高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省石家莊市辛集市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期7月期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1、考試時(shí)間120分鐘，滿分150分，另附加卷面分5分.2、答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)的位置.3、全部答案在答題卡上完成，答在本試卷上無(wú)效.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，且，又，，成等差數(shù)列，則的通項(xiàng)公式為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意，設(shè)數(shù)列的公比為，因?yàn)?，所以，解得（?fù)值舍去）；又，，成等差數(shù)列，所以，即，則，解得，.故選：D.2.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，則取最小值時(shí)，的取值為（）A.6 B.7 C.7或8 D.8或9【答案】C【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，所以，所以，所以，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)?shù)娜≈禐?或8時(shí)，取最小值.故選：C3.在數(shù)列中，，，則（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】，時(shí)，，，，，數(shù)列是周期為3的數(shù)列，.故選：A．4.已知隨機(jī)變量服從，若，則（）A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5【答案】C【解析】由題意可得，所以.故選：C.5.某學(xué)校寒假期間安排3名教師與4名學(xué)生去北京、上海參加研學(xué)活動(dòng)，每地要求至少1名教師與2名學(xué)生，且教師甲不去上海，則分配方案有（）A.36種 B.24種 C.18種 D.12種【答案】C【解析】當(dāng)教師甲與2名學(xué)生去北京時(shí)，分配方案共有（種）；當(dāng)教師甲與另一名教師及2名學(xué)生去北京時(shí)，分配方案共有（種），綜上，分配方案共有（種）.故選：C.6.將三顆骰子各擲一次，記事件“三個(gè)點(diǎn)數(shù)互不相同”，事件“至少出現(xiàn)一個(gè)點(diǎn)”，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意可得，，所以.故選：C7.若曲線在處的切線與曲線也相切，則的值為（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】對(duì)曲線，在切點(diǎn)處切線的斜率，所以切線方程為：，對(duì)于曲線，設(shè)切點(diǎn)，則在點(diǎn)處切線的斜率，依題意，即，又點(diǎn)切點(diǎn)在曲線和切線上，即，所以，故選：B.8.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由函數(shù)的圖象可得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，則，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，則．當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，則，由①或②解①得，，解②得，，綜上，不等式的解集為.故選：A．二、多項(xiàng)選擇題：（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.對(duì)于隨機(jī)變量，下列說(shuō)法正確的有（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】ABD【解析】對(duì)于A，若，則，故A正確；對(duì)于B，若，則，故B正確；對(duì)于C，若，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則，故D正確.故選：ABD10.數(shù)列滿足：，，，下列說(shuō)法正確的是（）A.數(shù)列為等比數(shù)列 B.C.數(shù)列是遞減數(shù)列 D.前項(xiàng)和【答案】AB【解析】數(shù)列滿足：，，，，，，數(shù)列為首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列，故正確；，，故B正確；數(shù)列是遞增數(shù)列，故C錯(cuò)誤；數(shù)列的前項(xiàng)和為：，的前項(xiàng)和，故D錯(cuò)誤．故選：AB．11.函數(shù)（a，），下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)，不等式恒成立，則b的取值范圍是B.當(dāng)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則b的取值范圍是C.當(dāng)，函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則b的取值范圍是D.當(dāng)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)且，則值為1．【答案】BCD【解析】對(duì)于AB，當(dāng)，，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，不等式恒成立，即恒成立，所以，所以，所以b的取值范圍是，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，且，如圖，作出函數(shù)的大致圖象，由圖可知，所以b的取值范圍是，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)，，令，由上可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，如圖，作出函數(shù)的大致圖象，由圖可知，當(dāng)或時(shí)，與一一對(duì)應(yīng)，當(dāng)時(shí)，個(gè)對(duì)應(yīng)個(gè)，令，則，令，則，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，如圖，作出函數(shù)的大致圖象，由圖可知，要使函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)在上，另一個(gè)在上，所以，所以，故C正確；對(duì)于D，由C選項(xiàng)知，函數(shù)由兩個(gè)零點(diǎn)，，而函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)且，所以，則，而，所以，所以，所以，故D正確.故選：BCD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________.【答案】【解析】∵，∴，∵函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴在區(qū)間上恒成立，由于在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴必須且只需解得，故答案為：13.的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】的第項(xiàng)通式為，和可以組成常數(shù)，當(dāng)，即時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為，2和可以組成常數(shù)，當(dāng)，即時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為，所以的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：.14.已知，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍___．【答案】【解析】因?yàn)?，所以是上的奇函?shù)，，，所以是上的增函數(shù)，等價(jià)于，所以，所以，令，則，因?yàn)榍叶x域?yàn)?，所以是上的偶函?shù)，所以只需求在上的最大值即可.當(dāng)時(shí)，，，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得：，即.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟15.汽車(chē)尾氣中含有一氧化碳（），碳?xì)浠衔铮ǎ┑任廴疚铮黔h(huán)境污染的主要因素之一，汽車(chē)在使用若干年之后排放的尾氣中的污染物會(huì)出現(xiàn)遞增的現(xiàn)象，所以國(guó)家根據(jù)機(jī)動(dòng)車(chē)使用和安全技術(shù)、排放檢驗(yàn)狀況，對(duì)達(dá)到報(bào)廢標(biāo)準(zhǔn)的機(jī)動(dòng)車(chē)實(shí)施強(qiáng)制報(bào)廢．某環(huán)保組織從相關(guān)部門(mén)獲得某型號(hào)汽車(chē)的使用年限與排放的尾氣中濃度的數(shù)據(jù)，如下表所示：使用年限x246810濃度0.20.20.40.60.7若該型號(hào)汽車(chē)的使用年限不超過(guò)15年，可近似認(rèn)為排放的尾氣中濃度與使用年限x線性相關(guān)．（1）試確定y關(guān)于x的線性回歸方程；（2）預(yù)測(cè)該型號(hào)的汽車(chē)使用12年排放尾氣中的濃度是使用4年的多少倍？參考數(shù)據(jù)：參考公式：線性回歸方程中，，．解：（1）由表中的數(shù)據(jù)可得，，，，，所以線性回歸方程為；（2）令可得，當(dāng)時(shí)，，，所以預(yù)測(cè)該型號(hào)的汽車(chē)使用12年排放尾氣中的濃度是使用4年的4.2倍．16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，用代替，可得：.兩式相減得：，又，所以是以3為首項(xiàng)3為公比的等比數(shù)列，所以.（2），所以：兩式相減得：，所以：.17.某校組織了科技展參觀活動(dòng)，學(xué)生自愿參觀，事后學(xué)校進(jìn)行了一次問(wèn)卷調(diào)查，分別抽取男、女生各40人作為樣本．據(jù)統(tǒng)計(jì)：男生參觀科技展的概率為，參觀科技展的學(xué)生中女生占．（1）根據(jù)已知條件，填寫(xiě)下列列聯(lián)表，試根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析該校學(xué)生參觀科技展情況與性別是否有關(guān)．參觀科技展未參觀科技展合計(jì)男生女生合計(jì)（2）用分層隨機(jī)抽樣的方式從參觀科技展的人中抽取12人，再?gòu)倪@12人中隨機(jī)抽取6人，用隨機(jī)變量表示女生人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考公式和數(shù)據(jù)：，其中．0．10．050．0250．010．0012．7063．8415．0246．63510．828解：（1）因?yàn)槟猩鷧⒂^科技展的概率為，所以參觀科技展的男生人數(shù)為．因?yàn)閰⒂^科技展的學(xué)生中女生占，所以參觀科技展的人數(shù)為．則參觀科技展的女生人數(shù)為．結(jié)合男、女生各有40人，填寫(xiě)列聯(lián)表如下：參觀科技展未參觀科技展合計(jì)男生32840女生162440合計(jì)483280零假設(shè)為：學(xué)生參觀科技展情況與性別無(wú)關(guān)．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為該校學(xué)生參觀科技展情況與性別有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01．（2）用分層隨機(jī)抽樣的方式從參觀科技展的人中抽取12人，抽男生8人，女生4人，所以的可能取值為0，1，2，3，4，則，，，，．所以的分布列為01234所以．18.某學(xué)校工會(huì)組織趣味投籃比賽.每名選手只能在下列兩種比賽方式中選擇一種.方式一：選手投籃次，每次投中可得分.未投中不得分，累計(jì)得分；方式二：選手最多投次.如第1次投中可進(jìn)行第次投籃，如第次投中可進(jìn)行第次投籃.如某次未投中，則投籃中止.每投中次可得分，未投中不得分，累計(jì)得分；已知甲選擇方式一參加比賽，乙選擇方式二參加比賽.假設(shè)甲，乙每次投中的概率均為.且每次投籃相互獨(dú)立.（1）求甲得分不低于分的概率；（2）求乙得分的分布列及期望：（3）甲、乙誰(shuí)勝出的可能性更大？說(shuō)明理由.解：（1）設(shè)甲選擇方式一參加比賽的得分為，，，設(shè)甲得分不低于分為事件，則；（2）設(shè)乙選擇方式二參加比賽得分為，的可能取值為，，，，，所以的分布列為：所以；（3）甲勝出的可能性更大，理由如下：甲獲勝的情況有：①甲分、乙分，②甲分、乙分，③甲分、乙分，④甲分、乙分，所以甲獲勝的概率為：，乙獲勝的情況有：①甲分、乙分，②甲分、乙分，③乙分，④乙分，所以乙獲勝的概率為，因?yàn)?，所以甲獲勝的可能性更大.19.已知函數(shù)，.（1）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若使得在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取極大值，也是最大值，，因?yàn)橛袃蓚€(gè)不同的解即有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，故即.當(dāng)時(shí)，若，則有恒成立，此時(shí)至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；故即，此時(shí)，而，故在有一個(gè)零點(diǎn)；下證：當(dāng)時(shí)，即證：，設(shè)，則，故在上為增函數(shù)，故，即成立.當(dāng)時(shí)，有，故此時(shí)在有一個(gè)零點(diǎn)；綜上，當(dāng)時(shí)，曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn).（