壓軸題02均值不等式

盤重點(diǎn)?抓核心

一、基礎(chǔ)不等式原理

i.二元基本不等式的幾個(gè)變形：

(1)a+b>2y^b(a,b>0)：多用在求和式的最小值且涉及求和的項(xiàng)存在乘積為定值的情況

(2)ab<^-^：多用在求乘積式的最大值且涉及乘積的項(xiàng)存在和為定值的情況

(3)a2+b2>2ab，本公式雖然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可證明，要注意此不等

式的適用范圍。力wR

(4)利用均值不等式求最值遵循的原則：“一正二定三等”

2.n元均值不等式

設(shè)6,外,…,4均大于零，則記檸豆；+片,4=—：+4,

n

則Qn>\>G?>Hn,其中等號(hào)成立的條件是al=a^.-=an.Qn,An,Gn,Hn分別稱為平方平均、算術(shù)

平均、幾何平均、調(diào)和平均.

二、基本原理簡化不等式

（1）a+b>2^b（a,b>0）；多用在求和式的最小值且涉及求和的項(xiàng)存在乘積為定值的情況

（2）：多用在求乘積式的最大值且涉及乘積的項(xiàng)存在和為定值的情況

（3）a2+b2>2ab，本公式雖然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可證明，要注意此不等

式的適用范圍

三、均值不等遵循的原則

利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成

積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所

求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方，注意多次運(yùn)用不等式，等號(hào)成立條件是否一致.

壓軸題型一：三元型

\/滿分技法

一般地，多元代數(shù)式的最值，處理這類問題的基本策略是降元處理，降元時(shí)要結(jié)合目標(biāo)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特

點(diǎn)，找出能整體處理的部分，處理多元最值問題的思考角度有以下幾個(gè)：

1.從元的個(gè)數(shù)角度，關(guān)鍵在于減元處理，代入消元、整體換元、三角換元等方法；

2.從元的次數(shù)角度，關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)（代數(shù)式），如一次二次比分式型，齊次比型，雙勾函數(shù)型等

等；

3.仄元的組合結(jié)構(gòu)角度，關(guān)鍵在于結(jié)構(gòu)分析，將問題轉(zhuǎn)化為整體元的和、積、差、平方和、倒數(shù)和等并

列結(jié)構(gòu)的形式,再利用均值不等式等常用不等式求解最值，注意等號(hào)取到的條件

1.若方,c是三個(gè)不全相等的實(shí)數(shù)，且不等式劭+3兒4《片+62+。2）恒成立，則實(shí)數(shù)r的最小值為（）

A.叵B..C.—D."

2222

則8a"+"+也的最小值為（）

2.Va,b,R,滿足b+c=l,

+bea+\

A.6B.8c.1672-8D.8V2-I

ba

3.已知。>0,b>0,c>0,且。+3Z?—cNO,貝1J—+7;---的最小值為()

a6b+c

xz46I

4.設(shè)正實(shí)數(shù)x,y,z滿足/—y-xz+4z2=0,則當(dāng)一取得最大值時(shí)，---+一的最大值為（）

yxyz

159

A.2B.—C.1D.一

164

5.已知實(shí)數(shù)X,y,Z滿足％2+y2+z2+^+yz+ZX=l,則下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.孫z的最大值是逅B.x+y+z的最大值是亞

2

C.x的最大值是逅

D.x+y的最大值是及

壓軸題型二：因式分解型?

V*/滿分技法

如果條件（或者結(jié)論）可以因式分解，則可以通過對分解后因式雙換元來轉(zhuǎn)化求解

L特征：條件式子復(fù)雜，一般有一次和二次（因式分解展開就是一次和二次），可能就符合因式分解原

理

2.最常見的因式分解：a+b+ab+l=（a+1）（b+1）

1.若且/（6+462+2。2）=8一263,貝|］（）

A.84+4/+3）的最小值為8囪B.84+4/+36的最小值為8點(diǎn)

C.84+4〃+3）的最小值為16D.8片+462+36沒有最小值

2.已知無，y,z是非負(fù)實(shí)數(shù)，且x+y+z=2,貝!|_?/+/22+2%2+*2的最大值為（）

A.1B.2C.|D.以上答案都不對

4

3.已知0<6<1,且4（a+6）=4a6+3,貝Ua+2b的最大值為（）

A.2B.20C.3-72D.3-2近

4.若。、b、c均大于0,且2a+6+c=G，貝！I。（。+》+。）+歷的最大值為（）

33

A.—B.6C.—D.2

42

11?

5.已知。>—力>1,且2次?一2。一人=1,則----+----的最小值是（）

22a-lb-1

A.2B.4C.273D.272

壓軸題型三：代數(shù)換元型

滿分技法

形如（a,b）==t,求一E+1型，則可以換元反解代換。令x=a+m。Y=b+n反解

a+mb+n

m

若已知f（x,y）=t（定值），---------1---------型，則可通過線性換元,

g(x,y)h(x,y)

反解出x、y代入條件等式f（x,y）=t中，換元為簡單的條件不等式

b=h(x,y）

38

1.已知正數(shù)x,y滿足K版+（3x+2力=2,則孫的最小值是（）

.〃+2〃+5cS/7+27?+〃+3〃+3c...

2.已知。>0*>0,c>0,貝！J-------------+-——+-......的最小值為（)

a+b20+3c2c+a

A.8B.9C.10D.11

11\3a+4b-l\上，

3.已知正實(shí)數(shù)〃，滿足?—+-T=25,則J2的最小值為（)

ab

7屈-5C乜

AB3D.-

253

211

4.已知。>1,—,------H--=1,則一+一的最大值為（）

2ci—12/7-1ab

2345

A.—B.C.一D.一

3456

512203

5.設(shè)正實(shí)數(shù)x,y滿足％+—+丁+—=13,則-----的最小值為（)

%y1y

A.1B.3C.5D.7

壓軸題型四：三角換元型

%/滿分技法

1.二次配方型，可以三角換元

2.和前邊分母構(gòu)造換元型一樣，可以代數(shù)換元，

3.齊次分式同除型，可以代數(shù)換元，

1.已知實(shí)數(shù)x，y滿足3/+3孫+/=3,則2x+y最大值為（）

A.2B.3C.百D.72

22

2.已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程x+y+2x-2y=0f貝憫+lyl的最大值為

A.2B.4C.3也D.2+72

3.已知羽y,z￡R；%+y+z=l,則+—z的最大值是(：)

A.B.1C.0D.

222

4.已知爐-3盯+2y?=1(x,yeR),則爐+必的最小值為()

A.V10-6B.Vio+6C.2M+6D.2M-6

5.已知正數(shù)x，y滿足,9尤2—1+J9y2—1=9孫,貝U4犬+y?的最小值為

壓軸題型五：二元二次裂項(xiàng)型

1.已知尤，yz為正實(shí)數(shù)，則，N.2一的最大值是

x+y+z

A.-B.交D.空

C.-

3255

2.若a,b均為正實(shí)數(shù)，則丁，的最大值為()

a+b+1

B①

A.|c.V2D.2

2

cib+be,,日/+、rz、

3.”,4c是不同時(shí)為0的實(shí)數(shù)，則2c,22的最大值為(：)

a+2b+c

A.1B.-D.—

2422

4.已知x,y,z均為正實(shí)數(shù)，則歷+3丘的最大值為

x+2y+z

5.若x,y,z均為正實(shí)數(shù)，則47+4,2+3z2的最大值是一

壓軸題型六：構(gòu)造函數(shù)型

1.設(shè)4,b,c為"8C中的三邊長，且a+b+c=l,則層+按+^+加稅的取值范圍是(

13r-13131031)

A.——B.—，一cD.—，一

_27'2_|_272)-127?2_(272)

2.正實(shí)數(shù)X,>滿足ef=(2x+y)e>,則x+=一十一的最小值為()

yX

A.2B.77：7D.4

3.已知正實(shí)數(shù)％,y滿足(2x+，4f+1)("+1-1)=y,貝！Jx+2y的最小值為()

A.1B.2Z.4D.-

2

22

4.已知a,6,c￡7?且a+/?+c=O,a>b>c,』巴士J的取值范圍是()

ac

:[-I-2]D.[,|_

A,[2,+oo)B.(-oo,-2]2

5.已知正數(shù)滿足二+"=9-后,z=(%+]V)(A/12-X2+712^7),則z的取值范圍是

yxxy

壓軸題型七：均值法比大小

\/滿分技法

常見的構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)思維：在于轉(zhuǎn)化過程中，“分參”T“構(gòu)造”，得新函數(shù)，求導(dǎo)函數(shù)尋找單調(diào)性

涉及到比較多的對數(shù)比大小，可以借助均值不等式和對數(shù)運(yùn)算來比大小

1.實(shí)數(shù)X,y,Z分別滿足logaX=sp2P=22-202=21,則了，z的大小關(guān)系為()

2021

A.尤>y>zB.x>z>yc.Z>x>yD.，>%>z

2.設(shè)。=log20242023,b=log20232022,c=log020240.2023,貝Ij(

A.c<a<bB.b<c<a

C.b<a<cD.a<b<c

已知：

3.Q=,Z?=ln[,c=(log67—l)ln5,則()

A.a>b>cB.b>c>a

C.a>c>bD.c>a>b

2

4.若0<6<。<一，貝U()

兀

A.bea-eb<aeb-ea

B.e'+'+2。>e"+±+2Z?

e'e"

C.asinb+b<bsina+a

D.sinZ2cosa>sina

5.若實(shí)數(shù)b’c滿足條件：則^的最大值是

壓軸題02均值不等式

部盤重點(diǎn)?抓核心

一、基礎(chǔ)不等式原理

2.二元基本不等式的幾個(gè)變形：

(1)a+b>2^(a,b>0)：多用在求和式的最小值且涉及求和的項(xiàng)存在乘積為定值的情況

(2)口)<[@']：多用在求乘積式的最大值且涉及乘積的項(xiàng)存在和為定值的情況

(3)a2+b2>2ab，本公式雖然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可證明，要注意此不等

式的適用范圍。力eR

(4)利用均值不等式求最值遵循的原則：“一正二定三等”

2.n元均值不等式

I222

設(shè)％,出,…,4均大于零，貝!1記3=小)一+七+'a；,4=q+出1+4,

________H二_______2_______

Gn=如血"X+X+,+1.'

則Qn>\>Gn>Hn,其中等號(hào)成立的條件是q=g=…%,4,G”,必分別稱為平方平均、算術(shù)

平均、幾何平均、調(diào)和平均.

二、基本原理簡化不等式

(1)a+b>24ab(a,b>0)：多用在求和式的最小值且涉及求和的項(xiàng)存在乘積為定值的情況

(2)ab<^^：多用在求乘積式的最大值且涉及乘積的項(xiàng)存在和為定值的情況

(3)a2+b2>2ab，本公式雖然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可證明，要注意此不等

式的適用范圍a,。eR

三、均值不等遵循的原則

利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：

(1)“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成

積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所

求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方，注意多次運(yùn)用不等式，等號(hào)成立條件是否一致.

壓軸題型一：三元型

滿分技法

一般地，多元代數(shù)式的最值，處理這類問題的基本策略是降元處理，降元時(shí)要結(jié)合目標(biāo)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特

點(diǎn)，找出能整體處理的部分，處理多元最值問題的思考角度有以下幾個(gè)：

1.從元的個(gè)數(shù)角度，關(guān)鍵在于減元處理，代入消元、整體換元、三角換元等方法；

2.從元的次數(shù)角度，關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)(代數(shù)式)，如一次二次比分式型，齊次比型，雙勾函數(shù)型等

等；

3.4元的組合結(jié)構(gòu)角度，關(guān)鍵在于結(jié)構(gòu)分析，將問題轉(zhuǎn)化為整體元的和、積、差、平方和、倒數(shù)和等并

列結(jié)構(gòu)的形式,再利用均值不等式等常用不等式求解最值，注意等號(hào)取到的條件

1.若&c是三個(gè)不全相等的實(shí)數(shù)，且不等式必+3兒4/(°2+〃+,2)恒成立，則實(shí)數(shù)r的最小值為()

A.叵B.好C.—D."

2222

【答案】A

1a2-^-b2+c2=6^+mZ?2+(l-m)Z?2+c2>2y[mab+2^1-rnbc,令?二3,可得機(jī)二',故

2ylm10

a?+廿+/N叵岫+晅be,則求得/的范圍，即可求得f的最小值.

55

【詳解】設(shè)4+02+°2=/+楨2+。—帆)〃+C2,(0<m<l),

因?yàn)椤?+疝>2y/mab,(1-m)Z?2+c2>2y/1-mbe,

所以〃2+〃+°2>2Glab+2Jl-mbe，等號(hào)成立的條件是〃=y[mb,c=\jl-mb.

2Jl-m

令=3,解得加

2y[m

而|、|2,2

所以/+/+/>----"]H----3---V---1---0--b,e,

55

gpab+3bc/A/TO

a2+b2+c2~^rf

所以Lin二

2

故選：A

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：由已知式聯(lián)想基本不等式，由于不等式一側(cè)只有兩項(xiàng)：打,加，把〃拆成兩項(xiàng)相〃,（i一相屹2,

分別與相加應(yīng)用基本不等式，構(gòu)成形式上的一致，再利用系數(shù)關(guān)系求得參數(shù)加，然后由不等式恒成立

可得結(jié)論.

Sab2+a16.日?，土位,、

2.V〃，b,eR,滿足b+c=l,則--------+——的最小值為（）

+beQ+l

A.6B.8c.1672-8D.8A/2-1

【答案】c

【分析】化簡,利用基本不等式可得+-^->8（?+1）+-^-8,再利用基本不等式即可求

beQ+1Q+1

解.

Sab2+a8b18。+伍+c）2

【詳解】——+—=a

bebecbe

\

妝+b2+c2+2bc

=a+二+2\>a2J---+2=8〃,

bebcb,

當(dāng)且僅當(dāng)9b丁c丁即c=M所以1每3時(shí)等號(hào)成立,

酬?+也2+生

=8（a+l）+—--8>2./8（a+l）x--8

bea+14+1'7a+1V'7a+1

=16夜一8，

當(dāng)且僅當(dāng)8（a+l）=，p即。=后一1時(shí)等號(hào)成立,

-..,Sab2+a

所Cr以--——+也的最小值為16夜-8.

be。+1

故選：C.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用基本不等式求解最值問題，方法靈活，式子不能直接使用基本不等式時(shí)，常常需

要變形，比如湊項(xiàng)法，“1”的妙用，消元法，多次使用基本不等式等.

ha

3.已知〃>0,b>0,c>0,且。+3/?—。20,貝|—+的最小值為（）

245a6b+c8

BcD

A.9--9-9--9-

【答案】c

【彳析】由題意可得利用換元法可將原式變形再利用基本不等式即可求得結(jié)果.

【詳解】由〃+3〃一。2?？傻胏<a+3b,且a,b,c>。

因止匕Q6b+ca6b+a+3ba9b+aa+\

a

b]1

=t+

a9-+1%+l;

=-(9r+l)+——-->2j-(9t+l)x———-=-；

9t+l9V7%+l9V9v)9/+199

117

當(dāng)且僅當(dāng)"(%+i)=Q時(shí)，即/=(時(shí)，等號(hào)成立；

99f+l9

此時(shí)總7TL的最小值為聯(lián)

a6b+c9

故選：C

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于將未知數(shù)個(gè)數(shù)減少，并合理變形利用基本不等式求解.

Y746I

4.設(shè)正實(shí)數(shù)x,y,z滿足爐—y—%z+4z2=0,則當(dāng)一取得最大值時(shí)，----+一的最大值為()

yxyz

A.2B.—C.1D.—

164

【答案】D

Y7y7

【分析】將y=X2—*+4z2代入一后剩下關(guān)于％,z的二元等式應(yīng)經(jīng)齊次化處理后使用基本不等

yx-xz+4z

461

式在x=2z時(shí)最大值時(shí)，將x=2z代入原式可得y=6z2,代入——+一,得到二次函數(shù)利用配方法即可求

xyz

得其最大值.

【詳解】x2-y-xz+4z2=0,

:.y=x2-xz+4z2,又無,%z均為正實(shí)數(shù),

XZXZ1/11

,——----------------------二-------------------V—————

224Z

、X-XZ+4Z^+_］_2F47_13

2XX

(當(dāng)且僅當(dāng)犬=2z時(shí)取"=")，

/.y=x2—xz+4z2=(2z)2—2z?z+4z2=6z2,

=L+l=Jl_lY+2<2,當(dāng)且僅當(dāng)2=，時(shí)取得“="，滿足題意.

xyzzzz2)443

4619

?，-----+一的最大值為了.

xyz4

故選：D

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對含有多兀變量的函數(shù)求最值時(shí)通常要減少變量的個(gè)數(shù)，減少變量的個(gè)數(shù)方法有:①

Y

代入消元，把其中一個(gè)變量用其它變量表示后代入消元;②對齊次式可通過構(gòu)造比值一消元.

y

5.已知實(shí)數(shù)％,y,z滿足x2+y2+z2+^+yz+zx=l,則下列說法錯(cuò)誤的是()

A.孫z的最大值是@B.x+y+z的最大值是漁

62

C.x的最大值是,D.x+y的最大值是血

［答案］A

【彳析】利用判別式非負(fù)可判斷C選項(xiàng)；利用基本不等式及不等式性質(zhì)可判斷BD選項(xiàng)；利用特例判斷A

選項(xiàng).

【詳解】對于C,由x2+y2+z2+^+yz+zx=l,

整理得，y2+(x+z)y+x2+z2+zx-l=0,可以看作關(guān)于丁的一元二次方程，

所以Ai=(x+z)2-4(x2+z2+zx-l)>0,

即3Z2+2XZ+3X2-4<0,可以看作關(guān)于z的一元二次不等式，

所以'=4尤2-12(3/-4”0,解得一生無邛,

當(dāng)x=逅時(shí)，z=巫,片-亞，

266

所以x的最大值是亞，故C正確；

2

對于B,x2+y2+z2+xy+yz+zx=l,

即2(x2+y2+z2]+2xy+2yz+2zx=2,

即(％+?+(x+z)2+(y+z)2=2,

令a=x+y,b=x+z,c=y+zf則4+/+廿二？，

SP(tz+Z?+c)2-2(ab+ac+bc)=2,BPab+ac+be=+-2,

由4+〃>2aZ?,當(dāng)且僅當(dāng)〃=人時(shí)等號(hào)成立，

a2+c2>2ac,當(dāng)且僅當(dāng)。=。時(shí)等號(hào)成立，

b1+C1>2bc，當(dāng)且僅當(dāng)〃=c時(shí)等號(hào)成立，

所以2(4+〃+。2)>2"+2ac+2bc,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立，

即-2(a?+〃+0?)<—(2ab+2ac+2Z?c),

所以(a+0+c)2-2(片+/+。2)<(a+b+cf_^2ab+2ac+2bc)

BP(tz+Z?+c)2—2x2<2,BP(?+/?+c)2<6,

所以Q+Z?+C?A/6，

即％+y+%+z+y+zK^6,

即x+y+zW如，當(dāng)且僅當(dāng)x+y=x+z=y+z,即x=>=z="時(shí)等號(hào)成立,

26

對于D,所以x+y+z的最大值是逅，故B正確；

2

由/+/+。2=2,BP(^+^)2+(x+z)2+(y+z)2=2,

所以(x+y)242,BPx+y<>/2,

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=受，z=-正時(shí)等號(hào)成立，

-22

所以x+y的最大值是亞，故D正確；

對于A,取x=l,y=--,z=,

510

則Y+y2+zFy+yz+zx=l+3+匹姮/+4姮上姮=1,

2510055010

…d-

又2(1+舊)__12+12而'-25n,

25T—150

而(12+12炳(25磯=144+288炳+144義17-625x6=288而-1158=J1410048-J1340964>0,

所以=2(1+如)〉瓜故A錯(cuò)誤.

256

故選：A.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于多變量的恒等關(guān)系，可利用基本不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，也可以將其中一個(gè)變量看成主

變量，從而可判斷方程有解的角度分析問題.

壓軸題型二：因式分解型-

V,滿分技法

如果條件(或者結(jié)論)可以因式分解，則可以通過對分解后因式雙換元來轉(zhuǎn)化求解

L特征：條件式子復(fù)雜，一般有一次和二次(因式分解展開就是一次和二次)，可能就符合因式分解原

理

2.最常見的因式分解：a+b+ab+l=(a+1)(b+1)

1.若a>O,b>l,且〃僅+462+2〃)=8-2。3,貝。()

A.8/+4〃+36的最小值為8出B.8/+4〃+3》的最小值為8四

C.8/+4)2+36的最小值為16D.8a2+4〃+36沒有最小值

【答案】A

【分析】先將題意整理成("+2〃)(2/+4=8,然后利用基本不等式可得到

2

8a2+4/+3b>2j6(/+2對(2>+b),最后檢驗(yàn)2(〃+26?)=3(2o+b)是否成立即可

【詳解】由6?9+4廿+2a2)=8-陽,得24+4/62+026+283=(4+2〃)(242+6)=8.

因?yàn)椤?gt;0,b>l,所以。2+2/>0,2。2+。>0.

所以8a2+4b2+36=2(/+2〃)+3(2a2+b)>2^6(a2+2&2)(2a2+&)=2屈=873,

,、,、f4b2-3b^4a2

當(dāng)且僅當(dāng)2(〃+2昨3”+辦即卜+2⑹(2/+力8時(shí)’等號(hào)成立—

,462-36=4/,、/、

由/2八/2\得(12/-36)4〃-6=64,

(/+2燈(2/+6)=8\八'

設(shè)函數(shù)/0)=(1262-36)(4〃-6)-64,6>1,

則由〃1)<0,〃2)>0,得/位)在(1,2)上至少一個(gè)零點(diǎn),

此時(shí)片=62-16>。，故存在。〉0,b>l,使得不等式8a2+4/+36284中的等號(hào)成立，

故84+4b2+36的最小值為8省.

故選：A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：這道題關(guān)鍵的地方在于檢驗(yàn)2(〃+262)=3(2"+力是否成立，需要構(gòu)造

〃為=(126一3研4〃一4一64,6>1,并結(jié)合零點(diǎn)存在定理進(jìn)行驗(yàn)證

2.已知x,y,z是非負(fù)實(shí)數(shù)，且x+y+z=2,貝I］尤2y?++z.,十^^的最大值為()

A.1B.2C.-D.以上答案都不對

4

［答案］A

【彳析】利用基本不等式可求最大值.

【詳解】2x2y2<xy(x2+),2y2z2<yz(^y2+z2),2z2x2<zx(^z2+x2),

\^X2x2y2+2y2z2+2z2%2+2xyz<xy(^x2+y2^+yz^y2+z2>j+zx^z2+x2)+2xyz,

2

二孫(兀2+y2)+yz(y2+z2)+=卜2,|-X^_|_^%_|_y+z)^yZ

=(2xy+2yz+2zx)(x2+j2+z2

][(2孫+2yz+2zx)+(爐+j；2+z2/

=2,

~24

當(dāng)X=y=l,Z=O時(shí)可取等號(hào).

因此所求代數(shù)式的最大值為L

故選：A.

3.已知Ovavl,0<b<l,且4（a+Z?）=4aZ?+3,則。+2辦的最大值為（）

A.2B.20C.3-72D.3-20

【答案】C

1

【分析】由已知條件可得（1一。）（1一。）=!,令元=1一〃>0,y=l-b>0,可得。=1一%,b=l-y,

y二14x，

進(jìn)一步可得。+26=-彳-1+3,最后利用基本不等式求出最大值即可.

2x

【詳角軍】4（a+b）=4ab+3,/.4ab-4a-4b+3=0,配湊得：4ab-4a-4b+4=lf

兩邊同時(shí)除以4得：ab-a-b+l=~,即（1-。）（1-6）=!，

44

令I(lǐng)=y=l-Z?>0,貝ija=l-x,y=—,

4x

所以Q+2Z?=1—x+2（l—y）=-x—2y+3=-x———+3

2x

=-（x+-^-}+3<-2.[x^-+3=3-y/2（當(dāng)且僅當(dāng)x=L即x=時(shí)，等號(hào)成立）.

{2xJ\2x2x2

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求最值，考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，考查轉(zhuǎn)化和劃歸思想，屬

于難題.

4.若。、b、。均大于0,且2a+Z?+c=?,貝!J4（?+人+。）+歷的最大值為（）

33

A.-B.C.—D.2

42

【答案】C

【分析】注意。（。+6+。）+歷=（。+6）（。+。）,而2。+6+。=（。+6+（“+。）,從而溝通了問題與已知的聯(lián)系,然后

利用基本不等式求最值.

【詳解】解：。、6、。均大于0,

a（^a+b+c）+bc-a2+ab+ac+bc

=（a2+ac^+^ab+bc）=a（a+c）+6（a+c）

=（?）S+T（a+”（“+c）”

_12a+6+cJ痛]_3

當(dāng)且僅當(dāng)〃+b=a+c=逅時(shí)取

2

3

a（a+8+c）+bc的最大值為不.

故選:C

【點(diǎn)睛】利用基本不等式求最值是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，對不符合基本不等式形式的應(yīng)首先變形，然后必須滿

足三個(gè)條件：一正、二定、三相等.

112

5.已知。>—,6>1,且2a—6=1,則-----1-------的最小值是（）

22a-lb-1

A.2B.4C.2#>D.272

【答案】A

【分析】由題意（2。-1）修-1）=2,直接利用基本不等式求解最小值即可.

【詳解】因?yàn)?。所?〃一1>0,Z?-l>0,

2

又2ab—2a—b=\,所以（2af0T）=2,

12「2-2A/2C

所以-----1-------22、/-----x------=-/_=2

川以2。一1b-\\2a-lb-l<2-1）'

當(dāng)且僅當(dāng)不1\=占7，即。=1力=3時(shí)，等號(hào)成立，所以丁1\+三2的最小值是2.

2a-1b-12a-1b-1

故選：A.

壓軸題型三：代數(shù)換元型

滿分技法

形如（a,b）==t,求P-―q型,則可以換元反解代換?！﹛=a+m。Y=b+n反解

a+mb+n

若已知f（x,y）=t（定值），---+—-―型，則可通過線性換元，

g（x,y）h（x,y）

令｛，=gy］反解出x、y代入條件等式f（x,y）=t中，換元為簡單的條件不等式

b=hCx,y）

38

1.己知正數(shù)x,y滿足07萬+際不=2,則孫的最小值是（）

【答案】B

【分析】用雙換元法化簡后，根據(jù)基本不等式計(jì)算

■、、，.?xy38U上+^2_

【洋斛孫-W(x+2y)y+(3x+2y)

2(%+2y3x+2y

人cccndn-m5m-n

令x+2y=根，3x+2y=n,貝1％=-------,y=---------

2(x+2y3x+2yJ2\2mn2)2^2y4

當(dāng)且僅當(dāng)〃=2加，即x=?,y=?時(shí)，等號(hào)成立，故孫有最小值

2-44

故選：B

a+2b+5c8Q+2Z?+5ca+3b+3c

2.已知〃>0,Z?>0,c>0,則---------------1------------------1---------------的最小值為（)

a+b2b+3c2c+a

A.8B.9C.10D.11

【答案】B

【分析】設(shè)a+8=x,2b+3c=y,2c+a=z,即可表示出a、b、c,再利用基本不等式計(jì)算可得.

【詳解】解：設(shè)a+b=x,2b+3c=y,2c+a=z,則尤>0,y>0,z>0,

U4x-2y+3z3x+2y-3z-2x+y+2z

a~77C-7

?、b+5c=—x+y+z,8a+2c=4%—2y+4z,3b+c=x+y—z,

.a+2b+5c8〃+2b+5ca+3b+3c.b+5c8〃+2。3b+c

..--------------+----------------+--------------=3+--------+----------+--------,

a+b2Z?+3c2c+aa+b2b+3c2c+a

b+5c8(2+2c3b+c-x+y+z4x—2y+4zx+y-z

令A(yù)m=-------+----------+--------=+----------------+

a+b2b+3c2c+axyz

.a+2b+5c8a+2b+5c〃+3b+3c、八

..--------------+----------------+-------------->9.

a+b2Z?+3c2c+a

v4xzx4zv

當(dāng)且僅當(dāng)匚=一，一=一，一=~,即y=2x,z=尤,y=2z,即y=2尤,z=x時(shí)等號(hào)成立.

xyxzyz

(如x=z=7,y=14,即a=3,Z?=4,c=2時(shí)等號(hào)成立).

a+2b+5c8Q+2Z?+5CI+3/?+3C

---------------1------------------1---------------的最小值為9；

a+b2b+3c2c+a

故選：B.

-11\3a+4b-l\1

3.已知正實(shí)數(shù)a,6滿足靛+乒=25,則用+段的最小值為()

A.7―-5B.3C.—D.-

253

【答案】C

\3ci+4Z?—1134111|3Q+4Z?—111..

［分析］由題設(shè)條件有?