高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省焦作地區(qū)2025屆高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由可解得，所以，由可得，解得且，所以且，所以.故選：C．2.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，可得，所以.故選：D．3.展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A.3 B.-3 C.7 D.-7【答案】D【解析】根據(jù)二項(xiàng)式定理，展開式的通項(xiàng)公式為（其中）．

與展開式中項(xiàng)相乘得到常數(shù)項(xiàng)，令，則，解得．將代入通項(xiàng)公式可得，那么與相乘得到的常數(shù)項(xiàng)為．

與展開式中常數(shù)項(xiàng)相乘得到常數(shù)項(xiàng)，令，則，解得．將代入通項(xiàng)公式可得，那么與相乘得到的常數(shù)項(xiàng)為．

將上述兩部分常數(shù)項(xiàng)相加，可得展開式中的常數(shù)項(xiàng)為．

展開式中的常數(shù)項(xiàng)為．故選：D．4.已知函數(shù)為偶函數(shù)，直線把圓的周長四等分，則圓心的坐標(biāo)可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由為偶函數(shù)知．設(shè)直線與圓E交于點(diǎn)A，B，直線與圓E交于點(diǎn)C、D.則，都是直角．所以點(diǎn)到直線的距離都是，故點(diǎn)E在直線上，只有項(xiàng)符合．故選：．5.已知不同四點(diǎn)滿足，且，且為銳角，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】設(shè)，由得，兩邊平方得，整理得，因?yàn)闉殇J角，所以，即，解得或，所以的取值范圍是.故選：B．6.函數(shù)在上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可得及，解得，所以，故在上單調(diào)遞增，所以，，綜上可得，故選：B.7.過點(diǎn)可作兩條直線與的圖象相切，則b的值不可能是（）A. B.0 C.e D.2e【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，設(shè)切點(diǎn)為，則切線斜率，整理得，設(shè)，問題轉(zhuǎn)化為直線與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)椋睿獾没?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，且時(shí)，時(shí)，，所以或，故選：D.8.已知正方體的棱長為2，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若點(diǎn)E，A，C，都在球的表面上，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由正方體的性質(zhì)可知，平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，同理可證，，平面，所以平面，設(shè)，則為的中點(diǎn)，設(shè)，由正方體的對稱性易知為等邊的中心心，如圖所示，球心在上，設(shè)，，，所以，所以，，所以，因?yàn)榍虻陌霃剑?，解得，所以，則球表面積為.故選：A．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知雙曲線，則（）A.C的離心率為B.C的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為1C.直線與C只有一個(gè)公共點(diǎn)D.若過C的焦點(diǎn)與x軸垂直的直線與C交于兩點(diǎn)A，B，則【答案】BC【解析】雙曲線中，，，，，A錯(cuò)誤；設(shè)C的一個(gè)焦點(diǎn)為，一條漸近線為，則F到直線的距離為，B正確；直線與C的一條漸近線平行，與C只有1個(gè)公共點(diǎn)，C正確；若過C的焦點(diǎn)與x軸垂直的直線與C交于兩點(diǎn)A，B，則，D錯(cuò)誤，故選：BC．10.若，則（）A. B.x，y不能同時(shí)為整數(shù)C. D.【答案】ABD【解析】對于A，由，且，得，，A正確；對于B，由選項(xiàng)A知，若，則，取，則，；當(dāng)時(shí)，，則，；同理當(dāng)時(shí)，，因此不能同時(shí)為整數(shù)，B正確；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，則，，，C錯(cuò)誤；對于D，由，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，時(shí)取等號，因此，D正確．故選：ABD11.已知數(shù)列是等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，且時(shí)最小，則B.若，，則的最大值為56C.若，則的最大值為D若，且最小，則【答案】BCD【解析】對于A，因?yàn)闀r(shí)最小，所以，即，所以，故A錯(cuò)誤；對于B，設(shè)的公差為，則由得，由得，所以，故B正確；對于C，因?yàn)?，所以，即，把該式看作關(guān)于的一元二次方程，則，解得，所以，故C正確；對于D，由題意得，故，因?yàn)樽钚。?，即，故D正確．故選：BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為9，方差為36，則另一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為________，方差為________．【答案】①.2②.4【解析】因?yàn)閿?shù)據(jù)中位數(shù)為9，方差為36，所以數(shù)據(jù)的中位數(shù)為3，方差為，所以數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，方差為4．故答案為：2；4.13.已知橢圓的左頂點(diǎn)為A，上，下頂點(diǎn)分別為B，C，右焦點(diǎn)為F，直線與交于點(diǎn)P，若，則________．（S表示面積）【答案】3【解析】設(shè)，由已知得直線的方程為，直線的方程為，兩直線方程聯(lián)立，可解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為．由，得，可得，整理得，即，解得，所以P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，得．所以．故答案為：3.14.函數(shù)滿足：對任意，，且，則的最小值是________．【答案】3900【解析】因?yàn)?，所以，設(shè)，那么，因?yàn)?，所以，即，則，取，得到，所以.所以，所以的最小值是3900．故答案為：3900.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程及演算步驟.15.已知中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，．（1）若在上單調(diào)遞增，求c的取值范圍；（2）若，，求的最大值．解：（1）．當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以，可得c的取值范圍為．（2），，，，是三角形內(nèi)角，，所以，得，由余弦定理：；即，可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，取得最大值．16.如圖，在三棱臺中，平面，，，，點(diǎn)D為中點(diǎn)，點(diǎn)E在上，且．（1）證明：平面；（2）若，點(diǎn)A到平面的距離為，求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平面，因?yàn)?，點(diǎn)D為中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，所以，故，因?yàn)椋裕?，因?yàn)?，，平面，所以平?（2）解：因?yàn)辄c(diǎn)D為中點(diǎn)，且點(diǎn)A到平面的距離為，所以由（1）點(diǎn)C到直線的距離為，所以，即，解得，所以，，連接，則由上可知，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則，，，，則，，設(shè)平面的法向量為，則有，得，取，得．由（1）知是平面的法向量．設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為．17.已知某科技公司產(chǎn)品的一個(gè)零部件分別在甲、乙兩個(gè)代工廠生產(chǎn)，甲工廠的日產(chǎn)量是乙工廠日產(chǎn)量的兩倍，甲工廠生產(chǎn)的零部件次品率是0.06，乙工廠生產(chǎn)的零部件次品率是0.03．（1）從某天甲、乙兩個(gè)工廠生產(chǎn)的所有零部件中隨機(jī)抽取1件，若檢測該零部件為次品，求該零部件是甲工廠生產(chǎn)的概率；（2）用頻率代替概率，從某天甲，乙兩個(gè)工廠生產(chǎn)的所有零部件中隨機(jī)抽取3件，記這3件中正品與次品的個(gè)數(shù)分別為X，Y，，求的分布列與期望；（3）甲工廠為提高產(chǎn)品正品率，進(jìn)行了技術(shù)改進(jìn)，從改進(jìn)后的第1個(gè)月開始，第個(gè)月的次品率y（單位：％）如表：x12345y585.44.84.54.0根據(jù)上表數(shù)據(jù)求得y關(guān)于x的回歸直線方程為，求相關(guān)系數(shù)r，并判斷該回歸直線方程是否有價(jià)值．附：，，．．若，則認(rèn)為回歸直線方程有價(jià)值．（1）設(shè)“抽取的零部件為甲工廠生產(chǎn)”為事件，“抽取的零部件為乙工廠生產(chǎn)”為事件，“抽取的零部件為次品”為事件B，則，，，，所以，檢測該零部件為次品，則該零部件是甲工廠生產(chǎn)的概率為.（2）用頻率代替概率，從某天甲、乙兩個(gè)工廠生產(chǎn)的所有零部件中隨機(jī)抽取3件，則正品數(shù)，，，的取值依次為-3，-1，1，3，，，，．所以的分布列為-3-113P0.0001250.0071250.1353750.857375，.（3）由的取值依次為1，2，3，4，5，得，，因?yàn)榛貧w直線方程為，所以，所以，所以．因?yàn)?，所以該回歸直線方程有價(jià)值．18.已知F為拋物線的焦點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)，且．（1）求t的值及拋物線E的方程；（2）不過原點(diǎn)O的直線與拋物線E交于不同兩點(diǎn)P，Q，若，求a的值；（3）如圖，過點(diǎn)作兩條直線與拋物線E交于A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)，且，求直線與的交點(diǎn)H的坐標(biāo)．解：（1）拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，由拋物線定義可知，∴，所以拋物線E的方程為．將代入拋物線方程可得．（2）設(shè)，，聯(lián)立得，則，所以，由韋達(dá)定理可知，．因?yàn)?，所以，則，∴，即，解得或．又當(dāng)時(shí)，直線過原點(diǎn)O，不符合題意，舍去，故.（3）顯然直線的斜率都存在，設(shè)，則，同理，，，，，因?yàn)榍叶歼^，故且，，故且，故，所以，同理，故，故，故或，若，則，故過，與題設(shè)矛盾；故不成立，故即，故，整理得到，故的方程為：，故直線過，同理過，故.19.已知函數(shù)．（1）求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）若數(shù)列滿足，，．①比較與的大??；②求證：時(shí)，．解：（1）由函數(shù)，可得，令，可得，設(shè)，令，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，由當(dāng)時(shí)，，所以，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以，可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以函數(shù)在上