含多重積分的變分作者：鮑祥平含多重積分的變分問題在數(shù)學(xué)和物理領(lǐng)域中具有重要意義，尤其在理論物理、工程學(xué)和經(jīng)濟學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。這類問題通常涉及到Lagrange函數(shù)（也即變函函數(shù)）一個或多個自變量函數(shù)，這些自變量函數(shù)依賴于多個變量，并且相應(yīng)的泛函I需要在多維空間上進行積分。在變分法中，我們關(guān)注的是一個泛函的極值問題，這個泛函通常包含一個或多個多重積分。泛函的自變量通常是一個或多個函數(shù)，這些函數(shù)定義了積分路徑或積分區(qū)域上的某種性質(zhì)。我們的目標是找到這些函數(shù)，使得泛函取得極值（通常是最大值或最小值）。解決含多重積分的變分問題通常需要使用變分原理，這涉及到對泛函進行變分，并求解由此產(chǎn)生的歐拉-拉格朗日方程或更一般的變分方程。這些方程描述了泛函極值條件下函數(shù)應(yīng)滿足的關(guān)系。在實際應(yīng)用中，含多重積分的變分問題可能涉及復(fù)雜的幾何形狀、物理過程或經(jīng)濟模型。因此，解決這類問題通常需要深厚的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和專業(yè)知識，以及適當?shù)臄?shù)值方法和計算工具。總的來說，含多重積分的變分問題是一個具有挑戰(zhàn)性和重要性的研究領(lǐng)域，它為我們提供了一種強大的工具來分析和優(yōu)化各種復(fù)雜系統(tǒng)的性能。給定Ω??Ｎ為一有界區(qū)域，其中?Ω∈C1，給定一個Lagrange函數(shù)I上面為了書寫簡便，我們引入記號：x=u=p=p??6.1Euler-Lagrange方程的推導(dǎo)稱u0∈MI如果上面不等式只在Qu0φ>λ時成立，u0類似于單變量的情形，我們在假定u0為簡潔起見，有時我們用記號τ=定理6.1設(shè)L∈C2,u0∈Cα證明?φ∈C01Ω0==φix在?Ω上等于0,在邊界上的積分為0。對于每一個Ω我們將從更一般的情形來證明高維的duBois-Reymond引理。先引入單變量的鐘形函數(shù)ψ對于多變量x=xφ其中x對任意充分小的ε>φ給定一個區(qū)域Ω??n，對任意充分小的設(shè)u∈Lu做變量替換z=y?xδ，u由于x,y∈Ω，以及對x的限制，所以z∈B1θ，B1θΩ事實上，如果我們用Ωδ0上的連續(xù)函數(shù)υ取代u，那么以上極限顯然是成立的，又因為CΩδ0我們得到如下引理：引理6.1設(shè)u∈LlocΩ推論6.1設(shè)u∈LΩ則ux證明事實上?δ>φ根據(jù)上面的題設(shè)φ=u再按引理6.1uδx→ux，a.e，和一元函數(shù)一樣，我們稱ELυ為關(guān)于L的Euler-Lagrange算子。注6.1如果沒有假設(shè)u∈C2，那么還可以定義Euler-Lagrange算子，不過Lp類似于第二講中注2.2與注2.3，對于含多重積分的變分問題我們也可以把泛函定義域M中的函數(shù)類C1Ω,?N，換成Lipschitz函數(shù)類LipΩ,?N，或者更特殊些，逐片C1的連續(xù)函數(shù)類PWC1Ω,?例6.1（Drichlet積分）設(shè)N=1，D有E-L方程α這就是調(diào)和方程。又稱Laplace方程。也可以考慮更一般的變分問題，如L其中a∈CΩ??u例6.2（波動方程）用?1×?3表示時空連續(xù)統(tǒng)（就是一個時間軸加上了一個空間坐標系，構(gòu)成時空四維空間，時間軸與空間坐標系正交，空間坐標系的坐標軸與時間軸經(jīng)過同一原點，兩兩相互正交），時空中一點的坐標是t,x其中t表示時間，x=x彈性波的動能是T位能是ULagrange函數(shù)是I按穩(wěn)定作用量原理，彈性波的位移是這個Lagrange函數(shù)對應(yīng)的E-L方程E的解。這個方程就是Alembert方程。類似的，如果還有內(nèi)力或外力，那么在位能中可以再添加一些其它項，例如U其中M>0是個常數(shù)。這時對應(yīng)的E-L方程是Klein-Gordon方程：E又如U這時對應(yīng)的E-L方程是非線性波方程E例6.3（極小曲面）設(shè)Ω??n，給定函數(shù)u∈C1Ω，它的圖像A給定邊值u?Ωdiv注意到這個超曲面的平均曲率是H如果給定了平均曲率函數(shù)Hx，x∈Ω，div值得注意的是6.I的E-L方程。特別地，當n=2時，方程變?yōu)?+比較方程6.2與現(xiàn)在我們來求極小曲面方程的一個特殊解：ux,y=fx+gy1+即f解出arctanff同理g故u這個解對應(yīng)的極小曲面被稱為Scherk曲面。例6.4（Maxwell方程）時空中一點的坐標是x0，x1，x2在電磁場中電荷分部ρ和電流場j都是時空的函數(shù)，E=EMaxwell方程組寫作?因為??B=0，假設(shè)存在磁動勢A=???×所以可認為磁場強度B是某個磁動勢A的旋度?×BBB再由Faraday?×推出存在電勢A0E+我們把A=AF則F現(xiàn)在我們定義Lagrange函數(shù)L=?其中J=j對應(yīng)的泛函是作用量I由此導(dǎo)出E-L方程?p因為?所以j=0這正是Maxwell方程組中的Ampere定律（i=0,1,2,3）與電荷的Gauss注6.2（A0，AA取代Aj添加Lorentz條件?可以消除這種不唯一性。6.2邊值條件和單重積分的變分問題一樣，對于多重積分的變分問題，隨泛函定義域中函數(shù)在邊值上的不同要求，所得的E-L方程還需添加不同的邊值條件，我們前面討論過的定義域M有固定的邊值函數(shù)：M如此得到的u?E外，還必須滿足邊值條件u如果把定義域換成M=C1Ω,?N，也就是說，在區(qū)間Ω的邊界?E再由分部積分公式δ=觀點一，其中dHn?1x為減去第i項的?Ω的面積微元，να觀點二，δ除非ELu?Ω是不可能的。6.3二階變分給定Ω??n，給定一個Lagrange函數(shù)L∈C2Ω×對?φ∈C0δ=其中τ=同樣引入簡單記號A=B=C=以及ABC并記Q上面都是簡記符號，讀者必須學(xué)會展開。如果u0Q其中C01Ω，?對于任意類的u0，φ∈C0Q則u0就是I的一個嚴格弱極小點，如果Qu0φ≥∞我們用記號Q來表示。注意這只是個記號。實際上只要Qu仿照n=1的情況，我們也有類似的Legendre-Hadamard條件。?x0∈Ωφ代入6.Q令μ→j,k=1這個不等式說明了整體最優(yōu)時必須局部達到最優(yōu)?，F(xiàn)在對?ρ∈ν以及ν代入以上不等式，然后相加，再令t→∞，再兩邊除以j,k=1即j,k=1由于ξ，j,k=1這就是Legendre-Hadamard條件j,k=1如果我們使用秩1矩陣的記號π那么6.8可以等價的寫成j,k=1如果?λ>j,k=1?那么我們稱其為嚴格Legendre-Hadamard條件，它是弱極小的必要條件。ξ，η是有限的，λ可以任意小，所以j,k=1?本人覺得嚴格Legendre-Hadamard條件只需寫成j,k=1?就夠了。由于ξ,ηj,k=1也即Ω6.j,k=1這里矩陣π=π對于多重積分變分問題還有一個更強條件：j,k=1我們稱其為一致強橢圓條件。當N=1或總結(jié)如下：定理6.2設(shè)L∈C2，又設(shè)u0∈M是I的一個弱極小點，則6δ且Ω則u0如果Ωφx6.10蘊含了嚴格Legendre-Hadamard條件6.9，但6.4Jacobi場對于多重積分的變分問題，也有Jacobi場的概念。設(shè)L∈C3，δ即Q泛函Qu0的k=1j=1,2,?,N和n=1的情形一樣，我們稱這個方程為Jacobi方程，并稱J為沿u0的Jacobi算子，其中ψJacobi方程的任一C2解稱為沿u對于滿足嚴格Legendre-Hadamard條件的微分算子有如下不等式：引理6.2（Garding不等式）設(shè)aαβjkx是Ω??α則存在α>0及Ω?這個定理后面一項沒起多大作用，可以略去，只需Ω或Ω證明對于N=1，這個結(jié)論是顯然的，而且c0α出發(fā)，兩邊積分就得到了。當N>1時，aαβjkx是常數(shù)，可以利用Fourier變換來證明。讓φφ則有2π于是由Parsaval等式j(luò),k=1≥=σ對于變系數(shù)情形，可以利用單位分解，在每個小鄰域內(nèi)把系數(shù)凍結(jié)為常數(shù)，化歸前面的估計，所得的余項用Schwarz不等式合并到右邊第二個積分中去。由于繁瑣這里證明略去（有興趣的讀者可以參看K.Yosida,FunctionalAnalysis,pp.175-177）引理6.3設(shè)L∈C2滿足嚴格Legendre-Hadamard條件，即L又設(shè)存在μ>Q則存在λ>Q從而u0是I的一個嚴格弱極小點。實際上Qu