函數(shù)奇偶性面試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$f(x)=x^3$是（）A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)2.若函數(shù)$f(x)$為偶函數(shù)，且$f(2)=3$，則$f(-2)$等于（）A.-3B.3C.0D.63.函數(shù)$f(x)=x+\frac{1}{x}$的奇偶性是（）A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)4.下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（）A.$y=x^3+1$B.$y=x^2+1$C.$y=3x$D.$y=\frac{1}{x}$5.已知函數(shù)$f(x)$是奇函數(shù)，當(dāng)$x\gt0$時(shí)，$f(x)=x^2-1$，則$f(-2)$的值為（）A.3B.-3C.4D.-46.函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$是（）A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)7.若$f(x)$是奇函數(shù)，且$f(0)$有意義，則$f(0)$的值為（）A.0B.1C.-1D.任意實(shí)數(shù)8.函數(shù)$y=\cosx$是（）A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)9.函數(shù)$f(x)=|x|$的奇偶性是（）A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)10.已知函數(shù)$f(x)$是偶函數(shù)，其定義域?yàn)?[-2,2]$，且在$[0,2]$上單調(diào)遞增，則$f(-1)$與$f(1)$的大小關(guān)系是（）A.$f(-1)\gtf(1)$B.$f(-1)\ltf(1)$C.$f(-1)=f(1)$D.無法確定二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中是奇函數(shù)的有（）A.$y=x^5$B.$y=\sinx$C.$y=\frac{1}{x^3}$D.$y=\cosx$2.函數(shù)$f(x)$為偶函數(shù)的條件有（）A.$f(x)=f(-x)$B.函數(shù)圖象關(guān)于$y$軸對稱C.$f(-x)=-f(x)$D.函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱3.以下函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有（）A.$y=x$B.$y=x^3$C.$y=\frac{1}{x}$D.$y=x^2$4.已知函數(shù)$f(x)$是奇函數(shù)，$g(x)$是偶函數(shù)，下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）A.$f(x)g(x)$B.$f(x)+g(x)$C.$f(g(x))$D.$g(f(x))$5.對于函數(shù)奇偶性，下列說法正確的是（）A.偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱B.奇函數(shù)的定義域不一定關(guān)于原點(diǎn)對稱C.若函數(shù)$f(x)$的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，則$f(x)$非奇非偶D.奇函數(shù)的圖象一定過原點(diǎn)6.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)具有奇偶性且是周期函數(shù)的有（）A.$y=\sinx$B.$y=\cosx$C.$y=\tanx$D.$y=x^2$7.若函數(shù)$f(x)$是偶函數(shù)，且在$[a,b]$上單調(diào)遞減，則在$[-b,-a]$上（）A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減C.圖象與$[a,b]$上圖象關(guān)于$y$軸對稱D.圖象與$[a,b]$上圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱8.已知函數(shù)$f(x)$滿足$f(x+2)=-f(x)$，且$f(x)$是奇函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.$f(x)$是周期函數(shù)B.函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)$(1,0)$對稱C.$f(2)=0$D.$f(x)$在$[0,2]$上單調(diào)遞增9.函數(shù)$f(x)$是定義在$R$上的奇函數(shù)，且$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增，則$f(x)$在$(-\infty,0)$上（）A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減C.圖象與$(0,+\infty)$上圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱D.有最大值10.下列函數(shù)中，與函數(shù)$y=x$奇偶性相同的有（）A.$y=3x$B.$y=x^3$C.$y=\frac{1}{x}$D.$y=x+1$三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$f(x)=x^2+2x$是偶函數(shù)。（）2.奇函數(shù)的圖象一定過原點(diǎn)。（）3.若函數(shù)$f(x)$滿足$f(-x)=f(x)$，則$f(x)$是偶函數(shù)。（）4.函數(shù)$y=\frac{1}{x-1}$是奇函數(shù)。（）5.偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同。（）6.函數(shù)$f(x)=0$（定義域?yàn)?R$）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。（）7.若$f(x)$是奇函數(shù)，$g(x)$是偶函數(shù)，則$f(x)g(x)$是奇函數(shù)。（）8.函數(shù)$y=\cos(x+\frac{\pi}{2})$是奇函數(shù)。（）9.函數(shù)$f(x)$的定義域?yàn)?[-1,2]$，則$f(x)$一定不是奇函數(shù)。（）10.若函數(shù)$f(x)$在定義域內(nèi)滿足$f(1+x)=f(1-x)$，則$f(x)$是偶函數(shù)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述判斷函數(shù)奇偶性的一般步驟。答案：先確定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，若不對稱則非奇非偶；若對稱，再判斷$f(-x)$與$f(x)$關(guān)系，$f(-x)=f(x)$為偶函數(shù)，$f(-x)=-f(x)$為奇函數(shù)。2.已知函數(shù)$f(x)$是奇函數(shù)，且在$[0,+\infty)$上單調(diào)遞增，說明$f(x)$在$(-\infty,0)$上的單調(diào)性。答案：$f(x)$在$(-\infty,0)$上也單調(diào)遞增。因?yàn)槠婧瘮?shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，$[0,+\infty)$上遞增，則對稱區(qū)間$(-\infty,0)$上同樣遞增。3.舉例說明一個(gè)既是奇函數(shù)又是周期函數(shù)的函數(shù)，并寫出其周期。答案：如$y=\sinx$，它是奇函數(shù)，周期$T=2\pi$。正弦函數(shù)滿足$\sin(-x)=-\sinx$為奇函數(shù)，且$\sin(x+2\pi)=\sinx$，周期是$2\pi$。4.若函數(shù)$f(x)$是偶函數(shù)，且$f(x)$在$[0,+\infty)$上有表達(dá)式$f(x)=x^2-2x$，求$f(x)$在$(-\infty,0)$上的表達(dá)式。答案：設(shè)$x\lt0$，則$-x\gt0$，$f(-x)=(-x)^2-2(-x)=x^2+2x$，因?yàn)?f(x)$是偶函數(shù)，$f(x)=f(-x)$，所以$f(x)$在$(-\infty,0)$上表達(dá)式為$f(x)=x^2+2x$。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)奇偶性在實(shí)際應(yīng)用中的意義。答案：在物理學(xué)中，可簡化計(jì)算，如簡諧振動(dòng)、電場磁場分析。在信號(hào)處理里，能幫助分析信號(hào)特征，如區(qū)分對稱與非對稱信號(hào)，更好進(jìn)行濾波、降噪等處理，提升系統(tǒng)性能和分析效率。2.結(jié)合具體函數(shù)，討論奇函數(shù)和偶函數(shù)在圖象上的特點(diǎn)及應(yīng)用。答案：以$y=x^3$奇函數(shù)為例，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，利用此可由一半圖象推另一半。$y=x^2$偶函數(shù)圖象關(guān)于$y$軸對稱，可利用對稱性研究函數(shù)性質(zhì)、繪制圖象、分析最值等，簡化問題求解。3.探討當(dāng)函數(shù)同時(shí)具有奇偶性和周期性時(shí)，如何利用這些性質(zhì)來研究函數(shù)。答案：利用奇偶性可知函數(shù)圖象對稱關(guān)系，周期性確定函數(shù)值的重復(fù)規(guī)律。結(jié)合兩者，可通過研究一個(gè)周期內(nèi)情況，如單調(diào)性、最值等，推廣到整個(gè)定義域，減少研究范圍，簡化分析過程。4.討論如何根據(jù)函數(shù)的奇偶性來優(yōu)化函數(shù)的計(jì)算過程。答案：對于偶函數(shù)，計(jì)算時(shí)可利用$f(x)=f(-x)$，只算一側(cè)值。奇函數(shù)若已知一側(cè)值，另一側(cè)可由$f(-x)=-f(x)$快速得。還能據(jù)此簡化積分等運(yùn)算，減少計(jì)算量和復(fù)雜度。答案一、單項(xiàng)選擇題1.A2.B3.A4.B