高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省2025屆高三下學(xué)期普通高等學(xué)校招生考試預(yù)測卷（一）數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，，則，且，，則，，故選：C2.“數(shù)列為常數(shù)列”是“數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若數(shù)列為常數(shù)列，此時是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列，充分性不成立；若數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則，，當(dāng)時，，此時為常數(shù)列；當(dāng)時，；數(shù)列為常數(shù)列，必要性成立；綜上所述：“數(shù)列為常數(shù)列”是“數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列”的必要不充分條件.故選：B.3.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論成立的是（）A B.C. D.【答案】B【解析】，如圖：因為的圖象是開口向上的拋物線，所以；應(yīng)為函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，即為偶函數(shù)，所以；因為有兩根且互為相反數(shù)，所以.綜上：.故選：B．4.化簡：（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.故選：A.5.已知函數(shù)，若圖象上相鄰的兩個零點之間的距離是，且，則（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】依題意，，即，.又，，，將代入，可得，即，，或4，又，.故選：C6.已知拋物線，是的焦點，是的準線與軸的交點，若曲線上的點滿足：，則（）A. B.4 C. D.5【答案】D【解析】由拋物線可知，.因為，所以根據(jù)雙曲線的定義可知：點的軌跡是以為焦點雙曲線的右支，且，，所以的軌跡方程為.聯(lián)立，化簡整理得，即，解得，或（舍去）.所以由拋物線定義及焦半徑公式可知.故選：D.7.函數(shù)與函數(shù)的圖象的交點個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】令函數(shù)，，則定義域為，，是奇函數(shù)，當(dāng)時，；由為奇函數(shù)可得當(dāng)時，，而函數(shù)是偶函數(shù)，且當(dāng)時，，則函數(shù)與的圖象在時無交點；當(dāng)時，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，因此在上只有一個零點，所以函數(shù)與的圖象交點只有一個.故選：B8.已知函數(shù)為函數(shù)的正零點，若（表示不超過的最大整數(shù)），則數(shù)列的前10項和為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】是關(guān)于的二次函數(shù)，其對稱軸為，因為，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以正零點一定在區(qū)間上，又因為，所以，所以，則，故.故選：A．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知平面向量，，若，則下列說法正確的是（）A.與的夾角 B.C. D.在方向上的投影向量為【答案】AD【解析】∵，∴，∴.又，∴，故選項A正確；∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，，故選項B錯誤；∵，∴，即，∴或，故選項C錯誤；在方向上的投影向量，故選項D正確.故選：AD.10.已知一組非負數(shù)樣本數(shù)據(jù)為2，3，5，8，，，則下列說法中正確的是（）A.該組數(shù)據(jù)至多有2個眾數(shù) B.若該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為8，則C.該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)小于極差 D.當(dāng)時，該組數(shù)據(jù)的方差最小【答案】ACD【解析】時，2和8均為眾數(shù)，而a等于其它數(shù)字時，至多有一個眾數(shù)，故選項A正確；，即該組數(shù)據(jù)從小到大排列第4個數(shù)是8，則，故選項B錯誤；∵，若，極差，則，平均數(shù)小于極差；若，極差，則，平均數(shù)小于極差，故選項C正確；∵，∴當(dāng)時，方差最小，故選項D正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)定義域為，函數(shù)是的導(dǎo)函數(shù)，，，則下列說法正確的是（）A. B.的一個周期為2C.的圖象關(guān)于對稱 D.【答案】ACD【解析】，關(guān)于對稱，，故A正確；對求導(dǎo)可得，即，關(guān)于對稱，又，關(guān)于對稱，的一個周期為4，關(guān)于對稱，故B錯誤，故C正確；將代入，可得，將代入，可得，，，，故D正確.故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則_______．【答案】5【解析】，，則，所以．故答案為：13.已知函數(shù)，方程有4個不同的根，且滿足，則的最小值為_______.【答案】【解析】在同一平面直角坐標系下，作出函數(shù)和的圖象如下圖所示：依題意得：，且，則.設(shè)，則，，，所以，令，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.所以的最小值為.故答案為：.14.已知一個圓臺母線長為3，側(cè)面展開圖是一個面積為的半圓形扇環(huán)（如圖所示），在該圓臺內(nèi)能放入一個可以自由轉(zhuǎn)動的正四面體（圓臺表面厚度忽略不計），則該正四面體體積的最大值為_______．【答案】【解析】設(shè)圓臺的側(cè)面展開圖半圓形扇環(huán)的內(nèi)圓半徑為，外圓半徑為，則，化簡得.又圓臺母線長為，所以，聯(lián)立，解得，.設(shè)圓臺上、下底面圓半徑分別為，則，，解得.如圖1，還臺為錐，設(shè)上、下底面圓心為，在中，.又為銳角，所以.由相似性可知，圓臺的軸截面等腰梯形的底角為，故圓臺的高.如圖2，圓錐軸截面為正三角形，則正三角形的內(nèi)切圓半徑即圓錐內(nèi)切球半徑長為.因為正三角形內(nèi)切圓直徑，故圓錐內(nèi)切球即圓臺內(nèi)能放入的最大的球，其半徑為.設(shè)正四面體的棱長為，外接球半徑為，則在正四面體中，可知點為底面的中心，由正弦定理可求得，正四面體的高為，在中，，即，解得.正四面體的外接球半徑為，所以，解得，此時正四面體的體積最大，體積為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15.如圖，在中，角所對的邊分別為，已知是的角平分線，且．（1）求角值；（2）若，求長的最大值．解：（1）設(shè)，，，，，，，，；（2）由余弦定理知，，，又，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．，令，則，令，則，在上單調(diào)遞增，，，此時，即，即.16.某書店年終為回饋廣大書友擬舉辦“贏書卡”答題活動．該活動設(shè)立兩個關(guān)卡，分別為號關(guān)卡和號關(guān)卡．若小明在號關(guān)卡通關(guān)率為，通關(guān)獎勵是500元購書卡；在號關(guān)卡通關(guān)率為，通關(guān)獎勵是600元購書卡；未通關(guān)則無獎勵．（1）若書店只允許隨機選擇一個關(guān)卡闖關(guān)，求小明通關(guān)的概率；（2）若書店規(guī)定在第一關(guān)通關(guān)后必須連續(xù)闖關(guān)，通關(guān)即可獲得對應(yīng)通關(guān)獎勵，第一關(guān)闖通關(guān)失敗后終止游戲，兩關(guān)獎勵互不影響．小明通過擲骰子選擇闖關(guān)的序號，若他擲出的點數(shù)小于3，則先選擇號關(guān)卡，否則選擇號關(guān)卡，記小明贏得購書卡金額為元，則的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：（1）設(shè)事件表示小明選擇號關(guān)卡并通關(guān)，事件表示小明選擇號關(guān)卡并通關(guān)，；（2）小明選擇號關(guān)卡的概率：，小明選擇號關(guān)卡的概率：，由題意，的可能取值為0，500，600，1100，，，，，的分布列如下：05006001100．17.如圖，在長方體中，．（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值．（1）證明：連接交于，連接．由題意知，四邊形為正方形，，在長方體中，平面，平面，，，平面平面，平面，平面，，在矩形中，可知，，又，，，又，平面平面，平面；（2）解：以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，則，即，取，則，，同理可得，設(shè)平面與平面的夾角為，則.18.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)單調(diào)性；（2）記．（?。┤艉愠闪?，求的取值范圍；（ⅱ）若，且，求證：．解：（1）對求導(dǎo)，可得，當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，解得，若，則，若，則，所以上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）（i）由題意，，令，則，當(dāng)時，由（1）可知，在上單調(diào)遞增，，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，成立，當(dāng)時，由（1）可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，故，在上恒成立，故，成立，當(dāng)時，由（1）可知，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，故，不成立，綜上所述，；（ⅱ）由（2）可知，①，且，要證，只要證，即，即②，由①可得，代入②中即證，即證恒成立，令，則恒成立，所以恒成立，故成立．19.在直角坐標系中，點與點的連線的斜率的乘積為定值，記點的軌跡為.（1）求的方程；（2）若點是上兩點，且滿足直線與的斜率之和為.（ⅰ）若點坐標為，求直線的斜率；（ⅱ）若為的外心，證明：平分.解：（1）由題意得：，化簡可得的方程