2025年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)三輪沖刺訓(xùn)練圓中線段的計(jì)算與證明綜合訓(xùn)練

1.如圖，AB是。。的直徑，AC為弦，NBAC的平分線交。。于點(diǎn)D,過點(diǎn)D的

切線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

求證:(1)DEXAE；

(2)AE+CE=AB.

2.如圖，AB是。0的直徑，ED切。0于點(diǎn)C,AD交。0于點(diǎn)F,AC平分NBAD,

連接BF.

(1)求證：AD1ED；

(2)若CD=4,AF=2,求。0的半徑.

3.如圖，BE是0的直徑，點(diǎn)A和點(diǎn)D是。。上的兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作。。的切線交

BE延長(zhǎng)線于點(diǎn)C.

(1)若NADE=25。，求NC的度數(shù)；

(2)若AB=AC,CE=2,求。。半徑的長(zhǎng).

4.如圖，AB是。。的直徑，過。。外一點(diǎn)P作。。的兩條切線PC,PD,切點(diǎn)分

別為C,D,連接OP,CD.

(1)求證：OPLCD；

(2)連接AD,BC,若NDAB=50。，ZCBA=70°,0A=2,求OP的長(zhǎng).

5.如圖，AB是。。的直徑，DOLAB于點(diǎn)0,連接DA交。。于點(diǎn)C,過點(diǎn)C作

?0的切線交DO于點(diǎn)E,連接BC交DO于點(diǎn)F.

(1)求證：CE=EF；

(2)連接AF并延長(zhǎng)，交。。于點(diǎn)G.填空：/

①當(dāng)ND的度數(shù)為_______時(shí)，四邊形ECFG為菱形；/

②當(dāng)ND的度數(shù)為時(shí)，四邊形ECOG為正方形./I

6.如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,以斜邊AB上的中線CD為直徑作。0,分

別與AC、BC交于點(diǎn)M、N.

(1)過點(diǎn)N作。0的切線NE與AB相交于點(diǎn)E,求證：NEXAB；

(2)連接MD,求證：MD=NB.

7.如圖，AB是。0的直徑，點(diǎn)C為。。上一點(diǎn)，CN為。。的切線，0MLAB于

點(diǎn)0,分別交AC、CN于D、M兩點(diǎn).

(1)求證：MD=MC；

(2)若。。的半徑為5,AC=4在，求MC的長(zhǎng).

8.如圖，AD是。。的直徑，AB為。0的弦，OPLAD,0P與AB的延長(zhǎng)線交于

點(diǎn)P,過B點(diǎn)的切線交0P于點(diǎn)C.

(1)求證：ZCBP=ZADB.

(2)若0A=2,AB=1,求線段BP的長(zhǎng).

9.如圖，AB是。。的直徑，直線CD與。。相切于點(diǎn)C,且與AB的延長(zhǎng)線交于

點(diǎn)E,點(diǎn)C是命的中點(diǎn).

(1)求證：ADXCD；

(2)若NCAD=30。，?0的半徑為3,一只螞蟻從點(diǎn)B出發(fā)，沿著BE-EC-合爬

回至點(diǎn)B,求螞蟻爬過的路程(71^3.14,正心1.73,結(jié)果保留一位小數(shù)).

10.如圖，已知三角形ABC的邊AB是。。的切線，切點(diǎn)為B.AC經(jīng)過圓心。并

與圓相交于點(diǎn)D、C,過C作直線CE_LAB,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)求證：CB平分NACE；

(2)若BE=3,CE=4,求。。的半徑.

11.如圖，已知AB是。。的直徑，C,D是。。上的點(diǎn)，0C/7BD,交AD于點(diǎn)E,

連結(jié)BC.

(1)求證：AE=ED；

(2)若AB=10,NCBD=36。，求眾的長(zhǎng).

12.如圖，D是aABC外接圓上的動(dòng)點(diǎn)，且B,D位于AC的兩側(cè)，DE±AB,垂

足為E,DE的延長(zhǎng)線交此圓于點(diǎn)F.BG±AD,垂足為G,BG交DE于點(diǎn)H,

DC,FB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,且PC=PB.

(1)求證：BG〃CD；

(2)設(shè)AABC外接圓的圓心為0,若AB=「DH,ZOHD=80°,求NBDE的大小.

備用圖

13.如圖，在AABC中，AB=AC,以AB為直徑的。。交BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作。

0的切線DE,交AC于點(diǎn)E,AC的反向延長(zhǎng)線交。。于點(diǎn)F.

(1)求證：DEXAC；

(2)若DE+EA=8,。。的半徑為10,求AF的長(zhǎng)度.

14.如圖AB是。。的直徑，PA與。。相切于點(diǎn)A,BP與。。相交于點(diǎn)D,C為

。。上的一點(diǎn)，分別連接CB、CD,ZBCD=60°.

(1)求NABD的度數(shù);

(2)若AB=6,求PD的長(zhǎng)度.

15.如圖，在4ABC中，AB=BC,以AB為直徑的。。交BC于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)F,

過點(diǎn)C作CE〃AB,與過點(diǎn)A的切線相交于點(diǎn)E,連接AD.

(1)求證：AD=AE；

(2)若AB=6,AC=4,求AE的長(zhǎng).

參考答案

1?【解答】證明：（1）連接0D,如圖1所示.

VOA=OD,AD平分NBAC,

AZOAD=ZODA,ZCAD=ZOAD,

，NCAD=NODA,

，AE〃OD.

VDE是。。的切線，

AZODE=90°,

.\OD±DE,

ADEXAE.

(2)過點(diǎn)D作DM，AB于點(diǎn)M,連接CD、DB,如圖2所示.

：AD平分NBAC,DE±AE,DM±AB,

，DE=DM.E

fDE=DM

在^DAE和△DAM中，ZAED=ZAMD=90°，

AD=AD

AADAEVADAM(SAS),

.\AE=AM.

VZEAD=ZMAD,

???而=俞，

，CD=BD.

在RtADEC和RtADMB中，IDE=DM,

lCD=BD

RtADEC^RtADMB(HL),

.?.CE=BM,

AAE+CE=AM+BM=AB.

圖2

2.【解答】(1)證明：連接OC,如圖，

VAC平分NBAD,

AZ1=Z2,

VOA=OC,

AZ1=Z3,

N2=N3,

.,.OC//AD,

VED切。。于點(diǎn)C,

AOCXDE,

AAD±ED；

(2)解：OC交BF于H,如圖，

VAB為直徑，

.?.ZAFB=90",

易得四邊形CDFH為矩形，

，F(xiàn)H=CD=4,NCHF=90°,

AOHXBF,

，BH=FH=4,

.\BF=8,

在RtAABF中，AB=^AF2+BF2=Ay22+82=2.717,

.,.?0的半徑為五不

3.【解答】解：(1)連接0A,

?..AC是。。的切線，0A是。。的半徑，

AOAXAC,

AZOAC=90°,

VAE=AE，ZADE=25°,

AZAOE=2ZADE=50°,

ZC=90°-ZAOE=90°-50°=40°；

(2)VAB=AC,

AZB=ZC,

VAE=AE，

AZA0C=2ZB,

AZA0C=2ZC,

VZOAC=90°,

AZAOC+ZC=90°,

.*.3ZC=90°,

AZC=30°,

/.0A=10C,

2

設(shè)。0的半徑為r,

VCE=2,

r=y(r+2)，

解得：r=2,

.,.?0的半徑為2.

4.【解答】解：(1)連接OC,0D,

，OC=OD,

VPD,PC是。。的切線,

VZODP=ZOCP=90°,

在RQODP和Rt^OCP中，1°D=OC,

10P=0P

...RtAODP^RtAOCP,

AZDOP=ZCOP,

VOD=OC,

AOP±CD；

(2)如圖，連接OD,OC,

.,.0A=0D=0C=0B=2,

AZADO=ZDAO=50°,ZBCO=ZCBO=70°,

AZAOD=80°,ZBOC=40°,

AZCOD=60°,

VOD=OC,

??.△COD是等邊三角形，

由(1)知，ZDOP=ZCOP=30",

在RtAODP中，OP=—迎—

cos303

5.【解答】(1)證明：連接0C,如圖，

VCE為切線,

AOCXCE,

AZOCE=90°,即Nl+N4=90°,

：DOLAB,

N3+NB=90°,

而N2=N3,

AZ2+ZB=90°,

而OB=OC,

N4=NB,

/.Z1=Z2,

；.CE=FE；

(2)解：①當(dāng)ND=30。時(shí),ZDAO=60",

而AB為直徑，

AZACB=90",

AZB=30°,

AZ3=Z2=60°,

而CE=FE,

/.△CEF為等邊三角形，

，CE=CF=EF,

同理可得NGFE=60°,

利用對(duì)稱得FG=FC,

VFG=EF,

/.△FEG為等邊三角形，

；.EG=FG,

，EF=FG=GE=CE,

???四邊形ECFG為菱形；

②當(dāng)ND=22.5°時(shí)，ZDAO=67.5°,

而OA=OC,

AZOCA=ZOAC=67.5°,

ZAOC=180°-67.5°-67.5°=45°,

ZAOC=45",

AZCOE=45°,

利用對(duì)稱得NEOG=45°,

AZCOG=90°,

易得△OEC法△OEG,

AZOGE=ZOCE=90°,

???四邊形ECOG為矩形，

而OC=OG,

四邊形ECOG為正方形.

故答案為30°,22.5°.

6?【解答】證明：（1）連接ON,如圖，

VCD為斜邊AB上的中線，

.\CD=AD=DB,

AZ1=ZB,

VOC=ON,

，N1=N2,

；.N2=NB,

，ON〃DB,

VNE為切線，

AON±NE,

/.NE±AB；

（2）連接DN,如圖，

VCD為直徑，

AZCMD=ZCND=90",

而NMCB=90°,

四邊形CMDN為矩形，

，DM=CN,

VDN±BC,Z1=ZB,

.?.CN=BN,

.".MD=NB.

7.【解答】解：（1）連接OC,

VCN為。O的切線，

.*.OC±CM,ZOCA+ZACM=90°,

VOM±AB,

/.ZOAC+ZODA=90°,

VOA=OC,

/.ZOAC=ZOCA,

NACM=NODA=NCDM,

.*.MD=MC；

（2）由題意可知AB=5X2=10,AC=4泥,

VAB是。0的直徑，

，NACB=90°,

*',BC=7102-（W5）2-2VsJ

VZAOD=ZACB,ZA=ZA,

.,.△AOD^AACB,

?0D_A0,OP_5

*BC-Ac'275"WB'

可得:OD=2.5,

設(shè)MC=MD=x,在RtaOCM中，由勾股定理得：（x+2.5）2=x2+52,

解得：x-舁

即MC=^-.

4

8.【解答】（1）證明：連接0B,如圖,

VAD是。0的直徑，

AZABD=90°,

，NA+NADB=90°,

BC為切線，

.\OB±BC,

AZOBC=90°,

AZOBA+ZCBP=90°,

而OA=OB,

AZA=ZOBA,

AZCBP=ZADB；

(2)解：VOP±AD,

AZPOA=90°,

NP+NA=90°,

NP=ND,

.,.△AOP^AABD,

?AP-AQ即1+BP_2

ADAB，-4―丁

.\BP=7.

9.【解答】（1）證明：連接OC,

?.?直線CD與。O相切，

AOCXCD,

:點(diǎn)c是前的中點(diǎn)，

AZDAC=ZEAC,

VOA=OC,

AZOCA=ZEAC,

AZDAC=ZOCA,

.?.OC〃AD,

AAD±CD；

(2)解：VZCAD=30°,

ZCAE=ZCAD=30°,

由圓周角定理得，NCOE=60。,

.".OE=2OC=6,EC=?OC=3?,BC=6QKX3=n>

180

螞蟻爬過的路程=3+3遂+TI心11.3.

10?【解答】(1)證明：如圖1,連接OB,

VAB是。0的切線,

AOBXAB,

VCEJLAB,

.?.OB〃CE,

.*.Z1=Z3,

VOB=OC,

.*.Z1=Z2

，N2=N3,

，CB平分NACE；

(2)如圖2,連接BD,

VCE±AB,

AZE=90°,

BC=VBE2+CE2=V32+42=5)

：CD是。0的直徑，

，NDBC=90°,

AZE=ZDBC,

AADBC^ACBE,

?CDBC

??ZZ9

BCCE

BC2=CD?CE,

.?.CD=$=至，

44

.\OC=-^-CD=-^-,

Zo

.,.?o的半徑=空.

8

11?【解答】證明：（1）?「AB是。。的直徑,

AZADB=90°,

VOC//BD,

AZAEO=ZADB=90°,

即OC±AD,

，AE=ED；

(2)-AD,

；?AC=CD>

AZABC=ZCBD=36°,

ZAOC=2ZABC=2X36°=72°,

.-72兀X5

??AC^^=2兀.

12.【解答】(1)證明：如圖1,：PC=PB,

，NPCB=NPBC,

???四邊形ABCD內(nèi)接于圓，

AZBAD+ZBCD=180°,

VZBCD+ZPCB=180",

NBAD=NPCB,

VZBAD=ZBFD,

AZBFD=ZPCB=ZPBC,

BC//DF,

VDE±AB,

，NDEB=90°,

NABC=90。，

，AC是。O的直徑，

AZADC=90°,

BG±AD,

AZAGB=90°,

NADC=NAGB,

BG〃CD；

(2)由(1)得：B(:〃DF,BG〃CD,

...四邊形BCDH是平行四邊形，

，BC=DH,

在RtAABC中，AB=?DH,

tanZACB=

NACB=60°,NBAC=30°,

NADB=60°,BC=1AC,

2

，DH」AC,

2

①當(dāng)點(diǎn)。在DE的左側(cè)時(shí)，如圖2,作直徑DM,連接AM、OH,則NDAM=90。,

NAMD+NADM=90°

VDE±AB,

，NBED=90°,

NBDE+NABD=90°,

VZAMD=ZABD,

NADM=NBDE,

?.?DH」AC,

2

；.DH=OD,

NDOH=NOHD=80°,

AZODH=20°

VZADB=60",

AZADM+ZBDE=40°,

AZBDE=ZADM=20°,

②當(dāng)點(diǎn)。在DE的右側(cè)時(shí)，如圖3,作直徑DN,連接BN,

由①得：NADE=NBDN=20。，ZODH=20°,

,NBDE=NBDN+/ODH=40°,

綜上所述，ZBDE的度數(shù)為20?；?0°.

DDD

圖2

圖1圖3

13.【解答】(1)證明:VOB=OD,

，NABC=NODB,

VAB=AC,

NABC=NACB,

AZODB=ZACB,

.,.0D/7AC.

,；DE是。。的切線，OD是半徑，

ADEXOD,

ADEXAC；

(2)如圖,過點(diǎn)。作OHLAF于點(diǎn)H,則NODE=NDEH=NOHE=90。,

???四邊形ODEH是矩形，

.\OD=EH,OH=DE.

設(shè)AH=x.

：DE+AE=8,OD=10,

.*.AE=10-x,OH=DE=8-(10-x)=x-2.

在Rt^AOH中，由勾股定理知：AH2+OH2=OA2,BPx2+(x-2)2=102,

解得Xi=8,X2=-6(不合題意，舍去).

，AH=8.

VOH±AF,

/.AH=FH=1AF,

2

/.AF=2AH=2X8=16.

14.【解答】解：(1)方法一：如圖