PAGEPAGE18專題突破一離心率的求法一、以漸近線為指向求離心率例1(1)已知雙曲線兩漸近線的夾角為60°，則雙曲線的離心率為________．答案2或eq\f(2\r(3),3)解析方法一由題意知，雙曲線的漸近線存在兩種狀況．當雙曲線的焦點在x軸上時，若其中一條漸近線的傾斜角為60°，如圖1所示；若其中一條漸近線的傾斜角為30°，如圖2所示，所以雙曲線的一條漸近線的斜率k＝eq\r(3)或k＝eq\f(\r(3),3)，即eq\f(b,a)＝eq\r(3)或eq\f(\r(3),3).又b2＝c2－a2，所以eq\f(c2－a2,a2)＝3或eq\f(1,3)，所以e2＝4或eq\f(4,3)，所以e＝2或eq\f(2\r(3),3).同理，當雙曲線的焦點在y軸上時，則有eq\f(a,b)＝eq\r(3)或eq\f(\r(3),3)，所以eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),3)或eq\r(3)，亦可得到e＝eq\f(2\r(3),3)或2.綜上可得，雙曲線的離心率為2或eq\f(2\r(3),3).方法二依據方法一得到：當雙曲線的焦點在x軸上時，漸近線的傾斜角θ為30°或60°，則離心率e＝eq\f(1,cosθ)＝eq\f(2\r(3),3)或2；當雙曲線的焦點在y軸上時，漸近線的傾斜角θ為30°或60°，則離心率e＝eq\f(1,sinθ)＝2或eq\f(2\r(3),3).綜上可得，雙曲線的離心率為2或eq\f(2\r(3),3).(2)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60°的直線l與雙曲線的右支有且只有一個交點，則雙曲線的離心率e的取值范圍是________．考點雙曲線的簡潔幾何性質題點求雙曲線的離心率答案[2，＋∞)解析由題意知eq\f(b,a)≥eq\r(3)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2≥3，∴e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)≥2，故離心率e的取值范圍是[2，＋∞)．點評(1)雙曲線的離心率與漸近線方程之間有著親密的聯系，可以借助eq\f(b,a)＝eq\r(e2－1)進行互求．一般地，假如已知雙曲線離心率的值求漸近線方程，或者已知漸近線方程，求離心率的值，都會有兩解(焦點在x軸上和焦點在y軸上兩種狀況)，不能遺忘分類探討．(2)當直線與雙曲線有一個公共點時，利用數形結合思想得到已知直線與漸近線斜率的關系，得到eq\f(b,a)的范圍，再利用e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)得到離心率的取值范圍．跟蹤訓練1中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線的一條漸近線經過點(4，－2)，則它的離心率為()A.eq\r(6)B.eq\r(5)C.eq\f(\r(6),2)D.eq\f(\r(5),2)考點雙曲線的簡潔幾何性質題點求雙曲線的離心率答案D解析由題意知，過點(4，－2)的漸近線的方程為y＝－eq\f(b,a)x，∴－2＝－eq\f(b,a)·4，∴a＝2b.方法一設b＝k(k>0)，則a＝2k，c＝eq\r(5)k，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5)k,2k)＝eq\f(\r(5),2).方法二e2＝eq\f(b2,a2)＋1＝eq\f(1,4)＋1＝eq\f(5,4)，故e＝eq\f(\r(5),2).二、以焦點三角形為指向求離心率例2如圖，F1和F2分別是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩個焦點，A和B是以O為圓心，|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且△F2AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為________．思維切入連接AF1，在△F1AF2中利用雙曲線的定義可求解．考點雙曲線的簡潔幾何性質題點求雙曲線的離心率答案eq\r(3)＋1解析方法一如圖，連接AF1，由△F2AB是等邊三角形，知∠AF2F1＝30°.易知△AF1F2為直角三角形，則|AF1|＝eq\f(1,2)|F1F2|＝c，|AF2|＝eq\r(3)c，∴2a＝(eq\r(3)－1)c，從而雙曲線的離心率e＝eq\f(c,a)＝1＋eq\r(3).方法二如圖，連接AF1，易得∠F1AF2＝90°，β＝∠F1F2A＝30°，α＝∠F2F1A＝60°，于是離心率e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(|F1F2|,||AF2|－|AF1||)＝eq\f(sinα＋β,|sinα－sinβ|)＝eq\f(sin90°,|sin60°－sin30°|)＝eq\r(3)＋1.點評涉及到焦點三角形的題目往往利用圓錐曲線的定義求得eq\f(c,a)的值．跟蹤訓練2設F1，F2分別是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點，點P在橢圓C上，若線段PF1的中點在y軸上，∠PF1F2＝30°，則橢圓的離心率為()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(\r(3),6)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,6)考點橢圓的離心率問題題點求a，b，c得離心率答案A解析如圖，設PF1的中點為M，連接PF2.因為O為F1F2的中點，所以OM為△PF1F2的中位線．所以OM∥PF2，所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°.因為∠PF1F2＝30°，所以|PF1|＝2|PF2|，|F1F2|＝eq\r(3)|PF2|.由橢圓定義得2a＝|PF1|＋|PF2|＝3|PF2|，即a＝eq\f(3|PF2|,2)，2c＝|F1F2|＝eq\r(3)|PF2|，即c＝eq\f(\r(3)|PF2|,2)，則e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3)|PF2|,2)·eq\f(2,3|PF2|)＝eq\f(\r(3),3).三、尋求齊次方程求離心率例3已知雙曲線E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四個頂點在E上，AB，CD的中點為E的兩個焦點，且2|AB|＝3|BC|，則E的離心率是________．思維切入通過2|AB|＝3|BC|，得到a，b，c的關系式，再由b2＝c2－a2，得到a和c的關系式，同時除以a2，即可得到關于e的一元二次方程，求得e.考點雙曲線的簡潔幾何性質題點求雙曲線的離心率答案2解析如圖，由題意知|AB|＝eq\f(2b2,a)，|BC|＝2c.又2|AB|＝3|BC|，∴2×eq\f(2b2,a)＝3×2c，即2b2＝3ac，∴2(c2－a2)＝3ac，兩邊同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0，解得e＝2(負值舍去)．點評求圓錐曲線的離心率，就是求a和c的值或a和c的關系，然后依據離心率的定義求得．但在多數狀況下，由于受到題目已知條件的限制，很難或不行能求出a和c的值，只能將條件整理成關于a和c的關系式，進而求得eq\f(c,a)的值，其關鍵是擅長利用定義以及圖形中的幾何關系來建立關于參數a，b，c的關系式，結合c2＝a2＋b2(或a2＝c2＋b2)，化簡為參數a，c的關系式進行求解．跟蹤訓練3已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，A，B分別為橢圓的左頂點和上頂點，F為右焦點，且AB⊥BF，則橢圓的離心率為________．考點橢圓的離心率問題題點求a，b，c的齊次關系式得離心率答案eq\f(\r(5)－1,2)解析在△ABF中，|AB|＝eq\r(a2＋b2)，|BF|＝a，|AF|＝a＋c.由AB⊥BF得|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，將b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝eq\f(－1±\r(5),2).因為0<e<1，所以e＝eq\f(\r(5)－1,2).四、利用圓錐曲線的范圍求離心率的取值范圍例4已知F1(－c,0)，F2(c,0)為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩個焦點，P為橢圓上一點，且eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝c2，則此橢圓離心率的取值范圍是________．思維切入設P點坐標，通過eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝c2及橢圓方程得到x2的值，由x2∈[0，a2]，求得a2的范圍進而求得e的取值范圍．考點橢圓的離心率問題題點由a與c的關系式得離心率答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2)))解析設P(x，y)，則eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2，將y2＝b2－eq\f(b2,a2)x2代入上式，解得x2＝eq\f(2c2－b2a2,c2)＝eq\f(3c2－a2a2,c2).又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，∴e＝eq\f(c,a)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2))).點評一是通過設點的坐標，利用圓錐曲線上點的坐標的范圍，轉化為離心率的取值范圍．二是利用焦半徑的范圍得到a與c的不等式從而求得離心率的范圍．(1)橢圓焦半徑的取值范圍為[a－c，a＋c]．(2)雙曲線的焦半徑①點P與焦點F同側時，其取值范圍為[c－a，＋∞)；②點P與焦點F異側時，其取值范圍為[c＋a，＋∞)．跟蹤訓練4已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，點P在雙曲線的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，則此雙曲線的離心率e的最大值為()A.eq\f(4,3)B.eq\f(5,3)C．2D.eq\f(7,3)考點雙曲線的簡潔幾何性質題點求雙曲線的離心率答案B解析∵P在雙曲線的右支上，∴由雙曲線的定義可得|PF1|－|PF2|＝2a，∵|PF1|＝4|PF2|，∴4|PF2|－|PF2|＝2a，即|PF2|＝eq\f(2,3)a，依據點P在雙曲線的右支上，可得|PF2|＝eq\f(2,3)a≥c－a，∴eq\f(5,3)a≥c，又∵e>1，∴1<e≤eq\f(5,3)，∴此雙曲線的離心率e的最大值為eq\f(5,3).1．假如橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\f(\r(3),2)，那么雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的離心率為()A.eq\f(\r(5),2)B.eq\f(5,4)C.eq\r(2)D．2考點題點答案A解析由已知橢圓的離心率為eq\f(\r(3),2)，得eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(3,4)，∴a2＝4b2.∴e2＝eq\f(a2＋b2,a2)＝eq\f(5b2,4b2)＝eq\f(5,4)，∴雙曲線的離心率e＝eq\f(\r(5),2).2．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右頂點到其漸近線的距離不大于eq\f(2\r(5),5)a，其離心率e的取值范圍為()A．[eq\r(3)，＋∞) B．[eq\r(5)，＋∞)C．(1，eq\r(3)] D．(1，eq\r(5)]考點題點答案D解析依題意，點(a,0)到漸近線bx＋ay＝0的距離不大于eq\f(2\r(5),5)a，∴eq\f(|ba＋0|,\r(b2＋a2))≤eq\f(2\r(5),5)a，解得e≤eq\r(5).又∵e>1，∴1<e≤eq\r(5)，故選D.3．(2024·深圳檢測)以橢圓短軸為直徑的圓經過此橢圓的焦點，則橢圓的離心率是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),3)考點題點答案B解析由題意可得b＝c，所以a＝eq\r(b2＋c2)＝eq\r(2)c，所以離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).4．若橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，(a>b>0)與曲線x2＋y2＝a2－b2無公共點，則橢圓的離心率e的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，1)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))考點題點答案D解析由題意知圓的半徑是橢圓的焦距，∴由圓在橢圓內部，得b>c，即b2>c2，∴a2>2c2，故0<e＝eq\f(c,a)<eq\f(\r(2),2).5．設F1，F2是雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩個焦點，P是C上一點．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小內角為30°，則C的離心率為________．考點題點答案eq\r(3)解析依據雙曲線的對稱性，不妨設點P在第一象限，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＋|PF2|＝6a，,|PF1|－|PF2|＝2a，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＝4a，,|PF2|＝2a.))又∵|F1F2|＝2c，∴|PF2|最?。凇鱌F1F2中，由余弦定理，得eq\f(4a2＋4c2－4a2,2×4a×2c)＝cos30°，∴2eq\r(3)ac＝3a2＋c2.等式兩邊同除以a2，得e2－2eq\r(3)e＋3＝0，解得e＝eq\r(3).一、選擇題1．已知點(2,3)在雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上，C的焦距為4，則它的離心率為()A．2B.eq\f(5,2)C．3D．4考點雙曲線的簡潔幾何性質題點求雙曲線的離心率答案A解析依據點(2,3)在雙曲線上，得eq\f(4,a2)－eq\f(9,b2)＝1，①考慮到焦距為4，則2c＝4，即c＝2.②聯立①②及a2＋b2＝c2，解得a＝1，b＝eq\r(3)，所以離心率e＝2.2．(2024·江西贛州高二檢測)若雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為y＝eq\f(3,4)x，則該雙曲線的離心率為()A.eq\f(4,3)B.eq\f(5,3)C.eq\f(16,9)D.eq\f(25,9)考點題點答案B解析雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1的一條漸近線為y＝eq\f(a,b)x，由題意知eq\f(a,b)＝eq\f(3,4)，∴e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(1＋\f(16,9))＝eq\f(5,3).3．若a>1，則雙曲線eq\f(x2,a2)－y2＝1的離心率的取值范圍是()A．(eq\r(2)，＋∞) B．(eq\r(2)，2)C．(1，eq\r(2)) D．(1,2)考點題點答案C解析e＝eq\r(1＋\f(1,a2))，∵a>1，∴e∈(1，eq\r(2))．4．橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別是F1，F2，過F2作傾斜角為120°的直線與橢圓的一個交點為M，若MF1⊥MF2，則橢圓的離心率為()A.eq\f(1＋\r(3),4)B.eq\r(3)－1C．2eq\r(3)－3D．2－eq\r(3)考點題點答案B解析由題意知，在Rt△MF1F2中，|F1F2|＝2c，∠F1F2M＝60°，∴|MF2|＝c，|MF1|＝2c×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)c，|MF1|＋|MF2|＝c＋eq\r(3)c＝2a，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3)＋1)＝eq\r(3)－1.5．過雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一個焦點F引它的一條漸近線的垂線FM，垂足為M，并且交y軸于點E，若M為EF的中點，則該雙曲線的離心率為()A．2B.eq\r(3)C．3D.eq\r(2)考點雙曲線的簡潔幾何性質題點求雙曲線的離心率答案D解析取右焦點F(c,0)，漸近線方程為y＝eq\f(b,a)x，∵FM⊥OM，∴可得直線FM的方程為y＝－eq\f(a,b)(x－c)，令x＝0，解得y＝eq\f(ac,b)，∴Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(ac,b)))，∴線段FE的中點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)，\f(ac,2b)))，又中點M在漸近線y＝eq\f(b,a)x上，∴eq\f(ac,2b)＝eq\f(b,a)×eq\f(c,2)，解得a＝b，∴雙曲線的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(2).6．已知F1，F2是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩焦點，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2，若邊MF1的中點P在雙曲線上，則雙曲線的離心率是()A．4＋2eq\r(3) B．2eq\r(3)－1C.eq\f(\r(3)＋1,2) D.eq\r(3)＋1考點雙曲線的簡潔幾何性質題點求雙曲線的離心率答案D解析因為MF1的中點P在雙曲線上，所以|PF2|－|PF1|＝2a，因為△MF1F2為正三角形，邊長都是2c，所以eq\r(3)c－c＝2a，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3)－1)＝eq\r(3)＋1.7．已知F1，F2是橢圓的兩個焦點，滿意eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0的點M總在橢圓內部，則橢圓離心率的取值范圍是()A．(0,1) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))考點橢圓的離心率問題題點由a與c的關系式得離心率答案C解析∵eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(MF1,\s\up6(→))⊥eq\o(MF2,\s\up6(→))，∴點M在以F1F2為直徑的圓上，又點M總在橢圓的內部，∴c<b，∴c2<b2＝a2－c2，即2c2<a2，∴eq\f(c2,a2)<eq\f(1,2)，即eq\f(c,a)<eq\f(\r(2),2).又0<e<1，∴0<e<eq\f(\r(2),2).8．(2024·湖北黃岡高二檢測)已知直線m：y＝kx＋1過橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(0<b<a)的上頂點B和左焦點F，且被圓x2＋y2＝1截得的弦長為l，若l≥eq\f(2\r(5),5)，則橢圓離心率e的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(5),5))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5),3)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),5))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(2),3)))考點題點答案A解析圓x2＋y2＝1的圓心到直線m：y＝kx＋1的距離為d＝eq\f(1,\r(k2＋1))，∵直線m：y＝kx＋1被圓x2＋y2＝1截得的弦長l≥eq\f(2\r(5),5)，∴2eq\r(r2－d2)≥eq\f(2\r(5),5)，即2eq\r(1－d2)≥eq\f(2\r(5),5)，解得d2≤eq\f(4,5)，∴eq\f(1,k2＋1)≤eq\f(4,5).∴b＝1且c＝eq\r(a2－b2)＝eq\f(1,k)，即a2＝1＋eq\f(1,k2)，則e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(\f(1,k2),1＋\f(1,k2))＝eq\f(1,k2＋1)≤eq\f(4,5)，得e∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(5),5))).二、填空題9．過雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點且與x軸垂直的直線與漸近線交于A，B兩點，若△OAB的面積為eq\f(\r(13)bc,3)，則雙曲線的離心率為________．考點題點答案eq\f(\r(13),3)解析設F為右焦點，其坐標為(c,0)，令x＝c，代入y＝±eq\f(b,a)x，可得y＝±eq\f(bc,a)，∵S△OAB＝eq\f(\r(13),3)bc，∴eq\f(1,2)×eq\f(2bc,a)×c＝eq\f(\r(13)bc,3)，∴eq\f(c,a)＝eq\f(\r(13),3)，則e＝eq\f(\r(13),3).10．設F1，F2分別為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，雙曲線上存在一點P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝eq\f(9,4)ab，則該雙曲線的離心率為________．考點雙曲線的簡潔幾何性質題點求雙曲線的離心率答案eq\f(5,3)解析不妨設P為雙曲線右支上一點，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.依據雙曲線的定義，得r1－r2＝2a，又r1＋r2＝3b，故r1＝eq\f(3b＋2a,2)，r2＝eq\f(3b－2a,2).又r1·r2＝eq\f(9,4)ab，所以eq\f(3b＋2a,2)·eq\f(3b－2a,2)＝eq\f(9,4)ab，解得eq\f(b,a)＝eq\f(4,3)(負值舍去)，故e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2＋1)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))2＋1)＝eq\f(5,3).11．過點M(1,1)作斜率為－eq\f(1,2)的直線與橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)相交于A，B，若M是線段AB的中點，則橢圓C的離心率為________．考點題點答案eq\f(\r(2),2)解析設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\f(x\o\al(2,1),a2)＋eq\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，①eq\f(x\o\al(2,2),a2)＋eq\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，②∵M是AB中點，∴eq\f(x1＋x2,2)＝1，eq\f(y1＋y2,2)＝1，∵直線AB的方程是y＝－eq\f(1,2)(x－1)＋1，∴y1－y2＝－eq\f(1,2)(x1－x2)，①－②可得eq\f(x1－x2x1＋x2,a2)＋eq\f(y1－y2y1＋y2,b2)＝0，即eq\f(2,a2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\f(2,b2)＝0，∴a＝eq\r(2)b，則c＝eq\f(\r(2),2)a，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).12．(2024·廣東深圳高二期中)橢圓M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，P為橢圓上隨意一點，且eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))的最大值的取值范圍是[c2,3c2]，其中c＝eq\r(a2－b2)，則橢圓M的離心率e的取值范圍是________．考點題點答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))解析由題意可知F1(－c,0)，F2(c,0)，設P(x，y)．由eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，得x2＝eq\f(a2b2－y2,b2)，∵eq\o(PF1,\s\up6(→))＝(－c－x，－y)，eq\o(PF2,\s\up6(→))＝(c－x，－y)，∴eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝x2－c2＋y2＝eq\f(a2b2－y2,b2)－c2＋y2＝a2－c2－eq\f(c2y2,b2)，當y＝0時，eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))取得最大值a2－c2，即c2≤a2－c2≤3c2，∴eq\r(2)c≤a≤2c，則eq\f(1,2)≤e≤eq\f(\r(2),2).三、解答題13．雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>1，b>0)的焦距為2c，直線l過點(a,0)和(0，b)，且點(1,0)到直線l的距離與點(－1,0)到直線l的距離之和s≥eq\f(4,5)c，求雙曲線的離心率e的取值范圍．考點題點解由題意，知直線l的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，即bx＋ay－ab＝0.因為點(1,0)到直線l的距離d1＝eq\f(ba－1,\r(a2＋b2))，點(－1,0)到直線l的距離d2＝eq\f(ba＋1,\r(a2＋b2))，所以s＝d1＋d2＝eq\f(2ab,\r(a2＋b2))＝eq\f(2ab,c).由s≥eq\f(4,5)c，得eq\f(2ab,c)≥eq\f(4,5)c，即5aeq\r(c2－a2)≥2c2.于是得5eq\r(e2－1)≥2e2，即4e4－25e2＋25≤0，解得eq\f(5,4)≤e2≤5.因為e>1，所以e的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，\r(5))).14．我們把焦點相同，且離心率互為倒數的橢圓和雙曲線稱為一對“相關曲線”．已知F1，F2是一對相關曲線的焦點，P是橢圓和雙曲線在第一象限的交點，當∠F1PF2＝60°時，這一對相關曲線中橢圓的離心率為()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(1,2)考點題點答案A解析設|F1F2|＝2c，|PF1|＋|PF2|＝2a1，||PF1|－|PF2||＝2a2，e1＝eq\f(c,a1)，e2＝eq\f(1,e1)＝eq\f(c,a2).在△PF1F2中，由余弦定理，得4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1||PF2|，所以16c2＝(|PF1|＋|PF2|)2＋3(|PF1|－|PF2|)2＝4aeq\o\al(2,1)＋12aeq\o\al(2,2)，即4＝eq\f(1,e\o\al(2,1))＋3eeq\o\al(2,1)?eeq\o\al(2,1)＝eq\f(1,3)或eeq\o\al(2,1)＝1(舍去)?e1＝eq\f(\r(3),3).15．已知直線y＝－x＋1與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1