93年數(shù)三試題及答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.設\(f(x)\)在\(x=0\)處可導，\(f(0)=0\)，則\(\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x}\)等于（）A.\(f(0)\)B.\(f^\prime(0)\)C.\(0\)D.\(\infty\)2.若\(\intf(x)dx=F(x)+C\)，則\(\intf(ax+b)dx\)（\(a\neq0\)）等于（）A.\(F(ax+b)+C\)B.\(\frac{1}{a}F(ax+b)+C\)C.\(aF(ax+b)+C\)D.\(F(x)+C\)3.設\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=O\)，則必有（）A.\(A=O\)或\(B=O\)B.\(A+B=O\)C.\(\vertA\vert=0\)或\(\vertB\vert=0\)D.\(\vertA\vert+\vertB\vert=0\)4.已知向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性無關，向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4\)線性相關，則（）A.\(\alpha_1\)必可由\(\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\)線性表示B.\(\alpha_2\)必可由\(\alpha_1,\alpha_3,\alpha_4\)線性表示C.\(\alpha_4\)必可由\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性表示D.\(\alpha_3\)必可由\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4\)線性表示5.設隨機變量\(X\)服從正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，則隨\(\sigma\)的增大，概率\(P\{\vertX-\mu\vert\lt\sigma\}\)（）A.單調增大B.單調減小C.保持不變D.增減不定6.設\(f(x)\)是連續(xù)函數(shù)，\(F(x)=\int_{0}^{x}tf(x^2-t^2)dt\)，則\(F^\prime(x)\)等于（）A.\(xf(x^2)\)B.\(-xf(x^2)\)C.\(2xf(x^2)\)D.\(-2xf(x^2)\)7.已知函數(shù)\(y=y(x)\)由方程\(e^y+xy=e\)所確定，則\(y^\prime(0)\)的值為（）A.\(-\frac{1}{e}\)B.\(\frac{1}{e}\)C.\(-1\)D.\(1\)8.設\(A\)為\(n\)階可逆矩陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，則\(A^{-1}\)的一個特征值是（）A.\(\lambda\)B.\(\frac{1}{\lambda}\)C.\(\lambda^2\)D.\(\frac{1}{\lambda^2}\)9.設隨機變量\(X\)和\(Y\)相互獨立，且\(X\simN(0,1)\)，\(Y\simN(1,1)\)，則（）A.\(P\{X+Y\leqslant0\}=\frac{1}{2}\)B.\(P\{X+Y\leqslant1\}=\frac{1}{2}\)C.\(P\{X-Y\leqslant0\}=\frac{1}{2}\)D.\(P\{X-Y\leqslant1\}=\frac{1}{2}\)10.設\(f(x)\)在\([a,b]\)上有界，且只有有限個間斷點，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上（）A.必可積B.必不可積C.不一定可積D.以上都不對多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，在\(x=0\)處連續(xù)且可導的有（）A.\(y=\vertx\vert\)B.\(y=x^2\)C.\(y=\sqrt[3]{x}\)D.\(y=\sinx\)2.設\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，下列等式成立的有（）A.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)B.\((AB)^T=B^TA^T\)C.\(\vertAB\vert=\vertA\vert\vertB\vert\)D.\((A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1}\)3.下列向量組中，線性相關的有（）A.\(\alpha_1=(1,0,0)\)，\(\alpha_2=(0,1,0)\)，\(\alpha_3=(0,0,1)\)B.\(\alpha_1=(1,2,3)\)，\(\alpha_2=(2,4,6)\)，\(\alpha_3=(3,6,9)\)C.\(\alpha_1=(1,1,0)\)，\(\alpha_2=(0,1,1)\)，\(\alpha_3=(1,0,1)\)D.\(\alpha_1=(1,1,1)\)，\(\alpha_2=(1,-1,1)\)，\(\alpha_3=(1,1,-1)\)4.設隨機變量\(X\)的概率分布為\(P\{X=k\}=a\frac{\lambda^k}{k!}\)，\(k=0,1,2,\cdots\)，則（）A.\(a=e^{-\lambda}\)B.\(E(X)=\lambda\)C.\(D(X)=\lambda\)D.\(X\)服從泊松分布5.下列積分中，值為\(0\)的有（）A.\(\int_{-\pi}^{\pi}x\sinxdx\)B.\(\int_{-\pi}^{\pi}x\cosxdx\)C.\(\int_{-1}^{1}x^3e^{x^2}dx\)D.\(\int_{-1}^{1}(x+\sqrt{1-x^2})dx\)6.設\(f(x)\)在\([a,b]\)上二階可導，且\(f^\prime(a)=f^\prime(b)=0\)，則（）A.若\(f^{\prime\prime}(x)\gt0\)，則\(f(a)\)是\(f(x)\)在\([a,b]\)上的最小值B.若\(f^{\prime\prime}(x)\gt0\)，則\(f(b)\)是\(f(x)\)在\([a,b]\)上的最小值C.若\(f^{\prime\prime}(x)\lt0\)，則\(f(a)\)是\(f(x)\)在\([a,b]\)上的最大值D.若\(f^{\prime\prime}(x)\lt0\)，則\(f(b)\)是\(f(x)\)在\([a,b]\)上的最大值7.設\(A\)為\(n\)階方陣，下列說法正確的有（）A.若\(A\)可逆，則\(A\)的伴隨矩陣\(A^\)也可逆B.若\(A\)不可逆，則\(A\)的伴隨矩陣\(A^\)也不可逆C.若\(\vertA\vert=0\)，則\(r(A^)\leqslant1\)D.若\(\vertA\vert\neq0\)，則\(A^=\vertA\vertA^{-1}\)8.設隨機變量\(X\)和\(Y\)的聯(lián)合分布函數(shù)為\(F(x,y)\)，邊緣分布函數(shù)為\(F_X(x)\)和\(F_Y(y)\)，則（）A.\(F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)\)（當\(X\)和\(Y\)相互獨立時）B.\(F_X(x)=\lim\limits_{y\to+\infty}F(x,y)\)C.\(F_Y(y)=\lim\limits_{x\to+\infty}F(x,y)\)D.\(P\{a\ltX\leqslantb,c\ltY\leqslantd\}=F(b,d)-F(b,c)-F(a,d)+F(a,c)\)9.設函數(shù)\(f(x)\)在\(x_0\)處可微，則（）A.\(\Deltay=f^\prime(x_0)\Deltax+o(\Deltax)\)B.\(f(x)\)在\(x_0\)處連續(xù)C.\(f(x)\)在\(x_0\)處可導D.當\(\Deltax\to0\)時，\(\Deltay\)與\(\Deltax\)是同階無窮小10.設\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(A\)與\(B\)相似，則（）A.\(A\)與\(B\)有相同的特征值B.\(A\)與\(B\)有相同的特征向量C.\(r(A)=r(B)\)D.\(\vertA\vert=\vertB\vert\)判斷題（每題2分，共10題）1.若\(f(x)\)在\(x_0\)處連續(xù)，則\(f(x)\)在\(x_0\)處一定可導。（）2.若\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=BA\)，則\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)。（）3.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)（\(m\gtn\)，\(\alpha_i\)為\(n\)維向量）一定線性相關。（）4.設隨機變量\(X\)和\(Y\)相互獨立，且\(D(X)=4\)，\(D(Y)=9\)，則\(D(X+Y)=13\)。（）5.若\(\int_{a}^f(x)dx=0\)，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上恒為\(0\)。（）6.設\(A\)為\(n\)階方陣，若\(\vertA\vert=0\)，則\(A\)的列向量組線性相關。（）7.函數(shù)\(y=f(x)\)在點\(x_0\)處的切線斜率等于\(f^\prime(x_0)\)。（）8.若隨機變量\(X\)服從正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，則\(P\{X\lt\mu\}=0.5\)。（）9.設\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(A\)可逆，若\(AB=O\)，則\(B=O\)。（）10.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定連續(xù)。（）簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+1\)的單調區(qū)間與極值。-答案：對\(y\)求導得\(y^\prime=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(y^\prime=0\)，得\(x=0\)或\(x=2\)。當\(x\lt0\)或\(x\gt2\)時，\(y^\prime\gt0\)，函數(shù)單調遞增；當\(0\ltx\lt2\)時，\(y^\prime\lt0\)，函數(shù)單調遞減。極大值\(y(0)=1\)，極小值\(y(2)=-3\)。2.計算行列式\(\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}\)。-答案：第二行減去第一行的\(4\)倍，第三行減去第一行的\(7\)倍，得\(\begin{vmatrix}1&2&3\\0&-3&-6\\0&-6&-12\end{vmatrix}\)。第三行減去第二行的\(2\)倍，得\(\begin{vmatrix}1&2&3\\0&-3&-6\\0&0&0\end{vmatrix}=0\)。3.已知隨機變量\(X\)的概率密度函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}2x,&0\leqslantx\leqslant1\\0,&其他\end{cases}\)，求\(E(X)\)。-答案：根據(jù)期望公式\(E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx\)，則\(E(X)=\int_{0}^{1}x\cdot2xdx=\int_{0}^{1}2x^2dx=\frac{2}{3}x^3\big|_{0}^{1}=\frac{2}{3}\)。4.設\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，求\(A\)的逆矩陣\(A^{-1}\)。-答案：先求行列式\(\vertA\vert=1\times4-2\times3=-2\)。伴隨矩陣\(A^=\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)。則\(A^{-1}=\frac{1}{\vertA\vert}A^=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)。討論題（每題5分，共4題）1.討論矩陣的秩在判斷線性方程組解的情