2024-2025學(xué)年山東詩營市高二數(shù)學(xué)下學(xué)期開學(xué)收心考試

（含答案）

第I卷（選擇題共60分）

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分.每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正

確的.

22

-%-------y----_1

1.已知雙曲線24,則該雙曲線的漸近線方程為()

,V2

SV=±——X

A.片土xB.P=±2xC,2Dy=土

2.設(shè)隨機(jī)變量』的分布列為:

J589

1-2P_2P

p

323

則°=()

j_324

A.4B,4C.5D.5

3.在I"的展開式中，工的系數(shù)為()

A.3B.6C.9D.12

4.已知'（—2,°）,'（4加）兩點到直線/：x—y+i=°的距離相等，則加=（）

A.—2B.6C.-2或4D.4或6

AB=2,/DAB=——

5.如圖，在四棱錐尸一N8CO中，底面48co為菱形，3,"為棱尸C的中點,

且AMAB=4,則AP-AB-()

p

D

BC

A.6B.8C.9D.10

6.在平面直角坐標(biāo)系中，已知A是圓6：/+3-3）-=1上的一點，是圓

2

C2:（X-4）+/=4上的兩點，貝!j/BAC的最大值為（）

兀兀兀2兀

A.6B.3C.2D.3

7.今年暑期，《八角籠中》、《長安三萬里》、《封神榜》、《孤注一擲》引爆了電影市場，小明和他的同學(xué)一

行四人決定去看這四部電影，若小明要看《長安三萬里》，則恰有兩人看同一部影片的概率為（）

991945

A.64B.16C.32D.64

8.橢圓具有如下光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線過橢圓的另一個

￡:1+

（。）

2=1>6>0FFF

焦點（如圖）.已知橢圓ab的左、右焦點分別為4/2,過點％的直線與￡交于點

忸國一2S^叫介

\AB\=—

A,B,過點A作E的切線"點5關(guān)于/的對稱點為若I5

注:S表示面積.

切線

57

A2B.2C.3D.2

多選題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分.每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要

求.全部選對得5分，選對但不全得2分，有選錯的得0分.

9.4個男生與3個女生并排站成一排，下列說法正確的是（）（選項中排列數(shù)的計算結(jié)果均正確）

A.若3個女生必須相鄰，則不同的排法有A.A：=144種

B.若3個女生中有且只有2個女生相鄰，則不同的排法有人:人〉人；=2880種

C.若女生甲不能在最左端，且女生乙不能在最右端，則不同的排法共有八；—2A：+A；=3720種

D,若3個女生按從左到右的順序排列，則不同的排法有人：=840種

C:二+

10.在平面直角坐標(biāo)系置方中，已知片，月分別為曲線,4k（左＜4且左WO）的左、右焦點,

則下列說法正確的是（）

A.若°為雙曲線，且它的一條漸近線方程為2,則0的焦距為2G

B.若左=-3,過點&作C的一條漸近線的垂線，垂足為M,則△。巴”的面積為百

22

土.匕=1

C.若C為橢圓，且與雙曲線左2有相同的焦點，則上的值為1

D,若k=3,尸為曲線C上一點，則陷I+熙I的取值范圍是[&16]

11.有3臺車床加工同一型號的零件，第1,2,3臺加工的次品率分別為6%，5%，4%,加工出來的零件

混放在一起.已知第1,2,3臺車床加工的零件數(shù)的比為5：6:9,現(xiàn)任取一個零件，記事件4="零件為

第i臺車床加工"（'=L2,3）,事件8="零件為次品,,，貝jj（）

AP（4）=0.25bP（514）=1

CP⑻=0.048D尸（4忸）=[

12.在棱長為2的正方體"BCD-481G2中，尸為平面'88/上一動點，下列說法正確的有（）

A.若點尸在線段型上，則P。//平面5QC

B.存在無數(shù)多個點尸，使得平面4PG1平面BRC

5

c.當(dāng)直線G。//平面時，點尸的軌跡被以。為球心，5為半徑的球截得長度為1

D.若ZPDC'=NBRq,則點p的軌跡為拋物線

第n卷（非選擇題，共90分）

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共計20分）

A2_p4w-l

13.已知及為正整數(shù)，且八￡一5〃，則"=.

231

P（A）=-,P（￡）^-,P（C）^-

14.如圖，電路中A、B、C三個電子元件正常工作的概率分別為352,則該

電路正常工作的概率.

15.如圖，在棱長為1的正方體4sCO—44GR中，尸為底面48C。內(nèi)（包括邊界）的動點，滿足

71

01P與直線CG所成角的大小為％,則線段DP掃過的面積為.

16.已知拋物線C：的焦點為F/（4,0）,過點M作直線"+（"百A—6"2=°的垂線,

垂足為Q,點p是拋物線c上的動點，則歸/"1Pq的最小值為.

四、解答題（本大題共6小題，共計70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）

17已知(l+2x)”=。0+小+出/+-一+4￡'(〃。*),其中4,4,出，…，％eR,且

（1+2%）”展開式中僅有第5項的二項式系數(shù)最大.

（1）求及值及二項式系數(shù)最大項；

（2）求旬+的+%+七+心的值（用數(shù)值作答）.

18.如圖，已知正方形0Aoe的邊長為1,4°，平面0AoC,三角形4BC是等邊三角形.

(1)求異面直線40與8。所成的角的大?。?/p>

(2)點￡在線段40上，若CE=1,求與平面8C。所成的角的大小.

19.學(xué)生甲想加入?；@球隊，籃球教練對其進(jìn)行投籃測試.測試規(guī)則如下：①投籃分為兩輪，每輪均有

兩次機(jī)會，第一輪在罰球線處，第二輪在三分線處；②若他在罰球線處投進(jìn)第一球，則直接進(jìn)入下一輪,

若第一次沒投進(jìn)可以進(jìn)行第二次投籃，投進(jìn)則進(jìn)入下一輪，否則不預(yù)錄?。虎廴羲谌志€處投進(jìn)第一

球，則直接錄取，若第一次沒投進(jìn)可以進(jìn)行第二次投籃，投進(jìn)則錄取，否則不予錄取.已知學(xué)生甲在罰

22

球線處投籃命中率為在三分線處投籃命中率為§.假設(shè)學(xué)生甲每次投進(jìn)與否互不影響.

(1)求學(xué)生甲被錄取的概率；

(2)在這次測試中，記學(xué)生甲投籃的次數(shù)為X,求X的分布列.

20.已知拋物線C：「=4x,尸為C的焦點，直線/與C交于不同的兩點A、B,且點A位于第一象限.

(1)若直線/經(jīng)過c的焦點尸，且H司=6,求直線/的方程；

(2)若直線/經(jīng)過點￡(28)，°為坐標(biāo)原點，設(shè)的面積為岳，ABO廠的面積為邑，求

$+邑的最小值.

21.如圖，等腰梯形/8C。中，AD//BC,AB=BC=CD=2,AD=4現(xiàn)以/C為折痕把“BC折

起，使點3到達(dá)點尸的位置，且尸/,CD.

(1)證明：平面尸平面4c°；

275

(2)M為上的一點，若平面與平面NC。的夾角的余弦值為5,求點尸到平面"CM的

距離.

2

xj?

CF：~7=1(。>b>0)“A八、DS2、

22.在平面直角坐標(biāo)系'的中，已知橢圓ab經(jīng)過點4,。),以2,3),直線

48與y軸交于點尸，過尸的直線/與:T交于兩點(異于48),記直線NC和直線8。的斜率分別

為左，左2(%1%2W0)

(1)求「的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求勺后2的值；

(3)設(shè)直線/C和直線8。的交點為0,求證：。在一條定直線上.

高二數(shù)學(xué)答案

第I卷(選擇題共60分)

、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分.每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正

確的.

匚J1

1.已知雙曲線24,則該雙曲線的漸近線方程為()

片±巴

A.y=±xB.片±2》C.2Dy~士

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)形式結(jié)合漸近線方程求解即可.

22

_i

-%-----y--1

【詳解】因為雙曲線方程為：24

y=土J3=±V2x

所以漸近線方程為：丫2

故選：D

2.設(shè)隨機(jī)變量』的分布列為:

9589

1-夕￡2P

P

323

則。=()

1324

A.4B.4C.5D.5

【答案】D

【解析】

【分析】利用分布列的性質(zhì)，列式計算即得.

l-pp2p_4

------1----1-----1p——

【詳解】由323，得5

4

所以5.

故選：D

卜x+工］

3.在IX）的展開式中，龍的系數(shù)為（）

A.3B.6C.9D.12

【答案】D

【解析】

【分析】寫出每一項的表達(dá)式，即可得出x的系數(shù).

【詳解】由題意，

（2x+-VC：（2x廣臼:C：2*x3-2k

在IXJ中，每一項為〈"J,

當(dāng)3-2左=1即后=1時,C"-JC?=3x4=12,

故選：D.

4.已知‘（—2,°）,'（4加）兩點到直線/：x—y+1=。的距離相等，則加=O

A.-2B.6C.-2或4D.4或6

【答案】D

【解析】

【分析】求出點A到直線/的距離和點3到直線/的距離，二者相等求解方程即可.

|-2+1|V2

【詳解】點A到直線I的距離為Vl2+122,

|4-m+l|V2I5-m\

點B到直線/的距離為Vl?+122,

因為點A到直線/的距離和點8到直線/的距離相等，

所以|5一加|=1,所以機(jī)=4或6.

故選：D.

2兀

AB=2,NDAB=——

5.如圖，在四棱錐尸一N8CO中，底面4BCD為菱形，3,/為棱尸C的中點,

且AM?AB=4,則AP-AB=（）

A.6B.8C.9D.10

【答案】A

【解析】

【分析】利用空間向量的基本運(yùn)算及數(shù)量積公式表示出海?方=4,計算即可.

2兀

AB=2,/DAB=——

【詳解】底面4sCD為菱形，3,

.?.而?方=西?網(wǎng)cos生=—2

為棱尸C的中點，

]]

■,AM=LJP+LAC^-AP+-(AB+AD'}=-AP+-AB+-AD

2222、^222

：.AM-AB=\-AP+-AB+-AD]-AB^-AP-AB+-AB-AB+-AD-AB

(2221222

=牙萬?益+4+(—2)]=4,3uuu

2L」解得/PNB=6.

故選:A.

6.在平面直角坐標(biāo)系中，已知A是圓C1：一+(歹—3)2=1上的一點，8,0是圓

°2：(x—4了+/=4上的兩點，則/6/C的最大值為o

7T7L7C27c

A.6B.3C.2D.3

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意，當(dāng)點A與圓G的距離最短時，且過A與圓G相切時，取得最大值，結(jié)合圓

的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】由點A是圓G：/+（y—3）2=1上的一點，是圓G：（x-4>+廿=4上的兩點，

可得圓心G（."02（4,0）,半徑"=1/2=2,

根據(jù)題意，當(dāng)點A與圓。2的距離最短時，且過人與圓。2：（%—4）2+/=4相切時，

此時ZBAC取得最大值，止匕時芯L=電|T=6r*-1=4,

G1

sinZBAC=-=-ABAC,=-ABAC=-

可得242,所以-6,所以3.

7.今年暑期，《八角籠中》、《長安三萬里》、《封神榜》、《孤注一擲》引爆了電影市場，小明和他的同學(xué)一

行四人決定去看這四部電影，若小明要看《長安三萬里》，則恰有兩人看同一部影片的概率為（）

22J2竺

A.64B.16c.32D.64

【答案】B

【解析】

【分析】對觀看《長安三萬里》的人數(shù)進(jìn)行分類討論，利用排列和組合計數(shù)原理以及古典概型的概率公

式可求得所求事件的概率.

【詳解】分以下兩種情況討論：

（1）小明和其中一人同時看《長安三萬里》，另外兩人看剩余三部電影中的兩部，

C；A；_18_9

此時，所求概率為436432.

（2）觀看《長安三萬里》只有小明一人，只需將剩余三人分為兩組,

C3A3__18_9

再將這兩組人分配給兩部電影，此時，所求概率為436432.

綜上所述，恰有兩人看同一部影片的概率為3216.

故選：B.

8.橢圓具有如下光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線過橢圓的另一個

E:--+=1（。>b>0）

焦點（如圖）.已知橢圓礦斤的左、右焦點分別為片，鳥，過點心的直線與￡交于點

8a四:Sy=

A,B,過點A作￡的切線/,點B關(guān)于/的對稱點為"，若??5,胤3,則聲（）

注：S表示面積.

切線...

57

A.2B.2C.3D.2

【答案】C

【解析】

再結(jié)合S“耳尸2M'l即可得解.

【分析】結(jié)合橢圓性質(zhì)以及光學(xué)性質(zhì)得55

【詳解】如圖，由橢圓的光學(xué)性質(zhì)可得4月三點共線.設(shè)忸與|=x,

則忸G|=2"x,|西|=|/周+|肱4|=|2片|+|/閭+忸引=2°+工

忸娟_2a-x_2

故阿國2a+X3,解得"I.

12。

V

囪掾所產(chǎn)母明告所以V周4￡

T

又

【點睛】關(guān)鍵點睛：關(guān)鍵是充分結(jié)合光學(xué)性質(zhì)以及橢圓定義，將線段長度都用。來表示，由此即可順利得

解.

二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分.每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要

求.全部選對得5分，選對但不全得2分，有選錯的得0分.

9.4個男生與3個女生并排站成一排，下列說法正確的是()(選項中排列數(shù)的計算結(jié)果均正確)

A.若3個女生必須相鄰，則不同的排法有八；,人：=144種

B.若3個女生中有且只有2個女生相鄰，則不同的排法有八：4；仄：=2880種

C.若女生甲不能在最左端，且女生乙不能在最右端，則不同的排法共有八；—2人:+八：=372()種

D.若3個女生按從左到右的順序排列，貝U不同的排法有A”840種

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用相鄰與不相鄰、有位置限制及定序的排列問題，列式計算判斷即可.

【詳解】對于A,3個女生必須相鄰，則不同的排法有A；,A；=720種，人錯誤；

對于B,3個女生中有且只有2個女生相鄰，先排4個男生有人：種，3個女生取2個女生排在一起，

與另1個女生插入4個男生排列形成的5個間隙中，有A-A；,不同排法有八：?八〉八；=2880種，B

正確；

對于C,女生甲不能在最左端，且女生乙不能在最右端，由排除法得不同的排法共有

A；-2A：+A；=3720種，。正確;

?=A；=840

對于D,3個女生按從左到右的順序排列，不同的排法有人3種，D正確.

故選：BCD

C:二+武=1

10.在平面直角坐標(biāo)系X0中，已知々，心分別為曲線4k（無＜4且左?！悖┑淖?、右焦點,

則下列說法正確的是。

A.若°為雙曲線，且它的一條漸近線方程為？2%,則C的焦距為2G

B.若左=一3,過點工作C的一條漸近線的垂線，垂足為則的面積為百

22

------------1

C.若C為橢圓，且與雙曲線左2有相同的焦點，則左的值為1

D.若左=3,尸為曲線C上一點，貝IJ歸胤+戶用的取值范圍是區(qū)16]

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線漸近線方程即可判斷選項AB,利用橢圓和雙曲線方程中0的關(guān)系即可判斷選項

C,根據(jù)橢圓定義，化簡求解即可判斷選項D.

【詳解】設(shè)曲線0的半焦距為c（°＞°）.

對于A,若°為雙曲線，則后＜°,

4-k_1

所以22,解得左=-1,則

雙曲線的焦距為2石，所以A錯誤；

_V3

y——x與g,0）

對于B,0的一條漸近線方程為2

||=/2=v3

所以點與到漸近線的距離八）.

又I叫=療則31=2,

QAORM

所以所以B正確;

=1

對于C,因為橢圓C與雙曲線上2有相同的焦點,

所以4—左=左+2,解得上=1,故c正確;

對于D,設(shè)閥I1止=Z則八+々=2"4,

I尸胤2+|尸鳥「=刀+（4T"=2億—2）2+8

又1=。一。"<tz+c=3

所以當(dāng)八=2時，4」?21）正，

當(dāng)日或3時，—+附>=1。,

所以附「+1明2的取值范圍是[8叫,故D錯誤.

故選：BC

11.有3臺車床加工同一型號的零件，第1,2,3臺加工的次品率分別為6%，5%，4%,加工出來的零件

混放在一起.已知第1,2,3臺車床加工的零件數(shù)的比為5：6：9,現(xiàn)任取一個零件，記事件4="零件為

第i臺車床加工"（"=1,2,3）,事件8="零件為次品"，貝|（）

尸⑷=0.25B區(qū)'J

CP（5）=0.048D."4忸）='

【答案】ACD

【解析】

【分析】AB選項，根據(jù)題意可得到尸（,）5+6+94,0（引4）=5%,判斷AB；C選項，根據(jù)

全概率公式進(jìn)行求解；D選項，根據(jù)貝葉斯公式進(jìn)行計算.

【詳解】AB選項，事件4="零件為第i臺車床加工"”=1，2,3）,事件8="零件為次品，，，

則尸（4）=5+6+9=[,.⑷=5+6+9=記,尸（4）=5+6+9=癡,

（|i）,（I2）,（|s）4%,故A正確，B錯誤；

C選項，尸伊）=尸（4町+尸沁8）+尸（48）

=尸（4）尸（叫4）+尸（4）尸（引4）+尸（4）尸（叫4）

139

=—x6%+—x5%+—x4%=0.048

41020,故C正確;

p（A也、一尸（48）尸（8|4）尸（4）_0.25義6%_5

D選項，11萬P⑻一「⑻-0.048-16

故D正確.

故選：ACD.

12.在棱長為2的正方體481Goi中，尸為平面”四第］上一動點，下列說法正確的有（）

A.若點尸在線段上，則尸?！ㄆ矫婕?c

B.存在無數(shù)多個點P,使得平面4PG1平面BRC

5

C.當(dāng)直線G0〃平面ACDi時，點P的軌跡被以。為球心，2為半徑的球截得長度為1

D.若ZPDC'=NBIDQ,則點p的軌跡為拋物線

【答案】ABC

【解析】

【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可判斷AD的正誤，對于C,可先求出尸的軌跡

為直線再結(jié)合點線距可求軌跡被球截得的長度，故可判斷其正誤，對于D,可先求出尸的軌跡，

據(jù)此可判斷其正誤.

由正方體可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則2（°‘°‘°）,8（°,2,°），°Q,2,0）,O（2,0,0）,

4（0,0,2）,4（0,2,2）,。（2,2,2）,D1（2,0,2）

A,因為點尸在線段43上,故尸（。必2-a）,其中0Wa<2,故尸。=（2,—a,"2）,

設(shè)平面用℃的法向量為加=（，歹,）,ffj]1），11（，，）,

.—?

而4。=0f2x-2z=o

故[應(yīng)用2=0,故（2x-2了=0,取x=l,則z=y=l,故祖=（U，1）,

故尸。?冽=2—a+a_2=0,故W機(jī)，而尸。.平面為D。，故尸?！ㄆ矫鏋椤?故A正確.

B,ZG=（2,2,2）,而zq=2加，故/C]，平面片2。，

當(dāng)尸wZG時，4G，P確定一個平面，止匕時，Gu平面，G。，故平面zqp，平面4E>c,故B正

確.

C,設(shè)尸（W）,則PG=（2,2-s,2-/）,

設(shè)平面"C'l的法向量為五=（‘‘）,又1（，，）,

n-AC=Q[a+b=Q

<

故=0即[a+c=0,取a=l,故b=c=-1,故"=（—）,

因為￡P(guān)〃平面幺3,故〃,尸G=°即2+S-2+/-2=0,

所以s+，=2,故尸的軌跡為直線48,而網(wǎng)=（0「2,2）,5。=（2,-2,0）,

故。到直線4"的距離為Y11;,

59125

4R-2J------6=1

故點尸的軌跡（即直線4"）被以。為球心，2為半徑的球截得長度為V4，故c正確.

D,因為/0℃1=/4℃1,故尸在以。為頂點，為軸的圓錐面上，且圓錐軸截面的頂角的半角為

NBQG

尸在平面“BB/I上，故尸在平面“AS/i與圓錐面的截面上，但℃]//平面48四4,故該截線為雙曲

線的一支，故D錯誤，

故選：ABC.

【點睛】結(jié)論點睛：如果圓錐的軸截面頂角為'，圓錐的對稱軸與平面。所成的角為夕，則當(dāng)萬時,

071cc9

一<,n<—0</?<一

平面a與圓錐面的截面為拋物線；當(dāng)22時，平面a與圓錐面的截面為橢圓，當(dāng)2時,

平面。與圓錐面的截面為雙曲線的一支.

第II卷(非選擇題，共90分)

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共計20分)

13.己知〃為正整數(shù)，且八"一5",則"=.

【答案】5

【解析】

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合排列數(shù)和組合數(shù)的公式，準(zhǔn)確計算，即可求解.

【詳解】由A；=C：：：根據(jù)排列數(shù)和組合數(shù)的公式，可得〃(〃-1)=4〃，解得〃=5.

故答案為：5.

231

尸(Z)=1，P(8)=W，P(C)=3

14.如圖，電路中A、B、C三個電子元件正常工作的概率分別為352,則該

電路正常工作的概率.

8

【答案】15

【解析】

【分析】由題知該電路正常工作指的是A元件正常工作且B,C中至少有一個能正常工作，根據(jù)相互獨(dú)

立事件同時發(fā)生的概率公式代入計算即可.

【詳解】由題，該電路正常工作指的是A元件正常工作且B,C中至少有一個能正常工作，設(shè)A,B,C

元件能正常工作為事件A,B,C,該電路正常工作為事件D,由題A,B,C相互獨(dú)立，則

尸0)=尸(4前>尸⑷[1-尸巧①上尸⑷卜[1-尸(砌[1-尸(C)]}|義=A

8

故答案為：15.

15.如圖，在棱長為1的正方體48co—44GR中，尸為底面48CD內(nèi)（包括邊界）的動點，滿足

3P與直線CG所成角的大小為6,則線段DP掃過的面積為.

【答案】12

【解析】

【分析】根據(jù)題設(shè)描述易知尸的軌跡是以。為圓心，3為半徑的四分之一圓，即可求QP掃過的面積.

71

【詳解】由題設(shè)，DD，CC\,要使2P與直線0G所成角的大小為7,只需RP與直線所成角的

71

01P繞以6夾角旋轉(zhuǎn)為錐體的一部分，如上圖示：尸的軌跡是以。為圓心，3為半徑的四分之

一圓,

L（與x」

...DP在48CD上掃過的面積為4312

71

故答案為：12.

16.已知拋物線C：r=8x的焦點為尸，用（4,0）,過點乂作直線》+（"百》-G"2=0的垂線,

垂足為Q,點P是拋物線C上的動點，則?跳1的最小值為.

11

【答案】2

【解析】

【分析】本題先求出直線必過的定點，再求出。的軌跡方程，再數(shù)形結(jié)合求最值即可.

~BX

【詳解】x=2

x+g_V3—sfici_2=0/曰a—V3x—yf^y-2=0

由

X+\/3a-2=0A

所以直線v7過點

連接AM,則NM=Ji^=2,由題意知點Q在以AM為直徑的圓上，設(shè)°（x/）,所以點Q的軌跡

),

,過點Q,P,N分別作準(zhǔn)線x=-2的垂線，垂足分

則附|+|如即|+|聞平小四闕一4+2一得,

別為B,D,S,連接DQ,當(dāng)且

11

僅當(dāng)B,P,Q,N四點共線且點Q在PN中間時等號同時成立，所以盧朗+戶口的最小值為2.

11

故答案為；2

四、解答題（本大題共6小題，共計70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）

17.已知（1+2萬）”=%+叱+%/+?一+3'（〃€#）,其中%,%,出，…，且

0+2x)"展開式中僅有第5項的二項式系數(shù)最大.

(1)求及值及二項式系數(shù)最大項;

(2)求°。+%+%+%+%的值(用數(shù)值作答).

【答案】⑴"=8,1120/

(2)3281

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意知《最大得出”的值，再計算其即可;

(2)利用賦值法，分另U令％=1和x=-l,得出兩式，相加即可得出/+或+為+%+外的值.

【小問1詳解】

因為(1+2x)”展開式中僅有第5項的二項式系數(shù)最大，

_C4.?_Q,,7；=C^.(2x)4=70xl6x4=1120x4

m即/T僅7有"最B大，所ECHL以故58v7

即〃=8,二項式系數(shù)最大項為第5項：1120/；

【小問2詳解】

令X=1,得+。2+…+。8=3,

令x=_],得/_q+4_.-+。8=（T）=1

1

斯++恁+Q父——X&+1）=3281

兩式相加可得-2

18.如圖，己知正方形OADC的邊長為1,4°,平面OADC,三角形4BC是等邊三角形.

(1)求異面直線/C與8。所成的角的大小；

(2)點￡在線段/C上，若CE=1,求與平面BCD所成的角的大小.

【答案】（1）45°;

⑵30。.

【解析】

【分析】（1）異面直線4C與8。所成的角為/C與0c所成的角，即N/C0或其補(bǔ)角，求解即可;

（2）作EF//AO交OC于點、F,連接。及小，則與平面所成的角為NEDF,由勾股定理

求出EF,DF,即可得出答案.

【小問1詳解】

因為O5DC為正方形，則5D//OC,

則異面直線AC與BD所成的角為4c與OC所成的角，即ZACO或其補(bǔ)角,

因為正方形0Aoe的邊長為1,三角形Z8C是等邊三角形.

所以BC=AB=AC=6,Q/0_L平面OADC,08<=平面，

所以/0L08,所以40=〃京_04=1,

AC)

AO±OC,tanZACO=——=1,/.ZACO=45°

OC

所以異面直線4C與80所成的角為45°.

【小問2詳解】

作EF//40交OC于點F,連接。及刀尸，

QAO_L平面0BDC,EF±平面OBDC,

則ED與平面BCD所成的角為NEDE,

AOCA1V2

因為C￡=l,所以跖CE,則所1,

FF

tanZ￡DF=——=—^>ZEDF=30°

DF3

則ED與平面BCD所成的角的大小為30°

19.學(xué)生甲想加入?；@球隊，籃球教練對其進(jìn)行投籃測試.測試規(guī)則如下：①投籃分為兩輪，每輪均有

兩次機(jī)會，第一輪在罰球線處，第二輪在三分線處；②若他在罰球線處投進(jìn)第一球，則直接進(jìn)入下一輪,

若第一次沒投進(jìn)可以進(jìn)行第二次投籃，投進(jìn)則進(jìn)入下一輪，否則不預(yù)錄取；③若他在三分線處投進(jìn)第一

球，則直接錄取，若第一次沒投進(jìn)可以進(jìn)行第二次投籃，投進(jìn)則錄取，否則不予錄取.已知學(xué)生甲在罰

22

球線處投籃命中率為在三分線處投籃命中率為假設(shè)學(xué)生甲每次投進(jìn)與否互不影響.

（1）求學(xué)生甲被錄取的概率；

（2）在這次測試中，記學(xué)生甲投籃的次數(shù)為X,求X的分布列.

5

【答案】（1）6

（2）分布列見解析

【解析】

【小問1詳解】

記事件A,表示“甲在罰球線處投籃，第i次投進(jìn)“，事件且表示“甲在三分線處投籃，第i次投進(jìn)”.

p（4）=p（4）=zP（Bj=P（Bj=飛

則4,3,

BB

設(shè)事件c表示“學(xué)生甲被錄取”，則0=4與+A'2+444+44B1B2,

1213213215

X—X—+—X—X—+—X—X—X—

所以3344344336

5

所以學(xué)生甲被錄取的概率為％.

【小問2詳解】

由題分析知，X的可能取值為2,3,4.

329

尸（X=2）=尸—X—=——

4316

132313

p(x=3)=0+4A)=—X—X—H--X—=

443438

1311

尸（X=4）=尸（514瓦）=—X—X—=—

44316

所以X的分布列為

X234

931

P

16816

20.已知拋物線Ci?=4x,尸為C的焦點，直線/與C交于不同的兩點A、B,且點A位于第一象限.

\AB\=6,求直線/的方程;

（1）若直線/經(jīng)過°的焦點尸，且

（2）若直線/經(jīng)過點七（2刀），。為坐標(biāo)原點，設(shè)的面積為s，△8OR的面積為邑，求

C_LC

12的最小值.

【答案］（1）y=夜》一行或y=一拒工+逝

⑵4G

【解析】

【分析】（1）分析可知，直線/不與x軸重合，設(shè)直線/的方程為x=my+i,設(shè)點，（石'%）、

'（%，%）,將直線/的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用拋物線的焦點弦長公式求出加的

值，即可得出直線/的方程；

（2）分析可知，直線/不與x軸重合，設(shè)直線/的方程為、=a+1,設(shè)點'（為‘％）、'（％，％）,將直線

8

%=

/的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，可得出乂，利用三角形的面積公式結(jié)合基本不等式

可求得5+02的最