第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)黑龍江省哈爾濱四中2024-2025學(xué)年高一（下）期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.AB+BC?A.AD B.DA C.CD D.DC2.在復(fù)平面內(nèi)，(2+i)(?1+i)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.若向量a=(2,3)與b=(m,?6)共線，則實(shí)數(shù)m=(

)A.?4 B.4 C.?9 D.94.在△ABC中，已知a=5，c=3，C=30°，則符合條件的三角形個(gè)數(shù)是(

)A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)5.已知a,b為不共線的非零向量，AB=a+5b，BCA.A，B，C三點(diǎn)共線 B.A，B、D三點(diǎn)共線

C.B，C，D三點(diǎn)共線 D.A，C，D三點(diǎn)共線6.將一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體鐵塊磨制成一個(gè)球體零件，則可能制作的最大零件的表面積為(

)A.π6 B.π C.4π D.7.已知向量a=(2cosx,sinx)與b=(cosx,2cosx)，則函數(shù)f(x)=a?A.π B.2π C.3π D.4π8.在△ABC中，M為邊BC上任意一點(diǎn)，N為AM中點(diǎn)，且滿足AN=λAB+μAC，則λA.116 B.14 C.18二、多選題：本題共4小題，共24分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列兩個(gè)向量，能作為平面中一組基底的是(

)A.e1=(1,2)，e2=(?2,4) B.e1=(1,2)，e2=(2,4)

C.10.設(shè)復(fù)數(shù)z=1+3i2+i，則下列命題結(jié)論正確的是(

)A.z的虛部為1 B.z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限

C.|z|=2 D.z是方程11.在△ABC中，D、E、F分別是邊BC、AC、AB中點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是(

)A.BA+BC?2BE=0

B.AB+AC+BC=0

12.在△ABC中內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c，則下列命題中真命題的是(

)A.若ab>c2，則C<π3

B.若tanA≤tanB，則sinA≤sinB

C.若A>B，則sinA>sinB

D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知i為虛數(shù)單位，x，y∈R，若(x?i)i=y?2i，則x+y=______．14.如圖，等腰直角三角形O′A′B′是一個(gè)平面圖形的直觀圖，斜邊O′B′=2，則原圖形的面積是______．15.如圖，在海面上有兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)B，D，點(diǎn)B在D的正北方向，距離為2km，在某天10：00觀察到某航船在C處，此時(shí)測(cè)得∠CBD=45°，5分鐘后該船行駛至A處，此時(shí)測(cè)得，∠ABC=30°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，則該船行駛的距離為_(kāi)_____km．16.《哪吒2》的玉虛宮，形態(tài)由九宮八卦陣演變而來(lái)，設(shè)計(jì)靈感來(lái)源于漢代，內(nèi)飾充滿了中國(guó)文化符號(hào).我校高一數(shù)學(xué)實(shí)踐小組將玉虛宮輪廓抽象為正八邊形，結(jié)合向量知識(shí)進(jìn)行主題探究活動(dòng).如圖，正八邊形ABCDEFGH，邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)Q為線段CD上的動(dòng)點(diǎn)，則AQ?QE的最大值為_(kāi)_____．

四、解答題：本題共5小題，共66分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17.(本小題12分)

設(shè)復(fù)數(shù)z1=1?ai(a∈R)，z2=2+i．

(1)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1+z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上，求z1z18.(本小題12分)

已知A、B、C為△ABC的三內(nèi)角，且其對(duì)邊分別為a、b、c，若acosC+(c+2b)cosA=0．

(1)求A；

(2)若a=23，b+c=4，求△ABC的面積．19.(本小題12分)

已知向量a，b，若|a|=2，|b|=1，a，b夾角為120°．

(1)求|2a?b|；

(2)20.(本小題15分)

已知銳角三角形ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，向量m=(1,3sinB?cosB)，n=(cosA,cosC)，m//n．

(1)求A21.(本小題15分)

如圖所示，設(shè)Ox，Oy是平面內(nèi)相交成θ(0<θ<π)角的兩條數(shù)軸，e1,e2分別是與x，y軸正方向同向的單位向量，則稱平面坐標(biāo)系xOy為θ仿射坐標(biāo)系，若在θ仿射坐標(biāo)系下OM=ae1+be2，則把有序數(shù)對(duì)(a,b)叫做向量OM的仿射坐標(biāo)，記為OM=(a,b)．

(1)若θ=60°,OM=2e1+3e2，求|OM|的模長(zhǎng)；

(2)

答案解析1.【答案】D

【解析】解：AB+BC?AD=AC?AD=2.【答案】B

【解析】解：∵(2+i)(?1+i)=?2+2i?i+i2=?3+i，

∴在復(fù)平面內(nèi)，(2+i)(?1+i)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(?3,1)，位于第二象限．

故選：B．

3.【答案】A

【解析】解：∵a=(2,3)與b=(m,?6)共線，

∴2×(?6)=3m

解得m=?4．

故選：A．

4.【答案】C

【解析】解：在△ABC中，a=5，c=3，C=30°，

因?yàn)閍sinC=5×12=52<c<a，可得該三角形有兩個(gè)．

故選：5.【答案】B

【解析】解：∵AB=a+5b，BC=?2a+8b，

∴不存在λ，使AB=λBC，

故A，B，C三點(diǎn)不共線，

故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

∵BD=BC+CD=a+5b，

∴AB=BD，

∴A，B、D三點(diǎn)共線，

故選項(xiàng)B正確；

∵BC=?2a+8b，CD=3a?3b，

∴不存在λ，使CD=λBC，

故B，C，D三點(diǎn)不共線，

故選項(xiàng)6.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意可得可能制作的最大球即為棱長(zhǎng)為1的正方體的內(nèi)切球，

∴該球的半徑為r=12，

∴可能制作的最大球體零件的表面積為4πr2=π．

故選：B．

7.【答案】A

【解析】解：因?yàn)閍=(2cosx,sinx)，b=(cosx,2cosx)，

則函數(shù)f(x)=a?b=2cos2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x+1=2sin(2x+8.【答案】C

【解析】解：∵N為AM中點(diǎn)，且滿足AN=λAB+μAC，

∴12AM=λAB+μAC，∴AM=2λAB+2μAC，

∵M(jìn)為邊BC上任意一點(diǎn)，

∵2λ+2μ=1，∴λ+μ=12，

∵λ2+μ29.【答案】AC

【解析】解：對(duì)于A，e1=(1,2)，e2=(?2,4)，不存在實(shí)數(shù)λ，使e1=λe2成立，

所以e1與e2不共線，它們可以作為基底，可知A項(xiàng)符合題意；

對(duì)于B，e1=(1,2)，e2=(2,4)，存在實(shí)數(shù)λ=12，使e1=λe2成立，

所以e1與e2共線，它們不可以作為基底，可知B項(xiàng)不符合題意；

對(duì)于C，e1=(0,1)，e2=(?2,0)，不存在實(shí)數(shù)λ，使e1=λe2成立，

所以e1與e10.【答案】ACD

【解析】解：z=1+3i2+i=(1+3i)(2?i)(2+i)(2?i)=5+5i4?i2=1+i，z的虛部為1，故A正確；

因?yàn)閦=1+i，所以z在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1,1)，位于第一象限，故B錯(cuò)誤；

|z|=12+12=2，故C正確；11.【答案】ACD

【解析】解：A.∵E為AC邊的中點(diǎn)，∴BA+BC?2BE=2BE?2BE=0，A正確；

B.AB+AC+BC=AB+BC+AC=2AC≠0，B錯(cuò)誤；

C.∵BA?BE=BC?BE，∴12BA?(BA+BC)=12BC?(BA+BC)，

∴BA2+BA?BC=BC2+BA?BC，

∴BA2=BC2，∴|BA|=|BC|，C正確；

D.AB|AB|,AC|AC|,AD|AD|分別表示平行于AB,AC,AD的單位向量，

12.【答案】ACD

【解析】解：對(duì)于A，若ab>c2，由余弦定理可得cosC=a2+b2?c22ab>2ab?ab2ab=12，

又0<C<π，則0<C<π3，故A正確；

對(duì)于B，取A=105°，B=45°時(shí)，tanA≤tanB，但是sinA>sinB，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，若A>B，由大角對(duì)大邊，有a>b，

再由正弦定理asinA=bsinB，可得sinA>sinB，故C正確；

對(duì)于D，若tanAtanB>1，則A∈(0,π2)，B∈(0,π2)，

所以sinAsinB>cosAcosB，即cos(A+B)<0，所以cosC>0，

所以C∈(0,π2)13.【答案】?1

【解析】解：若(x?i)i=y?2i，

則1+xi=y?2i，

故x=?2，y=1，可得x+y=?1．

故答案為：?1．

應(yīng)用復(fù)數(shù)乘法及復(fù)數(shù)相等得x=?2，y=1，即可得．

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．14.【答案】2【解析】解：由已知得，O′A′=A′B′=2，

所以原圖形中OA=2O′A′=22，OB=O′B′=2，且OA⊥OB，如圖，

因此原圖形面積為S=12OA?OB=12×215.【答案】2【解析】解：由題意得∠ABD=∠ABC+∠CBD=30°+45°=75°，∠CDB=∠ADC+∠BDA=30°+60°=90°，

在△BCD中，∠BDC=90°，∠DBC=∠BCD=45°，結(jié)合BD=2，可得BC=2BD=22km．

在△ABD中，∠ABD=75°，∠ADB=60°，可得∠BAD=45°．

由正弦定理ABsin∠ADB=BDsin∠BAD，得AB=BDsin∠ADBsin∠BAD=2sin60°sin45°=6km，

在△ACB中，∠ABC=30°，

由余弦定理得16.【答案】1

【解析】解：設(shè)CQ=λCD，(0≤λ≤1)，由題可知|CQ|=2λ，|QD|=2?2λ，

∵AQ=AB+BC+CQ，QE=QD+DE，

∴AQ?QE=(AB+BC+CQ)?(QD+DE)

=AB?QD+AB?DE+BC?QD+17.【答案】3?i；

2．

【解析】解：(1)復(fù)數(shù)z1=1?ai(a∈R)，z2=2+i，

則z1+z2=3+(1?a)i，

復(fù)數(shù)z1+z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上，

則1?a=0，解得a=1，

故z1z2=(1?i)(2+i)=3?i；18.【答案】解：(1)∵acosC+(c+2b)cosA=0，

∴由正弦定理可得：sinAcosC+(sinC+2sinB)cosA=0，

可得sinAcosC+sinCcosA+2sinBcosA=0，

可得sin(A+C)+2sinBcosA=0，即sinB+2sinBcosA=0，

∵sinB≠0，

∴cosA=?12，

∵A∈(0,π)，

∴A=2π3．

(2)由a=23，b+c=4，由余弦定理得a2=b2+c2?2bccosA【解析】本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換，余弦定理，三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．

(1)由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)已知等式可得sinB+2sinBcosA=0，由于sinB≠0，可求cosA的值，結(jié)合A∈(0,π)，可求A的值．

(2)由已知利用余弦定理可求bc的值，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可得解．19.【答案】21；

47【解析】(1)已知向量a，b，|a|=2，|b|=1，a，b夾角為120°．

則a?b=2×1×(?12)=?1，

則|2a?b|=4a2?4a?b+b2=16+4+1=21；

(2)已知向量λ20.【答案】解：(1)因?yàn)閙=(1,3sinB?cosB)，n=(cosA,cosC)，且m//n，

所以1×cosC?cosA?(3sinB?cosB)=0，

即cosC?3sinBcosA+cosBcosA=?cos(A+B)?3sinBcosA+cosBcosA

=sinAsinB?cosBcosA?3sinBcosA+cosBcosA

=sinAsinB?3sinBcosA=sinB(sinA?3cosA)=0，

因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以A，B∈(0,π2)，所以sinB≠0，

則有sinA?【解析】(1)借助向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算和三角恒等變換公式化簡(jiǎn)后即可得；

(2)借助正弦定理可得2bc=3tanC21.【答案】19；

不正確，理由見(jiàn)解答；

2【解