2023北京初三（上）期末數(shù)學(xué)匯編

圓的性質(zhì)

一、單選題

1.（2023秋?北京東城?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在。。中，48是直徑，弦AC的長(zhǎng)為5,點(diǎn)。在圓上，且

ZADC=30°,則的半徑為（）

A.2.5B.5C.7.5D.10

2.（2023秋?北京密云?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AB是。。的直徑，C、。是。。上兩點(diǎn)，ZCDB=40°,則

/ABC的度數(shù)是（）

A.20°B.40°C.50°D.90°

3.（2023秋?北京通州?九年級(jí)統(tǒng)考期末）有下列說(shuō)法：①直徑是圓中最長(zhǎng)的弦；②等弦所對(duì)的圓周角相

等；③圓中90。的角所對(duì)的弦是直徑；④相等的圓心角對(duì)的弧相等.其中正確的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

4.（2023秋?北京平谷?九年級(jí)統(tǒng)考期末）“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一

尺，問(wèn)徑幾何？”這是《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題，用現(xiàn)代的語(yǔ)言表述為：如圖，8為。。的直徑，弦

AB_LCD于E,CE=1寸，弦AB=10寸，則。。的半徑為多少寸（）

C.13D.26

5.（2023秋?北京西城?九年級(jí)北京市第六十六中學(xué)?？计谀┤鐖D，在。。中，C、。為。。上兩點(diǎn)，AB

是。。的直徑，已知NAOC=130。，則/8OC的度數(shù)為（

A.65°B.50°C.30°D.25°

6.（2023秋?北京通州?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A,B,C在。。上，ZACB=35°,則NA08的度數(shù)是

7.（2023秋?北京海淀?九年級(jí)北京市十一學(xué)校校考期末）如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于。。，若四邊形

ABC。是菱形，則”的度數(shù)為（）

二、填空題

8.（2023秋?北京平谷?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在。。中，A,B,C是。。上三點(diǎn)，如果NACB=3（T,弦

AB=5,那么。。的半徑長(zhǎng)為—.

9.（2023秋?北京東城?九年級(jí)統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中《方田》章

計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式是：弧田面積=；（弦X失+失2）.弧田（圖中陰影部分）由圓弧和其所對(duì)的

弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差.現(xiàn)有圓心角為120。，半

徑等于4米的弧田，按照上述公式計(jì)算出弧田的面積約為米2.（73?1.73）

10.（2023秋?北京密云?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，的弦AB長(zhǎng)為2,是。。的直徑,

ZADB=30°,ZADC=15°.

①。。的半徑長(zhǎng)為.

②尸是CO上的動(dòng)點(diǎn)，則PA+PB的最小值是.

11.（2023秋?北京通州?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，半徑為1的。。在格

點(diǎn)上，則/A即的正切值為.

三、解答題

12.（2023秋?北京密云?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AABC內(nèi)接于O。，AE是的直徑，AE±BC,垂足為

D.

（1）求證：ZABO=ZCAE；

（2）已知。。的半徑為5,DE=2,求BC長(zhǎng).

13.（2023秋?北京平谷?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，己知劣弧A8,如何等分A8?下面給出兩種作圖方法，

選擇其中一種方法，利用直尺和圓規(guī)完成作圖，并補(bǔ)全證明過(guò)程.

方法一：①作射線Q4、0B-,

②作ZAOB的平分線0D,與A8交于點(diǎn)G

點(diǎn)C即為所求作.

證明：平分NA93,

ZAOC=NBOC

；?—（）（填推理的依據(jù)）.

方法二：①連接48；

②作線段A3的垂直平分線所，直線石產(chǎn)與A8交于點(diǎn)C；

點(diǎn)C即為所求作.

證明：：所垂直平分弦AB,

二直線E尸經(jīng)過(guò)圓心0,

；?一（一）（填推理的依據(jù)）.

14.（2023秋?北京東城?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，48是。。的直徑，弦。0，居于點(diǎn)￡,CD=2OE,若

AB=4,求CD的長(zhǎng).

15.（2023秋?北京西城?九年級(jí)北京市第六十六中學(xué)?？计谀┫旅媸切炌瑢W(xué)設(shè)計(jì)的“作一個(gè)角等于已知

角”的尺規(guī)作圖過(guò)程.

已知：在AABC中，AB=BC,80平分/ABC交AC于點(diǎn)Z）.

求作：NBPC,使/BPC=/BAC.

作法：①分別以點(diǎn)8和點(diǎn)C為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)E和點(diǎn)R

連接所交2。于點(diǎn)O-,

②以點(diǎn)。為圓心，。2的長(zhǎng)為半徑作。。；

③在劣弧上任取一點(diǎn)尸（不與點(diǎn)A、2重合），連接2尸和CP.所以/3PC=N54C.

根據(jù)小墳設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程.

A

(1)使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形(保留作圖痕跡)；

(2)完成下面的證明.

證明：連接。4、OC.

\"AB=BC,BD平分/ABC,

：.BDLACB.AD=CD.

：.OA=OC.

,/EF是線段BC的垂直平分線，

：.0B=_.

：.OB=OA.

為AABC的外接圓.

:點(diǎn)尸在。。上，

:./BPC=/BAC(_)(填推理的依據(jù)).

16.(2023秋?北京海淀?九年級(jí)北京市十一學(xué)校?？计谀?下面是小石設(shè)計(jì)的“過(guò)三角形一個(gè)頂點(diǎn)作其對(duì)邊

的平行線”的尺規(guī)作圖過(guò)程.

已知：如圖，AABC.

求作：直線B。，使得3?！ˋC.

作法：如圖，

①分別作線段AC,8C的垂直平分線小兩直線交于點(diǎn)。；

②以點(diǎn)。為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓；

③以點(diǎn)A為圓心，BC長(zhǎng)為半徑作弧，交A8于點(diǎn)

④作直線8。.所以直線8。就是所求作的直線.

根據(jù)小石設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明.

證明：連接AD

?.,點(diǎn)A,B,C,。在上，AD=BC,

??AD=---------?

AZDBA=ZCAB（）（填推理的依據(jù)）.

：.BD//AC.

參考答案

1.B

【分析】連接BC,由題意易得ZABC=ZADC=30。，在吊△ACS中解三角形求解.

【詳解】連接BC,

AABC=ZADC=3Q°

在。。中，48是直徑，

:.ZACB=9CP,

在R/AACB中，

ZACB=90°,ZABC=3O°,AC=5

AB=2AC=10

OA=5

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓周角定理及含30。直角三角形的性質(zhì)；熟練掌握?qǐng)A周角定理及含30。直角三角形的

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.C

【分析】首先根據(jù)A3是直徑得出NAC3=90。，然后利用圓周角定理的推論得出

ZCAB=ZCDB=40°,最后利用直角三角形兩銳角互余即可得出答案.

【詳解】解：是。。的直徑，

:.ZACB=90°.

,/ZCAB和NCDB都是8C所對(duì)的圓周角，

:.NCAB=NCDB=40。,

ZABC=90°-ZCAB=50°,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓周角定理的推論及三角形內(nèi)角和定理，掌握?qǐng)A周角定理及其推論的內(nèi)容是解題的

關(guān)鍵.

3.A

【分析】根據(jù)直徑的定義對(duì)①進(jìn)行判斷；根據(jù)圓周角定理對(duì)②③進(jìn)行判斷；根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系對(duì)

④進(jìn)行判斷.

【詳解】解：直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，所以①正確；

在同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等，所以②錯(cuò)誤；

90。的圓周角所對(duì)的弦是直徑，所以③錯(cuò)誤；

在同圓或等圓中，相等的圓心角對(duì)的弧相等，所以④錯(cuò)誤.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的

圓心角的一半.半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角，90。的圓周角所對(duì)的弦是直徑.也考查了圓的認(rèn)識(shí)和

圓心角、弧、弦的關(guān)系.掌握這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

4.C

【分析】連接。4,構(gòu)造直角三角形，根據(jù)垂徑定理和勾股定理求解.

【詳解】解：連接如圖所示，

C

設(shè)直徑CD的長(zhǎng)為2x,則半徑OC=x,

?.?CD為。。的直徑，弦45，3于￡,

AE=BE=-AB=-xlO=5

22f

而OA=OC=x,

根據(jù)勾股定理得尤2=52+(X-l)2,

解得X=13,

即。。的半徑為13寸.

故選C.

【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理和勾股定理；熟練掌握垂徑定理，由勾股定理得出方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

5.D

【分析】先求出的度數(shù)，再根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半求出答案.

【詳解】解：：/AOC=130。，AB是。。的直徑，

ZBOC=180°-ZAOC=50°,

：.ZBDC=^ZBOC^25°,

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半，熟記定理是解題的關(guān)鍵.

6.B

【分析】直接根據(jù)圓周角定理求解.

【詳解】解：???NACB=35。，

/.ZAOB=2ZACB=70°.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，解題的關(guān)鍵是掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都

等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.

7.B

la+b=180?

【分析】設(shè)/AOC=a,NABC=B，由菱形的性質(zhì)與圓周角定理可得;1,，求出夕即可解決問(wèn)題.

1a--b

i2

【詳解】解：設(shè)NAOC=a,NABC寸;

???四邊形ABCO是菱形，

ZABC=ZAOC=/3.

.-.NADC=3；

四邊形ABCD為圓的內(nèi)接四邊形，

...a+￡=180°,

ia+b=180?

1

i1,

ia=-b7

i2

解得：￡二120。,a=60°,則NAZ)C=60。，

故選：B.

【點(diǎn)睛】該題主要考查了圓周角定理及其應(yīng)用，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)；掌握“同圓或等圓

中，一條弧所對(duì)的圓周角是它所對(duì)的圓心角的一半”是解本題的關(guān)鍵.

8.5

【分析】如圖，作直徑AD,連接則/。=/AC3=30。，?ABD90?,可得AD=2AB=10,從而可

得答案.

【詳解】解：如圖，作直徑AD,連接則/O=NAC8=30。，?ABD90?,

,/AB=5,

：.AD=2AB=10,

二。。的半徑為5.

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理的應(yīng)用，含30。的直角三角形的性質(zhì)，作出合適的輔助線構(gòu)建直角三角

形是解本題的關(guān)鍵.

9.8.92

【分析】由題意可知OC_LAB于。，交圓弧于C,由題意得AO=4米，ZAOB=120。解得OD=（OA=2

米，再求出C。，最后由勾股定理得到4。，由垂徑定理求出即可得出結(jié)果.

【詳解】解：如圖，由題意可知，

ZAOB=120°,AB1CD,OA=OB=4（米），

ZDAO=30°,ZADO=90°,AD=BD=-AB

2

:.OD=-OA=2（米）

2

..cr）=oc-00=4—2=2（米）

AD=VtM2-（9r>2=A/42-22=2>/3（米）

AB=2.AD=4A/3（米）

；?弧田面積=；（42、。+。2）

=；x（4島2+2,

=4A/3+2

-8.92（平方米）

故答案為：8.92

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理以及垂徑定理的應(yīng)用；熟練掌握垂徑定理是解答本題的關(guān)鍵.

10.2273

【分析】①連接0Ao8,易證“108是等邊三角形，弦長(zhǎng)為2,OA=OB=2,即可得到答案；

@^ilEZBOC=ZAOB+ZAOC=90°,延長(zhǎng)3。交。。于點(diǎn)E,連接AE交CD于點(diǎn)P,連接3P,則此時(shí)

PA+PB=PA+PE=AE,即PA+P3的最小值是AE的長(zhǎng)，再用勾股定理求出AE即可.

【詳解】解：①連接OAOB,

D

,/ZADB=30°,

ZAC?=60。，

,?OA=OB,

AAOB是等邊三角形，

;弦AB長(zhǎng)為2,

OA=OB=2,

即。O的半徑長(zhǎng)為2,

故答案為：2

②：ZADC=15°,

：.NAOC=2NADC=30。，

ZBOC=ZAOB+ZAOC=90°,

延長(zhǎng)2。交。。于點(diǎn)E,連接AE交8于點(diǎn)P,連接3P,則此時(shí)出+依二9+性二的，即上4+尸3的最

小值是AE的長(zhǎng)，

,?OA=OE=2,

：.ZOAE=ZAEB=30°,

：.NBAE=ZBAO+ZOAE=90°,

,,AE=y/BE2—AB2=A/42—22=2-^3,

即PA+PB的最小值是2白.

故答案為：2也

【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、軸對(duì)稱最短路徑等知識(shí)，熟練掌

握相關(guān)定理并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

11.；.

【分析】根據(jù)圓周角定理可知/ABC,再根據(jù)正切值的定義求解即可.

AT1

【詳解】解：根據(jù)圓周角定理可得NAE￡>=NA8C,liltanZAED=tanZABC==—.

AB2

故答案為：.

【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理；銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是找到NAa)二NABC

12.(1)見(jiàn)解析

(2)8

【分析】（1）由垂徑定理可得BE=CE，由圓周角定理得到N&a=NOLE,由40=30得到

ZABO^ZBAE,即可得到結(jié)論；

（2）由垂徑定理可得B￡>=CD=LBC,ZBD（9=90°,在RMBOD中，由勾股定理可得30=4,即可得

2

到BC長(zhǎng).

【詳解】（1）證明：：AE是。。的直徑，AELBC,

?"-BE=CE，

：.ZBAE=ZCAE,

'：AO=BO,

???AMO是等腰三角形，

ZABO=NBAE,

：.ZABO=ZCAE；

（2）是。。的直徑，AE±BC,

：.BD=CD=-BC,ZBDO=90°,

2

在RtABOD中，OD=OE—DE=5—2=3,03=5,

?，?BD=y/OB2-ODr=V52-32=4>

BC=2BD=8.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了垂徑定理、圓周角定理、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握垂徑定理和圓周角定理的內(nèi)

容是解題的關(guān)鍵.

13.方法一：畫(huà)圖見(jiàn)解析，AC，BC，在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等；方法二：畫(huà)圖見(jiàn)解

析，AC，BC，垂徑定理.

【分析】方法一：按照作圖語(yǔ)句提示作圖，再根據(jù)圓心角與弧的關(guān)系進(jìn)行證明即可；

方法二：按照作圖語(yǔ)句提示作圖，再根據(jù)垂徑定理進(jìn)行證明即可；

【詳解】解：方法一：如圖，點(diǎn)C即為所求作.

D

證明：：0C平分—A03,

ZAOC=NBOC

/.AC=BC（在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等）.

方法二：如圖，點(diǎn)C即為所求作.

證明：：所垂直平分弦AB,

二直線E尸經(jīng)過(guò)圓心0,

AC=BC(垂徑定理).

【點(diǎn)睛】本題考查的是復(fù)雜的作圖，平分弧的作圖，熟練的利用基本作圖解決復(fù)雜的作圖是解本題的關(guān)

鍵，同時(shí)考查了角平分線的定義，線段的垂直平分線的性質(zhì).

14.CD=2V2.

【分析】由垂徑定理得到CE=DE,推出