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專題16」二次根式【九大題型】
【人教版】
”幺國(guó)應(yīng)自
【題型1根據(jù)二次根式概念判斷二次根式】........................................................1
【題型2根據(jù)二次根式的定義求字母的值】.......................................................2
【題型3根據(jù)二次根式有意義條件求范圍】.......................................................4
【題型4根據(jù)二次根式有意義條件求值】.........................................................4
【題型5利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)(數(shù)字型)】...................................................6
【題型6利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)(字母及復(fù)合型)】.............................................7
【題型7根據(jù)參數(shù)范圍及二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)二次根式】..........................................9
【題型8含隱含條件的參數(shù)范圍化簡(jiǎn)二次根式】..................................................10
【題型9復(fù)雜的復(fù)合型二次根式化簡(jiǎn)】...........................................................12
”會(huì)話一更三
【知識(shí)點(diǎn)1二次根式的定義】
形如?(。20)的式子叫做二次根式,廠叫做二次根號(hào),。叫做被開(kāi)方數(shù).
【題型1根據(jù)二次根式概念判斷二次根式】
【例1】(2022春?寧津縣期末)下列各式中,一定是二次根式的個(gè)數(shù)為()
V3?Vm,y/x2+1,V4,V—m2—1,芋(〃20),y/2a+1(〃<:)
A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)
【分析】根據(jù)二次根式的定義即可作出判斷.
【解答】解:目一定是二次根式;
當(dāng)〃7Vo時(shí).,標(biāo)不是二次根式;
對(duì)于任意的數(shù)X,.3+1>0,則+1一定是二次根式;
海是三次方根,不是二次根式;
-nr-1<0,則AZ—TH?一1不是二次根式;
日是二次根式;
當(dāng)aV京寸,2.+1可能小于0,不是二次根式.
故選:A.
【變式1-1](2022春?順平縣期末)下列各式是二次根式的是()
A.V^2B.-V2C.V2D.Vx
【分析】根據(jù)二次根式的定義,形如聲(〃20)的式子是二次根式,即可解答.
【解答】解:A、々無(wú)意義,故A不符合題意;
B、-或是二次根式,故B符合題意;
C、尤不是二次根式,故。不符合題意:
D、6G20)是二次根式,故。不符合題意;
故選:8.
【變式1-2](2022春?宜城市期末)在式子&,V3,kH;1+),中,二次根式有()
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
【分析】根據(jù)二次根式的定義,形如傷(〃20)的式子是二次根式,即可解答.
【解答】解:在式了遮,V3?Vx2+1)人+y中,二次根式有魚,Vx2+1>
共有2個(gè),
故選:B.
【變式1-3](2022春?鳳慶縣期末)下列各式:瓜而,U,V8,V7^T(x>1),Vx24-2x+l+,
一定是二次根式的有()
A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)
【分析】利用二次根式的定義對(duì)每個(gè)式子進(jìn)行判斷即可.
【解答】解:???式子口(。20)是二次根式,
???代,口后二I(121),山d+2%+1是二次根式,Q5無(wú)意義,那是三次根式,
一定是二次根式的有:y/5,Vx—1(x21),Vx2+2x4-1,
故選:B.
【題型2根據(jù)二次根式的定義求字母的值】
[ft2](2022春?萊州市期末)若際是整數(shù),則正整數(shù)〃的最小值是()
A.IB.3C.6D.12
【分析】根據(jù)12=2?X3,若際是整數(shù),則12〃一定是一人完全平方數(shù),據(jù)此即可求得”的值.
【解答】解:???12=22X3,
???S石是整數(shù)的正整數(shù)〃的最小值是3.
故選:B.
【變式2-1](2022春?昭陽(yáng)區(qū)校級(jí)月考)若胸是整數(shù),則正整數(shù)〃的最小值是()
A.2B.3C.4D.5
【分析】先化簡(jiǎn)歷,然后根據(jù)二次根式的定義判斷即可.
【解答】解:???順=4\療,
???正整數(shù)〃的最小值是:5.
故選:D.
【變式2-2】(2022春?信州區(qū)校級(jí)月考)當(dāng)工=-;時(shí),代數(shù)式3->/^下1有最大值,其最大值是3.
【分析】根據(jù)二次根式的非負(fù)性分析求值.
【解答】解:不12
A-V2X+1<0,
A3-V2X+1<3,
當(dāng)2x+1=0時(shí),即x=—也
3-辰工彳有最大值為3,
故答案為:—/3.
【變式2-3](202式金牛區(qū)校級(jí)自主招生)已知〃為實(shí)數(shù),則代數(shù)式“27—12。+2a2的最小值為()
A.0B.3C.3A/3D.9
【分析】把被開(kāi)方數(shù)用配方法整理,根據(jù)非負(fù)數(shù)的意義求二次根式的最小值.
【解答】解:???原式="27-12a+2a2
=J2(M-6a+9)+9
=J2(a-3尸+9
.??當(dāng)("-3)2=0,即a=3時(shí)
代數(shù)式'27-12a+2a2的值最小,為眄即3
故選:B.
【知識(shí)點(diǎn)2二次根式有意義的條件】
(1)二次根式中的被開(kāi)方數(shù)是韭負(fù)數(shù);(2)二次根式具有非負(fù)性:g0.
【知識(shí)點(diǎn)3判斷二次根式有意義的條件】
(1)如果一個(gè)式子中含有多個(gè)二次根式,那么它們有意義的條件是:各個(gè)二次根式中的被開(kāi)方數(shù)都必須是
韭負(fù)數(shù);(2)如果所給式子中含有分母,則除了保證被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)外,還必須保證分母不為零.
【題型3根據(jù)二次根式有意義條件求范圍】
【例3】(2022春?來(lái)鳳縣期末)若代數(shù)式—1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,則x的取值范圍是()
A.x>5B.x25C.xW5D.x<5
【分析】根據(jù)二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)即可得出答案.
【解答】解:120,
故選:B.
【變式3-1](2022春?泰山區(qū)期末)若式子”有意義,則。的取值范圍為()
a-2
A.?1B.。羊2C.-1且D.a>-1
【分析】既要使二次根式后TT有意義,即。+1N0,又要使分式有意義,即4-2W0即可.
【解答】解:由題意得,
。+120且“-2W0,
卻心-I且4#2,
故選:C.
【變式3-2](2022春?泰山區(qū)期末)若J(3x-4尸=4一3%,則x的取值范圍是」式
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)列出不等式即可求出答案.
【解答】解:由題意可知:4-3G0,
?j4
--X-3f
故答案為:
【變式3-3](2022春?睢縣期中)若里有意義,則x的取值范圍為.GO且#6.
【分析】應(yīng)從兩方面考慮X的取值范圍:分母不為0和二次根式有意義.
【解答】解:由有有意義,則6?k|W0且4x20,
6Txi
解得工20且xW6.
【題型4根據(jù)二次根式有意義條件求值】
【例4】(2022春?海淀區(qū)校級(jí)期末)已知小〃都是實(shí)數(shù),。=Y1五+/^二1一2,則M的值為4
【分析1直接利用二次根式有意義的條件得出。,〃的值,進(jìn)而得山答案.
【解答】解:由題意可得,
[1-2a>0
14a-2>O'
解得:a=I,
則b=-2,
故G的值為(?9=4.
故答案為:4.
【變式4-1](2022春?西湖區(qū)校級(jí)期中)某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)二次根式必二|a|后,研究了如下四個(gè)問(wèn)
題,其中錯(cuò)誤的是()
A.在41的條件下化簡(jiǎn)代數(shù)式a+Va2-2a+l的結(jié)果為2a?1
B.a+Va2-2a+1的值隨a變化而變化,當(dāng)。取某個(gè)數(shù)值時(shí),上述代數(shù)式的值可以為0.6
C.當(dāng)a十7a2-2a+1的值恒為定值時(shí),字母a的取值范圍是“W1
D.若迎2-2。+1=(Va-1)2,則字母a必須滿足a21
a—l(a>l)
0(a=1),然后逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.
1-a(a<1)
a-l(a>l)1
0(a=1),
(1-a(a<l)
2
當(dāng)a>1時(shí),Q+y/a—2a+1=a+a-1=2a-1,
2
當(dāng)a=1時(shí),Q+Va-2a4-1=a+a-1=2a-1=1,
當(dāng)a<1時(shí),a+Va2-2a4-1=a-a+\=\,
因此A選項(xiàng)、C選項(xiàng)、。選項(xiàng)均正確,只有8選項(xiàng)不正確,
故選:B.
【變式4-2】(2022春?海安市校級(jí)月考)若是實(shí)數(shù),且y〈五=!+代工+%求詈的值為-1.
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得{;二;解不等式組可得x=l,進(jìn)而可得yV點(diǎn)再根據(jù)絕
對(duì)值的性質(zhì)可得1-),>(),然后化簡(jiǎn)約分即可.
【解答】解:由題意得:{;二;3;,
解得:x=l,
則yV%
”yl_^y.=_],
y-1y-1
故答案為:?1.
【變式4-3](2022?勃利縣期末)已知a滿足|2017-a|+Va—2018=a,則a-20172的值是2018
【分析】先依據(jù)二次根式有意義得到“22018,進(jìn)而化簡(jiǎn)原式求出答案.
【解答】解:V|2OI7-?|+Va-2O18=?,
:.a-2U1K2,
故々22()18,
則原式可變?yōu)椋篴-2017+Va-2018=a,
故a-2018=20172,
則a-20172=2018.
故答案為:2018.
【知識(shí)點(diǎn)4二次根式的性質(zhì)】
性質(zhì)1:(V5)2=a(a>0),即一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于它本身;
性質(zhì)2:^=\a\4a(a-0),即一個(gè)任意實(shí)數(shù)平方的算術(shù)平方根等于它本身的絕對(duì)值.
-a(a<0)
【題型5利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)(數(shù)字型)】
【例5】(2022春?平山縣期末)二次根式斤取的值是()
A.-2B.2或?2C.4D.2
【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的意義,可得答案.
【解答】解:正可=2,故D正確,
故選:O.
【變式5-1](2022春?金東區(qū)期中)下列計(jì)算正確的是()
A.V9=±3B.7n+3Z=5C.V4=2D.7(-3)2=-3
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可求出答案.
【解答】解:A、原式=3,故A不符合題意.
B、原式=丁4+9=VT5,故8不符合題意.
C、原式=2,故。符合題意.
D、原式=3,故。不符合題意.
故選:c.
【變式5-2】(2022春?樂(lè)清市期末)當(dāng)。=5時(shí),二次根式的值是()
A.3B.2C.1D.-1
【分析】把〃=5代入式子中,進(jìn)行計(jì)算即可解答.
【解答】解:當(dāng)。=5時(shí),二次根式14+。=>/4+5=我=3,
故選:A.
【變式5-3](2022春?辛集市期末)下列各式中,正確的是()
A.V25=±5B.J-(V5)2=V5C.J16j=4^D.:
【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義,二次根式有意義的條件,立方根的定義可進(jìn)行判斷.
【解答】解:A.???5?=25,
AV25=5,A不符合題意;
B.V-(V5)2=-5<0,
'J-(通)2無(wú)意義,3不符合題意;
C.J16^=后=苧B45C不符合題意;
°?腎°符合題意,
故選:D.
【題型6利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)(字母及復(fù)合型)】
[例6](2022?泗水縣二模)已知y=’(無(wú)_3)2_燈+4,當(dāng)x分別取正整數(shù)1,2,3,4,5,2022
時(shí),所對(duì)應(yīng)y值的總和是()
A.2026B.2027C.2028D.2029
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)得出當(dāng)X-3N0H寸,),=1;當(dāng)廠3<0時(shí),),=7-2x,分別求出x=l,x=
2時(shí),y的值,再求出答案即可.
【解答】解:y=-3尸-A+4=|X-3|-x+4,
當(dāng)x-32(),即43時(shí),y=x-3-x+4=l:
當(dāng)x-3V(),即xV3時(shí),y=3-x-x+4=7-2t,
當(dāng)x=1時(shí),y=5,
當(dāng)x=2時(shí),y=3,
所以當(dāng)?shù)斗謩e取正整數(shù)1,2,3,4,5,…,2022時(shí),所對(duì)應(yīng)),值的總和5i3i1i1i1i1i???i1
=9+2019XI
=9+2019
=2028,
故選:C.
【變式6-1](2022秋?南昌期末)閱讀下面的解題過(guò)程,判斷是否正確?若不正確,請(qǐng)寫出正確的解答.
已知m為實(shí)數(shù),化簡(jiǎn);——m/-----
7m
,W:原式二-m--myj-m
=(—m—lyyJ—rn.
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì),機(jī)口成立,則〃?為負(fù)數(shù),由此可先判斷已知解答是錯(cuò)誤的,再化簡(jiǎn)解
\Jm
答即可.
【解答】解:不正確,
?「工成立,則加為負(fù)數(shù),
根據(jù)題意,加
yjm
3
-V—m—m7I---m-
=my/—m+
=my/—m+,一m
=(7??+1)y/-m.
【變式6-2](2022春?鳳凰縣月考)若式子"4一4Q+a?與“談一8a+16的和為2,則。的取值范圍是,
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì),得出。-220且a?4W0,進(jìn)而確定。的取值范圍.
(解答]解:':V4-4a+a2+Va2-8a+16
=J(a—2>+J(a-4尸
=|t/-2|+|?-4|,
當(dāng)a>4時(shí),原式=a-2+a-4=2a-6,因此不符合題意;
當(dāng)2WaW4時(shí),原式=。-2+4-。=2,因此符合題意;
當(dāng)aV2時(shí),原式=2-a+4-〃=6-2”,因此不符合題意:
???2(aW4,
故答案為:2WaW4.
【變式6-3](2022?綿陽(yáng)模擬)等式巧行口=-4/71工成立的x的取值范圍在數(shù)軸上表示為()
【1.f
A.-101
---11??~?
B.-101
1___
C.-101
.I1A
D.-I01
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件即可求出x的范圍.
【解答】解:由題意可知:{::;>0,
解得:-IWXWO,
故選:A.
【題型7根據(jù)參數(shù)范圍及二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)二次根式】
【例7】(2022春?黃驊市期中)己知小從。在數(shù)軸上的位置如下圖:化簡(jiǎn)代數(shù)式后-|a+〃|+照可+|b+c|
的值為-a
11、
h20c
【分析】首先根據(jù)數(shù)軸確定。、尻C的符號(hào),再由二次根式的性質(zhì)及有理數(shù)的加減法法則確定各個(gè)絕對(duì)
值里面的式子的符號(hào),然后去掉絕對(duì)值符號(hào),從而對(duì)?所求代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn).
【解答】解:根據(jù)數(shù)軸可以得到:hVaVOVc,且網(wǎng)>|小
/.fl+Z?<0?c-?>0,b+c<0,
Va2—\a+b\+yj(c—a)2+\b+c\,
=|?|-\a+b\+\c-a\+\b+c\,
=-a+(a+b)+(c-67)-(b+c)?
=-a+a+b+c-a-b-Cf
故答案為:-a.
【變式7-1](2022?寧波)已知:aV0,化簡(jiǎn)j4-(a+^)2-^4+(a-^)2=
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn).
又???二次根式內(nèi)的數(shù)為非負(fù)數(shù)
/.a-
-a=0
.*.a=\或?1
Va<0
:,a=-1
???原式=0-2=-2.
【殳式7-2](2022?廣饒縣期末)實(shí)數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示,化洵卜列代數(shù)式的值標(biāo)一
J(c-a+b)2+|/?+c|-=-b.
ab0c
【分析】根據(jù)數(shù)軸得出VbVOVc,同>同>族|,根據(jù)二次根式的性質(zhì)得出悶?|c-a+b|+|Hc|■力,去掉絕
對(duì)值符號(hào)后合并即可.
【解答】解::從數(shù)軸可知:a<b<O<c,匕|>間>1例,
,原式=同-匕-。+。|+由+c|?。
=-a-c+a-b+b+c-b
=-b,
故答案為:-b.
【變式7-3](2022春?禹州市校級(jí)月考)已知1VXV3,求,1-2%+/+g-8%+16的值.
【分析】利用x的取值范圍,結(jié)合完全平方公式將原式開(kāi)平方求出答案.
【解答】解:???1VXV3,
V1—2%+x2+Vx2—8x+16
=V(x-l)2+V(x-4)2
=x-1+4-x
=3.
【題型8含隱含條件的參數(shù)范圍化簡(jiǎn)二次根式】
【例8】(2022?建湖縣一模)2、6、m是某三角形三邊的長(zhǎng),則—4。一—8產(chǎn)等于()
A.2m-12B.12-2/HC.12D.-4
【分析】直接利用三角形三邊關(guān)系得出〃?的取值范圍,進(jìn)而化簡(jiǎn)二次根式得出答案.
【解答】解:???2、6、是某三角形三邊的長(zhǎng),
,4VmV8,
?*.m-4>0?rn-8<0?
/.—4)2—J(m-8)2
=m-4-(8-/〃)
=m-4-8+,n
=2m-12.
故選:A.
【變式8-1](2022春?辛集市期末)已知冷Y0,化簡(jiǎn);*點(diǎn)
【分析】根據(jù)題意可知,),V0,然后對(duì)二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn),杈據(jù)孫V0,去絕對(duì)值號(hào).
【解答】解:??,二次根式X",
/.y<0,
Vxy<0,
ER帝"母尸,
故答案為:Q.
【變式8-2](2022?徐匯區(qū)校級(jí)月考)如果a,b,c為三角形A8C的三邊長(zhǎng),請(qǐng)化簡(jiǎn):J(a-b+c.+
7(/?—c—a)2=2a-2。+2c.
【分析】直接利用三角形三邊關(guān)系得出〃-力+c>(),b-c-a<(),進(jìn)而利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)得出答
案.
【解答】解::小b,c為三角形A8C的三邊長(zhǎng),
??a-b+c>0,b-c-a<0,
;?原式=a?)+c-(b?c?a)
=a-b+c-b+c+a
=2a-2b+2c.
故答案為:2a-2b+2c.
【變式8-3](2022春?靖江市期末)已知:機(jī)是西的小數(shù)部分,求,氏2+.一2的值.
【分析】先估算得到〃?=逐一2,則工=6=6+2,即L>〃?,利用完全平方公式得到原式=
mV5-2m
](m二)2,再根據(jù)二次根式的性質(zhì)得到原式=加-2I,去絕對(duì)值得原式=-〃葉工,然后把m和工的值
Mmmm7n
代入計(jì)算即可.
【解答】解:是6的小數(shù)部分,
m=x/5—2,
原式="加一3)2=依一訝
..,/〃=V5—2,
=-7^—=V5+2,BP->in,
mV5-2m
;?原式=-(m——m)
--m+—m
=-(V5-2)4-V5+2
=4.
【題型9復(fù)雜的復(fù)合型二次根式化簡(jiǎn)】
【例9】(2022?思明區(qū)校級(jí)期末)若。=2021X2022-202產(chǎn),b=1013X1008-1012X1007,c=
J20192+2020+2021,則a,b,c的大小關(guān)系是()
A.c<b<aB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a
【分析】先化簡(jiǎn)各式,然后再進(jìn)行比較即可.
【解答】解:4=2021X2022-20212
=2021X(2022-2021)
=2021X1
=2021;
&=1O13X1OO8-1012X1007
=(1012+1)(1007+1)-1012X1007
=1OI2X1007+1012+1007+1-1012X1007
=1012+1007+1
=2020;
c=V20192+2020+2021
=7(2020-I)2+2020+2021
=V20202-2x2020+1+2020+2021
=5/20202+2:
r.2020VJ20202+2<2021,
?\b<c<af
故選:D.
【變式9-1](2022?興平市期中)像丁4-25J畫-鬧…這樣的根式叫做復(fù)合二次根式.有一些復(fù)合
二次根式可以借助構(gòu)造完全平方式進(jìn)行化簡(jiǎn),如:V4-2V3=V3-2V3+1=J(V3)2-2X>/3+I2=
J(V3—I)2=V3—1;再如:Js+2瓜=13+2后+2=J(百/+2x4-(>/2)2=J(V3+V2)2=
乃+企.請(qǐng)用上述方法探索并解決下列問(wèn)題:
(1)化簡(jiǎn):V11+2V30=_店+V6_,V24-6715=_V15-3_;
(2)若a+6>/5=2.且白,加,〃為正整數(shù),求a的值.
【分析】(1)將被開(kāi)方數(shù)寫成完全平方式,再化簡(jiǎn).
(2)變形已知等式,建立小加,〃的方程組求解.
【解答】解⑴
J11+2同=J5+2同+6=J(花〉+2通x述+(石產(chǎn)=J(花+㈣2=V5+V6.
V24-6V15=V15-6715+9=J(V15)2-2x3xV154-32=J(V15-3)2=V15-3.
(2)1?(771+VSn)2=m2^5n2-^-2
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