重慶市涪陵中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析_第1頁
重慶市涪陵中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析_第2頁
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文檔簡介

重慶市涪陵中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.把邊長為的正沿邊上的高線折成的二面角,則點(diǎn)到的距離是()A. B. C. D.2.有8件產(chǎn)品,其中4件是次品,從中有放回地取3次(每次1件),若X表示取得次品的次數(shù),則()A. B. C. D.3.設(shè)函數(shù)的定義域A,函數(shù)的值域?yàn)锽,則()A. B. C. D.4.設(shè)集合,那么集合中滿足條件“”的元素個(gè)數(shù)為()A.60 B.65 C.80 D.815.某電子元件生產(chǎn)廠家新引進(jìn)一條產(chǎn)品質(zhì)量檢測線,現(xiàn)對(duì)檢測線進(jìn)行上線的檢測試驗(yàn):從裝有個(gè)正品和個(gè)次品的同批次電子元件的盒子中隨機(jī)抽取出個(gè),再將電子元件放回.重復(fù)次這樣的試驗(yàn),那么“取出的個(gè)電子元件中有個(gè)正品,個(gè)次品”的結(jié)果恰好發(fā)生次的概率是()A. B. C. D.6.在中,角,,所對(duì)的邊分別為,,,且,,,,則()A.2 B. C. D.47.已知集合,,則A. B. C. D.8.已知,直線過點(diǎn),則的最小值為()A.4 B.3 C.2 D.19.在等差數(shù)列中,,,則公差()A.-1 B.0 C.1 D.210.在直角坐標(biāo)系中,以為極點(diǎn),軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),曲線的方程為,直線與曲線相交于兩點(diǎn),當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí),()A. B. C. D.11.若函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍為()A. B.C. D.12.公元263年左右,我國數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時(shí),多邊形面積可無限逼近圓的面積,并創(chuàng)立了“割圓術(shù)”.劉徽應(yīng)用“割圓術(shù)”得到了圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后四位的近似值,這就是著名的“徽率”.如圖是應(yīng)用劉徽的“割圓術(shù)”思想設(shè)計(jì)的一個(gè)程序框圖,則輸出的值為()(參考數(shù)據(jù):,)A.12 B.24 C.36 D.48二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若一個(gè)圓錐的母線長是底面半徑的3倍,則該圓錐的側(cè)面積是底面積的_________倍;14.已知變量滿足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)的最小值為__________.15.雙曲線的焦點(diǎn)是,若雙曲線上存在點(diǎn),使是有一個(gè)內(nèi)角為的等腰三角形,則的離心率是______;16.若,則在的展開式中,項(xiàng)的系數(shù)為_________三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)若對(duì)任意實(shí)數(shù)都有函數(shù)的圖象與直線相切,則稱函數(shù)為“恒切函數(shù)”,設(shè)函數(shù),其中.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)已知函數(shù)為“恒切函數(shù)”,①求實(shí)數(shù)的取值范圍;②當(dāng)取最大值時(shí),若函數(shù)也為“恒切函數(shù)”,求證:.18.(12分)某學(xué)校高二年級(jí)舉行了由全體學(xué)生參加的一分鐘跳繩比賽,計(jì)分規(guī)則如下表:每分鐘跳繩個(gè)數(shù)得分1617181920年級(jí)組為了解學(xué)生的體質(zhì),隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的跳繩個(gè)數(shù)作為一個(gè)樣本,繪制了如下樣本頻率分布直方圖.(1)現(xiàn)從樣本的100名學(xué)生跳繩個(gè)數(shù)中,任意抽取2人的跳繩個(gè)數(shù),求兩人得分之和小于35分的概率;(用最簡分?jǐn)?shù)表示)(2)若該校高二年級(jí)共有2000名學(xué)生,所有學(xué)生的一分鐘跳繩個(gè)數(shù)近似服從正態(tài)分布,其中,為樣本平均數(shù)的估計(jì)值(同一組中數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)值作代表).利用所得的正態(tài)分布模型,解決以下問題:(i)估計(jì)每分鐘跳繩164個(gè)以上的人數(shù)(結(jié)果四舍五入到整數(shù));(ii)若在全年級(jí)所有學(xué)生中隨機(jī)抽取3人,每分鐘跳繩在179個(gè)以上的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望與方差.附:若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則,,.19.(12分)已知函數(shù),.(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)若的解集包含,求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.(12分)已知.(1)當(dāng)時(shí),求的展開式中含項(xiàng)的系數(shù);(2)證明:的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為.21.(12分)在進(jìn)行一項(xiàng)擲骰子放球游戲中,規(guī)定:若擲出1點(diǎn),甲盒中放一球;若擲出2點(diǎn)或3點(diǎn),乙盒中放一球;若擲出4點(diǎn)或5點(diǎn)或6點(diǎn),丙盒中放一球,前后共擲3次,設(shè)分別表示甲,乙,丙3個(gè)盒中的球數(shù).(Ⅰ)求的概率;(Ⅱ)記求隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望.22.(10分)設(shè)事件A表示“關(guān)于的一元二次方程有實(shí)根”,其中,為實(shí)常數(shù).(Ⅰ)若為區(qū)間[0,5]上的整數(shù)值隨機(jī)數(shù),為區(qū)間[0,2]上的整數(shù)值隨機(jī)數(shù),求事件A發(fā)生的概率;(Ⅱ)若為區(qū)間[0,5]上的均勻隨機(jī)數(shù),為區(qū)間[0,2]上的均勻隨機(jī)數(shù),求事件A發(fā)生的概率.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

取中點(diǎn),連接,根據(jù)垂直關(guān)系可知且平面,通過三線合一和線面垂直的性質(zhì)可得,,從而根據(jù)線面垂直的判定定理知平面,根據(jù)線面垂直性質(zhì)知,即為所求距離;在中利用勾股定理求得結(jié)果.【詳解】取中點(diǎn),連接,如下圖所示:為邊上的高,即為二面角的平面角,即且平面為正三角形為正三角形又為中點(diǎn)平面,平面又平面即為點(diǎn)到的距離又,本題正確選項(xiàng):本題考查立體幾何中點(diǎn)到直線距離的求解,關(guān)鍵是能夠通過垂直關(guān)系在立體圖形中找到所求距離,涉及到線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用,屬于中檔題.2、D【解析】

首先把取一次取得次品的概率算出來,再根據(jù)離散型隨機(jī)變量的概率即可算出.【詳解】因?yàn)槭怯蟹呕氐厝‘a(chǎn)品,所以每次取產(chǎn)品取到次品的概率為.從中取3次,為取得次品的次數(shù),則,,選擇D答案.本題考查離散型隨機(jī)變量的概率,解題時(shí)要注意二項(xiàng)分布公式的靈活運(yùn)用.屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

根據(jù)二次根式的性質(zhì)求出,再結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出,取交集即可.【詳解】,,解得:,而單調(diào)遞增,故值域:,,故選:.本題考查定義域值域的求法,考查交集等基本知識(shí),是基礎(chǔ)題4、D【解析】由題意可得,成立,需要分五種情況討論:當(dāng)時(shí),只有一種情況,即;當(dāng)時(shí),即,有種;當(dāng)時(shí),即,有種;當(dāng)時(shí),即,有種當(dāng)時(shí),即,有種,綜合以上五種情況,則總共為:種,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了創(chuàng)新型問題,往往涉及方程,不等式,函數(shù)等,對(duì)涉及的不同內(nèi)容,先要弄清題意,看是先分類還是先步,再處理每一類或每一步,本題抓住只能取相應(yīng)的幾個(gè)整數(shù)值的特點(diǎn)進(jìn)行分類,對(duì)于涉及多個(gè)變量的排列,組合問題,要注意分類列舉方法的運(yùn)用,且要注意變量取值的檢驗(yàn),切勿漏掉特殊情況.5、B【解析】

取出的個(gè)電子元件中有個(gè)正品,個(gè)次品的概率,重復(fù)次這樣的試驗(yàn),利用次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生次的概率計(jì)算公式能求出“取出的個(gè)電子元件中有個(gè)正品,個(gè)次品”的結(jié)果恰好發(fā)生次的概率【詳解】從裝有個(gè)正品和個(gè)次品的同批次電子元件的盒子中隨機(jī)抽取出個(gè),再將電子元件放回,取出的個(gè)電子元件中有個(gè)正品,個(gè)次品的概率,重復(fù)次這樣的試驗(yàn),那么“取出的個(gè)電子元件中有個(gè)正品,個(gè)次品”的結(jié)果恰好發(fā)生次的概率是:.故選:B本題考查了次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生次的概率計(jì)算公式,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

先利用正弦定理解出c,再利用的余弦定理解出b【詳解】所以本題考查正余弦定理的簡單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

利用一元二次不等式的解法化簡集合,再根據(jù)集合的基本運(yùn)算進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?,,所以,故選C.研究集合問題,一定要抓住元素,看元素應(yīng)滿足的屬性.研究兩集合的關(guān)系時(shí),關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系.8、A【解析】

先得a+3b=1,再與相乘后,用基本不等式即可得出結(jié)果.【詳解】依題意得,,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào);故選A本題考查了基本不等式及其應(yīng)用,熟記基本不等式即可,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

全部用表示,聯(lián)立方程組,解出【詳解】本題考查等差數(shù)列的基本量計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題。10、D【解析】

先將直線直線與曲線轉(zhuǎn)化為普通方程,結(jié)合圖形分析可得,要使的面積最大,即要為直角,從而求解出?!驹斀狻拷猓阂?yàn)榍€的方程為,兩邊同時(shí)乘以,可得,所以曲線的普通方程為,曲線是以為圓心,2為半徑的上半個(gè)圓.因?yàn)橹本€的參數(shù)方程為(為參數(shù)),所以直線的普通方程為,因?yàn)椋援?dāng)為直角時(shí)的面積最大,此時(shí)到直線的距離,因?yàn)橹本€與軸交于,所以,于是,所以,故選D。本題考查了曲線的參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程之間的互化,同時(shí)考查了直線與圓的位置關(guān)系,數(shù)形結(jié)合是本題的核心思想。11、D【解析】

將問題轉(zhuǎn)化為與恰有個(gè)交點(diǎn);利用導(dǎo)數(shù)和二次函數(shù)性質(zhì)可得到的圖象,通過數(shù)形結(jié)合可確定或時(shí)滿足題意,進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】令,則恰有個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于與恰有個(gè)交點(diǎn)當(dāng)時(shí),,則當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增可得圖象如下圖所示:若與有兩個(gè)交點(diǎn),則或又,即當(dāng)時(shí),恰有個(gè)零點(diǎn)本題正確選項(xiàng):本題考查根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍的問題,關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為平行于軸的直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題,利用數(shù)形結(jié)合的方式找到臨界狀態(tài),從而得到滿足題意的范圍.12、B【解析】試題分析:模擬執(zhí)行程序,可得,不滿足條件;不滿足條件;滿足條件,推出循環(huán),輸出的值為,故選B.考點(diǎn):程序框圖.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1;【解析】

分別計(jì)算側(cè)面積和底面積后再比較.【詳解】由題意,,,∴.故答案為1.本題考查圓錐的側(cè)面積,掌握側(cè)面積計(jì)算公式是解題關(guān)鍵.屬于基礎(chǔ)題.14、4【解析】分析:作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,利用的幾何意義和數(shù)形結(jié)合即可得到答案詳解:作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖:由可得:平移直線,由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),直線的截距最大,此時(shí)最小,解得,即此時(shí)故目標(biāo)函數(shù)的最小值為點(diǎn)睛:本題主要考查的知識(shí)點(diǎn)是線性規(guī)劃的應(yīng)用,畫出可行域,轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù),將其轉(zhuǎn)化為幾何意義,在軸的截距問題即可解答。15、【解析】

根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可知,等腰三角形的腰應(yīng)該為與或與,不妨設(shè)等腰三角形的腰為與,故可得到的值,再根據(jù)等腰三角形的內(nèi)角為,求出的值,利用雙曲線的定義可得雙曲線的離心率.【詳解】解:根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可知,等腰三角形的兩個(gè)腰應(yīng)為與或與,不妨設(shè)等腰三角形的腰為與,且點(diǎn)在第一象限,故,等腰有一內(nèi)角為,即,由余弦定理可得,,由雙曲線的定義可得,,即,解得:.本題考查了雙曲線的定義、性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是要能準(zhǔn)確判斷出等腰三角形的腰所在的位置.16、【解析】分析:由定積分求得,寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為,進(jìn)而可求解的系數(shù).詳解:由,所以二項(xiàng)式為,則二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為,當(dāng)時(shí),,即的系數(shù)為.點(diǎn)睛:本題主要考查了定積分的計(jì)算和二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,其中熟記微積分基本定理和二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)的合理運(yùn)用是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理和運(yùn)算能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2)【解析】分析:(1)求出,分兩種情況討論的范圍,在定義域內(nèi),分別令求得的范圍,可得函數(shù)增區(qū)間,求得的范圍,可得函數(shù)的減區(qū)間;(2)①設(shè)切點(diǎn)為,求出,設(shè),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出故實(shí)數(shù)的取值范圍為;②當(dāng)取最大值時(shí),,,,,,因?yàn)楹瘮?shù)也為“恒切函數(shù)”,故存在,使得,,由得,,設(shè),,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.詳解:(1).當(dāng)時(shí),恒成立,函數(shù)在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),得,由得,由得,得函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上遞增.(2)①若函數(shù)為“恒切函數(shù)”,則函數(shù)的圖象與直線相切,設(shè)切點(diǎn)為,則且,即,.因?yàn)楹瘮?shù)為“恒切函數(shù)”,所以存在,使得,,即,得,,設(shè).則,,得,得,故在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,從而故實(shí)數(shù)的取值范圍為.②當(dāng)取最大值時(shí),,,,,,因?yàn)楹瘮?shù)也為“恒切函數(shù)”,故存在,使得,,由得,,設(shè),則,得,得,故在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,1.在單調(diào)遞增區(qū)間上,,故,由,得;2.在單調(diào)遞增區(qū)間上,,,又的圖象在上不間斷,故在區(qū)間上存在唯一的,使得,故.此時(shí)由,得,函數(shù)在上遞增,,,故.綜上所述,.點(diǎn)睛:本題是以導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用為背景的函數(shù)綜合題,主要考查了函數(shù)思想,化歸思想,抽象概括能力,綜合分析問題和解決問題的能力,屬于較難題,近來高考在逐年加大對(duì)導(dǎo)數(shù)問題的考查力度,不僅題型在變化,而且問題的難度、深度與廣度也在不斷加大,本部分的要求一定有三個(gè)層次:第一層次主要考查求導(dǎo)公式,求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的幾何意義;第二層次是導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用,包括求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值等;第三層次是綜合考查,包括解決應(yīng)用問題,將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān)不等式甚至數(shù)列及函數(shù)單調(diào)性有機(jī)結(jié)合,設(shè)計(jì)綜合題.18、(1);(2)(i)1683;(ii).【解析】

(1)根據(jù)頻率分布直方圖得到16分,17分,18分的人數(shù),再根據(jù)古典概率的計(jì)算公式求解.(2)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望與方差的公式進(jìn)行求解.【詳解】(1)設(shè)“兩人得分之和小于35分”為事件,則事件包括以下四種情況:①兩人得分均為16分;②兩人中一人16分,一人17分;③兩人中一人16分,一人18分;④兩人均17分.由頻率分布直方圖可得,得16分的有6人,得17分的有12人,得18分的有18人,則由古典概型的概率計(jì)算公式可得.所以兩人得分之和小于35的概率為.(2)由頻率分布直方圖可得樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)的估計(jì)值為:(個(gè)).又由,得標(biāo)準(zhǔn)差,所以高二年級(jí)全體學(xué)生的跳繩個(gè)數(shù)近似服從正態(tài)分布.(i)因?yàn)?,所以,故高二年?jí)一分鐘跳繩個(gè)數(shù)超過164個(gè)的人數(shù)估計(jì)為(人).(ii)由正態(tài)分布可得,全年級(jí)任取一人,其每分鐘跳繩個(gè)數(shù)在179以上的概率為,所以,的所有可能的取值為0,1,2,3.所以,,,,故的分布列為:0123所以,.本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題、正態(tài)分布的應(yīng)用問題,也考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與期望的計(jì)算問題.19、(1).(2).【解析】

(1)利用分類討論法解絕對(duì)值不等式;(2)等價(jià)轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的,恒成立,即對(duì)任意的,恒成立,再解不等式得解.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),.①當(dāng)時(shí),原不等式可化為,化簡得,解得,∴;②當(dāng)時(shí),原不等式可化為,化簡得,解得,∴;③當(dāng)時(shí),原不等式可化為,化簡得,解得,∴;綜上所述,不等式的解集是;(2)由題意知,對(duì)任意的,恒成立,即對(duì)任意的,恒成立,∵當(dāng)時(shí),,∴對(duì)任意的,恒成立,∵,,∴,∴,即實(shí)數(shù)的取值范圍為.本題主要考查分類討論法解絕對(duì)值不等式,考查絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用和不等式的恒成立問題,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.20、(1)84;(2)證明見解析【解析】

(1)當(dāng)時(shí),根據(jù)二項(xiàng)展開式分別求出每個(gè)二項(xiàng)式中的項(xiàng)的系數(shù)相加即可;(2)根據(jù)二項(xiàng)展開式,含項(xiàng)的系數(shù)為,又,再結(jié)合即可得到結(jié)論.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為.(2),,故的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為因?yàn)?,所以?xiàng)的系數(shù)為:.本題考查二項(xiàng)式定理、二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)的求法、組合數(shù)的計(jì)算,考查函數(shù)與方程思想,考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.21、(Ⅰ)(Ⅱ)見解析【解析】

求得球放入甲,乙,丙盒的概率.(I)根據(jù)相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式,計(jì)算出所求的概率.(II)先求得可能的取值是0,1,2,1,然后根據(jù)相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式,計(jì)算出分

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