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福建省永春一中2025年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線(xiàn)內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)集合,,則A. B. C. D.2.從1,2,3,4,5中不放回地依次選取2個(gè)數(shù),記事件“第一次取到的是奇數(shù)”,事件“第二次取到的是奇數(shù)”,則()A. B. C. D.3.對(duì)于復(fù)數(shù),給出下列三個(gè)運(yùn)算式子:(1),(2),(3).其中正確的個(gè)數(shù)是()A. B. C. D.4.下列結(jié)論中正確的是()A.導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)一定是極值點(diǎn)B.如果在附近的左側(cè),右端,那么是極大值C.如果在附近的左側(cè),右端,那么是極小值D.如果在附近的左側(cè),右端,那么是極大值5.在的展開(kāi)式中,二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)為()A. B. C. D.6.計(jì)算的值是()A.72 B.102 C.5070 D.51007.設(shè)x,y滿(mǎn)足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.8.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿(mǎn)足‘’,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,如果且,則的值()A.等于0 B.是不等于0的任何實(shí)數(shù)C.恒大于0 D.恒小于09.已知函數(shù),若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.10.定義運(yùn)算=ad-bc,若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足=-2,則()A.1-i B.1+i C.-1+i D.-1-i11.若90件產(chǎn)品中有5件次品,現(xiàn)從中任取3件產(chǎn)品,則至少有一件是次品的取法種數(shù)是().A. B. C. D.12.雙曲線(xiàn)的離心率等于2,則實(shí)數(shù)a等于()A.1 B. C.3 D.6二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.圓C1:在矩陣M=對(duì)應(yīng)的變換作用下得到了曲線(xiàn)C2,曲線(xiàn)C2在矩陣N=對(duì)應(yīng)的變換作用下得到了曲線(xiàn)C3,則曲線(xiàn)C3的方程為_(kāi)_________.14.用1,2,3,4,5,6組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字,且至少有一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)的三位偶數(shù),這樣的三位數(shù)一共有______個(gè).15.在數(shù)列中,,通過(guò)計(jì)算的值,可猜想出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為16.設(shè)x,y滿(mǎn)足約束條件,則的最小值為_(kāi)______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為,直線(xiàn)與軸相交于點(diǎn),與曲線(xiàn)相交于點(diǎn),且(1)求拋物線(xiàn)的方程;(2)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于兩點(diǎn),過(guò)分別作拋物線(xiàn)的切線(xiàn),兩切線(xiàn)交于點(diǎn),求證點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值.18.(12分)如圖,在長(zhǎng)方體中,、分別是棱,上的點(diǎn),,(1)求異面直線(xiàn)與所成角的余弦值;(2)證明平面(3)求二面角的正弦值.19.(12分)設(shè)函數(shù).(1)若在其定義域上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)當(dāng)時(shí),在上存在兩個(gè)零點(diǎn),求的最大值.20.(12分)某投資公司對(duì)以下兩個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行前期市場(chǎng)調(diào)研:項(xiàng)目:通信設(shè)備.根據(jù)調(diào)研,投資到該項(xiàng)目上,所有可能結(jié)果為:獲利、損失、不賠不賺,且這三種情況發(fā)生的概率分別為;項(xiàng)目:新能源汽車(chē).根據(jù)調(diào)研,投資到該項(xiàng)目上,所有可能結(jié)果為:獲利、虧損,且這兩種情況發(fā)生的概率分別為.經(jīng)測(cè)算,當(dāng)投入兩個(gè)項(xiàng)目的資金相等時(shí),它們所獲得的平均收益(即數(shù)學(xué)期望)也相等.(1)求的值;(2)若將萬(wàn)元全部投到其中的一個(gè)項(xiàng)目,請(qǐng)你從投資回報(bào)穩(wěn)定性考慮,為投資公司選擇一個(gè)合理的項(xiàng)目,并說(shuō)明理由.21.(12分)平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的離心率為,且點(diǎn)在橢圓上.橢圓的左頂點(diǎn)為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)與橢圓交于另一點(diǎn).若直線(xiàn)交軸于點(diǎn),且,求直線(xiàn)的斜率.22.(10分)在極坐標(biāo)系中,直線(xiàn),為直線(xiàn)上一點(diǎn),且點(diǎn)在極軸上方以為一邊作正三角形(逆時(shí)針?lè)较颍?,且面積為.(1)求點(diǎn)Q的極坐標(biāo);(2)寫(xiě)出外接圓的圓心的極坐標(biāo),并求外接圓與極軸的相交弦長(zhǎng).
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】由,得:∴;∵,∴∴故選C2、A【解析】分析:利用條件概率公式求.詳解:由條件概率得=故答案為:A.點(diǎn)睛:(1)本題主要考查條件概率的求法,意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平.(2)條件概率的公式:=.3、D【解析】分析:根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得(1)正確;根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式計(jì)算可得到(2)正確;根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算法則可判斷(3)正確,從而可得結(jié)果.詳解:根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義,由三角形兩邊之和大于第三邊可得,(1)正確;設(shè),則,,(2)正確;根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算法則可知,(3)正確,即正確命題的個(gè)數(shù)是,故選D.點(diǎn)睛:本題主要考查復(fù)數(shù)模的公式、復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算法則,意在考查基礎(chǔ)知識(shí)掌握的熟練程度,以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力,屬于難題.4、B【解析】
根據(jù)極值點(diǎn)的判斷方法進(jìn)行判斷.【詳解】若,則,,但是上的增函數(shù),故不是函數(shù)的極值點(diǎn).因?yàn)樵诘淖髠?cè)附近,有,在的右側(cè)附近,有,故的左側(cè)附近,有為增函數(shù),在的右側(cè)附近,有為減函數(shù),故是極大值.故選B.函數(shù)的極值刻畫(huà)了函數(shù)局部性質(zhì),它可以理解為函數(shù)圖像具有“局部最低(高)”的特性,用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述則是:“在的附近的任意,有()”.另外如果在附近可導(dǎo)且的左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)發(fā)生變化,則必為函數(shù)的極值點(diǎn),具體如下.(1)在的左側(cè)附近,有,在的右側(cè)附近,有,則為函數(shù)的極大值點(diǎn);(1)在的左側(cè)附近,有,在的右側(cè)附近,有,則為函數(shù)的極小值點(diǎn);5、B【解析】
根據(jù)展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是,由此求出它的系數(shù).【詳解】的展開(kāi)式中,二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是其系數(shù)為-1.
故選B..本題考查了二項(xiàng)式展開(kāi)式系數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題,是基礎(chǔ)題.6、B【解析】
根據(jù)組合數(shù)和排列數(shù)計(jì)算公式,計(jì)算出表達(dá)式的值.【詳解】依題意,原式,故選B.本小題主要考查組合數(shù)和排列數(shù)的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】
作出可行域,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可行域中的點(diǎn)與點(diǎn)的斜率問(wèn)題,結(jié)合圖形可得答案.【詳解】畫(huà)出滿(mǎn)足條件得平面區(qū)域,如圖所示:目標(biāo)函數(shù)的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與的斜率,過(guò)與時(shí)斜率最小,過(guò)與時(shí)斜率最大,故選:A.本題考查了利用線(xiàn)性規(guī)劃求分式型目標(biāo)函數(shù)取值范圍問(wèn)題,解題關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為斜率,難度較易.8、D【解析】
由且,不妨設(shè),,則,因?yàn)楫?dāng)時(shí),單調(diào)遞減,所以,又函數(shù)滿(mǎn)足,所以,所以,即.故選:D.9、A【解析】
代入特殊值對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證排除,由此得出正確選項(xiàng).【詳解】若,符合題意,由此排除C,D兩個(gè)選項(xiàng).若,則不符合題意,排除B選項(xiàng).故本小題選A.本小題主要考查分段函數(shù)函數(shù)值比較大小,考查特殊值法解選擇題,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】分析:直接利用新定義,化簡(jiǎn)求解即可.詳解:由=ad-bc,則滿(mǎn)足=-2,可得:,,則.故選D.點(diǎn)睛:本題考查新定義的應(yīng)用,復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則的應(yīng)用,以及共軛復(fù)數(shù),考查計(jì)算能力.11、C【解析】
根據(jù)題意,用間接法分析:先計(jì)算從90件產(chǎn)品中任取3件的取法,再排除其中全部為正品的取法,分析可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意,用間接法分析:從90件產(chǎn)品中任取3件,有種取法,其中沒(méi)有次品,即全部為正品的取法有種取法,則至少有一件是次品的取法有種;故選:C.本題考查排列、組合的應(yīng)用,注意用間接法分析,避免分類(lèi)討論,屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】
利用離心率的平方列方程,解方程求得的值.【詳解】由可得,從而選A.本小題主要考查已知雙曲線(xiàn)的離心率求參數(shù),考查方程的思想,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、.【解析】分析:先根據(jù)矩陣變換得點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系,代入C1可得C3的方程.詳解:設(shè)C1上任一點(diǎn)經(jīng)矩陣M、N變換后為點(diǎn),則因?yàn)椋砸虼饲€(xiàn)C3的方程為.點(diǎn)睛:(1)矩陣乘法注意對(duì)應(yīng)相乘:(2)矩陣變換注意變化前后對(duì)應(yīng)點(diǎn):表示點(diǎn)在矩陣變換下變成點(diǎn)14、54【解析】
運(yùn)用排列組合,先求出偶數(shù)的可能一共有多少個(gè),然后減去三個(gè)數(shù)字都是偶數(shù)的情況【詳解】當(dāng)個(gè)位是偶數(shù)的時(shí)候共有種可能三個(gè)數(shù)字都是偶數(shù)時(shí),有種可能則滿(mǎn)足題意的三位數(shù)共有種故答案為本題考查了排列組合的數(shù)字的排序問(wèn)題,只要按照題目要求進(jìn)行分類(lèi)求出一共的情況,然后減去不符合情況即可得出結(jié)果15、【解析】試題分析:根據(jù)已知的遞推關(guān)系,可以構(gòu)造出我們熟悉的等差數(shù)列.再用等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解.由于在數(shù)列中,,則可知,故可知為,故答案為考點(diǎn):數(shù)列的通項(xiàng)公式點(diǎn)評(píng):構(gòu)造數(shù)列是對(duì)已知數(shù)列的遞推關(guān)系式變形后發(fā)現(xiàn)規(guī)律,創(chuàng)造一個(gè)等差或等比數(shù)列,借此求原數(shù)列的通項(xiàng)公式,是考查的重要內(nèi)容.16、【解析】
先畫(huà)出可行域,根據(jù)表示可行域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方,即可求出最小值?!驹斀狻孔鞒霾坏仁浇M表示的可行域?yàn)橐粋€(gè)三角形區(qū)域(包括邊界),表示可行域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方,由圖可知,該距離的最小值為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離,故.本題考查線(xiàn)性規(guī)劃,屬于基礎(chǔ)題。三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)證明見(jiàn)解析【解析】
(1)根據(jù)拋物線(xiàn)定義得,再根據(jù)點(diǎn)N坐標(biāo)列方程,解得結(jié)果,(2)利用導(dǎo)數(shù)求切線(xiàn)斜率,再根據(jù)切線(xiàn)方程解得A點(diǎn)縱坐標(biāo),最后利用直線(xiàn)與方程聯(lián)立方程組,借助韋達(dá)定理化簡(jiǎn)的縱坐標(biāo).【詳解】解:(1)由已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),由,得,即因?yàn)辄c(diǎn),所以,所以?huà)佄锞€(xiàn)方程:(2)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為設(shè)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的直線(xiàn)為.設(shè)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)分別為,由消去得:,根據(jù)韋達(dá)定理得拋物線(xiàn),即二次函數(shù),對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù),得,所以?huà)佄锞€(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率為可得切線(xiàn)方程為,化簡(jiǎn)得,同理,得到拋物線(xiàn)在點(diǎn)處切線(xiàn)方程為,兩方程消去,得兩切線(xiàn)交點(diǎn)縱坐標(biāo)滿(mǎn)足,,,即點(diǎn)的縱坐標(biāo)是定值.本題考查拋物線(xiàn)方程、拋物線(xiàn)切線(xiàn)方程以后利用韋達(dá)定理求值,考查綜合分析求解能力,屬中檔題.18、(1),(2)見(jiàn)解析(3)【解析】方法一:如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè),依題意得,,,(1)解:易得,于是所以異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為(2)證明:已知,,于是·=0,·=0.因此,,,又所以平面(3)解:設(shè)平面的法向量,則,即不妨令X=1,可得.由(2)可知,為平面的一個(gè)法向量.于是,從而所以二面角的正弦值為方法二:(1)解:設(shè)AB=1,可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=鏈接B1C,BC1,設(shè)B1C與BC1交于點(diǎn)M,易知A1D∥B1C,由,可知EF∥BC1.故是異面直線(xiàn)EF與A1D所成的角,易知BM=CM=,所以,所以異面直線(xiàn)FE與A1D所成角的余弦值為(2)證明:連接AC,設(shè)AC與DE交點(diǎn)N因?yàn)?,所以,從而,又由?所以,故AC⊥DE,又因?yàn)镃C1⊥DE且,所以DE⊥平面ACF,從而AF⊥DE.連接BF,同理可證B1C⊥平面ABF,從而AF⊥B1C,所以AF⊥A1D因?yàn)椋訟F⊥平面A1ED(3)解:連接A1N.FN,由(2)可知DE⊥平面ACF,又NF平面ACF,A1N平面ACF,所以DE⊥NF,DE⊥A1N,故為二面角A1-ED-F的平面角易知,所以,又所以,在連接A1C1,A1F在.所以所以二面角A1-DE-F正弦值為19、(1);(2)-2.【解析】分析:(1)由在其定義域上是增函數(shù),∴恒成立,轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題,然后進(jìn)行分離參數(shù)求解新函數(shù)的單調(diào)性研究最值即可.(2)當(dāng)時(shí),,得出函數(shù)的單調(diào)性和極值,然后根據(jù)在上存在兩個(gè)零點(diǎn),列出等價(jià)不等式求解即可.詳解:(1)∵定義域?yàn)椋?,∵在其定義域上是增函數(shù),∴,,∵,∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.(2)當(dāng)時(shí),,由得,由得,∴在處取得極大值,在處取得極小值,∴是一個(gè)零點(diǎn),當(dāng),,故只需且,∵,,∴的最大值為-2.點(diǎn)睛:考查導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用以及零點(diǎn)問(wèn)題,對(duì)于此類(lèi)題型求參數(shù)的取值范圍,優(yōu)先要想到能否參變分離,然后研究最值即可,二對(duì)于零點(diǎn)問(wèn)題則需研究函數(shù)圖像和x軸交點(diǎn)的問(wèn)題,數(shù)形結(jié)合解此類(lèi)題是關(guān)鍵,屬于較難題.20、(1),,;(2)從風(fēng)險(xiǎn)控制角度,建議該投資公司選擇項(xiàng)目.【解析】
(1)根據(jù)概率和為1列方程求得的值,再利用分布列和數(shù)學(xué)期望列方程組求得、的值;(2)計(jì)算均值與方差,比較即可得出結(jié)論.【詳解】(1)依題意,,,設(shè)投入到項(xiàng)目的資金都為萬(wàn)元,變量和分別表示投資項(xiàng)目和所獲得的利潤(rùn),則和的分布列分別為由分布列得,,因?yàn)樗?,即,又,解得,;,,?)當(dāng)投入萬(wàn)元資金時(shí),由(1)知,所以,,,因?yàn)?,說(shuō)明雖然項(xiàng)目和項(xiàng)目的平均收益相等,但項(xiàng)目更穩(wěn)妥,所以,從風(fēng)險(xiǎn)控制角度,建議該投資公司選擇項(xiàng)目.本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望和方差的計(jì)算問(wèn)題,是中檔題.21、(1)(2)【解析】
(1)由題意中橢圓離心率和點(diǎn)在橢圓上得到方程組即可求出橢圓方程(2)由題意設(shè)直線(xiàn)斜率,分別求出、的表達(dá)式,令其相等計(jì)算出直線(xiàn)斜率【詳解】解:(1)由題意知:解得:,所以,所求橢圓方程為.(2)由題意知直線(xiàn)的斜率存在,設(shè)為,過(guò)點(diǎn),則的方程為:,聯(lián)立方程組,消去整理得:,令,由,得,將代入中,得到,所以,,由,得:,解得:,∴.所以直線(xiàn)的斜率為.本題考查了求橢圓方程及直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系,在解答過(guò)程中運(yùn)用設(shè)而不求的方法,設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)和斜率,聯(lián)立直線(xiàn)方程
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