歷年數(shù)學一試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sinx\)的導數(shù)是（）A.\(\cosx\)B.-\(\cosx\)C.\(\sinx\)D.-\(\sinx\)2.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)的值為（）A.0B.1C.不存在D.\(\infty\)3.積分\(\intx^2dx\)等于（）A.\(\frac{1}{2}x^3+C\)B.\(\frac{1}{3}x^3+C\)C.\(\frac{1}{4}x^3+C\)D.\(x^3+C\)4.向量\(\vec{a}=(1,2)\)與向量\(\vec=(2,k)\)平行，則\(k\)的值為（）A.1B.2C.3D.45.函數(shù)\(z=x^2+y^2\)在點\((1,1)\)處的全微分\(dz\)為（）A.2dx+2dyB.2dx-2dyC.dx+dyD.dx-dy6.設矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}\)，則\(A\)的逆矩陣\(A^{-1}\)是（）A.\(\begin{pmatrix}1&0\\0&\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&0\\0&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}0&1\\\frac{1}{2}&0\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}0&\frac{1}{2}\\1&0\end{pmatrix}\)7.已知隨機變量\(X\)服從正態(tài)分布\(N(1,4)\)，則\(E(X)\)為（）A.1B.2C.3D.48.級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)是（）A.發(fā)散B.條件收斂C.絕對收斂D.不能確定9.曲線\(y=x^3\)在點\((1,1)\)處的切線方程為（）A.\(y=3x-2\)B.\(y=2x-1\)C.\(y=3x+2\)D.\(y=2x+1\)10.方程\(x^2+y^2-2x+4y=0\)表示的圖形是（）A.點B.直線C.圓D.橢圓二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=\cosx\)D.\(y=e^x\)2.下列極限中，值為1的有（）A.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)B.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\tanx}{x}\)C.\(\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x\)D.\(\lim\limits_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}\)3.以下積分運算正確的有（）A.\(\int\cosxdx=\sinx+C\)B.\(\inte^xdx=e^x+C\)C.\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)D.\(\intx^4dx=\frac{1}{5}x^5+C\)4.向量\(\vec{a}=(1,-2,3)\)與下列哪些向量垂直（）A.\(\vec=(2,1,0)\)B.\(\vec{c}=(-3,2,\frac{7}{3})\)C.\(\vecz3jilz61osys=(0,0,0)\)D.\(\vec{e}=(3,1,-\frac{1}{3})\)5.二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處可微的充分條件有（）A.兩個偏導數(shù)\(f_x(x_0,y_0)\)，\(f_y(x_0,y_0)\)存在B.兩個偏導數(shù)\(f_x(x,y)\)，\(f_y(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處連續(xù)C.\(\lim\limits_{\Deltax\to0,\Deltay\to0}\frac{\Deltaz-f_x(x_0,y_0)\Deltax-f_y(x_0,y_0)\Deltay}{\sqrt{(\Deltax)^2+(\Deltay)^2}}=0\)D.函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處連續(xù)6.設\(n\)階矩陣\(A\)、\(B\)滿足\(AB=O\)，則下列說法正確的是（）A.\(r(A)+r(B)\leqn\)B.\(A=O\)或\(B=O\)C.\(|A|=0\)或\(|B|=0\)D.\(A\)和\(B\)都不可逆7.若隨機變量\(X\)服從二項分布\(B(n,p)\)，則（）A.\(E(X)=np\)B.\(D(X)=np(1-p)\)C.\(P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}\)，\(k=0,1,\cdots,n\)D.\(X\)只能取非負整數(shù)8.下列級數(shù)中，收斂的有（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n}\)9.曲線\(y=x^2\)與\(y=2-x^2\)所圍成圖形的面積計算方法正確的有（）A.\(\int_{-1}^{1}[(2-x^2)-x^2]dx\)B.\(2\int_{0}^{1}[(2-x^2)-x^2]dx\)C.\(\int_{-1}^{1}(2-2x^2)dx\)D.\(\int_{0}^{1}(2-2x^2)dx\)10.下列方程中表示二次曲面的有（）A.\(x^2+y^2+z^2=1\)B.\(x^2-y^2=0\)C.\(z=x^2+y^2\)D.\(x+y+z=1\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\lnx\)的定義域為\((0,+\infty)\)。（）2.若\(f^\prime(x_0)=0\)，則\(x_0\)一定是函數(shù)\(f(x)\)的極值點。（）3.積分\(\int_{0}^{1}x^2dx=\int_{1}^{0}x^2dx\)。（）4.向量\(\vec{a}\)與向量\(-\vec{a}\)平行。（）5.二元函數(shù)\(z=x^2y\)，則\(z_{xy}=2x\)。（）6.若矩陣\(A\)可逆，則\(|A|\neq0\)。（）7.已知隨機變量\(X\)的期望\(E(X)=2\)，則\(E(2X+1)=5\)。（）8.級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}1\)收斂。（）9.曲線\(y=x^3\)的凹凸區(qū)間的分界點是\((0,0)\)。（）10.方程\(x^2-y^2=4\)表示雙曲線。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+5\)的單調(diào)區(qū)間。答案：先求導\(y^\prime=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(y^\prime>0\)，得\(x<0\)或\(x>2\)，此為單調(diào)遞增區(qū)間；令\(y^\prime<0\)，得\(0<x<2\)，此為單調(diào)遞減區(qū)間。2.計算積分\(\int_{0}^{1}xe^{x^2}dx\)。答案：令\(t=x^2\)，\(dt=2xdx\)。當\(x=0\)，\(t=0\)；當\(x=1\)，\(t=1\)。則\(\int_{0}^{1}xe^{x^2}dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}e^tdt=\frac{1}{2}(e^t)|_{0}^{1}=\frac{1}{2}(e-1)\)。3.已知矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&1\\2&3\end{pmatrix}\)，求\(A\)的特征值。答案：矩陣\(A\)的特征方程為\(\vert\lambdaE-A\vert=\begin{vmatrix}\lambda-1&-1\\-2&\lambda-3\end{vmatrix}=(\lambda-1)(\lambda-3)-2=\lambda^2-4\lambda+1=0\)，解得特征值\(\lambda_{1,2}=2\pm\sqrt{3}\)。4.簡述連續(xù)型隨機變量概率密度函數(shù)的性質(zhì)。答案：性質(zhì)有\(zhòng)(f(x)\geq0\)，\(\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1\)；\(P(a<X\leqb)=\int_{a}^f(x)dx\)；在\(f(x)\)連續(xù)點處\(F^\prime(x)=f(x)\)，其中\(zhòng)(F(x)\)是分布函數(shù)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)在不同區(qū)間的單調(diào)性及漸近線情況。答案：求導\(y^\prime=-\frac{1}{(x-1)^2}<0\)，在\((-\infty,1)\)和\((1,+\infty)\)單調(diào)遞減。\(x=1\)是垂直漸近線，\(y=0\)是水平漸近線。因為\(\lim\limits_{x\to1^{\pm}}\frac{1}{x-1}=\pm\infty\)，\(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x-1}=0\)。2.討論矩陣的初等變換在求解線性方程組中的應用。答案：將線性方程組的增廣矩陣通過初等行變換化為行最簡形矩陣，可直接讀出方程組的解。若行最簡形矩陣對應的方程出現(xiàn)矛盾方程，方程組無解；若主元個數(shù)等于未知數(shù)個數(shù)，有唯一解；主元個數(shù)小于未知數(shù)個數(shù)，有無窮多解。3.討論隨機變量數(shù)字特征期望與方差的實際意義。答案：期望反映隨機變量取值的平均水平。比如平均成績、平均收入等。方差衡量隨機變量取值相對于期望的離散程度，方差小說明取值集中穩(wěn)定，方差大則取值分散不穩(wěn)定，如產(chǎn)品質(zhì)量穩(wěn)定程度可用方差衡量。4.討論級數(shù)收斂性判斷方法有哪些以及各自的適用情況。答案：方法有比較判別法，適用于和已知斂散性級數(shù)比較的情況；比值判別法、根值判別法多用于通項含\(n\)