第二十八章銳角三角函數(shù)

28.2解直角三角形及其應用

28.2.1解直角三角形一、情景導入回到章前引言：解決比薩斜塔傾斜程度的問題．1972年的情形，設塔頂中心點為B，塔身中心線與垂直中心線的夾角為A，過B點向垂直中心線引垂線，垂足為點C，如圖，在

Rt△ABC中，∠C＝90o，BC＝5.2m，AB＝54.5m，因此所以∠A≈5°28′．

ABCABC一、情景導入類似地，你能求出2001年糾偏后塔身中心線與垂直中心線的夾角嗎？請和同桌說說你的求解過程．

如果將上述實際問題抽象為數(shù)學問題，就是已知直角三角形的斜邊和一條直角邊，求它的銳角度數(shù)．一般地，由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過程，叫做解直角三角形．

二、探究新知(1)在直角三角形中，除直角外還有哪幾個元素？(2)結(jié)合右圖說一說這幾個元素之間有哪些關系？(3)知道這幾個元素中的幾個，就可以求其余元素？解：(1)在Rt△ABC中除直角外還有五個元素，三邊：AB，AC，BC或a，b，c

兩銳角：∠A

，∠B．

ABCabc二、探究新知(2)如圖Rt△ABC

中，∠C＝90o．三邊關系：a2＋b2＝c2(勾股定理)；兩銳角關系：∠A＋∠B＝90o．邊與角關系：

二、探究新知(3)提示：分情況討論：解直角三角形的條件可分為兩大類：①已知一銳角、一邊(直角邊或斜邊)；②已知兩邊(一直角邊一斜邊或者兩直角邊)；知道直角三角形中除直角外的兩個元素(至少有一個是邊)，就可以求其余元素．二、探究新知已知兩邊解直角三角形例1

如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90o，AC＝

，BC＝

，解這個直角三角形．解：

ABC二、探究新知在Rt△ABC中，∠C＝90o，a＝30，b＝20．解這個直角三角形．解：根據(jù)勾股定理，得注意：沒有圖形的要先根據(jù)題意畫出圖形．二、探究新知已知一邊及一銳角解直角三角形例2如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90o，∠B＝35o，b＝20，解這個直角三角形(結(jié)果保留小數(shù)點后一位)．解：ABCb20ca35°二、探究新知注意：選取函數(shù)關系求值時盡可能用原始數(shù)據(jù)，減少因為近似產(chǎn)生的累積誤差．二、探究新知在Rt△ABC中，∠C＝90o，∠B＝72o，c＝14，解這個直角三角形．解：ABCba14三、課堂小結(jié)解直角三角形依據(jù)條件：只要知道五個元素中的兩個元素（至少有一個是邊）勾股定理兩銳角互余銳角的三角函數(shù)概念四、課堂訓練1．在下列直角三角形中，不能求解的是()．A．已知一直角邊一銳角 B．已知一斜邊一銳角C．已知兩邊D．已知兩角2．在Rt△ABC中，∠C＝90o，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊，則下列各式正確的是()．A．

b＝a·tanAB．

b＝c·sinAC．b＝c·cosAD．

a＝c·cosAD

C四、課堂訓練3．如圖，在菱形ABCD中，AE⊥BC于點E，EC＝4，sinB＝，則菱形的周長是()．A．10B．20C．40D．28CABCDE30o105oABCD四、課堂訓練4．如圖，已知AC＝4，求AB和BC

的長．解：如圖，作CD⊥AB于點D，在Rt△ACD中，∵∠A＝30o，∴∠ACD＝90o－∠A＝60o．四、課堂訓練∵在Rt△CDB中，∠DCB＝∠ACB－∠ACD＝45o，∴BD＝CD＝2．

方法總結(jié)：沒有直角三角形時常常作高線構造直角三角形．四、課堂訓練5．在△ABC中，AB＝，AC＝13，cos∠B＝

求BC長．解：∵cosB＝

∴∠B＝45o．當△ABC為鈍角三角形時，如圖①，∴由勾股定理得CD＝5．∴BC＝BD－CD＝12－5＝7．圖①ADCB四、課堂訓練當△ABC為銳角三角形時，如圖②，BC＝BD