北京四中2025年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測(cè)模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，則A． B． C． D．2．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A． B． C． D．3．設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn).已知?jiǎng)狱c(diǎn)在橢圓上,且點(diǎn)不共線,若的周長(zhǎng)的最小值為,則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，若，，，則，，的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．5．已知X的分布列為X－101P設(shè)Y＝2X＋3，則E(Y)的值為A． B．4 C．－1 D．16．展開(kāi)式中的系數(shù)為（）A．30 B．15 C．0 D．-157．在三棱錐中，，二面角的大小為，則三棱錐外接球的表面積是（）A． B． C． D．8．某農(nóng)場(chǎng)給某種農(nóng)作物的施肥量x(單位：噸)與其產(chǎn)量y(單位：噸)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：由于表中的數(shù)據(jù)，得到回歸直線方程為y=9.4x+a.，當(dāng)施肥量x=6時(shí)，該農(nóng)作物的預(yù)報(bào)產(chǎn)量是(A．72.0 B．67.7 C．65.5 D．63.69．在中，，，則（）A．1 B． C． D．210．某個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的表面積(結(jié)果保留π)為A． B．C． D．11．若是極坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，則四個(gè)點(diǎn)中與點(diǎn)重合的點(diǎn)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)12．若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在古代三國(guó)時(shí)期吳國(guó)的數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“趙爽弦圖”，由四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形，中間空出一個(gè)小正方形（如圖陰影部分）．若直角三角形中較小的銳角為a．現(xiàn)向大正方形區(qū)城內(nèi)隨機(jī)投擲一枚飛鏢，要使飛鏢落在小正方形內(nèi)的概率為，則_____________．14．已知，則的最小值為_(kāi)_______.15．已知一組數(shù)據(jù)，，，的線性回歸方程為，則_______.16．分別和兩條異面直線相交的兩條直線的位置關(guān)系是___________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函數(shù)的極大值．18．（12分）已知與之間的數(shù)據(jù)如下表：（1）求關(guān)于的線性回歸方程；（2）完成下面的殘差表：并判斷（1）中線性回歸方程的回歸效果是否良好（若，則認(rèn)為回歸效果良好）.附：，，，.19．（12分）設(shè)函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，，證明：.20．（12分）不等式的解集是，關(guān)于x的不等式的解集是。(1)若,求；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍。21．（12分）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且面積的最大值為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)斜率不為零的直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，且的垂直平分線交軸于點(diǎn)，求直線的斜率.22．（10分）已知關(guān)于的方程x2+kx+k2﹣2k=0有一個(gè)模為的虛根，求實(shí)數(shù)k的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】分析：根據(jù)集合可直接求解.詳解：,,故選C點(diǎn)睛：集合題也是每年高考的必考內(nèi)容，一般以客觀題形式出現(xiàn)，一般解決此類問(wèn)題時(shí)要先將參與運(yùn)算的集合化為最簡(jiǎn)形式，如果是“離散型”集合可采用Venn圖法解決，若是“連續(xù)型”集合則可借助不等式進(jìn)行運(yùn)算.2、D【解析】分析：對(duì)求導(dǎo)，令，即可求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.詳解：函數(shù)的定義域?yàn)?，得?故選D點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題.3、A【解析】分析：利用橢圓定義的周長(zhǎng)為，結(jié)合三點(diǎn)共線時(shí)，的最小值為，再利用對(duì)稱性，可得橢圓的離心率.詳解：的周長(zhǎng)為，∴故選：A點(diǎn)睛：橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝a2－c2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．4、D【解析】

可以得出，從而得出c＜a，同樣的方法得出a＜b，從而得出a，b，c的大小關(guān)系．【詳解】,,根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到a>c,,又因?yàn)椋?，再由?duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到a<b,∴c＜a，且a＜b；∴c＜a＜b．故選D．考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．比較兩數(shù)的大小常見(jiàn)方法有：做差和0比較，做商和1比較，或者構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性得到結(jié)果.5、A【解析】由條件中所給的隨機(jī)變量的分布列可知EX=﹣1×+0×+1×=﹣，∵E（2X+3）=2E（X）+3，∴E（2X+3）=2×（﹣）+3=．故答案為：A．6、C【解析】

根據(jù)的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式找出中函數(shù)含項(xiàng)的系數(shù)和項(xiàng)的系數(shù)做差即可．【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，故中函數(shù)含項(xiàng)的系數(shù)是和項(xiàng)的系數(shù)是所以展開(kāi)式中的系數(shù)為-=0本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，熟練掌握二項(xiàng)式定理是解本題的關(guān)鍵．7、D【解析】

取的中點(diǎn)為，由二面角平面角的定義可知；根據(jù)球的性質(zhì)可知若和中心分別為，則平面，平面，根據(jù)已知的長(zhǎng)度關(guān)系可求得，在直角三角形中利用勾股定理可求得球的半徑，代入球的表面積公式可得結(jié)果.【詳解】取的中點(diǎn)為由和都是正三角形，得，則是二面角的平面角，即設(shè)球心為，和中心分別為由球的性質(zhì)可知：平面，平面又，，外接球半徑：外接球的表面積為：本題正確選項(xiàng)：本題考查三棱錐外接球的表面積的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠利用球的性質(zhì)確定球心的大致位置，從而可利用勾股定理求解出球的半徑.8、C【解析】

根據(jù)回歸直線方程過(guò)樣本的中心點(diǎn)(x,y)，先求出中心點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求出【詳解】x=2+3+4+54=3.5,y=26+39+49+544=42，因?yàn)榛貧w直線方程過(guò)樣本的中心點(diǎn)(x本題考查了回歸直線方程的性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.9、B【解析】

由向量的數(shù)量積公式直接求解即可【詳解】因?yàn)椋詾橹苯侨切?，所以，所?故選B本題考查平面向量的夾角與模，以及平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力.10、C【解析】分析：上面為球的二分之一，下面為長(zhǎng)方體．面積為長(zhǎng)方體的表面積與半球的面積之和減去半球下底面面積.詳解：球的半徑為1，故半球的表面積的公式為，半球下底面表面積為長(zhǎng)方體的表面積為24，所以幾何體的表面積為．點(diǎn)睛：組合體的表面積，要弄懂組合體的結(jié)構(gòu)，哪些被遮擋，哪些是切口．11、C【解析】

分別將各點(diǎn)化為直角坐標(biāo)即可判斷【詳解】P（2，）化直角坐標(biāo)為，即為同理化直角坐標(biāo)分別為則與點(diǎn)P重合的點(diǎn)有3個(gè)．故選：C．本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．12、B【解析】

求導(dǎo)，計(jì)算函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)得到答案.【詳解】單調(diào)遞增，單調(diào)遞減.函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)區(qū)間上是單調(diào)遞減不滿足只能區(qū)間上是單調(diào)遞增.故故答案選B本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，排除單調(diào)遞減的情況是解題的關(guān)鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，可得出每個(gè)直角三角形的面積為，由幾何概型可得出四個(gè)直角三角形的面積之和為，可求出，由得出并得出的值，再利用降冪公式可求出的值.【詳解】設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，則直角三角形的兩條直角邊分別為和，則每個(gè)直角三角形的面積為，由題意知，陰影部分正方形的面積為，所以，四個(gè)直角三角形的面積和為，即，由于是較小的銳角，則，，所以，，因此，，故答案為.本題考查余弦值的計(jì)算，考查幾何概型概率的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵就是求出和的值，并通過(guò)二倍角升冪公式求出的值，考查計(jì)算能力，屬于中等題．14、1【解析】

，利用基本不等式求解即可．【詳解】解：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)。故答案為：1．本題考查了基本不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵要變形湊出積為定值的形式，屬基礎(chǔ)題．15、【解析】

樣本數(shù)據(jù)的回方程必經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心，該組數(shù)據(jù)的中心為，代入回歸方程，得到關(guān)于的方程.【詳解】設(shè)這組數(shù)據(jù)的中心為，，，，整理得：.本題考查回歸直線方程經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)中心，考查統(tǒng)計(jì)中簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)處理能力.16、相交或異面【解析】

根據(jù)異面直線的定義可知與兩條異面直線相交的兩條直線不可能平行，可得到位置關(guān)系.【詳解】如下圖所示：此時(shí)的位置關(guān)系為：相交如下圖所示：此時(shí)的位置關(guān)系為：異面若平行，則與的四個(gè)交點(diǎn)，四點(diǎn)共面；此時(shí)共面，不符合異面直線的定義綜上所述：的位置關(guān)系為相交或異面本題正確結(jié)果；相交或異面本題考查空間中直線的位置關(guān)系的判斷，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）將點(diǎn)代入切線方程得出，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出，于此列方程組求解出實(shí)數(shù)、的值；（Ⅱ）求出函數(shù)的定義域，然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，分析出該函數(shù)的極大值點(diǎn)并求出該函數(shù)的極大值?！驹斀狻浚á瘢┯桑茫汕€在點(diǎn)處的切線方程為，得，，解得．（Ⅱ），．，解得；，解得；所以函數(shù)的增區(qū)間：；減區(qū)間：，時(shí)，函數(shù)取得極大值，函數(shù)的極大值為．本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，求解時(shí)要熟練應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的基本步驟，另外在處理直線與函數(shù)圖象相切的問(wèn)題時(shí)，抓住以下兩個(gè)要點(diǎn)：（1）函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率；（2）切點(diǎn)是切線與函數(shù)圖象的公共點(diǎn)。18、（1）；（2）良好.【解析】

（1）由題意求出，，代入公式求值，從而得到回歸直線方程；（2）根據(jù)公式計(jì)算并填寫殘差表；由公式計(jì)算相關(guān)指數(shù)，結(jié)合題意得出統(tǒng)計(jì)結(jié)論．【詳解】（1）由已知圖表可得，，，，則，，故.（2）∵，∴，，，，，則殘差表如下表所示，∵，∴，∴該線性回歸方程的回歸效果良好.本題考查了線性回歸直線方程與相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題．19、(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【解析】

求導(dǎo)后對(duì)參量進(jìn)行分類討論，得到函數(shù)的單調(diào)性由極值點(diǎn)求出兩根之和與兩根之積，將二元轉(zhuǎn)化為一元來(lái)求證不等式【詳解】（1）由題意得，的定義域?yàn)?，，①?dāng)時(shí)，，又由于，，故，所以在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，,,故，所以在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，由，解得，因此在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，由，知，則，設(shè)，，，則在單調(diào)遞增，即，則，即.求含有參量的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行分類討論，得到在定義域內(nèi)不同的單調(diào)性，在證明不等式時(shí)結(jié)合的根與系數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)行消元轉(zhuǎn)化為一元問(wèn)題，從而證明出結(jié)果，本題綜合性較強(qiáng)，有一定難度。20、(1)(2)【解析】

(1)解集合A，當(dāng)解得集合B,從而可得；（2）由可得，對(duì)m進(jìn)行討論得出集合B的范圍即可得出m范圍.【詳解】（1）,解得即，由得，所以,所以;(2)即(i),所以且，得；(ii),所以且，得；綜上，.本題考查了分式不等式和二次不等式的解法，集合交集的運(yùn)算，集合補(bǔ)集運(yùn)算的轉(zhuǎn)化，屬于中檔題.21、（1）（2）或【解析】

（1）由題得到關(guān)于a,b,c的方程，解方程組即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線的方程為，線段的中點(diǎn)為，根據(jù)，得，解方程即得直線PQ的斜率.【詳解】(1)因?yàn)闄E圓離心率為，當(dāng)P為C的短軸頂點(diǎn)時(shí)，的面積有最大值.所以，所以，故橢圓C的方程為:.（2）設(shè)直線的方程為，當(dāng)時(shí)，代入