壓軸專題12三角形壓軸

背：技法全歸納

知識(shí)考點(diǎn)與解題策略

三角形模型相關(guān)知識(shí)點(diǎn)

一、倍長中線相關(guān)模型：

1、倍長中線型（基本型）

如圖，在AABC中，AD為BC邊上的中線；

證明思路：延長AD至點(diǎn)E,使得AD=DE。若連結(jié)BE,貝!JABDENACDA；

若連結(jié)EC,貝!JAABDmAECD。

2、類中線/中點(diǎn)型①

如圖，在AABC中，D是BC中點(diǎn)；

證明思路：延長FD至點(diǎn)E使DE=FD,貝!UFDBmAEDC。

3、類中線/中點(diǎn)型②

如圖，C為AB的中點(diǎn)；

證明思路：若延長EC至點(diǎn)F,使得CF=EC,連結(jié)AF,貝!）ABCE三AACF；

若延長DC至點(diǎn)G,使得CG=DC,連結(jié)BG,貝！UACDmABCG。

二、截長補(bǔ)短

如下圖，若要求證AB+BD=AC,

1、截長法：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條。

思路：可以在線段AC上截取線段AB，=AB,并連接DB,證明B，C=BD即可。

2、補(bǔ)短法：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。

思路：延長AB至點(diǎn)使得AC=AC,并連接BO,證明BC,=BD即可。

AA

c

D???°、*

DD

///

截長法

*c,

一線三等角（全等或相似）

1、同側(cè)型一線三等角

如圖，ZA=ZCPD=ZB,CP=DP；

證明思路：ZA=ZB,ZC=ZBPD+任一邊相等=ABPD^△ACP.

D

/VA▲卜」

ApBApBAPB

銳角一線三等角直角一線三等角鈍角一線三等角

2、異側(cè)型一線三等角

如圖，Z1=Z2=Z3+任意一邊相等

證明思路：ZCAP=ZPBD,ZC=ZBPD=>ABPDSAACP.

D

D

c

銳角一線三等角直角一線三等角鈍角一線三等角

三、手拉手模型（全等或相似）

1、雙等腰三角形型

這是最為基礎(chǔ)且常見的一種類型。兩個(gè)等腰三角形通過連接它們的底角頂點(diǎn)，形成了一個(gè)簡(jiǎn)單而優(yōu)雅

的手拉手結(jié)構(gòu)。這種模型在解決與等腰三角形相關(guān)的幾何問題時(shí)，具有極高的應(yīng)用價(jià)值。

如圖，AA5C和AOCE均為等腰三角形，C為公共點(diǎn)；連接BE,AO交于點(diǎn)F。

結(jié)論：①AACDmZkBCE；@BE=AD；（3）AACM=/.BFM；④CF平分ZA尸￡＞。

2、雙等腰直角三角形型

在等腰直角三角形中，90度的直角和兩個(gè)相等的銳角為構(gòu)建手拉手模型提供了獨(dú)特的條件。這種模型

在解決與角度和邊長有關(guān)的幾何問題時(shí)，往往能發(fā)揮出意想不到的效果。

如圖，AA3C和AOCE均為等腰直角三角形，C為公共點(diǎn)；連接BE,AO交于點(diǎn)N。

結(jié)論：①"C。三ABCE；@BE=AD；③ZANM=/3CM=90。；⑥CN平分心BND。

3、雙等邊三角形型

等邊三角形由于其特殊的性質(zhì)，使得構(gòu)建出的手拉手模型更加復(fù)雜且富有變化。多個(gè)等邊三角形可以

組合成各種美麗的幾何圖案，如正六邊形、星形等。這些圖案不僅具有觀賞價(jià)值，還是解決某些特定幾何

問題的有力工具。

如圖，A43c和均為等邊三角形，C為公共點(diǎn)；連接BE,AO交于點(diǎn)尸。

結(jié)論：①AACD三A5CE；（2）BE=AD；③ZA尸M=z5CM=60°；④Cb平分NBFO。

4、雙正方形型

如圖，四邊形ABC尸。和四邊形CE尸G都是正方形，C為公共點(diǎn)；連接3G,ED交于點(diǎn)、N。

結(jié)論：①4BCGW4DCE；②BG=DE；（3）Z.BCM^ZJ）NM=90o；④CN平分乙BNE。

四、半角模型

1、正方形半角模型

如圖，四邊形A3C。是正方形，ZECF=45°；

結(jié)論：①4BCE經(jīng)4DCG；②4CEF三4CGF；(3)EF=BE+DF；④AAE尸的周長=248；

⑤CE、CF分另()平分乙BE尸^DzEFDo

2、等腰直角三角形半角模型

如圖，AABC是等腰直角三角形，ZZME=45。；

結(jié)論：①4BADACAF；②4DAE3AFAE；③NEC歹=90°；@DE2=BD2+EC2；

3、等邊三角形半角模型(60°-30°型)

如圖，△ABC是等邊三角形，ZEA￡>=30°；

結(jié)論：①AB/MmACEi；②ADAEmAFAE；(3)z￡CF=120°；($)DE2=(^-BD+EC)2+^BD

4、等邊三角形半角模型(120°-60°型)

如圖，AAJBC是等邊三角形，八臺(tái)。。是等腰三角形，KBD=CD,ZBZ>C=120°,ZEZ>F=60°；

結(jié)論：①4BDE34CDG；②4EDF34GDF；@EF=BE+FC；④4AE尸的周長=243；

5、半角模型（2rz-a型）

如圖，￡BAC=2a,AB=AC,￡DAE=a；

結(jié)論：@ABAD^ACAF；?AEAD^AEAF；（3）ZECF=180O-26ZO

五、對(duì)角互補(bǔ)模型

1、“共斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型（異側(cè)型）

如圖，已知ZAO3=ZDCE=90。，OC平分ZAO3.

結(jié)論：①CD=CE,②O0+OE=V^OC,③5/6?+&0理=

證明示例：

（證法一）如圖（中），過點(diǎn)C作CALLOA于點(diǎn)V,CNLOB于點(diǎn)N.

「0C平分ZAOB,.?.CM=CN（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等），

在正方形MONC中，由題意可得NMCN=36（T-NCMO-ZAO3-NCNO=90。，：5CD+ADCN=90。,

又???Z￡）CE=9O°,..AECN+/.MCD=90°,："CD=AECN,

.■■ACDM^ACEN,..CD=CE,二結(jié)論①成立；

v/2

???四邊形MONC為正方形，.?.OM=ON=與一OC,

又vOD+OE=OD+ON+NE=OD+ON+DM=OM+ON,..OD+OE=^/2OC,二結(jié)論②成立；

SoDCE=S正方形AfCW。=OM-ON=（警0。）=（002,結(jié)論③成立.

（證法二）如圖（后），過點(diǎn)C作CF1OC交05于點(diǎn)F,

：0C平分ZAOB,.?.ZDOC=ZEOC=45。，.必。。尸是等腰直角三角形，

..CO=CF,乙CFO=LCOD=45°,

又???Z?￡）CO+ZOCE=NECF+NOCE=90°,：.ADCO=AECF,..ACOD^CFE,

：.OD=EF,C0=CE,.?.結(jié)論①成立；

??????△co尸是等腰直角三角形，.??。尸=OC；

又^.^O。+OE=E尸+。E=O尸，.?.。。+。E=V^OC,.^.結(jié)論②成立；

S&OCD+S&OCE=S等腰及△COP=x0C-CF=-OC^，二結(jié)論③成立.

2、“斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型（同側(cè)型）

如圖，已知NOCE的一邊與A0的延長線交于點(diǎn)O,ZAOB=ZDCE=90°,0C平分NA0R

結(jié)論：①CD=CE,②OE-OD=OC,③S^OE—S^COD=1oC/2.

證明示例：

如圖，過點(diǎn)C作CTLOA,CG±OB,垂足分別為尸、G.

由角平分線性質(zhì)可得Cb=CG,.?.四邊形CFOG為正方形,

,.?/l+N2=90°,Z3+Z2=90°,.*.Z1=Z3,/.ACDF^ACEG,

：.CD=CE,結(jié)論①成立；

在正方形C尸。G中，OF=OG=W—OC,

,：OE-OD=OG+GE-OD=OG+FD~OD=OG+OF,：.OE~OD=2XOC=y/2OC,結(jié)論②成

立；

2

■-SACOE-SACOD=^OE-OG-^OD-CF=春OF(OE—OD)=^^-OCXy/2OC=1oc

3、等邊三角形對(duì)120°模型

如圖，已知ZA05=2ZDCE=120。，OC平分ZA08.

=

結(jié)論：①CZ)=CE,②OZ)+OE=OC,③S4COD+S/\COEOC2.

證明示例：

如圖，過點(diǎn)C作CFLOA,CG1OB,垂足分別為尸、G.

由角平分線性質(zhì)可得C^=CG,在四邊形。尸CG中，NBCG=60。，

VZFCD+ZDCG=ZGCE+ZDCG=6Q°,：.ZFCD=ZGCE,：.ACDF^ACEG(ASA),

：.CD=CE,結(jié)論①成立；

在RtACOFRt/\COG中，ZCOF=ZCOG=60°,：.OF=OG=:OC,

XVOD+OE=OD+OG+EG=OD+OG+DF=OF+OG,：.OD+OE=2XOC=OC,結(jié)論②成立；

S^COD+SACOE=2sACOG=2X^OG-CG=^OCXOCOC2,結(jié)論③成立.

4、2a對(duì)180。-2a模型

如圖，已知NAO3=2a,ZDCE=180°—2a,OC平分NAOR

2

結(jié)論：?CD=CE,?OD+OE^2OC?cosa,@SACOD+S^COE=OC-sina-cosa.

5、蝴蝶型對(duì)角互補(bǔ)模型

如圖，AP^BP,ZAOB=ZAPB

結(jié)論：OP平分ZAOB的外角。

I

子」典題固基礎(chǔ)

例題1（2023?江蘇揚(yáng)州?二模）給出一個(gè)新定義：有兩個(gè)等腰三角形，如果它們的頂角相等、頂角頂點(diǎn)互相

重合且其中一個(gè)等腰三角形的一個(gè)底角頂點(diǎn)在另一個(gè)等腰三角形的底邊上，那么這兩個(gè)等腰三角形互為“友

好三角形

（D如圖①，VABC和VADE互為“友好三角形”，點(diǎn)。是BC邊上一點(diǎn)（異于8點(diǎn)），AB=AC,AD=AE,

ZBAC=ZDAE=m0,連接CE,貝UCEBD（填或“=”或“>”），ZBCE=°（用含機(jī)的代數(shù)式表

示）；

（2）如圖②，VABC和VADE互為“友好三角形”，點(diǎn)。是BC邊上一點(diǎn)，AB=AC,AD=AE,

NBAC=/ZME=60。，M、N分別是底邊3C、上的中點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)骄?N與CE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）如圖③，VABC和VADE互為“友好三角形”，點(diǎn)。是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，AB=AC,AD^AE,

ZBAC=ZDAE=90°,BC=6,過。點(diǎn)作交直線CE于尸點(diǎn)，若點(diǎn)。從8點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，直接

寫出廠點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長.

練新題型特訓(xùn)

1.（2024?江蘇無錫?二模）如圖，四邊形ABC。中，ADA.DC,AD=CD,ZABC=45。，AB+—BC=672.

4

連接應(yīng)），則線段3。的最小值為.

B

2.（2024?江蘇鹽城?三模）如圖，在梯形A38中，AD//BC,BC1CD,BC=6,CD=4,。是BC的

中點(diǎn)，尸是邊CD上一動(dòng)點(diǎn)，將△OCP沿OP翻折得△OCP,連接C'。，在C'。左側(cè)有一點(diǎn)E,使得AC'DE

為等腰直角三角形，且NZ）C￡=90。，連接CE.則CE的最小值為.

3.（2024.江蘇宿遷?二模）如圖，RtA4BC中，ZACB=90°,tanA=2,AC=2逐,以BC為直徑作圓,

圓心為0,過圓上一點(diǎn)。作直線A3的垂線，垂足為E,則AE+DE的最大值是.

4.（2024.江蘇淮安.模擬預(yù)測(cè)）如圖1,VABC中，BA=BC=5,tanZA=2,點(diǎn)。是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E

是射線54上一動(dòng)點(diǎn)，將Va）E沿DE翻折至△WE.

備用圖

(1)AC=；tan/_B=

⑵當(dāng)點(diǎn)E在線段54上運(yùn)動(dòng)時(shí).

①當(dāng)點(diǎn)5'落在AC上時(shí)，求BE的長;

②當(dāng)￡B'〃AC時(shí)，求3E的長；

⑶如圖2連接C&,整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)工訕二生叵時(shí)，直接寫出班的長一.

16

4

5.（2023?江蘇淮安?三模）如圖，在口ABCD中，AB=5,AD=13ftan/B=§,點(diǎn)p是5c邊上一動(dòng)點(diǎn),

將AAPB沿著AP翻折，得到AAPB'.直線PB'和AD邊所在直線交于點(diǎn)K.

（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)夕恰好落在3C邊上時(shí)，求3尸的長.

⑵①如圖②，當(dāng)點(diǎn)B'落在口ABCD內(nèi)部時(shí)，試探索AK、PB、KB'的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

②當(dāng)點(diǎn)B'落在nA5c。外部時(shí)，①中探索的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？若成立，請(qǐng)說明理由；若不成立，請(qǐng)直接寫

出新的數(shù)量關(guān)系.

（3）當(dāng)點(diǎn)9恰好落在AD邊上時(shí)，點(diǎn)尸的位置記為4.當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)外運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，直接寫出點(diǎn)K的運(yùn)動(dòng)路

徑長.

6.（2024?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測(cè)）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1,在AABC與ACDE中，AC=BC,CD=CE,

ZACB=ZDCE,連接AD,BE；求證：AACD'BCE；

【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2,在AABC與ACDE中，AC=BC,CD=CE,ZACB=NDCE=90。,連接AD,

BE,A、D、E三點(diǎn)在一條直線上，BC與DE交于點(diǎn)、F；

①求的大??；

②若DF=3E/且3E=2,求ABCE的面積;

【拓展提高】（3）如圖3,在AABC與ACDE中，AC^BC,CD=CE,ZACB=/DCE=90。，點(diǎn)、G為DE

的中點(diǎn)，AE交BC于點(diǎn)H,連接GH,若GH上AB,且5小的為18,求C”的長.

7.（2023?江蘇淮安?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=BC,點(diǎn)。為AB邊上一點(diǎn)，連

結(jié)CD,過點(diǎn)B作3E_LCD交CD的延長線于點(diǎn)E.

（1）如圖1,若NBCE=2NDBE,求ZACD的度數(shù)；

（2）如圖2,延長到點(diǎn)尸使跳=CE,分別連結(jié)C/,AF,AF交EC于點(diǎn)G.試探索砥與EG的關(guān)系；

（3）如圖3,若AC=AD,點(diǎn)M是直線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)將線段繞點(diǎn)。順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。

得到線段點(diǎn)尸是AC邊上一點(diǎn)，AP=3PC,。是線段CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)尸。，QM'.當(dāng)尸Q+Q”

的值最小時(shí)，請(qǐng)直接寫出/尸加，的度數(shù).

8.（2024?江蘇無錫?模擬預(yù)測(cè)）【教材呈現(xiàn)】如圖，在VABC中，點(diǎn)￡）、E分別A3與AC的中點(diǎn).則OE與

BC的關(guān)系是。E||8C,DE=-BC；

2

AD

G

~FC

圖⑶

【感知】如圖1,在矩形ABC。中，點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)M為A8邊上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，連結(jié)MN、

OM、ON.MN//AC,/OAW與NOMW的數(shù)量關(guān)系是

【應(yīng)用】如圖2,在Rt^ABC中，ZABC=90°,AB=BC=4,AD,CE是RtAABC的中線，M.N分

別是AD和CE的中點(diǎn)，求知N的長;

【拓展】如圖3,在平行四邊形ABC。中，點(diǎn)E為AB邊上一點(diǎn)，連接CE,點(diǎn)尸在CE上，BE=EP=CP=2,

Ap

點(diǎn)G是的中點(diǎn)，連接AG交于點(diǎn)尸，若點(diǎn)尸為BC的中點(diǎn)，ZFGP=60°,連接AP,求訴的值.

BC

9.(2024.江蘇淮安?模擬預(yù)測(cè))小明學(xué)習(xí)完《等腰三角形》一章后，登錄百度網(wǎng)站搜索了等腰直角三角形

的一些性質(zhì).百度網(wǎng)站具體顯示如下:

等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)：穩(wěn)定性，兩直角邊相等，直角邊與斜邊的

夾角為銳角45。，斜邊上中線角平分線垂線三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R,那么

設(shè)內(nèi)切圓的半徑r為1,則外接圓的半徑R就為0+1，所以r：R=l：＞/2+l

圖1

【新知研究】

(1)如圖1,在VABC中，D、E分別是BC、AC的中點(diǎn)，ZB=45°,則N￡DC=_；

【拓展提升】

(2)如圖2,在VA3C中，AC=8,射線AGJLAC,3為射線AG上一動(dòng)點(diǎn)，E是的中點(diǎn)，DE//AB,

ZFED=45°,設(shè)=41■的面積為V,求,與了之間的函數(shù)表達(dá)式;

【綜合運(yùn)用】

(3)如圖3,在等腰RtAABC中，ZA=90°,AB=12,點(diǎn)尸在邊AB上，D、E分別為BC、PC的中點(diǎn),

連接DE,過點(diǎn)E作3C的垂線，與BC,AC分別交于凡G兩點(diǎn)，連接ZJG,交PC于點(diǎn)H.

①尸E與DG存在怎樣的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；

②直接寫出三的最大值.

10.（2024.江蘇南京.三模）解決幾何問題時(shí)常常通過圖形變換構(gòu)造相似（全等）三角形等，從而快速獲得

解決問題的途徑

（1）如圖①，在四邊形ABCD中，ZBAD=ZBCD=90°,AB=AD,連接AC,寫出BC、CD與AC之間的數(shù)

量關(guān)系，并說明理由.

(2)如圖②，80是四邊形ABCD的對(duì)角線.=3,BC=2,應(yīng)>=6,/ABC=60。,NADC=30。，求4AT>2+gen?

的值.

②

（3）如圖③，在等腰RtAABC中，NACB=90。，點(diǎn)D,E分別在邊AC,8c上，CE=43CD,點(diǎn)尸在VABC內(nèi),

連接PA,尸ZPAC+ZPBC=45°,若鉆=2,則6尸。+PE的最小值是.

11.（2024?江蘇徐州三模）將矩形A5CD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形AB'C'D,旋轉(zhuǎn)角為a（0°<aW90。）,

連接

(1)【探究1】如圖1,當(dāng)￡=90。時(shí)，點(diǎn)C'恰好在30延長線上.若AB=1,求BC的長;

(2)【探究2】如圖2,連接AC',過點(diǎn)。作。'加||AC交8。于點(diǎn)線段DM與ZW相等嗎？請(qǐng)說明理

由；

(3)【探究3】在探究2的條件下，射線OB分別交AD',AC于點(diǎn)P,N(如圖3),請(qǐng)寫出線段DV、MN、

PN之間的數(shù)量關(guān)系？并說明理由.

12.(2024.江蘇揚(yáng)州?一模)如圖1,在等腰VABC中，AB=AC=6,NBAC=0,點(diǎn)。是邊AC上一點(diǎn)(不

與點(diǎn)A、C重合)，連接80,將△ABD沿80翻折得△EBD,連接CE.

(1)若a=120。，解決下列問題：

①當(dāng)點(diǎn)E落在邊BC上時(shí)，DE與CD的關(guān)系是；

②當(dāng)〃CB時(shí)，請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)作出點(diǎn)。的位置；

(2)如圖2,①當(dāng)點(diǎn)E落在邊BC上，且ACDE為等腰三角形時(shí)，求a的值；

②當(dāng)點(diǎn)。在邊AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在點(diǎn)E落在邊AC上，則。的取值范圍是

13.(2024?江蘇淮安?一模)探究式學(xué)習(xí)是新課程倡導(dǎo)的重要學(xué)習(xí)方式，我們做以下探究.

AF)1

在RtZXABC中，ZC=90°,AC=BC,。是AB邊上一點(diǎn)，且一=—(〃為正整數(shù))，E、尸分別是邊AC

BDn

和邊8C上的點(diǎn)，連接。區(qū)Z)尸，且NEDF=90。.

【初步感知】(1)如圖1,當(dāng)〃=1時(shí)，興趣小組探究得出結(jié)論：AE+BF=—AB,請(qǐng)寫出證明過程.

2

【深入探究】(2)①如圖2,當(dāng)〃=2,試探究線段AE,BF,A3之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出結(jié)論并證明；

②請(qǐng)通過類比、歸納、猜想，探究出線段AE,BF,A8之間數(shù)量關(guān)系的一般結(jié)論(直接寫出結(jié)論，不必

證明).

【拓展運(yùn)用】(3)如圖3,點(diǎn)。為靠近3的四等分點(diǎn)，連接￡尸，設(shè)砂的中點(diǎn)為若42=4近，求點(diǎn)

E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過程中，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)“運(yùn)動(dòng)的路徑長.

14.(2024?江蘇鎮(zhèn)江.二模)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C］：＞="2+法+?(。＞0)經(jīng)過點(diǎn)A(O,-3)、8(3,0)

和D(r,0).

⑴用含a的代數(shù)式表示b與t；

(2)若直線x=2與此拋物線交于點(diǎn)P,OP平分ZAPS,求點(diǎn)P坐標(biāo)；

(3)若以。為位似中心，將放大后得△AED,其中A'(0,-6),"(6,0),拋物線G過A、B'、以.

①直接用。表示拋物線C2的表達(dá)式；

②拋物線Q與x軸的交點(diǎn)為訊過點(diǎn)O的直線交無軸下方的拋物線G,C2分別為“、/'，若AMBB，sjWDD,

直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo).

4

15.(2024?江蘇無錫?三模)如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=6,AB=5,sinZB=-,E為BC邊上

的一動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)/從點(diǎn)8出發(fā)，沿著3-A-。的方向，以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/

秒，作B點(diǎn)關(guān)于直線所的對(duì)稱點(diǎn)8'.

備用圖

(1)當(dāng)點(diǎn)E在BC中點(diǎn)處，且F在線段48上時(shí)，若與四邊形ABCD重疊部分為直角三角形，求I的值;

(2)若點(diǎn)E與點(diǎn)b同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)E在線段BC上，以每秒0.5個(gè)單位的速度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)(0<fWll),

記線段跖與線段8。的交點(diǎn)為M,設(shè)的面積為s,求s與/的函數(shù)表達(dá)式.

16.(2024.江蘇泰州?二模)問題背景：蘇科版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材第95頁“探索研究”

(1)如圖1,正方形ABC。的對(duì)角線AC、3D相交于點(diǎn)。，正方形A'g'C'。'的頂點(diǎn)4與點(diǎn)。重合.將正方

形AB'C'D繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，在這個(gè)過程中，這兩個(gè)正方形重合部分的面積是正方形A58面積的

問題遷移：

(2)等邊三角形ABC的中線AD,8相交于點(diǎn)O,先將△OA3繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。。(0°<?！?lt;120。)，再

沿線段Q4方向平移，得到AO'A力，點(diǎn)O、A、8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為O'、A\B',且OO'=hO'A,在這個(gè)過

程中，AO'AZ'的邊O'A,05所在射線分別交AB,BC于點(diǎn)N.

①如圖2,當(dāng)。與。'重合時(shí)，求證：O'M=O'N；

②如圖3,當(dāng)左=:時(shí)，判斷O'M和O'N之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

問題拓展:

③如圖4,連接MN,記VA2C周長為P,在a、4的變化過程中，存在a、％的值，使得MN平分VABC的

MNMN

周長，此時(shí)，一的結(jié)果是否會(huì)發(fā)生變化？如不變，請(qǐng)求出其值；如變化，求出一的最小值.

PP

17.(2024?江蘇宿遷?三模)在VA5c中，AC=BC=2,ZACB=90°,。為平面上一動(dòng)點(diǎn)，且。=40,

將CD繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到EO,連接AE,CE.

圖1圖2

(1)如圖1,點(diǎn)。在AC左上方，且NACD=15。，則ZBCE=_。，AE=_；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)A在內(nèi)部且A、B、E三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，求AE的長度；

⑶當(dāng)△河的面積正整數(shù)時(shí)，求出滿足條件的點(diǎn)。的個(gè)數(shù).

18.(2024?江蘇無錫?一模)如圖1,在菱形ABCZ)中，AB=2,48=60。，點(diǎn)F為CD邊上的動(dòng)點(diǎn).

(1)E為邊AD上一點(diǎn)，連接E尸，將ADEF沿所進(jìn)行翻折，點(diǎn)。恰好落在BC邊的中點(diǎn)G處，

①求DE的長；

②求tan/GRC的值.

(2)如圖2,延長C。到M,使DW=D尸，連接與AF,BM與AF交于點(diǎn)、N,連接DN,設(shè)。E=x(x>。)，

DV=y,求>關(guān)于尤的函數(shù)表達(dá)式；當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)。沿。C方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，直接寫出點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)路徑的長.

19.如圖：已知RtVABC,/ACB=90。，點(diǎn)O是A2的中點(diǎn)，過A、C兩點(diǎn)向經(jīng)過點(diǎn)。的直線作垂線，垂足

分別為E、F.

圖1圖2

⑴當(dāng)NABC=45。時(shí)（如圖1）,求證：EF=AE+CF；

⑵當(dāng)ZABC=30。時(shí)（如圖2）,探究線段所、AE、CF之間數(shù)量關(guān)系為；

⑶在（2）的條件下，AE=9,.S四邊形皿=246，連接BF并延長與AC的延長線相交于點(diǎn)M，求線段取的

長.

壓軸專題12三角形壓軸

司技法全歸納

知識(shí)考點(diǎn)與解題策略

三角形模型相關(guān)知識(shí)點(diǎn)

一、倍長中線相關(guān)模型：

1、倍長中線型（基本型）

如圖，在AABC中，AD為BC邊上的中線；

證明思路：延長AD至點(diǎn)E,使得AD=DE。若連結(jié)BE,貝（UBDEmACDA；

若連結(jié)EC,貝（lAABD三AECD。

2、類中線/中點(diǎn)型①

如圖，在AABC中，D是BC中點(diǎn)；

證明思路：延長FD至點(diǎn)E使DE=FD,貝！UFDBmAEDC。

3、類中線/中點(diǎn)型②

如圖，C為AB的中點(diǎn)；

證明思路：若延長EC至點(diǎn)F,使得CF=EC,連結(jié)AF,則ABCEmAACF；

若延長DC至點(diǎn)G,使得CG=DC,連結(jié)BG,貝！UACDmABCG。

六、截長補(bǔ)短

如下圖，若要求證AB+BD=AC,

1、截長法：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條。

思路：可以在線段AC上截取線段AB，=AB,并連接DB,證明B，C=BD即可。

2、補(bǔ)短法：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。

思路：延長AB至點(diǎn)使得AC=AC,并連接BC，，證明BC，=BD即可。

七、一線三等角（全等或相似）

1、同側(cè)型一線三等角

如圖，ZA=ZCPD=ZB,CP=DP；

證明思路：ZA=ZB,ZC=ZBPD+任一邊相等寸ABPDmAACP.

銳角一線三等角直角一線三等角鈍角一線三等角

2、異側(cè)型一線三等角

如圖，Z.1=Z.2=Z3+任意一邊相等

證明思路：ZCAP=ZPBD,ZC=ZBPD=>ABPDSAACP.

銳角一線三等角直角一線三等角鈍角一線三等角

八、手拉手模型（全等或相似）

1、雙等腰三角形型

這是最為基礎(chǔ)且常見的一種類型。兩個(gè)等腰三角形通過連接它們的底角頂點(diǎn)，形成了一個(gè)簡(jiǎn)單而優(yōu)雅

的手拉手結(jié)構(gòu)。這種模型在解決與等腰三角形相關(guān)的幾何問題時(shí)，具有極高的應(yīng)用價(jià)值。

如圖，AAeC和AOCE均為等腰三角形，C為公共點(diǎn)；連接5E,40交于點(diǎn)凡

結(jié)論：①AACDdBCE；②BE=AD；（3）^ACM=￡BFM；④平分ZA尸。。

2、雙等腰直角三角形型

在等腰直角三角形中，90度的直角和兩個(gè)相等的銳角為構(gòu)建手拉手模型提供了獨(dú)特的條件。這種模型

在解決與角度和邊長有關(guān)的幾何問題時(shí)，往往能發(fā)揮出意想不到的效果。

如圖，AABC和均為等腰直角三角形，。為公共點(diǎn)；連接BE,AO交于點(diǎn)N。

結(jié)論：?AAC￡）SABCE；@BE=AD；③ZANM=MCM=90。；④CN平分MN。。

3、雙等邊三角形型

等邊三角形由于其特殊的性質(zhì)，使得構(gòu)建出的手拉手模型更加復(fù)雜且富有變化。多個(gè)等邊三角形可以

組合成各種美麗的幾何圖案，如正六邊形、星形等。這些圖案不僅具有觀賞價(jià)值，還是解決某些特定幾何

問題的有力工具。

如圖，AA3c和AOCE均為等邊三角形，C為公共點(diǎn)；連接BE,AD交于點(diǎn)尸。

結(jié)論：①AACD三ABCE；@BE=AD；（3）AAFM=Z.BCM=60°；④CF平分尸。。

4、雙正方形型

如圖，四邊形A8C尸。和四邊形CEFG都是正方形，C為公共點(diǎn)；連接3G,交于點(diǎn)N。

結(jié)論：①4BCGZ4DCE；②BG=DE；（3）^BCM=ADNM=90°；④CN平分N5NE。

九、半角模型

1、正方形半角模型

如圖，四邊形A3C。是正方形，ZECF=45°；

結(jié)論：①4BCE毛4DCG；?ACEFSACGF；（3）EF=BE+DF；④AAE歹的周長=2AB；

⑤CE、CF分另IJ平分乙BEF和乙E尸。。

2、等腰直角三角形半角模型

如圖，AABC是等腰直角三角形，H4E=45。；

結(jié)論：①4BAD3ACAF；②4DAEKFAE；@ZECF=90°；@DE2=BD2+EC2；

3、等邊三角形半角模型（60°-30°型）

如圖，△ABC是等邊三角形，ZEAD=30°；

結(jié)論：（r）^BDA^ACFA；②ADAENAFAE；@ZECF=120°；@DE2^（^BD+EC）2+^HBD；

4、等邊三角形半角模型（120°-60°型）

如圖，AABC是等邊三角形，A5DC是等腰三角形，KBD=CD,ZBZ）C=120o,ZEZ>F=60°；

結(jié)論：①ABDEmACDG；②4EDF三4GDF；@EF^BE+FC；④&AEF的周長=248；

⑤DE、O尸分另U平分ZBE尸和NEFC。

5、半角模型（2a-a型）

如圖，ABAC=2a,AB=AC,Z-DAE=a；

結(jié)論：?ABADSACAF；?AEADSAEAF；（3）ZECF=180°-2ao

十、對(duì)角互補(bǔ)模型

1、“共斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型（異側(cè)型）

如圖，已知ZA05=ZDCE=9O。，OC平分ZA。8

結(jié)論：?CD=CE,@OD+OE=^2OC,OCD+SAOCE

（證法一）如圖（中），過點(diǎn)C作CM_LOA于點(diǎn)M,CNLOB于點(diǎn)N.

???0C平分乙403,:.CM=CN（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等），

在正方形M0NC中，由題意可得/河6=360。一/（"/。一乙4。5—/?？伞?90。，.?口區(qū)5+4版=90。,

又?.2OCE=90。，.-.Z.ECN+LMCD=90°,:心CD=AECN,

..ACDM^CEN,:.CD=CE,二結(jié)論①成立；

A/2

???四邊形MONC為正方形，???OM=ON=-與一OC,

X--OD+OE=OD+ON+NE=OD+ON+DM=OM+ON,..OD+OE=v/2OC,二結(jié)論②成立；

???S°DCE=s正方形：=0M?0N=忖0）=（0。2,...結(jié)論③成立.

（證法二）如圖（后）,過點(diǎn)C作CRLOC交05于點(diǎn)F,

???0C平分ZAOB,.?.ZDOC=ZEOC=45°,.以。。尸是等腰直角三角形，

..CO=CF,Z.CFO=Z.COD=45°,

又???Z￡）CO+NOCE=ZEC尸+/OCE=90°,：./.DCO=AECF,..ACOD^ACFE,

：.0D=EF,C0=CE,.?.結(jié)論①成立；

"..hCOF是等腰直角三角形，二0尸=y/20C；

y.：0D+0E=EF+0E=OF,..OD+OE=0C,二結(jié)論②成立；

SAOCD+S&OCE=S等腰及ACOF=~^OC-CF=-0C~,二結(jié)論③成立.

2、“斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型（同側(cè)型）

如圖，已知NOCE的一邊與A0的延長線交于點(diǎn)O,ZAOB=ZDCE=9Q°,0c平分NA。氏

2

結(jié)論：①CD=CE,②OE-OD=y/2OC,?S^COE-S.OD=^0C.

證明示例：

如圖，過點(diǎn)C作CT_LQ4,CG±0B,垂足分別為尸、G.

由角平分線性質(zhì)可得CF=CG,.?.四邊形CF0G為正方形，

?；N1+N2=9O°,N3+N2=90",二/1=/3,:ACDF/ACEG,

：.CD=CE,結(jié)論①成立；

A/2

在正方形C/0G中，。尸=0G=—0C,

'：0E-0D=0G+GE-0D=0G+FD-0D=0G+0F,：.OE~OD=2XOC=y/2OC,結(jié)論②成

立；

?0COE-SACOD=、OE-OG-^OD-CF=劍F(OE-OD)=jx^ocxy/20C=1oc2

3、等邊三角形對(duì)120°模型

如圖，已知乙4O3=2〃)CE=120。，0c平分乙408.

=2

結(jié)論：①CD=CE,②。Z)+0E=0C,③S/XCOD+^/\COE0C.

證明示例:

如圖，過點(diǎn)C作CFLOA,CG±OB,垂足分別為歹、G.

由角平分線性質(zhì)可得C^=CG,在四邊形。尸CG中，ZFCG=60°,

VZFCD+ZDCG=ZGCE+ZDCG=60°,：.ZFCD=ZGCE,:./\CDF義MEG(ASA),

：.CD=CE,結(jié)論①成立；

在RtACOF和Rt/\COG中,NCOF=NCOG=60°,：.OF=OG=OC,

XVOD+OE=OD+OG+EG=OD+OG+DF=OF+OG,：.OD+OE=2XOC=OC,結(jié)論②成立;

S^COD+S&COE=2s;=2XJOG?CG=J。。X苧。。=苧。。2,結(jié)論③成立.

4、2a對(duì)180。-2a模型

如圖，已知NA03=2a,ZDCE=180°-2a,OC平分NAOR

2

結(jié)論：?CD=CE,?OD+OE=2OC,cosa,@SACOD+S^COE=OC-sina-cosa.

5、蝴蝶型對(duì)角互補(bǔ)模型

如圖，AP=BP,ZAOB=ZAPB

結(jié)論：OP平分NAOB的外角。

勤典題固基礎(chǔ)

例題1（2023?江蘇揚(yáng)州?二模）給出一個(gè)新定義：有兩個(gè)等腰三角形，如果它們的頂角相等、頂角頂點(diǎn)互相

重合且其中一個(gè)等腰三角形的一個(gè)底角頂點(diǎn)在另一個(gè)等腰三角形的底邊上，那么這兩個(gè)等腰三角形互為“友

好三角形”.

（1）如圖①，VABC和VADE互為“友好三角形”，點(diǎn)。是BC邊上一點(diǎn)（異于2點(diǎn)），AB=AC,AD^AE,

ZBAC=ZDAE=,rf,連接CE,貝UCEBD（填“〈”或“=”或“>”），ZBCE=°（用含機(jī)的代數(shù)式表

示）；

（2）如圖②，VABC和VADE互為“友好三角形”，點(diǎn)。是BC邊上一點(diǎn)，AB=AC,AD=AE,

ZBAC=ZZME=60°,M、N分別是底邊3C、DE的中點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)骄縈V與CE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）如圖③，VABC和VADE互為“友好三角形”，點(diǎn)。是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，AB=AC,AD=AE,

ZBAC=ZDAE=90°,BC=6,過D點(diǎn)作4。，交直線CE于尸點(diǎn)，若點(diǎn)。從2點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，直接

寫出尸點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長.

【答案】（1）=；（180-〃。

（2）W=—CE,理由見解析

2

（3）f

【分析】（1）先判斷出/54D=/C4E，進(jìn)而判斷出AABD絲AACE（SAS）,得出BD=CE,ZABD=ZACE,

即可得出答案；

（2）在CM上截取S,使8=如，連接EH交AC于K,先判斷出CH=CE,進(jìn)而判斷出MN=EK,

最后利用銳角三角函數(shù)求解，即可得出答案；

（3）過點(diǎn)A作AG,3c于G,則AG=BG=CG=LBC=3,當(dāng)點(diǎn)。在BG上時(shí)，點(diǎn)尸在EC的延長線上,

2

過點(diǎn)8作AB的垂線交EC于尸，，當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)2運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)G時(shí)，點(diǎn)尸從「運(yùn)動(dòng)到C,求出C9=3C=6；

力，「AC

當(dāng)點(diǎn)。在CG上時(shí)，過點(diǎn)％作4y的垂線交CE于L判斷出AADGSADZC,得出下廠=而7，進(jìn)而得出

y=_lL_^+3,判斷出點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)路徑，即可求出答案.

3（2）4

【詳解】（1）解：:NB4C=NO4E=7及。，

???ZBAD+ZCAD=ZCAE+ZCAD,

：.ZBAD=ZCAEf

*.*AB=AC,AD=AE,,

AABD^AACE(SAS),

ABD=CE,ZABD=AACE,

"：NBAC=rn°,

：.ZBCE=ZACB+ZACE=ZACB+ZABC=180°-ABAC=180°-m°=(180-m)°；

故答案為：=；(180-m)；

(2)解:MN=^CE；

2

理由如下：如圖②，

圖②

在CM上截取C",使CH=BD,連接￡7/交AC于K,

:點(diǎn)M是3C的中點(diǎn)，

，BM=CM,

，DM=HM,

:點(diǎn)N是OE的中點(diǎn)，

,DN=EN,

.?.跖V是△。瓦/的中位線，

：.MN=~EH,

2

由(1)知，ZABD=ZACE,

AB=AC,

：.ZABD=ZACB,

：.ZACE=ZACB,

由（1）知，BD=CE,

CH=BD,

???CH=CE,

：.ZCKE=9Q°,EK=-EH,

2

又,：MN==EH,

2

MN=EK,

?：AB=AC,ZBAC=60°,

；.VABC是等邊三角形，

ZACE=ZABD=60°,

在RtAC/^E中，sinZACE=—=sin60°=—,

CE2

?*.EK=—CE

EK=—CE;

(3)解：如圖③，

過點(diǎn)A作AG_L8C于G,貝I]AG=BG=CG=!8c=3,

2

當(dāng)點(diǎn)。在3G上時(shí)，點(diǎn)尸在EC的延長線上，過點(diǎn)8作AB的垂線交EC于廣，當(dāng)點(diǎn)。從點(diǎn)2運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)G時(shí),

點(diǎn)廠從F運(yùn)動(dòng)到C,

?：AB=AC,ABAC=90°,

：.ZACB=ZABC=45°,

：.ZCBF'=45°,

同(1)的方法得，ZACE=ZABD=45°,

：.NBCE=90。,

CF'=BC=6,

當(dāng)點(diǎn)。在CG上時(shí)，過點(diǎn)以作AD的垂線交CE于L

ZAD'G+ZLD'C=90°,

ZD'AG+ZAD'G=90°,

ND'AG=NLD'C,

又「ZAGDr=ZDrCL,

???△AUGs￡jyLC,

.DrG_AG

'~CL~~C^f

設(shè)。G=x,CL=y,貝?。?=3—%,

x?_3_____

"y3-x'

33

當(dāng)x=5時(shí)，即點(diǎn)以在CG的中點(diǎn)時(shí)，-二,

當(dāng)九=3時(shí)，即點(diǎn)以與點(diǎn)。重合時(shí)，y=0,即點(diǎn)以從點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)C點(diǎn)尸從點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到CL最大，再從CL最

大運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C,

3315

點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長為叱+2乂76+5=^

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，相似三角形

的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，二次函數(shù)的應(yīng)用等，第三問有一定