第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數(shù)學總復習《一次函數(shù)中等腰三角形存在性問題》專項測試卷(帶答案)學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________1．如圖，一次函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的圖象交于和兩點．(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；(2)請直接寫出不等式的解集；(3)連結(jié)，設(shè)點為軸上一點，使得為等腰三角形，求點的坐標．2．如圖，在平面直角坐標系中，直線與拋物線交于，兩點，點的橫坐標為1．(1)求直線和拋物線的解析式；(2)點是直線下方的拋物線上的一動點（不與點，重合），過點作軸的平行線，與直線交于點，連接．設(shè)點的橫坐標為．當點在軸上方，為何值時，是等腰三角形；當點在軸下方，為何值時，的周長最大，最大值是多少？3．如圖，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點．過點的直線與軸交于點，與拋物線交于點，連接，已知．

(1)求的長．(2)求的面積．(3)拋物線對稱軸上是否存在一點，使以，，為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．4．如圖，在平面直角坐標系中，直線分別與軸、軸交于點、．(1)求直線的解析式；(2)求；(3)若點C在軸上且為等腰三角形，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標．5．在平面直角坐標系中，，，，．(1)填空：，；(2)若，，三點組成的三角形是等腰三角形，求的值；(3)已知點在第一象限，直線交軸于點，直線交軸于點．當時，拋物線經(jīng)過，兩點，且的對稱軸經(jīng)過點，求與軸的兩個交點間的距離．6．如圖，一次函數(shù)與一次函數(shù)交于x軸上的同一點A，且一次函數(shù)交y軸于點B，一次函數(shù)交y軸于點C．(1)求k的值；(2)若點E是x軸上的一個動點，是以為腰的等腰三角形，求點E的坐標；(3)若點P是上的一個動點，若，求點P的坐標．7．如圖，直線交軸于點，交軸于點，直線交直線于點是直線上一動點，且在點上方，設(shè)點的縱坐標為．(1)求直線的解析式；(2)求的面積（用含的代數(shù)式表示）；(3)當?shù)拿娣e等于1時，在軸上是否存在點，使是等腰三角形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．8．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖像與軸交于點，與軸交于點，且與正比例函數(shù)的圖像交點為．(1)點的坐標為______；(2)求的面積；(3)在軸上求一點，使是以為腰的等腰三角形．請直接寫出所有符合條件的點的坐標______．9．如圖，正比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于點，一次函數(shù)圖象與軸的交點為，與軸的交點為．(1)求一次函數(shù)的表達式；(2)一次函數(shù)的圖象上是否存在點，使得，若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由；(3)如果在一次函數(shù)的圖象存在點，使是以為腰的等腰三角形，請求出點的坐標．10．如圖1，拋物線與坐標軸交于A、B、C三點，連接．直線分別與拋物線、、x軸交于D、E、F三點，連接、、、．(1)用m來表示的長；(2)①當為等腰三角形時，求m的值；②設(shè)的面積為，的面積為，當時，求m的值．(3)如圖2，直線l經(jīng)過的中點且與拋物線交于M、N兩點，直線分別與l、x軸交于G、Q兩點，當平分的面積時，求l的解析式．11．如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸、軸分別交、兩點，與直線相交于點．(1)求和的值；(2)若直線與軸相交于點，動點從點開始，以每秒個單位的速度向軸負方向運動，設(shè)點的運動時間為秒；點的坐標為_____，點的坐標為_____；若點在線段上，且的面積為時，求的值；直接寫出為何值時，為等腰三角形．12．如圖，已知正比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點，點在第四象限，過點作軸，垂足為，點的橫坐標為4，且三角形的面積為8．(1)求正比例函數(shù)的解析式；(2)已知，在直線上（除點外）是否存在點，使得三角形為等腰三角形？若存在，直接寫出的長；若不存在，請說明理由．13．已知直線與x軸交于點A，與y軸交于點B．(1)點A的坐標為_________，點B的坐標為__________；(2)直線上是否存在一點C（C與B不重合），使的面積等于的面積？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由；(3)x軸上是否存在一點D，使為等腰三角形？若存在，請直接寫出點D的坐標；若不存，在請說明理由．14．如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸、軸分別交、兩點，與直線相交于點，若直線與軸相交于點．動點從點開始，以每秒1個單位的速度向軸負方向運動，設(shè)點的運動時間為秒．(1)求和的值；(2)在點的運動過程中，△的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；(3)是否存在的值，使△為等腰三角形？若存在，直接寫出的值；若不存在，請說明理由．15．如圖1，直線與y軸交于點B，與x軸交于點A，與直線交于點．(1)求點C的坐標以及直線的表達式；(2)點P在y軸上，若的面積為6，求點P的坐標；(3)如圖2，若y軸上有一點Q，且使得以B，C，Q為頂點的三角形為等腰三角形，請直接寫出點Q的坐標．參考答案1．(1)，(2)或(3)或或或【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，熟練掌握用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式和一次函數(shù)的解析式，函數(shù)與不等式，等腰三角形性質(zhì)，分類討論，是解題的關(guān)鍵．（1）先把A點坐標代入中求出m得到反比例函數(shù)解析式，再利用反比例函數(shù)解析式確定B點坐標，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；（2）結(jié)合一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象，寫出一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象下方所對應的自變量的范圍即可；（3）分，列方程求得C的橫坐標，即得．【詳解】（1）解：點在的圖象上，，，．將代入，得，，．將代入中，得，解得，．（2）解：∵函數(shù)和的圖象交于和兩點，如圖，∴不等式的解集為或．（3）解：，．∵為等腰三角形，當時，得到；當時，，∵C點在軸負半軸，；當時，設(shè)．∵中點為，∴，解得．綜上所述，C點坐標為或或或．2．(1)；(2)①當時，是等腰三角形；②當時，的周長最大，最大值為【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解析式即可；（2）①當是等腰三角形時，判斷出只有，設(shè)出點M的坐標，用建立方程組求解即可；②先表示出，然后建立的周長關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，確定出最大值即可．【詳解】（1）解：將點代入，得，解得：，∴直線的解析式為；當時，，∴，將點，代入，得，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）解：①設(shè)，則，當點M在x軸上方時，，，是鈍角，∵過點M作x軸的平行線，與直線交于點N，∴，∴，，∵是等腰三角形，∴，∴，∴，∵，∴，解得：或（舍去），∴當時，是等腰三角形；②設(shè)，則，當點M在軸下方時，，，∵過點M作x軸的平行線，與直線交于點N，∴，∴，，，∴，∵，∴當時，最大，最大值為．【點睛】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，平面內(nèi)兩點之間的距離公式，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的周長，極值的確定，解本題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．3．(1)4(2)7(3)或或或或【分析】（1）先求出點A和點E的坐標，再利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，進而求出點B的坐標即可得到答案；（2）先求出點C坐標，再求出直線解析式，進而求出點D的坐標，最后根據(jù)三角形面積計算公式求解即可；（3）分三種情況，根據(jù)兩點距離計算公式建立方程求解即可．【詳解】（1）解；，∴，點坐標為點坐標為．將點分別代入中得解得拋物線解析式為．在中，當時，則，解得，點坐標為，∴．（2）解；設(shè)直線的解析式為，∴，，．把點代入，得解得直線的解析式為．聯(lián)立解得；（3）解：∵拋物線解析式為，∴對稱軸為直線，∵，∴．設(shè)，①當時，，解得，；②當時，，解得或；③當時，，解得或．綜上，點的坐標為或或或或．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，兩點距離計算公式，等腰三角形的定義等等，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．4．(1)(2)4(3)C點的坐標為或或或【分析】本題考查一次函數(shù)與幾何的綜合應用，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進行求解，是解題的關(guān)鍵：（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）直接利用面積公式進行計算即可；（3）分三種情況，進行求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)直線的解析式為，直線過點和，，解得，直線的解析式為；（2）、，，，的面積；（3）如圖，當時，則：，，，當時，，，，；當時，，，，，綜上所述，C點的坐標為或或或．5．(1)8；10(2)；；(3)4【分析】（1）根據(jù)點的坐標特征即可得解；（2）分類討論：①；②；③，利用等腰三角形的性質(zhì)求解即可；（3）由可構(gòu)建三垂直相似，進而求出解析式，由可得，導角易證，從而求出，進而求出解析式，聯(lián)立直線和直線解析式可求出點B坐標，最后求出L解析即可得解．【詳解】（1）解：由A、B、C坐標可得在垂直于x軸的直線上，在x軸上，∴；（2）解：分三種情況：①當時，如圖，此時可知，∴；②當時，如圖，∵，∴，在中，，∴，解得；③當時，如圖，∵，∴，在中，，∴，解得（負值以舍去）；綜上，m的值為6或或4；（3）解：如圖，延長交x軸于點G，過D作軸于點H，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，，，，，∴設(shè)直線表達式為，將點代入可得，，解得：，直線表達式為，∵，∴，∵軸，∴，∵，且，∴，∴，∴，設(shè)直線表達式為，將點和點代入得，，解得：，則直線表達式為，聯(lián)立，解得，∴，設(shè)拋物線L解析式為，將B和D坐標代入，解得：，∴拋物線L解析式：，令得，，∴L與x軸的兩個交點坐標為，∵，∴兩交點間的距離為4．【點睛】本題主要考查了點的坐標特征、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、一次函數(shù)交點問題、二次函數(shù)與x軸交點問題等內(nèi)容，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．6．(1)的值為(2)點的坐標為或(3)的坐標為或【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)已知分類討論求出所有可能的情況．（1）先求點的坐標，再把點的坐標代入求出的值；（2）由已知為腰，分或兩種情況討論求解；（3）分當在直線右側(cè)和當在左側(cè)兩種情況討論分別求解即可．【詳解】（1）解：在中，令得,∴，把代入得：解得，∴的值為；（2）解：設(shè),在中，令得，∴,在中，令得，∴，∴，，；當，為腰時，，方程無解，這種情況不存在；當，為腰時，，解得或，∴是以為腰的等腰三角形時，點的坐標為或（3）解：當在直線右側(cè)時，如圖：∵，∴軸，在中，令得，解得，∴；當在左側(cè)時，設(shè)交軸于，如圖：∵，∴，設(shè)，∵，∴，解得，∴，由，得直線解析式為，聯(lián)立，解得，∴；綜上所述，的坐標為或．7．(1)(2)(3)存在，或或【分析】本題考查一次函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法，三角形面積，等腰三角形判定與性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的應用．（1）設(shè)直線的解析式為，把，代入得：，解得，故直線的解析式為；（2）求出，，可得；（3）求出，設(shè)，有，，，分三種情況列方程可得答案．【詳解】（1）解：設(shè)直線的解析式為，把，代入得：，解得，直線的解析式為；（2）解：在中，令得，，是直線上一動點，且在點上方，縱坐標為，，，的面積為；（3）解：在軸上存在點，使是等腰三角形，理由如下：的面積等于1，，解得，，設(shè)，，，，，①當時，，解得或；或；②當時，，解得；；③當時，，方程無實數(shù)解；綜上所述，的坐標為或或．8．(1)(2)3(3)或或【分析】（1）把代入求出y的值，即可得出答案；（2）先求出點C的坐標，然后根據(jù)三角形面積公式求出結(jié)果即可；（3）分兩種情況：當時，當時，分別根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：把代入得：，∴點的坐標為；（2）解：聯(lián)立，解得：，∴點C的坐標為，∵，∴；（3）解：∵點C坐標為，∴，當時，∵點P在y軸上，∴點P的坐標為或；當時，過點C作軸，如圖所示：∵點，∴，∵，，∴，∴點P的坐標為；綜上所述，當點P的坐標為或或時，三角形是為腰的等腰三角形．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的綜合應用，直線交點坐標，等腰三角形的定義和性質(zhì)，綜合性較強，正確把握并能熟練運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．注意分類思想的運用．9．(1)(2)存在，點的坐標或(3)點的坐標為：或或【分析】（1）先將代入，求出點的坐標，再由待定系數(shù)法即可求解；（2）先求出點的坐標，得出，設(shè)點，當點位于軸上方時，，當點位于軸下方時，，分別求得值，再代入解析式求得值，即可得到答案；（3）設(shè)點，得到，，，分情況討論，當時，當時，分別列出方程，解之即可．【詳解】（1）解：正比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于點，，解得：，點的坐標；一次函數(shù)的圖象過點和點，則有，解得：，，一次函數(shù)表達式為．（2）解：一次函數(shù)的圖象上存在點，使得；理由如下：對于一次函數(shù)，令，得：，解得，所以點，所以，設(shè)點，當點位于軸上方時，，解得：，當點位于軸下方時，，解得：，當時，，解得：，當時，，解得：，故點的坐標或．（3）解：設(shè)點，則，，，當時，，所以，解得：或，此時點的坐標為或；當時，，所以，解得：，此時點的坐標為；綜上分析可知：點的坐標為：或或．【點睛】本題考查了正比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象與坐標軸交點，等腰三角形的定義，熟練掌握相關(guān)知識，并運用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題進行分類討論是解題的關(guān)鍵．10．(1)(2)①；②m的值為2或6(3)直線l的解析式為【分析】（1）根據(jù)題意先求出點A、B、C的坐標，再利用待定系數(shù)法求得直線的解析式，用含m的代數(shù)式表示即可；（2）①先證明和是等腰直角三角形，根據(jù)為等腰三角形可得，建立方程求解即可得出答案；②由，，可得，再根據(jù)題意建立方程求解即可得出答案．（3）設(shè)H是的中點，先得出，設(shè)直線l的解析式為，與拋物線解析式聯(lián)立得，運用根與系數(shù)關(guān)系可得，再由題意可得的中點G的橫坐標為2，建立方程求解即可得出答案．【詳解】（1）解：在拋物線中，令，得，，令，得，解得：，，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，∴直線的解析式為，∵直線分別與拋物線、、x軸交于D、E、F三點，∴，，，∴；（2）解：①由（1）可知：，，∴是等腰直角三角形，，，，，為等腰三角形，，∵是等腰直角三角形，，，解得：或，，∴；②如圖1，由（1）可知：，，，∵，，∴，，，解得：，的值為2或6；（3）解：設(shè)H是的中點，如圖2，，設(shè)直線l的解析式為，聯(lián)立得，整理得：，∴，∵直線平分的面積，的中點G的橫坐標為2，∴，即，解得：，∴直線l的解析式為．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形面積，一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的應用等，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．11．(1)，；(2)，；；或或或．【分析】本題考查一次函數(shù)的綜合應用，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合的思想進行求解，是解題的關(guān)鍵．（1）將點代入，求出的值，再代入中求出即可；（2）把代入直線解析式，即可求得；利用面積公式列出方程進行求解即可；分三種情況：當時，如圖1，當時，如圖2，當時，如圖3，分別求t的值即可．【詳解】（1）解：在中，當時，，當時，，，，點在直線上，，，又點也在直線上，，解得，，，；（2）解：直線與軸相交于點，由（1）得，，解得，點的坐標為，由（1）得點的坐標為；過點作于點，即的高，如圖所示，，，，的面積為，，，，，，設(shè)，則，，解得；為等腰三角形有三種情況：過作于，如圖1所示，則，，，，第一種情況：當時，，，此時；第二種情況：當時，和分別在點兩側(cè)，如圖2所示，則，，，或；第三種情況：當時，如圖3所示，設(shè)，則，，，解得，，與重合，，，；答：為等腰三角形時，的值為或或或．12．(1)正比例函數(shù)的解析式為(2)存在，或或【分析】本題考查了正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)、待定系數(shù)法求正比例函數(shù)的解析式，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形面積的計算，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，畫出圖形，注意進行分類討論．（1）先利用三角形面積公式得到點坐標，然后利用待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式；（2）分三種情況進行討論，當時，當時，當時，分別畫出圖形，求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：點的橫坐標為4，，軸∴，∴，∴，點的縱坐標為，點的坐標為，正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，解得，正比例函數(shù)的解析式為；（2）解：在直線上（除點外）存在點，使得為等腰三角形，理由如下：當，點在點的上方時，如圖，則；點在點的下方時，；當時，，點與點重合，此時點不符合題意；當時，，，，，，，，則；綜上分析可知，的長為或或．13．(1)，(2)存在，(3)存在，或或或【分析】本題考查了一次函數(shù)性質(zhì)，掌握用取特殊值的方法求定點坐標，設(shè)C點坐標根據(jù)面積相等求出未知數(shù)是解題關(guān)鍵．（1）令，，列出一元一次方程，解出即可；（2）先求出，設(shè)點C的坐標為，再根據(jù)的面積等于的面積，列方程求解即可；（3）設(shè)點，則，，，在根據(jù)，，分別列方程求解即可．【詳解】（1）解：令，則，解得，令，則，∴A點的坐標為，B點的坐標為．故答案為：，；（2）解：存在，理由：∵A點的坐標為，B點的坐標為，∴，，∴，∵直線上一點C，∴設(shè)點C的坐標為，∵的面積等于的面積，∴，解得，（與點B重合，舍去），∴點C的坐標為；（3）解：存在，理由：設(shè)點，∵A點的坐標為，B點的坐標為，∴，，，當時，即，則，解得：，此時點或；當時，即，則，解得：，此時點；當時，即，則，解得：，時與重合，此時點；綜