四川省眉山市仁壽縣文宮中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．從某高中隨機選取5名高三男生，其身高和體重的數(shù)據(jù)如下表所示：根據(jù)上表可得回歸直線方程y=0.56x+a，據(jù)此模型預(yù)報身高為A．70.09kg B．70.12kg C．70.552．已知函數(shù)f(x)=lnx+ln(a-x)的圖象關(guān)于直線A．0 B．1 C．lna D．3．若將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度，則平移后圖像的一個對稱中心可以為（）A． B． C． D．4．已知隨機變量，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，若向長方形中隨機投擲1點，則該點恰好落在陰影部分的概率為（）附：若隨機變量，則，.A．0.1359 B．0.7282 C．0.6587 D．0.86415．如圖，設(shè)、兩點在河的兩岸，一測量者在的同側(cè)河岸邊選定一點，測出、的距離是，，，則、兩點間的距離為（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)與的圖像有三個不同的公共點，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．7．用反證法證明某命題時，對結(jié)論：“自然數(shù)中恰有一個偶數(shù)”正確的反設(shè)為（）A．中至少有兩個偶數(shù) B．中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù)C．都是奇數(shù) D．都是偶數(shù)8．在極坐標(biāo)系中，點關(guān)于極點的對稱點為A． B． C． D．9．如圖是調(diào)查某地區(qū)男女中學(xué)生喜歡理科的等高條形圖，陰影部分表示喜歡理科的百分比，由圖得到結(jié)論不正確的為（）A．性別與是否喜歡理科有關(guān)B．女生中喜歡理科的比為C．男生不喜歡理科的比為D．男生比女生喜歡理科的可能性大些10．從不同號碼的5雙鞋中任取4只，其中恰好有1雙的取法種數(shù)為（）A．120B．240C．280D．6011．如圖，平行六面體中，，，，則（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)（其中）在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．高一（10）班有男生人，女生人，若用分層抽樣的方法從該班的全體同學(xué)中抽取一個容量為的樣本，則抽取男生的人數(shù)為__________人．14．已知下列命題：①若，則“”是“”成立的充分不必要條件；②若橢圓的兩個焦點為，且弦過點，則的周長為16；③若命題“”與命題“或”都是真命題，則命題一定是真命題；④若命題：，則：其中為真命題的是__________（填序號）．15．的展開式中的系數(shù)為______.16．五名旅客在三家旅店投宿的不同方法有______種．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）橢圓經(jīng)過點，對稱軸為坐標(biāo)軸，且點為其右焦點，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.18．（12分）已知數(shù)列的前項和為，且滿足，（1）求，，，并猜想數(shù)列的通項公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．19．（12分）如圖，矩形和等邊三角形中，，平面平面．（1）在上找一點，使，并說明理由；（2）在（1）的條件下，求平面與平面所成銳二面角余弦值．20．（12分）已知橢圓：的左焦點左頂點.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知，是橢圓上的兩點，，是橢圓上位于直線兩側(cè)的動點.若，試問直線的斜率是否為定值？請說明理由.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點，直線與曲線交于不同的兩點，，求的值.22．（10分）十九大提出，加快水污染防治，建設(shè)美麗中國．根據(jù)環(huán)保部門對某河流的每年污水排放量X(單位：噸)的歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù)，得到如下頻率分布表：將污水排放量落入各組的頻率作為概率，并假設(shè)每年該河流的污水排放量相互獨立(1)求在未來3年里，至多1年污水排放量的概率；(2)該河流的污水排放對沿河的經(jīng)濟影響如下：當(dāng)時，沒有影響；當(dāng)時，經(jīng)濟損失為10萬元；當(dāng)X∈[310，350)時，經(jīng)濟損失為60萬元．為減少損失，現(xiàn)有三種應(yīng)對方案：方案一：防治350噸的污水排放，每年需要防治費3.8萬元；方案二：防治310噸的污水排放，每年需要防治費2萬元；方案三：不采取措施．試比較上述三種方案，哪種方案好，并請說明理由．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】試題分析：由上表知x=170，y=69，所以a=y=0.56×172-26.2=70.12，所以男生體重約為70.12kg考點：線性回歸方程．2、A【解析】

利用對稱列方程解得a，從而求出f(1)。【詳解】由題意得x1+xf所以f(x)=lnx+本題主要考查了函數(shù)對稱軸的問題，即在函數(shù)上任意兩點x1,x2關(guān)于直線3、A【解析】

通過平移得到，即可求得函數(shù)的對稱中心的坐標(biāo)，得到答案.【詳解】向左平移個單位長度后得到的圖像，則其對稱中心為,或?qū)⑦x項進(jìn)行逐個驗證,選A.本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換，以及熟記三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力.4、D【解析】

根據(jù)正態(tài)分布密度曲線的對稱性和性質(zhì)，再利用面積比的幾何概型求解概率，即得解.【詳解】由題意，根據(jù)正態(tài)分布密度曲線的對稱性，可得：故所求的概率為，故選：D本題考查了正態(tài)分布的圖像及其應(yīng)用，考查了學(xué)生概念理解，轉(zhuǎn)化與劃歸的能力，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

利用三角形的內(nèi)角和定理求出，再利用正弦定理即可求解.【詳解】由三角形的內(nèi)角和可得，在中，由正弦定理可得，所以，故選：A本題考查了正弦定理在生活中的應(yīng)用，需熟記正弦定理，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

將函數(shù)有三個公共點，轉(zhuǎn)化為有三個解，再利用換元法設(shè)，整理為，畫出函數(shù)圖形得到答案.【詳解】函數(shù)與的圖像有三個不同的公共點即有三個解整理得：設(shè)，當(dāng)單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.如圖所示：原式整理得到：圖像有三個不同的公共點，即二次方程有兩個解，一個小于0.一個在上或當(dāng)時，當(dāng)時，另一個零點在上，滿足條件.故答案為B本題考查了函數(shù)的零點問題，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為方程的解，再利用換元法簡化計算，本題綜合性強，計算量大，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和計算能力.7、B【解析】

用反證法證明某命題時,應(yīng)先假設(shè)命題的反面成立，求出要證的命題的否定，即為所求.【詳解】解：用反證法證明某命題時,應(yīng)先假設(shè)命題的反面成立，及要證的命題的否定成立，而命題：“自然數(shù)中恰有一個偶數(shù)”的否定為“中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù)”，故選：B.本題主要考查用反證法證明數(shù)學(xué)命題，求一個命題的否定，屬于中檔題.8、C【解析】分析：在極坐標(biāo)系中，關(guān)于極點的對稱點為詳解：∵關(guān)于極點的對稱點為，

∴關(guān)于極點的對稱點為．

故選：C．點睛：本題考查一個點關(guān)于極點的對稱點的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意極坐標(biāo)性質(zhì)的合理運用．9、C【解析】

本題為對等高條形圖，題目較簡單，逐一排除選項，注意陰影部分位于上半部分即可．【詳解】解：由圖可知，女生喜歡理科的占，故B正確；男生喜歡理科的占，所以男生不軎歡理科的比為，故C不正確；同時男生比女生喜歡理科的可能性大些，故D正確；由此得到性別與喜歡理科有關(guān)，故A正確．故選：．本題考查等高條形圖等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．10、A【解析】此題考查的是排列組合思路：先從五雙鞋中選出一雙，有種C51。再從剩余的四雙中選兩只但是不能為一雙，先從四雙中選兩雙有C答案A點評：選的時候一定注意不要重復(fù)和遺漏。11、D【解析】

利用，即可求解.【詳解】，,.故選：D本題考查了向量加法的三角形法則、平行四邊形法則、空間向量的數(shù)量積以及向量模的求法，屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】

根據(jù)復(fù)合函數(shù)增減性與對數(shù)函數(shù)的增減性來進(jìn)行判斷求解【詳解】，為減函數(shù)，若底數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的性質(zhì)，可得函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，與題不符，舍去若底數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的性質(zhì)，可得函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，的定義域滿足，，因在區(qū)間上單調(diào)遞減，故有，所以答案選D復(fù)合函數(shù)的增減性滿足同增異減，對于對數(shù)函數(shù)中底數(shù)不能確定的情況，需對底數(shù)進(jìn)行分類討論，再進(jìn)行求解二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、6【解析】分析：根據(jù)分層抽樣的定義直接計算即可.詳解：設(shè)抽取男生的人數(shù)為，因為男生人，女生人，從該班的全體同學(xué)中抽取一個容量為的樣本，所以，取男生的人數(shù)為，故答案為.點睛：本題主要考查分層抽樣的應(yīng)用以及古典概型概率公式的應(yīng)用，屬于中檔題.分層抽樣適合總體中個體差異明顯，層次清晰的抽樣，其主要性質(zhì)是，每個層次，抽取的比例相同.14、①③【解析】逐一分析所給的各個說法：①∵a，b，c∈R，∴“ac2>bc2”?“a>b”，反之，當(dāng)時，由不成立。若，則“”是“”成立的充分不必要條件；故①正確；②若橢圓的兩個焦點為F1,F2,且弦AB過點F1，則△ABF2的周長為4a=20，故②不正確；③若命題“?p”與命題“p或q”都是真命題，則p是假命題，所以命題q一定是真命題，故③正確；④若命題p:?x∈R,x2+x+1<0，則?p:?x∈R,x2+x+1?0，故④錯誤。故答案為：①③。15、56【解析】

利用二項式展開式的通項公式，即可容易求得結(jié)果.【詳解】的展開式的通項公式為.令，解得，故其系數(shù)為.故答案為：.本題考查利用二項式通項公式求指定項系數(shù)，屬基礎(chǔ)題.16、【解析】

每名旅客都有種選擇，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得出五名旅客投宿的方法種數(shù).【詳解】由于每名旅客都有種選擇，因此，五名旅客在三家旅店投宿的不同方法有種.故答案為：.本題考查分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】

由題可先利用定義求橢圓的長軸長,再求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可.【詳解】由題,設(shè)橢圓方程,則由橢圓的定義有,故,又,所以.所以.故答案為：本題主要考查利用定義求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法,屬于基礎(chǔ)題型.18、（1），，，；（2）見解析【解析】

（1）根據(jù)條件可求出a1，利用an與Sn的關(guān)系可得到數(shù)列遞推式，對遞推式進(jìn)行賦值，可得和的值，從而可猜想數(shù)列的通項公式；

（2）檢驗時等式成立，假設(shè)時命題成立，證明當(dāng)時命題也成立即可.【詳解】（1），當(dāng)時，，且，于是，從而可以得到，，猜想通項公式；（2）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：．①當(dāng)時，滿足通項公式；②假設(shè)當(dāng)時，命題成立，即，由（1）知，，即證當(dāng)時命題成立.由①②可證成立．本題是中檔題，考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問題的方法，考查邏輯推理能力，計算能力.注意在證明時需用上假設(shè)，化為的形式.19、（1）證明過程見解析；（2）平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【解析】試題分析：(1)分別取的中點，利用三角形的中位線的性質(zhì)，即可證明面，進(jìn)而得到；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面與平面法向量成的角去求解.試題解析：（1）為線段的中點，理由如下：分別取的中點，連接，在等邊三角形中，，又為矩形的中位線，，而，所以面，所以；（2）由（1）知兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，，三角形為等邊三角形，．于是，設(shè)面的法向量，所以，得，則面的一個法向量，又是線段的中點，則的坐標(biāo)為，于是，且，又設(shè)面的法向量，由，得，取，則，平面的一個法向量，所以，平面與平面所成銳二面角的余弦值為．20、(Ⅰ)；(Ⅱ)答案見解析.【解析】分析：（Ⅰ）根據(jù)條件依次求得，和，從而可得方程；（Ⅱ）當(dāng)∠APQ=∠BPQ，則PA、PB的斜率之和為0，設(shè)直線PA的斜率為k，則PB的斜率為-k，PA的直線方程為y-3=k（x-2），PB的直線方程為y-9=-k（x-2），由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出AB的斜率為定值.詳解：（Ⅰ）由題意可得，，由，得所以橢圓的方程為.（Ⅱ）當(dāng)時，，的斜率之和為，設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，設(shè)，的方程為.聯(lián)立消得.所以同理所以，.所以.所以的斜率為定值點睛：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用問題,解答此類題目，通常利用的關(guān)系，確定橢圓（圓錐曲線）方程是基礎(chǔ)，通過聯(lián)立直線方程與橢圓（圓錐曲線）方程的方程組，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到“目標(biāo)函數(shù)”的解析式，確定函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解，此類問題易錯點是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯漏百出，本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力、分析問題解決問題的能力等.21、（1）；（2）