第十八章平行四邊形

01思維導(dǎo)圖

平行四邊形的概念和性質(zhì)

平行四邊形

平行四邊形的判定

矩形的概念和性質(zhì)

/「矩形

矩形的判定

平行四邊形

菱形的概念與曝

菱形

菱形的判定

正方形的概念、性質(zhì)

正方形

正方形的判定

02知識(shí)速記

【知識(shí)點(diǎn)01】平行四邊形

1.平行四邊形的概念：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。

2.平行四邊形的性質(zhì)：

（1）平行四邊形的對(duì)邊相等；（2）平行四邊形的對(duì)角相等（3）平行四邊形的對(duì)角線互相平分。

3.平行四邊形的判定

（1）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形（概念）

（2）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形叫做平行四邊形

（3）對(duì)角線互相平分的四邊形叫做平行四邊形

（4）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形叫做平行四邊形

【知識(shí)點(diǎn)02】矩形

1

1.矩形的概念和性質(zhì)

有一角是直角的平行四邊形叫做矩形，矩形也叫做長方形。矩形是特殊的平時(shí)行不行，它除了具有平行四

邊形的一切性質(zhì)外，還具有的性質(zhì)：矩形的對(duì)角線相等，四個(gè)角都是直角。

2.矩形的判定

（1）有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形

（2）三個(gè)角是直角的四邊形是矩形

（3）對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形

【知識(shí)點(diǎn)03】菱形

1.菱形的概念與性質(zhì)

有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形，菱形是特殊的平行四邊形，它除了具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，

還具有一些特殊的性質(zhì)：菱形的四條邊相等；菱形的對(duì)角線互相垂直。

2.菱形的判定

（1）有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形（概念）

（2）四邊相等的四邊形是菱形

（3）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形

【知識(shí)點(diǎn)04】正方形

1.正方形的概念、性質(zhì)

有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形。正方形不僅是特殊的平行四邊形，而且是

有一組鄰邊相等的特殊的矩形，也是有一個(gè)角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性質(zhì)。

2.正方形的判定

（1）有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形（概念）

（2）有一組鄰邊相等的矩形是正方形

（3）有一個(gè)角是直角的菱形是正方形

03題型歸納L

題型一利用平行四邊形的性質(zhì)求解

例題：（2023上?重慶渝中?八年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)?？计谀┰赮ABCD中，若NA=N3+50。，則—8的度數(shù)

為度.

2

鞏固訓(xùn)練

1.（2023上?吉林長春?八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在YABCD中，AD=10,對(duì)角線AC與3D相交于點(diǎn)。,

AC+BD=24,則&BOC的周長為.

2.（2024下?全國?八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在YABCD中，ZD=110°,的平分線AE交。C于點(diǎn)E,

連接8E,若AE=AB,則/EBC的度數(shù)為.

3.（2024上?吉林長春?八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在YABCD中,BF平分NABC,交AD于點(diǎn)憶CE平分ZBCD,

交AO于點(diǎn)E,AB=6,BC=9,則所長為.

題型二利用平行四邊形的性質(zhì)與判定綜合

例題：（2023下?廣東深圳?八年級(jí)校考期末）已知：如圖，E、F是YABCD對(duì)角線AC上的兩點(diǎn).

⑴若AE=CF,求證：四邊形BFDE是平行四邊形；

（2）若DE1AC,BF1AC,垂足分別為E、F,ZED尸=35。，求4BE的度數(shù).

鞏固訓(xùn)練

1.（2023下?吉林長春?八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，YABCD中，E、尸分別是A3、8上的點(diǎn)，且BE=DF,

連接交于O.

3

（1）連接M、DE,判斷四邊形OEM的形狀并說明理由.

⑵若AE=6,BE=2,ABO尸的面積為2,求YABCD的面積.

（3）若3D_LA￡>,ZA=45°,EFLAB,延長跖交A￡>的延長線于G,當(dāng)尸G=1時(shí)，則A3的長為

2.（2023下?全國?八年級(jí)假期作業(yè)）在四邊形ABCD中，^ABC=ZADC=?（0°<?<90°）,AD//BC.

圖①圖②圖③

（D如圖①，求證：四邊形ABCD是平行四邊形；

⑵如圖②，BE平分/ABC,交AD于點(diǎn)E.若&=30。，AB=26，求的面積；

（3）如圖③，3E平分/ABC,交于點(diǎn)E,作，CD交射線0c于點(diǎn)H,交BE于點(diǎn)F.若=

請(qǐng)?zhí)骄烤€段AF,DE,S之間的數(shù)量關(guān)系.

題型三矩形的性質(zhì)

例題：（2023?重慶沙坪壩?模擬預(yù)測）下列命題正確的是（）

A.矩形的四個(gè)角都相等B.矩形的四條邊都相等

C.矩形的對(duì)角線互相垂直D.矩形的對(duì)角線平分內(nèi)角

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24八年級(jí)下?河南濮陽?期中）矩形不一定具有的性質(zhì)是（）

A.對(duì)角線垂直B.四個(gè)角都是直角C.是軸對(duì)稱圖形D.對(duì)角線相等

2.（2024?河南鶴壁?一模）矩形具有而菱形不具有的性質(zhì)是（）

A.兩組對(duì)邊分別平行B.兩組對(duì)角分別相等

C.對(duì)角線相等D.對(duì)角線互相平分

題型四利用矩形的性質(zhì)求解

例題：（23-24八年級(jí)下?遼寧鞍山?期中）如圖，在矩形A3CO中，點(diǎn)E是C￡>延長線上一點(diǎn)，連接AE,若

4

庭=2￡）,/42。=70。則/石的度數(shù)為（）

C.65D.55

鞏固訓(xùn)練

1.（2024?四川涼山?二模）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)0,過點(diǎn)。作交AD于點(diǎn)E,連

接BE.若/ABE=20。，則ZAOE的度數(shù)是（）

A.10°B.15°C.20°D.30°

2.（23-24八年級(jí)下?湖北襄陽?期中）如圖,在矩形ABCD中，尸,0分別是BC,DC上的點(diǎn)，E、尸分別是"、PQ

的中點(diǎn)，BC=12,DQ=5,則線段石尸的長為.

3.（23-24七年級(jí)下?上海金山?期中）如圖，長方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為AD、BC邊上的任意點(diǎn)，AABG、

△3CH的面積分別為15和25,那么四邊形EGW的面積為.

題型五菱形的性質(zhì)

例題：（2024八年級(jí)下.全國?專題練習(xí)）下列選項(xiàng)中，菱形不具有的性質(zhì)是（）

A.四邊相等B.對(duì)角線互相垂直

C.對(duì)角線相等D.每條對(duì)角線平分一組對(duì)角

鞏固訓(xùn)練

5

1.（23-24八年級(jí)下?河南商丘?期中）關(guān)于菱形的性質(zhì)，下列說法不正確的是（）

A.四條邊相等B.對(duì)角線互相垂直

C.對(duì)角線互相平分D.對(duì)角線相等

2.（2024八年級(jí)下.全國?專題練習(xí)）菱形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是（）

A.兩組對(duì)邊分別平行B.兩組對(duì)角分別相等

C.對(duì)角線互相平分D.對(duì)角線互相垂直

題型六利用菱形的性質(zhì)求解

例題：（2024?陜西西安?三模）如圖，點(diǎn)E是菱形ABCD的對(duì)角線3。上一點(diǎn)，連接AE,若AD=DE,

ZAEB^105°,則—3AE的度數(shù)為。.

鞏固訓(xùn)練

1.（2024?重慶九龍坡?二模）如圖，在菱形ABCD中，々=70。，依次連接各邊中點(diǎn)，得到四邊形跖G”,

貝l|/CFG=°.

2.（2024?四川成都?二模）如圖，在菱形ABCD中，E,b分別是AB,BC上的點(diǎn)，且BE=BF,連接DE,

DF.若ZADC=14O。，ZCDF=50°,則/瓦甲的大小為一.

3.（23-24八年級(jí)下?江蘇無錫?期中）如圖，菱形ABCD中，ZZMB=60。，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)尸在邊8上,

且BE=EC=2,^ZDFA=2ZEAB,則CP=.

6

DF

4.（23-24八年級(jí)下?河北承德?期中）如圖，菱形ABC。的對(duì)角線AC,3D相交于點(diǎn)0,E,歹分別是邊AB,

8c的中點(diǎn)，連接EF.若S*EF=a，則JABC=（用含。的代數(shù)式表示）；若EF=6,BD=4,

則菱形ABCD的面積為

C

5.（2024?江蘇南京?二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形。4BC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6,0）,頂點(diǎn)2,C都在

第一象限，若/8=60。，則頂點(diǎn)5的坐標(biāo)為.

題型七正方形的性質(zhì)

例題：（23-24八年級(jí)下.河南周口?期中）下列關(guān)于正方形的說法錯(cuò)誤的是（）

A.正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角

B.正方形有四條對(duì)稱軸

C.正方形的兩條對(duì)角線互相垂直平分且相等

D.正方形一條對(duì)角線上的點(diǎn)到另一條對(duì)角線兩端點(diǎn)的距離不一定相等

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24八年級(jí)下?湖北荊州?期中）菱形，矩形，正方形都具有的性質(zhì)是（）

A.四條邊都相等B.都是軸對(duì)稱圖形

C.對(duì)角線互相垂直且互相平分D.對(duì)角線相等且互相平分

2.（23-24八年級(jí)下?山東淄博?期中）正方形具有而菱形不具有的性質(zhì)是（)

7

A.對(duì)角線平分一組對(duì)角B.對(duì)角線相等

C.對(duì)角線互相垂直平分D.四條邊相等

3.（23-24八年級(jí)下.江蘇無錫?階段練習(xí)）正方形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是（）

A.對(duì)角線互相垂直B.對(duì)角線互相平分C.對(duì)角線相等D.四個(gè)角都是直角

題型八利用正方形的性質(zhì)求解

例題：（23-24八年級(jí)下?遼寧葫蘆島?期中）如圖，在正方形ABCD的內(nèi)側(cè)，作等邊三角形AAE,則NAE3為

B.65°C.75°D.80°

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24八年級(jí)下.黑龍江?期中）如圖，正方形ABC。中,AE=AB,直線。E1交于點(diǎn)/，則ZBEF的度

A.35°B.45°C.55°D.60°

2.（23-24八年級(jí)下.廣西玉林?期中）如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC是菱形AEFC的一邊，則44B等于

C.15°D.5°

3.（23-24八年級(jí)下?海南省直轄縣級(jí)單位?期中）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在3C上，班1AC,EG，,

垂足分別為尸、G,若48=4,則EF+EG=_.

8

4.（23-24七年級(jí)上?湖南長沙?階段練習(xí)）如圖，正方形438和正方形B￡FG的邊長分別為20和23,則陰

影部分的面積為.

5.（23-24九年級(jí)上?河南鄭州?期中）如圖，正方形A3CD的對(duì)角線相交于點(diǎn)。，以。為頂點(diǎn)的正方形OEGF

的兩邊OE,。尸分別變正方形的邊A3,BC于點(diǎn)N.記AAOM的面積為航，ACON的面積為S2,若

正方形的邊長AB=10,岳=16則邑的大小為.

題型九矩形的性質(zhì)與判定的綜合問題

例題：（23-24八年級(jí)下?江蘇鹽城?期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，ZACB=90°,過點(diǎn)。作交

3C的延長線于點(diǎn)E,連接AE交C。于點(diǎn)尸.

（1）求證：四邊形ACE。是矩形；

（2）連接即，若NABC=60。，CF=5,求8尸的長.

9

鞏固訓(xùn)練

1.(2024?云南德宏?一模)如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC,3D相交于點(diǎn)O,尸是的中點(diǎn)，連接OF

并延長至點(diǎn)E,使EF=OF,連接CE,DE.

(1)求證：四邊形。OCE是矩形；

⑵若OE=4,440=60。，求菱形ABCD的面積.

2.(23-24八年級(jí)下?陜西西安.階段練習(xí))如圖，在"IBC中，AB=AC,AD是AABC的角平分線，AN是AABC

的外角NCW的平分線，過點(diǎn)C作CE_LTW,垂足為E.

(1)求證：四邊形ADCE是矩形；

(2)若/B=45。，BC=2A/2,求四邊形ADCE的面積.

3.(2024八年級(jí)下?浙江?專題練習(xí))在YA3CD中，E,尸為3C上的兩點(diǎn)，且3E=CF,AF=DE.

(1)求證：AABFSCE；

(2)求證：YA3CD是矩形；

(3)連接AE,若AF是"4。的平分線，BE=2,AF=y/30,求四邊形ABCD的面積.

題型十利用菱形的判定與性質(zhì)綜合性問題

例題：如圖，在等腰AABC中，AB=BC,8。平分/ABC,過點(diǎn)A作相＞〃BC交30的延長線于。，連接

CD,過點(diǎn)。作交BC的延長線于E.

10

AD

⑴判斷四邊形ABC。的形狀，并說明理由；

(2)若AB=4,ZABE=120°,求DE的長.

鞏固訓(xùn)練

1.如圖，在YABCD中，AD>AB,AE平分，BAD,交BC于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作即〃AB交AD于點(diǎn)尸.

(2)若菱形ABEF的周長為16,ZEBA=nO°,求AE的長度.

2.已知，四邊形ABCD是菱形.

圖①圖②

(1)若AB=5,則菱形ABCD的周長=；

(2)如圖①，AC,8。是對(duì)角線，則AC與8。的位置關(guān)系是.

(3)如圖②，點(diǎn)A/、N分別在A3、AD±,S.BM=DN,MG//AD,NF〃AB,點(diǎn)、G、P分別在CD、BC

上，MG與N尸相交于點(diǎn)E.求證：四邊形AMEN是菱形.

題型十一正方形的性質(zhì)與判定的綜合問題

例題：(23-24八年級(jí)下?江蘇無錫?期中)實(shí)踐操作：第一步：如圖1,將矩形紙片ABCD沿過。的直線折疊，

使點(diǎn)A落在8上的點(diǎn)A處，得到折痕DE,然后在把紙片展平；

第二步：如圖2,將圖1中的矩形紙片ABCD沿過點(diǎn)E的直線折疊，點(diǎn)C恰好落在AD上的點(diǎn)C處，得到

折痕EF,B'C'交AB于點(diǎn)再把紙片展平.

11

問題解決:

（1）如圖1,求證：四邊形AE47）是正方形；

（2）如圖2,若AC'=2,DC=4,,求△ACM的面積.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24九年級(jí)下?山東淄博?期中）如圖，RtACE/中，ZC=90°,NCEF、NCFE外角平分線交于點(diǎn)A,

過點(diǎn)A分別作直線CE,CF的垂線，B,。為垂足.

圖1圖2

（1）ZE4F=。（直接寫出結(jié)果不寫解答過程）

（2）①求證：四邊形ABCD是正方形.

②若BE=EC=3,求△AEF的面積.

（3）如圖（2）,在APQR中，NQPR=45°,高PH=7,QH=3,則印?的長度是（直接寫出結(jié)果

不寫解答過程）.

2.（23-24八年級(jí)下.江蘇南通?期中）如圖，四邊形A3CD是邊長為4的正方形，點(diǎn)P為射線3c上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，延長CO到點(diǎn)E,使DE=BP,連接AE,AP,以AE,AP為邊作平行四邊形APTE,直線尸歹和直線8

（1）如圖1,點(diǎn)尸在邊8C上，判斷四邊形"EE的形狀，并說明理由;

⑵在（1）的條件下，若點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，求點(diǎn)尸到邊CO的距離；

12

(3)若CP=2,求CM的長.

3.(23-24八年級(jí)下.四川廣安?期中)問題情境：

如圖①，點(diǎn)E為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，ZAEB=90°,環(huán)，3E,且3尸=BE,延長AE交C/于點(diǎn)G,連接DE.

猜想證明：

(1)如圖①，試判斷四邊形BEG/的形狀，并說明理由.

(2)如圖②，若D4=DE,請(qǐng)猜想線段CG與GF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

解決問題：

(3)如圖①，若AB=15,GF=9,請(qǐng)直接寫出DE的長.

圖①圖②

13

第十八章平行四邊形

01思維導(dǎo)圖

平行四邊形的概念和性質(zhì)

平行四邊形

平行四邊形的判定

矩形的概念和性質(zhì)

/「矩形

矩形的判定

平行四邊形

菱形的概念與曝

菱形

菱形的判定

正方形的概念、性質(zhì)

正方形

正方形的判定

02知識(shí)速記

【知識(shí)點(diǎn)01】平行四邊形

1.平行四邊形的概念：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。

2.平行四邊形的性質(zhì)：

（1）平行四邊形的對(duì)邊相等；（2）平行四邊形的對(duì)角相等（3）平行四邊形的對(duì)角線互相平分。

3.平行四邊形的判定

（1）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形（概念）

（2）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形叫做平行四邊形

（3）對(duì)角線互相平分的四邊形叫做平行四邊形

（4）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形叫做平行四邊形

【知識(shí)點(diǎn)02】矩形

14

1.矩形的概念和性質(zhì)

有一角是直角的平行四邊形叫做矩形，矩形也叫做長方形。矩形是特殊的平時(shí)行不行，它除了具有平行四

邊形的一切性質(zhì)外，還具有的性質(zhì)：矩形的對(duì)角線相等，四個(gè)角都是直角。

2.矩形的判定

（1）有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形

（2）三個(gè)角是直角的四邊形是矩形

（3）對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形

【知識(shí)點(diǎn)03】菱形

1.菱形的概念與性質(zhì)

有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形，菱形是特殊的平行四邊形，它除了具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，

還具有一些特殊的性質(zhì)：菱形的四條邊相等；菱形的對(duì)角線互相垂直。

2.菱形的判定

（1）有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形（概念）

（2）四邊相等的四邊形是菱形

（3）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形

【知識(shí)點(diǎn)04】正方形

1.正方形的概念、性質(zhì)

有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形。正方形不僅是特殊的平行四邊形，而且是

有一組鄰邊相等的特殊的矩形，也是有一個(gè)角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性質(zhì)。

2.正方形的判定

（1）有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形（概念）

（2）有一組鄰邊相等的矩形是正方形

（3）有一個(gè)角是直角的菱形是正方形

03題型歸納

題型一利用平行四邊形的性質(zhì)求解

例題：（2023上?重慶渝中?八年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)?？计谀┰赮ABCD中，若NA=N3+50。，則—8的度數(shù)

為度.

15

【答案】65

【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形鄰角互補(bǔ)求解即可.

【詳解】VYABCD,

Z4+ZB=180°,

ZA=ZB+50°,

：.ZB+50°+ZS=180°,

解得々=65。，

故答案為：65.

鞏固訓(xùn)練

1.（2023上?吉林長春?八年級(jí)校考期末）如圖，在YABCD中，AD=10,對(duì)角線AC與相交于點(diǎn)。,

AC+B￡>=24,則ABOC的周長為________.

力/\---------------刁力

【答案】22

【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)以及三角形周長等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是記住平行四邊形的對(duì)角線互相

平分.根據(jù)平行四邊形對(duì)角線互相平分求出OC+OB的長，即可解決問題.

【詳解】解：：四邊形ABCD是平行四邊形，

AO=OC=^ACBO=OD=^BDAD=BC=10,

'：AC+BD=24,

：.OC+BO=n,

：.ABOC的周長=OC+O3+3C=12+10=22.

故答案為：22.

2.（2024下.全國.八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在YABCD中，ZD=110°,ZD"的平分線AE1交。C于點(diǎn)￡,

連接8E,若AE=AB,則/EBC的度數(shù)為.

16

【答案】37.5°

【解析】略

3.（2024上?吉林長春?八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在YABCD中，8尸平分/A3C,交AD于點(diǎn)廠,CE平分NBCD,

交于點(diǎn)E,AB=6,BC=9,則所長為.

【答案】3

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，等角對(duì)等邊；熟練掌握平行四

邊形的性質(zhì)，得出AF=AB是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等可得DC=AB=6,A。=3C=9；根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角

相等可得NAF3=NEBC；根據(jù)從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線，叫做這個(gè)角的平

分線可得NABF=NFBC；推得/泣=NAEB,根據(jù)等角對(duì)等邊可得AF=AB=6,DE=DC=6,即可列出

等式，求解.

【詳解】解：：四邊形ABC。是平行四邊形，

AAD/7BC,DC=AB=6,AD=BC=9,

"：AD〃BC,

：.ZAFB=NFBC,

時(shí)平分/ABC,

ZABF=ZFBC,

則=

AF=AB=6,

同理可證：DE=DC=6,

,/EF=AF+DE-AD=2,

即6+6—E尸=9,

解得：EF=3；

故答案為：3.

題型二利用平行四邊形的性質(zhì)與判定綜合

例題：（2023下?廣東深圳?八年級(jí)校考期末）已知：如圖，E、F是YABCD對(duì)角線AC上的兩點(diǎn).

17

A

D

'E

（1）若AE=CF,求證：四邊形BFDE是平行四邊形;

(2)若DE/AC,BF1AC,垂足分別為E、F,NEDF=35°,求〃BE的度數(shù).

【答案】（1）見解析

(2)35°

【分析】（1）連接3D交AC于。，根據(jù)YABCD,得OB=OD,OA=OC,繼可證得OE=OF,即可由平

行四邊形的判定定理得出結(jié)論.

（2）先由。E1AC,3B/AC,得出NAED=/BPC=90°,DE//BF,再證aADE/Z\CBF（AAS）,得DE=BF,

從而證得四邊形BFDE是平行四邊形，即可根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得/FBE=ZEDF=35。.

【詳解】（1）證明：連接交AC于。，

VYABCD,

：.OB=OD,OA=OC,

AE=CF,

：.AE-OA=CF-OC,即OE=O尸,

二四邊形3EDE是平行四邊形.

(2)解：VDE1AC,BFJ.AC,

；.ZAED=NBFC=90。,DE//BF,

?；YABCD,

：.AD^BC,AD//BC,

：.NDAE=NBCF,

在VADE和VCBF中，

18

ZDAE=NBCF

ZAED=ZBFC,

AD=BC

：.AADE^AC5F（AAS）,

/.DE=BF,

.?.四邊形班DE是平行四邊形

/.ZFBE=ZEDF=35°.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等三角形的判定與性質(zhì).熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)與判

定是解題的關(guān)鍵.

鞏固訓(xùn)練

1.（2023下?吉林長春?八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，YABCD中，E、/分別是A3、上的點(diǎn)，且BE=DF,

連接EF交于O.

（1）連接所、DE,判斷四邊形OEM的形狀并說明理由.

（2）若AE=6,BE=2,ABQF的面積為2,求YA3CD的面積.

（3）若應(yīng)＞_LAD,NA=45。，EF±AB,延長EF交AD的延長線于G,當(dāng)尸G=1時(shí)，則AB的長為.

【答案】（1）四邊形DEM是平行四邊形，理由見解析；

⑵16；

（3）4；

【分析】（1）分別證明O/〃EB,BE=DF,即可；

（2）利用平行四邊形的性質(zhì)，由ABO尸的面積為2,得到5"網(wǎng)=4,再利用三角形同底等高的性質(zhì)，得到

△EZ出的面積，再求出1皿）=8,則可知YA3CD的面積為21AMi=16；

（3）由AADB是等腰直角三角形，得出NA=45。，因?yàn)樗?，AB,得出NG=45。，所以AODG與ADFG都

是等腰直角三角形，從而依次求得GP、GE、AE的長，則可求；

【詳解】（1）解：四邊形是平行四邊形；

19

證明：由題意，在YABCD中，DF//EB-

BE=DF,

/.四邊形DEBF是平行四邊形；

(2)解：：四邊形DEBF是平行四邊形，

/.OE=OF,,

,,D4DOE_Q&BOF~乙，

?Q=\=4

,?°4DBE_QAEFB_R，

VAE=6,BE=2,

.黑*空=。

FOBEB2'

?**SJDB=8，

???YABCD的面積為2s=16.

(3)解：*：BD±AD,

???ZAaB=90。，

VZA=45°,

：.ZDBA=ZA=45°,

■:EhAB,

JNG=ZA=45。，

???aODG是等腰直角三角形，

VAB//CD,EF±AB,

：.DFLOG,

：,OF=FG,△DHG是等腰直角三角形，

???四邊形DEBF是平行四邊形，

：.OE=OF,BE=DF,

:?GF=OF=OE=1,

???△￡>“是等腰直角三角形，

：.DF=FG=\,

：.GE=OE+OF+FG=3,

：.AE=GE=3,

20

/.AB=AE+EB=4.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，以及同底等高類的三角形

面積，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明等腰直角三角形是解決問題的關(guān)鍵.

2.(2023下?全國?八年級(jí)假期作業(yè))在四邊形ABCD中，^ABC=ZADC=?(0°<a<90°),AD//BC.

圖①圖②圖③

(1汝口圖①，求證：四邊形ABCD是平行四邊形；

⑵如圖②，BE平分/ABC,交AD于點(diǎn)E.若a=30。，AB=2/，求AABE的面積；

(3)如圖③，3E平分/ABC,交于點(diǎn)E,作，CD交射線。。于點(diǎn)H,交BE于點(diǎn)、F.若筋=A",

請(qǐng)?zhí)骄烤€段AF,DE,S之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(1)見解析

⑵3

⑶DE+CH=AF或DE—CH=AF

【詳解】解：(1)證明：-.-AD//BC,.-.ZA+ZB=180o.

■：ZD=AB,.-.ZA+ZD=180°,

.?.AB〃CD,.,.四邊形ABC。是平行四邊形.

(2)在OABCD中，AD//BC,:.ZEBC=ZAEB.

?.?8E平分/ABC,:.ZABE=ZEBC,ZABE=ZAEB,

AB=AE=2>/3.

如圖①，作瓦71AD交D4的延長線于點(diǎn)H,，NH=9O。.

圖①

?/ZABC=30°,AD//BC,:.ZHAB=ZABC=3O°,

:.BH=-AB=^3,

2

21

.■.S.=-AEBH=-x2y/3xy/3=3.

ZXA/iDRCF,22v

(3)如圖②、圖③，作AGL3E交射線DC于點(diǎn)G.

當(dāng)點(diǎn)H在線段CO上時(shí)，如圖②.

圖②

?/AGLBE,AHLCD,ZAGH=ZBFA=90°-ZHAG,ZAHG=90°.

四邊形ABC。是平行四邊形，

:.AB//CD,ZBAF+ZAHG=180°,

:.ZBAF=ZAHG=9G°.

ZAGH=ZBFA,

在AAGH和7BFA中，＜ZAHG=NBAF,

AH=BA,

.?.△AGHZ△跳A(AAS),GH=FA.

由(2)易知AB=AE=CD.

AG1BE,ZBAG=ZEAG=ZAGC

..AD—DG,.DE=AD—AE—DG—CD=CG.

^■.?CG=GH-CH=AF-CH,:.DE=AF-CH,

即DE+Ca=A尸；

當(dāng)點(diǎn)H在。C的延長線上時(shí)，如圖③.

圖③

同理可得DE=AD—AE=DG—CD=CG,CG=GH+CH=AF+CH,

:.DE=AF+CH,^DE-CH^AF.

綜上所述，線段AF,DE,CH之間的數(shù)量關(guān)系為。E+QZ=AF或DE-S=AF

22

題型三矩形的性質(zhì)

例題：（2023?重慶沙坪壩?模擬預(yù)測）下列命題正確的是（）

A.矩形的四個(gè)角都相等B.矩形的四條邊都相等

C.矩形的對(duì)角線互相垂直D.矩形的對(duì)角線平分內(nèi)角

【答案】A

【分析】本題考查真假命題的判斷、矩形的性質(zhì)，根據(jù)矩形的角、邊、對(duì)角線的特點(diǎn)逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解：A、矩形的四個(gè)角都相等，正確，符合題意；

8、矩形的四條邊不相等，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意；

C、矩形的對(duì)角線相等但不垂直，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意；

D,矩形的對(duì)角線相等但不平分內(nèi)角，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意；

故選A.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24八年級(jí)下?河南濮陽?期中）矩形不一定具有的性質(zhì)是（）

A.對(duì)角線垂直B.四個(gè)角都是直角C.是軸對(duì)稱圖形D.對(duì)角線相等

【答案】A

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)矩形的性質(zhì)：對(duì)邊相等且平行，

四個(gè)角都是直角，對(duì)角線平分且相等，矩形既是中心對(duì)稱圖形也是軸對(duì)稱圖形，根據(jù)性質(zhì)判斷即可.

【詳解】解：矩形不一定具有的性質(zhì)是對(duì)角線垂直.

故選：B.

2.（2024.河南鶴壁.一模）矩形具有而菱形不具有的性質(zhì)是（）

A.兩組對(duì)邊分別平行B.兩組對(duì)角分別相等

C.對(duì)角線相等D.對(duì)角線互相平分

【答案】C

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)，能熟記知識(shí)點(diǎn)是解此題的關(guān)鍵.根據(jù)矩形的性質(zhì)和菱形的

性質(zhì)即可解決問題.

【詳解】解：矩形的性質(zhì)是：①矩形的四個(gè)角都是直角，②矩形的對(duì)邊相等且互相平行，③矩形對(duì)角線相

等且互相平分；

菱形的性質(zhì)是：①菱形的四條邊都相等，菱形的對(duì)邊互相平行；②菱形的對(duì)角相等，③菱形的對(duì)角線互相

平分且垂直，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角，

23

所以矩形具有而菱形不具有的性質(zhì)是對(duì)角線相等,

故選：C.

題型四利用矩形的性質(zhì)求解

例題：（23-24八年級(jí)下?遼寧鞍山?期中）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是延長線上一點(diǎn)，連接AE,若

CE=8￡>,NAB￡>=70。則/E的度數(shù)為（）

B.70°C.65D.55

【答案】D

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，主要利用了矩形的對(duì)角線相等，等邊對(duì)等角，三角

形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)可

得NE=NCAE,再求解即可.

【詳解】解：如圖，連接AC,

???四邊形ABC。是矩形,

:.AC^BD,ZACD=ZABD=10°

?：CE=BD,

CE-AC,

:.ZE=ZCAE,

—十"J。,

故選：D.

鞏固訓(xùn)練

1.（2024?四川涼山.二模）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作OEL3。，交AD于點(diǎn)E,連

接BE.若/ASE=20。，則ZAOE的度數(shù)是（）

24

A.10°B.15°C.20°D.30°

【答案】C

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，根據(jù)矩形的性質(zhì)

可得對(duì)角線相等，進(jìn)而根據(jù)已知可得垂直平分根據(jù)等邊對(duì)等角得出NQ4D=NOD4=35。，進(jìn)而可

得NA8=110。，根據(jù)即可求解.

【詳解】解：???矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)。，

ABO=DO=AO,ZBAE=90°,

又OELBD

:?EB=ED,ZE（9D=90°

:.ZEBD=ZEDB

:.ZAEB=2ZEDB

VZBAE=90°,ZABE=20°

：.ZAEB=1Q0

：.ZADB=-ZAEB=35°

2

又「AO=OD

：.ZOAD=ZODA=35°

：.ZAOD=180°-2x35°=110°

JZAOE=ZAOD-ZDOE=20°,

故選：C.

2.（23-24八年級(jí)下?湖北襄陽?期中）如圖,在矩形ABCD中，R。分別是BCDC上的點(diǎn)，區(qū)尸分別是AP、PQ

的中點(diǎn)，BC=12,DQ=5,則線段的長為.

25

113

【答案】6.5/6；/1

22

【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、三角形中位線等知識(shí)，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵.連

接AQ,利用勾股定理解得AQ的值，然后根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：連接A。，如下圖，

?..四邊形ABCD是矩形，8c=12,DQ=5,

：.AD=BC=12,ID90?,

2222

在RtAADQ中，AQ=^AD+DQ=712+5=13,

?:E、/分別是AP、PQ的中點(diǎn),

/.EF^^AQ=6.5.

故答案為：6.5.

3.（23-24七年級(jí)下?上海金山?期中）如圖，長方形ABCD中，點(diǎn)E、E分別為AD、邊上的任意點(diǎn)，AABG、

△DCH的面積分別為15和25,那么四邊形EGFH的面積為.

【答案】40

【分析】本題考查了三角形的面積，解題的關(guān)鍵是能正確作出輔助線,

連接E尸，可得SAABE=SAAE「再根據(jù)面積的和差可得久.6=5?^,同理可得即可解答

【詳解】解：連接

=-AEAB,S=-A￡AB

2△ADC2

…°AABE——AEF，

26

又S&ABG=SjBE-SAAGE，^GEF=^AEF-^AGE，

?C-C

一?AABG_4REF

同理?.?SDEF=LOE-CDSCDE=-DECD

17—?4DEF2艮D(zhuǎn)E2

?V—V

…°ADEF-4&CDF，

又'■"SADCH=SaCDE_SQHE，S.HEF=SHDEF-SaHE，

?q_q

..0《DCH一,AHEF

…^aEGFH=SaGEF+^HEF=S&ABG+i,DCH=15+25=40

故答案為：40

題型五菱形的性質(zhì)

例題：（2024八年級(jí)下?全國?專題練習(xí)）下列選項(xiàng)中，菱形不具有的性質(zhì)是（）

A.四邊相等B.對(duì)角線互相垂直

C.對(duì)角線相等D.每條對(duì)角線平分一組對(duì)角

【答案】C

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.根據(jù)菱形的性質(zhì)可判斷.

【詳解】解：：菱形四邊相等、對(duì)角線互相垂直、每條對(duì)角線平分一組對(duì)角，

；.A、B、。選項(xiàng)不符合題意，

???菱形的對(duì)角線不一定相等，

.??菱形不具有的性質(zhì)是對(duì)角線相等，

二選項(xiàng)C符合題意，

故選：C

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24八年級(jí)下.河南商丘.期中）關(guān)于菱形的性質(zhì)，下列說法不正確的是（）

A.四條邊相等B.對(duì)角線互相垂直

C.對(duì)角線互相平分D.對(duì)角線相等

【答案】D

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)判斷即可.此題主要考查對(duì)菱形的性質(zhì)及判定的理解，關(guān)鍵是根據(jù)菱形的性質(zhì)解

答.

27

【詳解】解：A、菱形的四條邊都相等，正確不符合題意；

反菱形的對(duì)角線互相垂直，正確不符合題意；

C、菱形的對(duì)角線互相平分，正確不符合題意；

D,菱形的對(duì)角線不一定相等，錯(cuò)誤符合題意；

故選：D.

2.（2024八年級(jí)下?全國?專題練習(xí)）菱形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是（）

A.兩組對(duì)邊分別平行B.兩組對(duì)角分別相等

C.對(duì)角線互相平分D.對(duì)角線互相垂直

【答案】D

【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)可求解.本題考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，掌握

菱形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：&、不正確，菱形和平行四邊形都有兩組對(duì)邊都分別平行；

2、不正確，兩組對(duì)角分別相等，兩者均有此性質(zhì)正確；

C、不正確，對(duì)角線互相平分，兩者均具有此性質(zhì)；

D,菱形的對(duì)角線互相垂直但平行四邊形卻無此性質(zhì).

故選：D.

題型六利用菱形的性質(zhì)求解

例題：（2024?陜西西安?三模）如圖，點(diǎn)E是菱形ABCD的對(duì)角線3D上一點(diǎn)，連接AE,若AD=DE,

ZAEB=105°,則—3AE的度數(shù)為°.

【答案】45

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握菱形

的四邊相等是解題的關(guān)鍵.由等腰三角形的性質(zhì)可求NADB=30。，由菱形的性質(zhì)可得=AD,即可求解.

【詳解】解：?.?NAEB=105。，

;.ZAED=n5°,

■.AD=DE,

28

:.ZAED=NEAD=75°,

:.ZADB=30°,

四邊形45co是菱形，

AB=AD，

ZABD=ZADB=30°,

ZBAE=ZAED-ZABD=45°,

故答案為：45.

鞏固訓(xùn)練

1.（2024重慶九龍坡?二模）如圖，在菱形ABC。中，NB=70。,依次連接各邊中點(diǎn)，得到四邊形所GH,

則ZCFG=°.

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)和三角形中位線的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

連接即，先根據(jù)菱形的性質(zhì)得出的C=35。，再根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得出尸G〃加，最后根據(jù)平行線

的性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】解：連接3D

NDBC=L/ABC=35。

2

.F、G分別為和8的中點(diǎn)

.'.FG//BD

■,ZCFG=ZDBC=35°

故答案為：35.

29

2.(2024?四川成都?二模)如圖，在菱形ABCD中，E,F分別是AB,3C上的點(diǎn)，且BE=BF,連接DE,

DF.若Z4DC=14O。，ZCDF=50°,則NEC小的大小為—.

【答案】40。/40度

【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟記菱形的性質(zhì).

根據(jù)菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定方法“SAS”即可證明A">E絲ACD尸(SAS),再得到

ZADE=ZCDF=50°,因?yàn)閆ADC=140。，feZ￡DF=140o-2x50°=40°.

【詳解】：四邊形ABC。是菱形，BE=BF,

:.AB=BC,ZA=ZC,AD=CD

又「BE=BF,

：.AE=FC,

：.AADE、CDF(SAS),

'：ZCDF=50°,

ZADE=ZCDF=50°,

'：ZADC=140°,

：.ZEDF=140°-2x50°=40°,

故答案為40。.

3.(23-24八年級(jí)下.江蘇無錫?期中)如圖，菱形A8CD中，小18=60。，點(diǎn)E在邊上，點(diǎn)P在邊。上,

且BE=EC=2,^ZDFA=2ZEAB,貝i]CF=.

【分析】此題考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)菱形的性質(zhì)和全等三角

形的判定和性質(zhì)得出AF=AB+CF解答.

延長AE,DC相交于點(diǎn)G,根據(jù)菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)得出=進(jìn)而利用勾

股定理解答即可.

30

【詳解】解：延長AE,QC相交于點(diǎn)G,作AWLCD于點(diǎn)

HD

四邊形ABCD是菱形,

：.CD=BC=BE+EC=4,CD//AB,

:"EAB=/G,

在aAB石與△GCE中，

ZAEB=ZGEC

<ZEAB=ZG,

BE=CE

.-.△ABE^AGCE(AAS),

:.AB=CGf

ZAFD=2ZEAB,ZAFD=ZFAG-^-ZG,

.\ZFAG=ZG,

AF=FG,

:.AF=AB+CF,

設(shè)C/=x,AF=x+4,DF=4-x,

?.?NZMB=60。,

,\ZADC=120°,

:.ZADH=60°,

AD=4,

:.HD=2,

???AZ)2-HD1=AF2-HF2，

即42-22=(X+4)2-(6-X)2,

Q

解得：x=y，

:.FC=-

Q

故答案為：—.

4.（23-24八年級(jí)下?河北承德?期中）如圖，菱形ABC。的對(duì)角線AC,6。相交于點(diǎn)。，E,歹分別是邊AB,

31

8C的中點(diǎn)，連接所.若5巫=。,則顯枷=（用含〃的代數(shù)式表示）；若EF=6,BD=4,

則菱形A