值范圍.

【變式4-7].(22-23高三下?上海寶山?階段練習(xí))已知/(x)=log2(4"+"2'+4)(實(shí)數(shù)b為常數(shù)).

(1)當(dāng)6=-5時(shí)，求函數(shù)y=f(x)的定義域。，判斷奇偶性，并說明理由；

⑵若不等式〃x)〉x當(dāng)xe[2,+動(dòng)時(shí)均成立，求實(shí)數(shù)6的取值范圍.

【變式4-8].(20-21高三下?上海閔行?開學(xué)考試)已知關(guān)于x的方程x2-2x+a=0(aeR)在復(fù)數(shù)集內(nèi)有兩

個(gè)根網(wǎng),工2，且滿足歸-9上？/，

⑴求實(shí)數(shù)。的值；

(2)若。＞0,存在實(shí)數(shù)/,使得不等式log.(a-/)2公+2加：-2人對(duì)任意的機(jī)目-2』恒成立，求實(shí)數(shù)%的取

值范圍.

V+A

【變式4-91.(2022?上海虹口?二模)已知函數(shù)/(x)=§節(jié)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù).

(1)求實(shí)數(shù)6的值，并證明了(X)在R上單調(diào)遞增；

(2)已知。＞0且arl,若對(duì)于任意的4、馬目1,3],都有+12a-恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

題型05有解問題

【典例5-1].(24-25高三上?上海?期中)已知函數(shù)/(#=62，+5是定義域?yàn)镽的偶函數(shù).

⑴求實(shí)數(shù)。的值；

⑵已知關(guān)于x的方程”(，(%)+2)-左=。在xe[O,+a))上有解，求實(shí)數(shù)左的取值范圍.

2+x

【變式5-1].(2024?上海徐匯.二模)已知函數(shù)y=/(x),其中式好二女工力.

⑴求證：y=/(x)是奇函數(shù)；

⑵若關(guān)于X的方程f(X)=l°g2(無+化)在區(qū)間[3,4]上有解，求實(shí)數(shù)上的取值范圍.

2

題型06零點(diǎn)、實(shí)數(shù)根等問題

【典例6-1】.(2023?上海?模擬預(yù)測)函數(shù)/(x)="+x(a>0),且/(l)=e+l.

(D判斷了(尤)在R上的單調(diào)性，并利用單調(diào)性的定義證明；

(2)g(%)=/(x)-2x,且g(x)在(0,+a)上有零點(diǎn)，求2的取值范圍.

【典例6-2].(2021.上海閔行.二模)已知函數(shù)/■(%)=1咆(2'+1).

(1)證明/(X)在區(qū)間(-8,+8)上是增函數(shù)；

(2)若函數(shù)"無)=，〃+/(x)在區(qū)間[0,2]上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【變式6-1].(2021.上海松江.二模)已知函數(shù)/(?=2*+或2一"(。為常數(shù)，aeR).

(1)討論函數(shù)f(x)的奇偶性；

⑵當(dāng)/⑴為偶函數(shù)時(shí)，若方程/(2元)-(無)=3在尤上有實(shí)根，求實(shí)數(shù)上的取值范圍.

【變式6-2].(21-22高三上?上海浦東新?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=x|x-4，其中aeR.

(1)判斷函數(shù)〃x)的奇偶性；

(2)解關(guān)于尤的不等式：f(x)>2a2；

(3)若函數(shù)/("=1有三個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

ax,x>1

【變式6-3].(21-22高三上?上海虹口?階段練習(xí))已知函數(shù)/(尤)=〃，其中〃>0,且"1.

XH---,XW1

I2

(1)當(dāng)〃=2時(shí)，若/(尤)</(2),求實(shí)數(shù)1的取值范圍；

⑵若存在實(shí)數(shù)加使得方程了(%)-機(jī)=。有兩個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

題型07函數(shù)與數(shù)列

【典例7-1】?(24-25高二上?上海?階段練習(xí))已知函數(shù)占,數(shù)列｛為｝是正項(xiàng)等比數(shù)列，且丹=7

⑴計(jì)算+的值；

（2）用書本上推導(dǎo)等差數(shù)列前”項(xiàng)和的方法，求/（勾）+〃生）+/（G）+…+/（陽）+）的值.

【變式7-1】.（2024上海?模擬預(yù)測）^f（x）=logflx（?>0,a^l）.

（1）y=〃同過（4,2）,求〃2x—2）<〃x）的解集；

⑵存在x使得〃x+1）、〃依）、f（x+2）成等差數(shù)列，求。的取值范圍.

題型08函數(shù)的其他應(yīng)用

【典例8-1].（24-25高三上?上海?開學(xué)考試）已知“#=爐+2,-4，。為常數(shù).

⑴若y=為偶函數(shù)，求。的值；

⑵設(shè)a>0,g（x）=W，若函數(shù)y=g（x）,xe（O,a]為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【變式8-1].（20-21高三上?上海閔行?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=x|x-a|+2x.

（1）當(dāng)。=3時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）對(duì)任意xe[l,2],當(dāng)函數(shù)/（彳）的圖像恒在函數(shù)g（x）=2x+l圖像的下方時(shí)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【變式8?2】?（21-22高三上?上海浦東新?階段練習(xí)）設(shè)常數(shù)已知函數(shù)/（尤）="+—

x+1

（D判斷函數(shù)/（x）在區(qū)間（-1,口）上的單調(diào)性,并說明理由；

（2）證明：不存在負(fù)實(shí)數(shù)/使得/（%）=0.

題型09函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

【典例9-11.（2021.上海嘉定.一模）提高隧道的車輛通行能力可改善附近路段高峰期間的交通狀況.一般

情況下，隧道內(nèi)的車流速度v（單位：千米/小時(shí)）和車流密度x（單位：輛/千米）滿足關(guān)系式：

50,0<x<20,

v=Lck”，”研究表明，當(dāng)隧道內(nèi)的車流密度達(dá)到120輛/千米時(shí)會(huì)造成堵塞，此時(shí)車流速

60-----------,20<x<120.

I140-尤

度為。千米/小時(shí).

（1）若車流速度v不小于40千米/小時(shí)，求車流密度x的取值范圍；

⑵隧道內(nèi)的車流量y（單位時(shí)間內(nèi)通過隧道的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí)）滿足y=xR求隧道內(nèi)車流量的最

大值（精確到1輛/小時(shí)）及隧道內(nèi)車流量達(dá)到最大時(shí)的車流密度（精確到1輛/千米）.（參考數(shù)據(jù)：77=2.646）

【變式9-1】.（2022?上海金山?二模）經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，某公司生產(chǎn)的某種時(shí)令商品在未來一個(gè)月（30

天）內(nèi)的日銷售量加。）（百件）與時(shí)間第/天的關(guān)系如下表所示：

第t天1310L30

日銷售量相。）（百件）236.5L16.5

未來30天內(nèi)，受市場因素影響，前15天此商品每天每件的利潤工（元）與時(shí)間第I天的函數(shù)關(guān)系式為

工?）=-3f+88（m15,且/為整數(shù)），而后15天此商品每天每件的利潤力（。（元）與時(shí)間第，天的函數(shù)關(guān)系

式為右（。=拳+2（16轟小30,且t為整數(shù)）.

（1）現(xiàn)給出以下兩類函數(shù)模型：①m（t）=kt+b（大b為常數(shù)）；②加?）=力"（4力為常數(shù)，。>0且。片1.分析

表格中的數(shù)據(jù)，請說明哪類函數(shù)模型更合適，并求出該函數(shù)解析式；

（2）若這30天內(nèi)該公司此商品的日銷售利潤始終不能超過4萬元,則考慮轉(zhuǎn)型.請判斷該公司是否需要轉(zhuǎn)型？

并說明理由.

【變式9-2].（2022.上海奉賢.一模）圖1是某會(huì)展中心航拍平面圖，由展覽場館、通道等組成，可以假設(shè)

抽象成圖2,圖2中的大正方形是由四個(gè)相等的小正方形（如ABCD）和寬度相等的矩形通道組成.

展覽館可以根據(jù)實(shí)際需要進(jìn)行重新布局成展覽區(qū)域和休閑區(qū)域，展覽區(qū)域由四部分組成，每部分是八邊形，

且它們互相全等.圖2中的八邊形EFTSHQMG是小正方形A3CD中的展覽區(qū)域，小正方形ABCD中的四個(gè)

全等的直角三角形是休閑區(qū)域，四個(gè)八邊形是整個(gè)的展覽區(qū)域，16個(gè)全等的直角三角形是整個(gè)的休閑區(qū)域.

設(shè)A3C。的邊長為300米，4AEF的周長為180米.

（1）設(shè)AE=x,求△AEF的面積>關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）問AE取多少時(shí)，使得整個(gè)的休閑區(qū)域面積最大長度精確到1米，利用精確后的長度計(jì)算

面積，面積精確到1平方米）

o-----------題型通關(guān)?沖高考-----------*>

一、解答題

1.（2023?上海楊浦?一模）設(shè)函數(shù)/（X）=e',xeR.

⑴求方程（/（x））2=/（》）+2的實(shí)數(shù)解;

（2）若不等式x+b</（x）對(duì)于一切xeR都成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

2.（2021?上海浦東新?三模）已知/'（x）=l°gj尤2-6尤+1°）.

(1)解不等式：/(x)V-l;

(2)若>=/(尤)在區(qū)間上的最小值為-2,求實(shí)數(shù)a的值.

1

3.(2021?上海金山?一模)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/(x)=可「

(1)試判斷函數(shù)了(為=上二在區(qū)上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明；

1+2

(2)若對(duì)于任意teR,不等式/(產(chǎn)-2t)+/(尸-A)<0恒成立，求實(shí)數(shù)上的取值范圍.

4.(2021?上海虹口?二模)設(shè)a>0且awl,teR,已知函數(shù)/(x)=log“(x+l),g(x)=21og0(2x+。.

(1)當(dāng)t=-l時(shí)，求不等式f(x)<g(x)的解；

(2)若函數(shù)/(乃=/"+分-2/+1在區(qū)間(-1,2］上有零點(diǎn)，求f的取值范圍.

5.(2023?上海?模擬預(yù)測)函數(shù)/(x)==做±殳±￡(q,ceR)

x+a

⑴當(dāng)a=0時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)c,使得〃x)為奇函數(shù)；

⑵若函數(shù)〃x)過點(diǎn)(1,3),且函數(shù)f(x)圖像與無軸負(fù)半軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

6.(2023?上海青浦?一模)上海各中學(xué)都定期進(jìn)行緊急疏散演習(xí)：當(dāng)警報(bào)響起，建筑物內(nèi)師生馬上有組織、

盡快地疏散撤離.對(duì)于一個(gè)特定的建筑物，管理人員關(guān)心房間內(nèi)所有人疏散完畢(房間最后一個(gè)人到達(dá)安

全出口處)所用町回.數(shù)學(xué)建模小組準(zhǔn)備對(duì)某教學(xué)樓第一層樓兩間相同的教室展開研究.為此，他們提出

如下模型假設(shè)：

1.疏散時(shí)所有人員有秩序地撤離建筑物；

2.所有人員排成單列行進(jìn)撤離；

3.隊(duì)列中人員的間隔是均勻的；

4.隊(duì)列勻速地撤離建筑物.

(1)上述模型假設(shè)是否合理，請任選兩個(gè)模型假設(shè)說明理由；

⑵如圖，設(shè)第一間教室(圖中右)的人數(shù)為4+1,第二間教室(圖中左)的人數(shù)為〃z+l，每間教室的長度

為/,其中4,%都是正整數(shù)，/>0,忽略教室門的寬度及忽略教室內(nèi)人群到教室門口的町回.請?jiān)僖脒m

當(dāng)?shù)淖兞?，建立兩個(gè)教室內(nèi)的人員完全撤離所用小回的數(shù)學(xué)模型.

熱點(diǎn)題型?解答題攻略

專題02函數(shù)(九大題型)

*>----------題型歸納?定方向-----------*>

題型01證明函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性...............................................................1

題型02函數(shù)的值域、最值問題..................................................................4

題型03函數(shù)中的解不等式、比較大小問題........................................................8

題型04恒成立問題............................................................................12

題型05有解問題..............................................................................22

題型06零點(diǎn)、實(shí)數(shù)根等問題....................................................................23

題型07函數(shù)與數(shù)列............................................................................28

題型08函數(shù)的其他應(yīng)用........................................................................29

題型09函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用........................................................................31

艙-----------題型探析?明規(guī)律-----------*>

【解題規(guī)律?提分快招】

1、確定函數(shù)單調(diào)性的四種方法:

(1)定義法；(2)導(dǎo)數(shù)法；(3)圖象法；(4)性質(zhì)法.

2、判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個(gè)必備條件

(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，否則即為非奇非偶函數(shù).

(2)判斷犬尤)與犬一犬)是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)等量關(guān)系式

(/U)+八一x)=0(奇函數(shù))或/U)—/(—x)=0(偶函數(shù)))是否成立.

3、利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原則，比較大小還可以借助中間量.

4、求解與指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題，要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問

題時(shí)，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷.

5、求解函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的基本方法

(1)直接法：令f(x)=0,方程有多少個(gè)解，則f(x)有多少個(gè)零點(diǎn)；

(2)定理法：利用定理時(shí)往往還要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等；

(3)圖象法：一般是把函數(shù)拆分為兩個(gè)簡單函數(shù)，依據(jù)兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)得出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

題型01證明函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性

【典例1-1].(2024?上海?三模)已知=函數(shù)y=7'⑺是定義在(-2,2)上的奇函數(shù)，且/⑴

4—x3

⑴求“X）的解析式；

（2）判斷y=/（x）的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義加以證明.

【答案】（1）/。）=盧^（-2<》<2）

4-x

（2）/在區(qū)間（-2,2）上為嚴(yán)格增函數(shù)，證明見解析

【分析】（1）根據(jù)題意，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得〃。）=。，求出6的值，結(jié)合函數(shù)的解析式求出。的值，計(jì)算

可得答案；

（2）根據(jù)題意，根據(jù)單調(diào)性的定義，結(jié)合作差法證明可得答案.

【解析】（1）根據(jù)題意，/（》）=答是定義在（-2,2）上的奇函數(shù)，

4-x

則有"0）=?=0,解得6=0，

4

又由/⑴=]=g，解得。=1，

所以了。）=仁，f（x）定義域?yàn)椋?2,2）,

4-x

且“r）=G產(chǎn)=言=一/⑺，所以=二（-2-<2）；

（2）/（*）在區(qū)間（-2,2）上為嚴(yán)格增函數(shù).

證明如下：設(shè)任意一2<%<%<2,則/（玉—區(qū)）=&一鼠=（：禽表：）,

由一2<玉<%<2,得一4<玉/<4,

即4+玉％2>°，石一入2<0，（4—九；）（4一九；）>0,

所以/（%）-/（々）<。，即/&）</（%），

故/（X）在區(qū)間（-2,2）上為嚴(yán)格增函數(shù).

【變式1-1】.（23-24高三上?上海楊浦?期中）已知。為實(shí)數(shù)，設(shè)〃到=/+卜-嘰

⑴若a=l,求函數(shù)y=f（x）,xeR的最小值；

⑵判斷函數(shù)y=/（x）,xeR的奇偶性，并說明理由.

【答案】⑴:3

4

⑵當(dāng)。=0時(shí)/（x）為偶函數(shù)，當(dāng)aW0時(shí)“X）為非奇非偶函數(shù).

【分析】（1）首先得到/'（X）的解析式，將其寫成分段函數(shù)，再分段利用函數(shù)的單調(diào)性分別求出函數(shù)的最小

值，即可得解；

（2）分別判斷y=Y、y=|x-a|的奇偶性，即可得解.

X2+x-l,x>l

【解析】(1)當(dāng)0=1時(shí)/(耳=/+|無一1卜

x2—x+l,x<l

當(dāng)Ml時(shí)/(x)=f+x_l,函數(shù)在［1,+8)上單調(diào)遞增，則/⑺1rfti="1)=1,

當(dāng)X<1時(shí)〃X)=Y-X+1,函數(shù)在上單調(diào)遞減，在加上單調(diào)遞增,

3

所以〃力晶=/

4

綜上可得〃力出=/

(2)因?yàn)?(x)=，+|x-a|定義域?yàn)镽,

又y=f為偶函數(shù)，y=國為偶函數(shù)，

所以當(dāng)a=o時(shí)/(力=/+國為偶函數(shù)，

當(dāng)awO時(shí)y=|x-a|關(guān)于X=a對(duì)稱，止匕時(shí)丁=,一《為非奇非偶函數(shù)，

所以〃同=爐+次-司為非奇非偶函數(shù)，

綜上可得：當(dāng)°=0時(shí)〃尤)為偶函數(shù)，當(dāng)0力0時(shí)〃x)為非奇非偶函數(shù).

【變式1-2].(2022.上海浦東新?一模)已知函數(shù)/(x)=Y+ax+l,a&R.

(1)判斷函數(shù)/(x)的奇偶性，并說明理由；

(2)若函數(shù)g(x)=0(x>0),寫出函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間并用定義證明.

X

【答案】(1)答案見解析

(2)[l,+oo),證明見解析

【分析】(1)分〃=0、兩種情況，利用函數(shù)奇偶性的定義判斷出結(jié)果；

(2)求得g(x)=x+：+a,可以確定g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[L+8),之后利用函數(shù)單調(diào)性證明即可.

【解析】(1)當(dāng)4=0時(shí)，f(x)=x2+l,

定義域?yàn)镽,任選xeR,都有/(-x)=x2+l=/(x),

所以。=0時(shí)函數(shù)/(x)為偶函數(shù)；

當(dāng)awO,f(-l)=2-a,f(l)=2+a

awO時(shí)函數(shù)〃尤)既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)；

(2)函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為

證明：g(無)=")=xT--Fa,

XX

任取七，犬2￡口,+℃),且石<X2，

且(石)一且(工2)=石■1-----------!"〃)=(%-x)(l----------)=(%-x)(——),

va-{x2-\22

%x2XxX2玉％2

由于％1<冗2，則石一入2<0；

由于外目1,+。)，則%:j1〉0；

所以(占一%)戶登二3<0,即/⑷<，(().

七馬

函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[1,”).

【變式1-31.(2021?上海徐匯?二模)已知函數(shù)/(尤)=卜+4-廬

(1)若a=6,求函數(shù)了(無)的零點(diǎn)；

(2)針對(duì)實(shí)數(shù)。的不同取值，討論函數(shù)/(x)的奇偶性.

【答案】(1)x=-%(2)當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，當(dāng)存0時(shí)，函數(shù)/(x)為非奇非偶函數(shù).

【分析】(1)根據(jù)解析式，求得定義域，當(dāng).=及時(shí)，令卜+017^7=0,解得了=一日6[-1,1],

所以零點(diǎn)為x=-也.

2

(2)若/(X)為奇函數(shù)，則必有/(-I)4/(1)=0,代入求得。不存在，若函數(shù)/(X)為偶函數(shù)，由了

(-1)=/(1),解得。=0,經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，即可得答案.

【解析】⑴根據(jù)題意，函數(shù)=k+貝情1-企0,解可得-L1,

即函數(shù)/(x)的定義域?yàn)閇-1,1J,

由a=，得卜+-J1--=0,

化簡得2V+2應(yīng)x+l=0,即(缶+1『=0,則x=-]e[-1,1],

所以，函數(shù)/(x)的零點(diǎn)為工=-變；

2

(2)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)閇-1,1],若函數(shù)/(%)為奇函數(shù)，則必有/(-1)t/(1)=0；

ftz=1

代入得|〃+1|+|〃-1|=0于是1無解，所以函數(shù)/(x)不能為奇函數(shù)，

若函數(shù)/⑴為偶函數(shù)，由/(-I)=/⑴得I-l+〃|=|l+a|解得a=0；

又當(dāng)4=0時(shí),f[x)=\x\-y/l-x2,

2

則/(_力=卜目_J]_%2=|%|-71-X=/(%)；

對(duì)任意1]都成立，

綜上，當(dāng)。=0時(shí)，函數(shù)/(無)為偶函數(shù)，當(dāng)。9時(shí)，函數(shù)無)為非奇非偶函數(shù).

題型02函數(shù)的值域、最值問題

【典例2-1］.(22-23高三上?上海楊浦?階段練習(xí))已知函數(shù)/⑴是定義在區(qū)間(F1MI，+8)上的奇函數(shù),

當(dāng)x21時(shí)，f(x)=4x—%2.

⑴求xW-1時(shí)/'(x)的解析式；

⑵求函數(shù)g(x)=-9的值域.

【答案】(l)/(x)=4x+d；

⑵

【分析】(1)利用奇函數(shù)性質(zhì)求f(x)的解析式;

9

4-x——,x>l

(2)由(1)得g(x)=，；,應(yīng)用基本不等式、函數(shù)單調(diào)性求g(x)在對(duì)應(yīng)區(qū)間上的值域，即可

4+x——,x<-l

x

得答案.

【解析】(1)令尤〈一1,則一xNl,故/(-x)=-4x-(-x)2=-4%--，而/(-X)=-/(無)，

所以/(-X)=-f(x)=-4-x-x2,則/(x)=4x+元2.

4x-x2-99

=4-x——,x>1

Xx

(2)由(1)知：g(x)=<

4X+X2-99

=4+x——,x<-l

xx

當(dāng)1之1,g(x)=4-x--<4-2,x-=-2,當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)g(x)e(-s,-2］；

xX

9

當(dāng)xK—1,g(%)=4+——=單調(diào)遞增,則g(%)￡(一哈⑵；

X

綜上，函數(shù)值域?yàn)?-8,12］.

【變式2”】.(21-22高三上?上海黃浦?階段練習(xí))已知二次函數(shù)〃%)=蘇-4元+C的值域?yàn)椋?,+8).

(1)若此函數(shù)在［1,2)上是單調(diào)減函數(shù)，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍；

(2)求在［1,+s)上的最小值g(a),并求g(a)的值域.

4c

/CL-----44,4>2「\

【答案】(1)(0,1］；(2)g(a)={a,g(。)w［0,+oo).

0,0<a<2

24

【分析】(1)結(jié)合二次函數(shù)的值域可得開口向上，且在對(duì)稱軸尤=*處取得最小值0,進(jìn)而求出c=2且a>0,

aa

2

然后根據(jù)單調(diào)性得出422,進(jìn)而可以求出結(jié)果；

a

22

(2)根據(jù)對(duì)稱軸的位置分別討論*<1和進(jìn)而求出g(〃)，然后結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性即可求出值域.

aa

2

【解析】(1)由題意可知數(shù)了(%)=◎2_4x+c開口向上，且在對(duì)稱軸x=一處取得最小值0,

a

所以a>0,且/=—4X—+C=——+C=0,即。=—,

\a)\a)aaa

因此/(%)=依2_4%+_|,因?yàn)楹瘮?shù)在［1,2)上是單調(diào)減函數(shù)，

7

所以所以aVl,故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0』；

(2)若:<1，即。>2,所以/(引=62一?+［在［1,+w)上單調(diào)遞增，所以〃力皿=〃1)=。-4+，；

若即0<。<2,所以〃力=加_4》+±在卜,2］上單調(diào)遞減，在［2,+.上單調(diào)遞增，所以

aa\_aJ\aJ

4/c

一一ciH-----4,ci〉2

所以g(a)=Ja,

0,0<?<2

因?yàn)楹瘮?shù)g(a)=a+T-4在(2,+a)上單調(diào)遞增，且g(2)=2+：-4=0,因此g(a)的值域?yàn)椋?,+動(dòng).

【變式2-2】.(24-25高三上?上海金山?期末)已知常數(shù)。>1,函數(shù)y=〃x)的表達(dá)式為

f(X)=log“(X+2)-log.(2-X)

⑴證明：函數(shù)y=/(x)是奇函數(shù)；

⑵若函數(shù)y=/'(X)在區(qū)間［0,1］上的最大值為2,求實(shí)數(shù)a的值.

【答案】(1)證明見解析

(2)a=A/3

【分析】(1)求出定義域，利用奇函數(shù)的定義判斷可得答案；

(2)判斷出函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［0』上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求出最值可得答案.

fx+2>0

【解析】(1)由。八得-2。<2,

［2-x>0

所以函數(shù)〉=〃同的定義域?yàn)?-2,2),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

〃-x)=loga(-X+2)-loga(2+x)=-/(x),

所以函數(shù)y=是奇函數(shù)；

r?9

⑵/(x)=logfl(X+2)-log?(2-x)=log?--'

%—2+414

令u——1，

%—2%—2

則a=T-1^2在1°』上單調(diào)遞增,

又y=logM(a>l)為增函數(shù),

所以〃x)=10g.(x+2)—log,(2-x)在［0,1］上單調(diào)遞增,

其最大值為了⑴=log〃3=2,

解得a=5/3.

【變式2-3］.(21-22圖二上?上海徐匯?開學(xué)考試)已知函數(shù)/(x)=丁+ccv+3-<7,aeR.

(1)求。的取值范圍，使y=A》)在閉區(qū)間~1,3］上是單調(diào)函數(shù);

⑵當(dāng)0W2時(shí)，函數(shù)y="X)的最小值是關(guān)于a的函數(shù)m(a).求相⑷的最大值及其相應(yīng)的a值.

【答案】⑴或。22

⑵當(dāng)。=-2時(shí)，見。)有最大值4

【分析】(1)利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)結(jié)合單調(diào)性求解;

〃+7,〃<—4

1

(2)分類討論二次函數(shù)在給定區(qū)間的最大值，再分段討論m(?)=一:〃29一〃+3,一4工〃<0的最大值即可求角歲

4

3-a,a>0

【解析】(1)函數(shù)/。)=/+辦+3—。圖象的對(duì)稱軸為x=

因?yàn)榱刷嗽陂]區(qū)間T3］上是單調(diào)函數(shù)，所以4一或-$3.

故aW-6或“22.

(2)當(dāng)a20時(shí),m(a)=/(0)=3-a；

當(dāng)一44av0時(shí)，m(a)=/(--)=--a2-tz+3；

24

當(dāng)a<T時(shí)，m(tz)=/(2)=a+7.

a+7,。<—4

1

所以〃?(a)=<—ci?—a+3,-4W。<0,

4

3-a,a>0

當(dāng)a20時(shí)，m(a)=3-<z<3；

當(dāng)一44av0時(shí)，m(a)=--a2-a+3,

4

對(duì)稱軸為/=-2,所以m(a)=771(-2)=4,

當(dāng)a<-4時(shí)，"2(a)=a+7<3.

所以當(dāng)a=-2時(shí)，，有最大值4.

題型03函數(shù)中的解不等式、比較大小問題

【典例3-1］.（24-25高三上?上海?階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)/（了）=三￡,且/（x）+/『］=T（x*O）.

1+x

⑴求。的值；

（2）判斷函數(shù)/（x）的奇偶性和單調(diào)性（不用說明理由），并據(jù)此求解關(guān)于x的不等式+止j+l＜0

【答案】⑴2；

（2）偶函數(shù)，在［0,+8）上單調(diào)遞減，在（F,0］上單調(diào)遞增，解集為

【分析】⑴根據(jù)〃x）+d￡|=-l化簡求解即可；

（2）根據(jù)奇偶性定義和單調(diào)性定義即可判斷奇偶性和單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性和奇偶性將函數(shù)符號(hào)去掉，轉(zhuǎn)化

為一元二次不等式求解可得.

±1—Cl

【解析】（1）由題知，=

1+7

-1,所以1一依2「2q.(1-4乂4+1

因?yàn)?（》）+/-1，

爐+1爐+1兀2_|_1=l-a=

解得4=2.

1-7r23

(2)由(1)知，/(%)=——=———2,定義域?yàn)镽,

1+x2rx2+l

33

又/(一無)=(_a2+]-2=0一2=/(尤),所以/'(無)為偶函數(shù).

V%J,X2G[0,+OO),且玉<%,

3(九2一%)(%2+%)

則〃占）-7（%）=

(尤;+D(尤;+i)

因?yàn)椋?2，所以％2-再＞。，％2+再

所以/&）-〃馬）＞0,即/&）＞/（%）,

所以/（X）在［0,+功上單調(diào)遞減，

又因?yàn)?X）為偶函數(shù)，所以/（X）在（-8,0］上單調(diào)遞增,

1

因?yàn)?（》）+/T,所以-421)-1=/

2x-l

因?yàn)閒（x）為偶函數(shù)，且在［0,+8）上單調(diào)遞減，

所以W>|2x-l|,即3V-4x+l<0,解得;<無<1,

又所以不等式解集為［|。出，1］

4

【典例3-2】?（24-25高三上?上海?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=x-一+a.

尤

⑴證明函數(shù)y=/（尤）在（-亂0）上嚴(yán)格增；

⑵若函數(shù)y=Ax）在定義域上為奇函數(shù)，求不等式/W>0的解集.

【答案】（1）證明見解析

⑵（-2,0）（2,+00）

【分析】（D利用函數(shù)的單調(diào)性定義證明即得；

（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出。值，再求出方程/。）=0的解，分別利用函數(shù)在（-雙。）和（0,+s）上的單調(diào)性

即可求得不等式的解集.

4

【解析】（1）因/（x）=x——+〃，任取為,工2￡（-8，。），且玉<%2，

X

44

由/（X）—/（入2）=玉---F。一（%2-----H。）

X｛x2

/、4（再一々）、/14、

zH

=（%1-X2）d---------=（玉-%2）（1-----）,

玉/玉工2

4

因王<工2<。，則不一工2<0，1+7T>°'故/（西）一/。2）<。，

即/（再）</（無2）.

故函數(shù)y=/（x）在（-叫。）上嚴(yán)格增；

（2）因?yàn)楹瘮?shù)在定義