臨汾市第一中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．2 C．1 D．02．已知實(shí)數(shù)成等比數(shù)列，則橢圓的離心率為A． B．2 C．或2 D．或3．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則（）A．1 B．0.8 C．0.6 D．0.34．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，都有，且當(dāng)時(shí)，，則的值為()A．－1 B．－2 C．2 D．15．如表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后在生產(chǎn)A產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)品（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗(噸)的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的線性回歸方程為，那么表中的值為（）A．4.5 B．3.75 C．4 D．4.16．已知函數(shù)與的圖像有三個(gè)不同的公共點(diǎn)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．7．設(shè)是兩個(gè)平面向量，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．設(shè)函數(shù)，集合，則圖中的陰影部分表示的集合為（）A． B．C． D．9．已知雙曲線與橢圓：有共同的焦點(diǎn)，它們的離心率之和為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．10．的展開式中，的系數(shù)為（）A．15 B．-15 C．60 D．-6011．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如圖，則常數(shù)c為（）X01PA． B． C．或 D．12．根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)得到的回歸方程為，則

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A．， B．， C．， D．，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．條件，條件，若是的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______________．14．位老師和位同學(xué)站成一排合影，要求老師相鄰且不在兩端的排法有______種.（用數(shù)字作答）15．若，，，且的最小值是___.16．在平面直角坐標(biāo)系中，已知為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖,在一個(gè)水平面內(nèi),河流的兩岸平行,河寬1(單位:千米)村莊A,B和供電站C恰位于一個(gè)邊長(zhǎng)為2(單位:千米)的等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)處,且A,C位于河流的兩岸,村莊A側(cè)的河岸所在直線恰經(jīng)過BC的中點(diǎn)D.現(xiàn)欲在河岸上A,D之間取一點(diǎn)E,分別修建電纜CE和EA,EB.設(shè)∠DCE=θ,記電纜總長(zhǎng)度為f(θ)(單位:千米).(1)求f(θ)的解析式；(2)當(dāng)∠DCE為多大時(shí),電纜的總長(zhǎng)度f(wàn)(θ)最小,并求出最小值.18．（12分）設(shè)函數(shù).(Ⅰ)求不等式的解集；(Ⅱ)求證:，并求等號(hào)成立的條件.19．（12分）已知函數(shù)在處取得極小值1．（1）求的解析式；（2）求在上的最值．20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知點(diǎn)A的極坐標(biāo)(，)，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ－)＝a，．（1）若點(diǎn)A在直線l上，求直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，若直線與圓C相交的弦長(zhǎng)為，求的值．21．（12分）下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗（噸標(biāo)準(zhǔn)煤）的幾組對(duì)照數(shù)據(jù)．34562.5344.5（1）請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；（2）請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程．參考公式：22．（10分）如圖，在四棱錐P—ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四邊形ABCD為直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1.(1)求點(diǎn)D到平面PBC的距離；(2)設(shè)Q是線段BP上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線CQ與DP所成的角最小時(shí)，求二面角B-CQ-D的余弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】試題分析：集合中的元素為點(diǎn)集，由題意，可知集合A表示以為圓心，為半徑的單位圓上所有點(diǎn)組成的集合，集合B表示直線上所有的點(diǎn)組成的集合，又圓與直線相交于兩點(diǎn)，，則中有2個(gè)元素.故選B.【名師點(diǎn)睛】求集合的基本運(yùn)算時(shí)，要認(rèn)清集合元素的屬性(是點(diǎn)集、數(shù)集或其他情形)和化簡(jiǎn)集合，這是正確求解集合運(yùn)算的兩個(gè)先決條件.集合中元素的三個(gè)特性中的互異性對(duì)解題影響較大，特別是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性.2、A【解析】

由1，m，9構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，得到m=±1．當(dāng)m=1時(shí)，圓錐曲線是橢圓；當(dāng)m=﹣1時(shí)，圓錐曲線是雙曲線，(舍）由此即可求出離心率．【詳解】∵1，m，9構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，∴m2=1×9，則m=±1．當(dāng)m=1時(shí)，圓錐曲線+y2=1是橢圓，它的離心率是=；當(dāng)m=﹣1時(shí)，圓錐曲線+y2=1是雙曲線，故舍去，則離心率為．故選A．本題考查圓錐曲線的離心率的求法，解題時(shí)要注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用，注意分類討論思想的靈活運(yùn)用．3、C【解析】因，故由正態(tài)分布的對(duì)稱性可知，應(yīng)選答案C。4、A【解析】

利用函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的周期性轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，且周期為2，所以f（﹣2017）+f（2018）=﹣f（2017）+f（2018）=﹣f（1）+f（0）．當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，f（x）=log2（x+1），所以f（﹣2017）+f（2018）=﹣1+0=﹣1．故選：A．本題考查函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的周期性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．5、C【解析】

根據(jù)回歸直線必過，求出代入回歸直線可構(gòu)造出方程求得結(jié)果.【詳解】由數(shù)據(jù)表可知：，由回歸直線可知：，即：，解得：本題正確選項(xiàng)：本題考查利用回歸直線求解實(shí)際數(shù)據(jù)點(diǎn)的問題，關(guān)鍵是能夠明確回歸直線必過點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

將函數(shù)有三個(gè)公共點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為有三個(gè)解，再利用換元法設(shè)，整理為，畫出函數(shù)圖形得到答案.【詳解】函數(shù)與的圖像有三個(gè)不同的公共點(diǎn)即有三個(gè)解整理得：設(shè)，當(dāng)單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.如圖所示：原式整理得到：圖像有三個(gè)不同的公共點(diǎn)，即二次方程有兩個(gè)解，一個(gè)小于0.一個(gè)在上或當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，另一個(gè)零點(diǎn)在上，滿足條件.故答案為B本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為方程的解，再利用換元法簡(jiǎn)化計(jì)算，本題綜合性強(qiáng)，計(jì)算量大，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和計(jì)算能力.7、A【解析】

由，則是成立的；反之，若，而不一定成立，即可得到答案.【詳解】由題意是兩個(gè)平面向量，若，則是成立的；反之，若，則向量可能是不同的，所以不一定成立，所以是是成立的充分而不必要條件，故選A.本題主要考查了向量的概念以及向量模的概念的應(yīng)用，以及充分條件與必要條件的判定，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

根據(jù)集合的定義可知為定義域，為值域；根據(jù)對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)定義域的要求可求得集合，結(jié)合對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可求得值域，即集合；根據(jù)圖可知陰影部分表示，利用集合交并補(bǔ)運(yùn)算可求得結(jié)果.【詳解】的定義域?yàn)椋?，即：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋簣D中陰影部分表示：又，本題正確選項(xiàng)：本題考查集合基本運(yùn)算中的交并補(bǔ)混合運(yùn)算，關(guān)鍵是能夠明確兩個(gè)集合表示的含義分別為函數(shù)的定義域和值域，利用對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域要求和單調(diào)性可求得兩個(gè)集合；涉及到圖的讀取等知識(shí).9、C【解析】

由橢圓方程求出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，及橢圓的離心率，結(jié)合題意進(jìn)一步求出雙曲線的離心率，從而得到雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，再結(jié)合隱含條件求得雙曲線的虛半軸長(zhǎng)得答案．【詳解】由橢圓，得，，則，雙曲線與橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，橢圓的離心率為，則雙曲線的離心率為．設(shè)雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為m，則，得，則虛半軸長(zhǎng)，雙曲線的方程是．故選C．本題考查雙曲線方程的求法，考查了橢圓與雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，是中檔題．10、C【解析】試題分析：依題意有，故系數(shù)為.考點(diǎn)：二項(xiàng)式．11、A【解析】

根據(jù)所給的隨機(jī)變量的分布列寫出兩點(diǎn)分步的隨機(jī)變量的概率要滿足的條件，一是兩個(gè)概率都不小于0，二是兩個(gè)概率之和是1，解出符合題意的c的值．【詳解】由隨機(jī)變量的分布列知，，，，∴，故選A．本題主要考查分布列的應(yīng)用，求離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，屬于基礎(chǔ)題．12、B【解析】

試題分析：由表格數(shù)據(jù)的變化情況可知回歸直線斜率為負(fù)數(shù)，中心點(diǎn)為，代入回歸方程可知考點(diǎn)：回歸方程二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

解：是的充分而不必要條件，，等價(jià)于，的解為，或，，故答案為：．14、24【解析】

根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：第一步，將3位同學(xué)全排列，排好后中間有2個(gè)空位可用；第二步，將2位老師看成一個(gè)整體，安排在2個(gè)空位中，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：第一步，將3位同學(xué)全排列，有種排法，排好后中間有2個(gè)空位可用；第二步，將2位老師看成一個(gè)整體，安排在2個(gè)空位中，有種安排方法.則有種排法.故答案為:24.本題考查排列組合及簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問題.對(duì)于不相鄰的問題，一般采用插空法；對(duì)于相鄰的問題，一般采用捆綁法.15、9【解析】

根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，結(jié)合乘“1”法求出代數(shù)式的最小值即可．【詳解】∵，，，,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”成立，故答案為9.本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】

根據(jù)相關(guān)點(diǎn)法，、是兩個(gè)相關(guān)點(diǎn)，找出的坐標(biāo)與的坐標(biāo)之間的關(guān)系，借助的方程可以求出的方程．【詳解】解：設(shè)，，由已知有，，即，，因?yàn)槭菆A上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以滿足圓的方程，代入，，得，整理得，．故答案為:.此題考查了用相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程的問題.在求點(diǎn)的軌跡方程時(shí)，常設(shè)出該點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)已知條件列出關(guān)于的方程.還有的題目可以依據(jù)圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義，求軌跡方程前首先判斷出軌跡的形狀，進(jìn)而求解.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）f(θ)=2-sinθcosθ+3，0<θ<π3【解析】分析：易得CE=EB=1cosθ，ED=tanθ，AE=3-tanθ，f(θ)=2-sinθcosθ+3，0<θ<π3.(2)求導(dǎo)f'(θ)=-cos2詳解：(1)易得AD垂直平分BC，CD=BD=1則CE=EB=1cosθ，ED=于是f(θ)=1cosθ因?yàn)镋在CD之間,所以0<θ<π故f(θ)=2-sinθ(2)f'(θ)=-cos2令f'(θ)=0,得sinθ=故當(dāng)0<θ<π6，f'(θ)<0，當(dāng)π6<θ<π3.,所以,當(dāng)θ=π6時(shí),f(θ)答:當(dāng)∠DCE=π6時(shí),f(θ)最小值為點(diǎn)睛：此題為三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題，解題時(shí)要注意分析題目中的條件，常常跟正余弦定理，三角函數(shù)比值關(guān)系等幾何關(guān)系結(jié)合在一起考查，不難，但是綜合性強(qiáng)；第二問求最值如果不能轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求得最值，那就通過導(dǎo)數(shù)來(lái)分析.18、(Ⅰ)(Ⅱ)見證明【解析】

(Ⅰ)利用零點(diǎn)分類法，進(jìn)行分類討論，求出不等式的解集；(Ⅱ)法一：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，再根據(jù)三角絕對(duì)值不等式，可以證明出，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，最后可以證明出，以及等號(hào)成立的條件；法二：利用零點(diǎn)法把函數(shù)解析式寫成分段函數(shù)形式，求出函數(shù)的單調(diào)性，最后求出函數(shù)的最小值，以及此時(shí)的的值.【詳解】解:(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，，解得當(dāng)時(shí)，，解得當(dāng)時(shí)，，無(wú)實(shí)數(shù)解原不等式的解集為(Ⅱ)證明:法一:，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，等號(hào)成立的條件是法二:在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，等號(hào)成立的條件是本題考查了絕對(duì)值不等式的解法以及證明絕對(duì)值不等式，利用零點(diǎn)法，分類討論是解題的關(guān)鍵.19、（1）（2）最小值為1，最大值為2．【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合在處取得極小值1，求得的值，由此求得解析式.（2）根據(jù)在區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的極值以及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，求得在區(qū)間上的最值.【詳解】（1），由，得或．當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，符合題意，由，得；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極大值，不符合題意．所以．（2）由（1）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以的最小值?，最大值為2．本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.20、(1)(2)或【解析】試題分析：（1）通過點(diǎn)A在直線l上，列出方程得到，然后求解直線l的直角坐標(biāo)方程（2）消去參數(shù)，求出的普通方程，通過圓心到直線的距離半徑半弦長(zhǎng)的關(guān)系，即可求的值．試題解析：（1）由點(diǎn)在直線上，可得=所以直線的方程可化為從而直線的直角坐標(biāo)方程為.（2）由已知得圓C的直角坐標(biāo)方程為所以圓C的圓心為（2，0），半徑，而直線的直角坐標(biāo)方程為，若直線與圓C相交的弦長(zhǎng)為則圓心到直線的距離為，所以求得或21、（1）見解析（2）【解析】

（1）直接畫出散點(diǎn)圖得到答案.（2）根據(jù)數(shù)據(jù)和公式，得到計(jì)算得，，，直接計(jì)算到答案.【詳解】（1）由題設(shè)所給數(shù)據(jù)，可得散點(diǎn)圖如圖所示．（2）由對(duì)照數(shù)據(jù)，計(jì)算得：，（噸），（噸）．已知，所以，由最小二乘法確定的回歸方程的系數(shù)為：，．因此所求的線性回歸方程為．本題考查了散點(diǎn)圖和線性回歸方程，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.22、（1）.（2）.【解析】分析：（1）利用等體積法即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用換元法可得，再結(jié)合函數(shù)在上的單調(diào)性，計(jì)算即得結(jié)論.詳解：(1)S△BCD=BC×AB=,由于PA⊥平面ABCD,從而PA即為三棱錐P-BCD的高,故VP-BCD=S△BCD×PA=.設(shè)點(diǎn)D到平面PBC的距離為h.由PA⊥平面ABCD得PA⊥B