具非局部阻尼的可伸縮梁方程：吸引子特性與穩(wěn)定性探究一、引言1.1研究背景與意義在現(xiàn)代科學(xué)與工程領(lǐng)域，可伸縮梁方程作為一類重要的偏微分方程，廣泛應(yīng)用于描述各種物理和工程系統(tǒng)中的力學(xué)現(xiàn)象。從微觀的納米材料結(jié)構(gòu)到宏觀的橋梁、建筑等大型工程結(jié)構(gòu)，可伸縮梁方程都為研究其力學(xué)行為提供了關(guān)鍵的數(shù)學(xué)模型。例如，在航空航天領(lǐng)域，飛機(jī)機(jī)翼、航天器的伸展結(jié)構(gòu)等在飛行過(guò)程中會(huì)受到各種復(fù)雜外力的作用，可伸縮梁方程可用于精確分析這些結(jié)構(gòu)的變形和振動(dòng)特性，從而為設(shè)計(jì)更加安全、高效的飛行器提供理論依據(jù)。在機(jī)械工程中，許多機(jī)械部件如伸縮式起重臂、可折疊的機(jī)械結(jié)構(gòu)等，其力學(xué)性能的研究也離不開可伸縮梁方程的應(yīng)用。通過(guò)對(duì)這些結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行深入分析，工程師能夠優(yōu)化設(shè)計(jì)，提高機(jī)械系統(tǒng)的可靠性和穩(wěn)定性。非局部阻尼在可伸縮梁系統(tǒng)中起著至關(guān)重要的作用，它深刻影響著系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。與傳統(tǒng)的局部阻尼不同，非局部阻尼考慮了系統(tǒng)中不同位置之間的相互作用，這種相互作用使得系統(tǒng)的能量耗散機(jī)制更加復(fù)雜。在實(shí)際工程材料中，如混凝土、高聚合材料以及處于高速變形狀態(tài)的金屬材料等，這些材料既具有彈性性質(zhì)，又具有粘性性質(zhì)，屬于粘彈性體。在這類材料構(gòu)成的可伸縮梁結(jié)構(gòu)中，非局部阻尼效應(yīng)尤為顯著。當(dāng)結(jié)構(gòu)受到外部激勵(lì)時(shí)，非局部阻尼會(huì)導(dǎo)致振動(dòng)能量在材料內(nèi)部以非局部的方式耗散，從而影響結(jié)構(gòu)的振動(dòng)幅度、頻率以及穩(wěn)定性。例如，在大型橋梁結(jié)構(gòu)中，由于材料的非均勻性和內(nèi)部微觀結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，非局部阻尼會(huì)對(duì)橋梁在風(fēng)荷載、車輛荷載等作用下的振動(dòng)響應(yīng)產(chǎn)生重要影響。如果忽視非局部阻尼的作用，可能會(huì)導(dǎo)致對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)行為的預(yù)測(cè)出現(xiàn)偏差，進(jìn)而影響橋梁的安全性和使用壽命。吸引子是動(dòng)力系統(tǒng)理論中的核心概念，它描述了系統(tǒng)在長(zhǎng)時(shí)間演化過(guò)程中的漸近行為。對(duì)于可伸縮梁方程所對(duì)應(yīng)的動(dòng)力系統(tǒng)，研究吸引子的存在性和性質(zhì)具有重要的理論意義。吸引子的存在表明系統(tǒng)在長(zhǎng)時(shí)間演化后會(huì)趨向于一個(gè)特定的集合，這個(gè)集合包含了系統(tǒng)的所有長(zhǎng)期行為信息。通過(guò)研究吸引子，我們可以深入了解可伸縮梁系統(tǒng)的穩(wěn)定性、周期性以及混沌等復(fù)雜動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。例如，在研究可伸縮梁的振動(dòng)問(wèn)題時(shí)，如果能夠確定吸引子的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)，就可以預(yù)測(cè)系統(tǒng)在不同初始條件下的最終振動(dòng)狀態(tài)，從而為振動(dòng)控制提供理論指導(dǎo)。吸引子的穩(wěn)定性對(duì)于可伸縮梁系統(tǒng)的實(shí)際應(yīng)用至關(guān)重要。一個(gè)穩(wěn)定的吸引子意味著系統(tǒng)在受到微小擾動(dòng)后，仍然能夠回到原來(lái)的漸近行為，這保證了系統(tǒng)在實(shí)際運(yùn)行中的可靠性和穩(wěn)定性。在工程應(yīng)用中，可伸縮梁系統(tǒng)不可避免地會(huì)受到各種外界干擾，如環(huán)境溫度變化、噪聲干擾等。如果吸引子不穩(wěn)定，這些微小的擾動(dòng)可能會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的行為發(fā)生巨大變化，從而影響系統(tǒng)的正常運(yùn)行。以高層建筑中的伸縮式結(jié)構(gòu)為例，在強(qiáng)風(fēng)等外界干擾下，結(jié)構(gòu)的振動(dòng)可能會(huì)受到影響。如果吸引子是穩(wěn)定的，那么即使在強(qiáng)風(fēng)作用下，結(jié)構(gòu)的振動(dòng)也會(huì)在一定范圍內(nèi)保持穩(wěn)定，不會(huì)出現(xiàn)過(guò)度振動(dòng)甚至破壞的情況。因此，研究吸引子的穩(wěn)定性可以為可伸縮梁系統(tǒng)的設(shè)計(jì)、優(yōu)化和控制提供重要的理論依據(jù)，確保系統(tǒng)在各種復(fù)雜工況下都能安全、可靠地運(yùn)行。1.2國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀在可伸縮梁方程的研究領(lǐng)域，國(guó)內(nèi)外學(xué)者已取得了豐碩的成果。在國(guó)外，許多學(xué)者從不同角度對(duì)可伸縮梁方程進(jìn)行了深入研究。Chueshov和Lasiecka早在2008年就在一維和二維情況下對(duì)相關(guān)模型進(jìn)行了研究，為后續(xù)的研究奠定了基礎(chǔ)。他們的工作主要聚焦于模型的基本性質(zhì)和一些特定條件下的分析，為理解可伸縮梁方程的動(dòng)力學(xué)行為提供了重要的理論依據(jù)。近年來(lái)，隨著研究的不斷深入，對(duì)于具非局部阻尼的可伸縮梁方程的研究逐漸成為熱點(diǎn)。例如，一些學(xué)者通過(guò)對(duì)非局部阻尼項(xiàng)的精細(xì)分析，探究其對(duì)系統(tǒng)能量耗散和動(dòng)力學(xué)行為的影響機(jī)制。他們利用先進(jìn)的數(shù)學(xué)工具和理論，如泛函分析、動(dòng)力系統(tǒng)理論等，對(duì)解的存在性、唯一性以及穩(wěn)定性等問(wèn)題進(jìn)行了深入探討。在研究吸引子方面，通過(guò)構(gòu)造合適的Lyapunov函數(shù)，結(jié)合能量估計(jì)等方法，證明了吸引子的存在性，并對(duì)其結(jié)構(gòu)和性質(zhì)進(jìn)行了研究。在國(guó)內(nèi)，對(duì)于可伸縮梁方程的研究也呈現(xiàn)出蓬勃發(fā)展的態(tài)勢(shì)。眾多高校和科研機(jī)構(gòu)的學(xué)者積極投身于這一領(lǐng)域的研究。他們不僅在理論研究方面取得了重要進(jìn)展，還注重將理論成果應(yīng)用于實(shí)際工程問(wèn)題。例如，在航空航天、機(jī)械工程等領(lǐng)域，通過(guò)對(duì)可伸縮梁方程的研究，為相關(guān)結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供了理論支持。一些學(xué)者針對(duì)具體的工程材料和結(jié)構(gòu)，建立了更加符合實(shí)際情況的可伸縮梁方程模型，并對(duì)其進(jìn)行數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。在吸引子及其穩(wěn)定性的研究方面，國(guó)內(nèi)學(xué)者通過(guò)改進(jìn)和創(chuàng)新研究方法，如采用新的估計(jì)技巧、引入新的空間范數(shù)等，在吸引子的存在性、正則性以及穩(wěn)定性等方面取得了一系列有價(jià)值的成果。然而，已有研究仍存在一些不足之處。在非局部阻尼的建模方面，雖然已經(jīng)提出了多種模型，但對(duì)于一些復(fù)雜的實(shí)際材料和結(jié)構(gòu)，現(xiàn)有的模型可能無(wú)法準(zhǔn)確描述非局部阻尼的特性，需要進(jìn)一步改進(jìn)和完善。在吸引子的研究中，對(duì)于高維空間和復(fù)雜邊界條件下的可伸縮梁方程，吸引子的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)的研究還不夠深入，缺乏系統(tǒng)的理論和方法。此外，在吸引子的穩(wěn)定性分析方面，雖然已經(jīng)取得了一些成果，但對(duì)于一些特殊情況，如系統(tǒng)受到強(qiáng)非線性干擾或參數(shù)發(fā)生較大變化時(shí)，吸引子的穩(wěn)定性研究還存在不足。本文正是基于上述研究現(xiàn)狀，針對(duì)已有研究的不足展開深入研究。在非局部阻尼的建模上，充分考慮實(shí)際材料和結(jié)構(gòu)的特性，嘗試建立更加準(zhǔn)確和完善的模型。在吸引子及其穩(wěn)定性的研究中，采用新的研究思路和方法，深入探討高維空間和復(fù)雜邊界條件下可伸縮梁方程吸引子的存在性、結(jié)構(gòu)和性質(zhì)，以及吸引子在各種復(fù)雜情況下的穩(wěn)定性，力求在該領(lǐng)域取得新的突破和進(jìn)展。1.3研究?jī)?nèi)容與方法本文主要圍繞具非局部阻尼的可伸縮梁方程展開深入研究，具體研究?jī)?nèi)容涵蓋以下幾個(gè)關(guān)鍵方面：方程解的適定性：深入探究方程在不同條件下解的存在性、唯一性以及正則性。通過(guò)對(duì)耗散指標(biāo)和非線性項(xiàng)增長(zhǎng)指數(shù)的細(xì)致分析，確定方程在特定能量相空間中弱解的適定性條件。研究不同參數(shù)取值對(duì)解的性質(zhì)的影響，為后續(xù)研究吸引子及其穩(wěn)定性奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。例如，當(dāng)耗散指標(biāo)\alpha和非線性項(xiàng)f(u)的增長(zhǎng)指數(shù)p滿足特定關(guān)系時(shí)，證明方程在能量相空間\mathcal{H}=H_0^1\timesL^2中弱解的存在性和唯一性。通過(guò)建立合適的函數(shù)空間和運(yùn)用相關(guān)的分析工具，如泛函分析中的不動(dòng)點(diǎn)定理等，對(duì)解的正則性進(jìn)行研究，得到解在更高階Sobolev空間中的估計(jì)。吸引子的存在性：運(yùn)用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論和方法，證明方程對(duì)應(yīng)解算子半群在能量相空間中整體吸引子和指數(shù)吸引子的存在性。通過(guò)構(gòu)造合適的Lyapunov函數(shù)，利用能量估計(jì)法證明解半群存在有界吸收集，進(jìn)而證明整體吸引子的存在性。在此基礎(chǔ)上，通過(guò)引入適當(dāng)?shù)木o性條件和運(yùn)用分形理論等方法，證明指數(shù)吸引子的存在性，并對(duì)其性質(zhì)進(jìn)行深入研究。例如，通過(guò)對(duì)能量泛函的細(xì)致分析，構(gòu)造滿足Lyapunov條件的函數(shù)，證明解半群在能量相空間中的漸近緊性，從而得出整體吸引子的存在性。在證明指數(shù)吸引子存在性時(shí)，運(yùn)用分形維數(shù)的估計(jì)方法，研究指數(shù)吸引子的“復(fù)雜度”和收斂速度等性質(zhì)。吸引子的穩(wěn)定性：重點(diǎn)研究吸引子關(guān)于耗散指標(biāo)等參數(shù)的穩(wěn)定性。通過(guò)分析解在不同參數(shù)下的漸近行為，利用解的整體正則性證明強(qiáng)整體吸引子和強(qiáng)指數(shù)吸引子的存在性，并研究其關(guān)于耗散指標(biāo)的上半連續(xù)性。探討系統(tǒng)在受到外部干擾或參數(shù)變化時(shí)，吸引子的穩(wěn)定性變化規(guī)律，為可伸縮梁系統(tǒng)的實(shí)際應(yīng)用提供重要的理論依據(jù)。例如，當(dāng)耗散指標(biāo)發(fā)生微小變化時(shí)，通過(guò)對(duì)解的估計(jì)和極限分析，證明強(qiáng)整體吸引子關(guān)于耗散指標(biāo)的上半連續(xù)性，即當(dāng)耗散指標(biāo)趨近于某個(gè)值時(shí)，強(qiáng)整體吸引子在某種拓?fù)湟饬x下趨近于相應(yīng)的極限吸引子。這一研究結(jié)果對(duì)于理解可伸縮梁系統(tǒng)在不同工況下的穩(wěn)定性具有重要意義。為實(shí)現(xiàn)上述研究目標(biāo)，本文擬采用以下研究方法：能量估計(jì)法：通過(guò)對(duì)可伸縮梁方程進(jìn)行能量估計(jì)，建立能量不等式，分析能量的變化趨勢(shì)，從而得到解的各種估計(jì)和性質(zhì)。例如，對(duì)動(dòng)能、勢(shì)能以及耗散項(xiàng)進(jìn)行細(xì)致的估計(jì)，利用能量的守恒或衰減性質(zhì)，證明解的存在性、唯一性以及穩(wěn)定性等結(jié)論。在研究吸引子的存在性時(shí)，通過(guò)能量估計(jì)證明解半群存在有界吸收集，這是吸引子存在的關(guān)鍵條件之一。半群理論：將可伸縮梁方程轉(zhuǎn)化為解算子半群，利用半群的性質(zhì)和理論，如半群的連續(xù)性、緊性等，研究方程的長(zhǎng)時(shí)間動(dòng)力學(xué)行為。通過(guò)半群理論，可以將偏微分方程的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為算子理論的問(wèn)題，從而運(yùn)用泛函分析的方法進(jìn)行深入研究。例如，通過(guò)證明解算子半群的漸近緊性，得出整體吸引子的存在性；利用半群的生成元理論，研究解的正則性和穩(wěn)定性等性質(zhì)。Galerkin方法：采用經(jīng)典的Galerkin方法構(gòu)造近似解，通過(guò)對(duì)近似解的分析和極限過(guò)程，得到原方程解的存在性和性質(zhì)。Galerkin方法是一種常用的求解偏微分方程的方法，它通過(guò)將無(wú)限維問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有限維問(wèn)題，然后通過(guò)極限過(guò)程得到原問(wèn)題的解。在本文中，利用Galerkin方法構(gòu)造可伸縮梁方程的近似解序列，通過(guò)對(duì)近似解序列的能量估計(jì)和收斂性分析，證明原方程弱解的存在性。同時(shí)，通過(guò)對(duì)近似解序列的進(jìn)一步分析，得到解的正則性等性質(zhì)。Lyapunov函數(shù)法：構(gòu)造合適的Lyapunov函數(shù)，利用其單調(diào)性和能量衰減性質(zhì)，證明吸引子的存在性和穩(wěn)定性。Lyapunov函數(shù)是研究動(dòng)力系統(tǒng)穩(wěn)定性的重要工具，通過(guò)構(gòu)造滿足一定條件的Lyapunov函數(shù)，可以判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性和漸近行為。在本文中，通過(guò)構(gòu)造與可伸縮梁方程能量相關(guān)的Lyapunov函數(shù)，利用其沿解的軌跡的單調(diào)性，證明解半群的漸近緊性，從而得出吸引子的存在性。同時(shí)，通過(guò)對(duì)Lyapunov函數(shù)的分析，研究吸引子關(guān)于參數(shù)的穩(wěn)定性。二、預(yù)備知識(shí)2.1相關(guān)數(shù)學(xué)概念與理論在研究具非局部阻尼的可伸縮梁方程的吸引子及其穩(wěn)定性過(guò)程中，涉及到眾多數(shù)學(xué)概念與理論，它們?yōu)楹罄m(xù)的研究提供了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。Sobolev空間：Sobolev空間是研究偏微分方程的重要工具，它是由多個(gè)實(shí)變量弱可微函數(shù)組成的一些特殊可積空間的統(tǒng)稱。對(duì)于整數(shù)階Sobolev空間，設(shè)\Omega\subset\mathbb{R}^N為開集，k為非負(fù)整數(shù)，p\in[1,+\infty)，則W^{k,p}(\Omega)定義為所有滿足u\inL^p(\Omega)且其直到k階的弱導(dǎo)數(shù)（若存在）也屬于L^p(\Omega)的函數(shù)u的集合，其范數(shù)定義為\|u\|_{W^{k,p}(\Omega)}=\left(\sum_{|\alpha|\leqk}\int_{\Omega}|\partial^{\alpha}u|^pdx\right)^{\frac{1}{p}}，其中\(zhòng)alpha=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_N)為多重指標(biāo)，|\alpha|=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_N，\partial^{\alpha}=\frac{\partial^{|\alpha|}}{\partialx_1^{\alpha_1}\partialx_2^{\alpha_2}\cdots\partialx_N^{\alpha_N}}。當(dāng)p=2時(shí)，W^{k,2}(\Omega)簡(jiǎn)記為H^k(\Omega)，它是一個(gè)Hilbert空間，內(nèi)積定義為(u,v)_{H^k(\Omega)}=\sum_{|\alpha|\leqk}\int_{\Omega}\partial^{\alpha}u\partial^{\alpha}vdx。在本文研究的可伸縮梁方程中，解通常在特定的Sobolev空間中進(jìn)行討論，例如能量相空間\mathcal{H}=H_0^1\timesL^2，其中H_0^1(\Omega)是H^1(\Omega)中在邊界\partial\Omega上取值為0的函數(shù)子空間，它在研究方程解的適定性、正則性等方面起著關(guān)鍵作用。通過(guò)Sobolev空間的性質(zhì)，如嵌入定理，可以得到解的一些先驗(yàn)估計(jì)，從而為證明解的存在性和唯一性提供依據(jù)。弱解與強(qiáng)解的定義：對(duì)于可伸縮梁方程，弱解和強(qiáng)解的定義是理解方程解的性質(zhì)的重要概念。弱解的定義基于變分原理，設(shè)方程為L(zhǎng)(u)=f（L為方程對(duì)應(yīng)的算子，f為已知函數(shù)），若對(duì)于任意的測(cè)試函數(shù)\varphi，都有\(zhòng)int_{\Omega}L(u)\varphidx=\int_{\Omega}f\varphidx成立，則稱u為該方程的弱解。弱解的概念拓寬了方程解的范圍，使得一些不滿足經(jīng)典解條件的函數(shù)也能被視為方程的解。例如，在處理具有復(fù)雜邊界條件或非光滑系數(shù)的可伸縮梁方程時(shí)，弱解的存在性往往更容易證明。而強(qiáng)解則要求解u滿足方程在經(jīng)典意義下的逐點(diǎn)成立，即L(u)=f在\Omega內(nèi)幾乎處處成立，并且u具有足夠的正則性，使得方程中的各項(xiàng)運(yùn)算都有意義。在本文研究中，證明弱解就是強(qiáng)解是一個(gè)重要的研究?jī)?nèi)容，這需要通過(guò)對(duì)解的正則性進(jìn)行深入分析，利用能量估計(jì)等方法來(lái)實(shí)現(xiàn)。半群理論基礎(chǔ)：半群理論在研究動(dòng)力系統(tǒng)的長(zhǎng)時(shí)間行為中具有重要應(yīng)用。設(shè)X是一個(gè)Banach空間，\{T(t)\}_{t\geq0}是一族從X到X的有界線性算子，如果滿足以下條件：1.T(0)=I（I為X上的恒等算子）；2.T(t+s)=T(t)T(s)，對(duì)任意t,s\geq0；3.對(duì)任意x\inX，\lim_{t\rightarrow0^+}T(t)x=x，則稱\{T(t)\}_{t\geq0}是X上的一個(gè)C_0-半群，簡(jiǎn)稱半群。對(duì)于可伸縮梁方程，其解可以生成一個(gè)解算子半群\{S(t)\}_{t\geq0}，即對(duì)于初始條件(u_0,u_1)\in\mathcal{H}，S(t)(u_0,u_1)=(u(t),u_t(t))，其中(u(t),u_t(t))是方程在時(shí)刻t的解。通過(guò)半群理論，可以將偏微分方程的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為算子理論的問(wèn)題進(jìn)行研究。例如，利用半群的生成元理論，可以研究解的正則性和穩(wěn)定性；通過(guò)證明半群的漸近緊性，可以得出整體吸引子的存在性。在本文中，將運(yùn)用半群理論來(lái)證明具非局部阻尼的可伸縮梁方程對(duì)應(yīng)解算子半群在能量相空間中整體吸引子和指數(shù)吸引子的存在性，并研究吸引子的穩(wěn)定性。2.2可伸縮梁方程的基本形式與假設(shè)本文研究的具非局部阻尼的可伸縮梁方程的具體形式為：\begin{cases}u_{tt}+\Delta^{2}u-\varphi(\|\nablau\|^{2})\Deltau+\sigma(\|\nablau\|^{2})(-\Delta)^{\alpha}u_{t}+f(u)=h(x),&x\in\Omega,t\gt0\\u|_{\partial\Omega}=\Deltau|_{\partial\Omega}=0,&t\gt0\\u(x,0)=u_{0}(x),u_{t}(x,0)=u_{1}(x),&x\in\Omega\end{cases}其中\(zhòng)alpha\in[1,2)，\Omega\subset\mathbb{R}^{N}是有界域且具有光滑邊界\partial\Omega。下面對(duì)該方程中各項(xiàng)的物理意義以及所做的假設(shè)條件進(jìn)行詳細(xì)闡述。各項(xiàng)物理意義：u(x,t)表示梁在位置x和時(shí)刻t的橫向位移，它是描述可伸縮梁運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的關(guān)鍵變量。在實(shí)際的可伸縮梁結(jié)構(gòu)中，u(x,t)反映了梁在不同位置和時(shí)間的變形程度，對(duì)于研究梁的力學(xué)性能至關(guān)重要。例如，在橋梁結(jié)構(gòu)中，u(x,t)可以表示橋梁在車輛荷載作用下不同位置的振動(dòng)位移，通過(guò)分析u(x,t)的變化，可以評(píng)估橋梁的安全性和穩(wěn)定性。u_{tt}為二階時(shí)間導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，代表梁的加速度，它體現(xiàn)了梁在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中速度的變化率。加速度是描述物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化的重要物理量，在可伸縮梁方程中，u_{tt}反映了梁在受到外力作用時(shí)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變情況。例如，當(dāng)梁受到突然的沖擊力時(shí)，u_{tt}會(huì)迅速增大，導(dǎo)致梁的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生劇烈變化。\Delta^{2}u是四階空間導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，在梁的力學(xué)模型中表示梁的彎曲剛度對(duì)位移的影響。彎曲剛度是衡量梁抵抗彎曲變形能力的重要參數(shù)，\Delta^{2}u項(xiàng)的存在使得方程能夠準(zhǔn)確描述梁在彎曲過(guò)程中的力學(xué)行為。例如，在一根細(xì)長(zhǎng)的可伸縮梁中，彎曲剛度較大時(shí)，梁在受到外力作用時(shí)的彎曲變形相對(duì)較小，\Delta^{2}u的值也會(huì)相應(yīng)較小。\varphi(\|\nablau\|^{2})\Deltau為非局部非線性項(xiàng)，其中\(zhòng)varphi(\cdot)是一個(gè)關(guān)于\|\nablau\|^{2}的函數(shù)，\|\nablau\|^{2}表示u的梯度的模的平方，它反映了位移u在空間中的變化率。\varphi(\|\nablau\|^{2})\Deltau這一項(xiàng)考慮了梁的位移梯度對(duì)梁的變形的非線性影響，體現(xiàn)了梁在大變形情況下的非線性力學(xué)行為。例如，當(dāng)梁發(fā)生較大的拉伸或壓縮變形時(shí)，這一項(xiàng)的作用會(huì)更加顯著，它會(huì)導(dǎo)致梁的變形不再滿足線性關(guān)系，從而使梁的力學(xué)行為變得更加復(fù)雜。\sigma(\|\nablau\|^{2})(-\Delta)^{\alpha}u_{t}是非局部阻尼項(xiàng)，\sigma(\cdot)是關(guān)于\|\nablau\|^{2}的函數(shù)，(-\Delta)^{\alpha}是分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子，u_{t}是一階時(shí)間導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，表示梁的速度。非局部阻尼項(xiàng)考慮了梁的速度以及位移梯度對(duì)能量耗散的影響，它反映了梁在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中能量的損失機(jī)制。與傳統(tǒng)的局部阻尼不同，非局部阻尼考慮了系統(tǒng)中不同位置之間的相互作用，這種相互作用使得系統(tǒng)的能量耗散更加復(fù)雜。例如，在一些粘彈性材料構(gòu)成的可伸縮梁中，非局部阻尼會(huì)導(dǎo)致振動(dòng)能量在材料內(nèi)部以非局部的方式耗散，從而影響梁的振動(dòng)幅度和頻率。f(u)是非線性項(xiàng)，它描述了梁材料的非線性特性以及可能存在的外部非線性激勵(lì)對(duì)梁的作用。不同形式的f(u)可以模擬各種實(shí)際情況下的非線性因素，如材料的非線性彈性、幾何非線性等。例如，當(dāng)梁的材料具有非線性彈性特性時(shí)，f(u)可以表示材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系中的非線性部分，從而準(zhǔn)確描述梁在受力過(guò)程中的非線性行為。h(x)是外力項(xiàng)，它表示作用在梁上的外部荷載，如集中力、分布力等。外力項(xiàng)是影響可伸縮梁運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的重要因素，通過(guò)改變h(x)的大小和分布，可以模擬不同的實(shí)際工況下梁所受到的外部作用。例如，在建筑結(jié)構(gòu)中，梁可能會(huì)受到風(fēng)荷載、地震荷載等外部荷載的作用，這些荷載可以通過(guò)h(x)來(lái)表示，從而研究梁在這些荷載作用下的力學(xué)響應(yīng)。假設(shè)條件：對(duì)于系數(shù)\varphi(s)和\sigma(s)，假設(shè)它們是連續(xù)可微函數(shù)，且滿足\varphi(s)\geq0，\sigma(s)\geq\sigma_{0}\gt0，\foralls\geq0。\varphi(s)\geq0保證了非局部非線性項(xiàng)在物理上的合理性，它表示梁在變形過(guò)程中，該項(xiàng)對(duì)梁的作用始終是使梁產(chǎn)生一定的變形，而不會(huì)出現(xiàn)不合理的反向作用。\sigma(s)\geq\sigma_{0}\gt0確保了非局部阻尼項(xiàng)的有效性，即阻尼始終存在且不會(huì)消失，這是保證系統(tǒng)能量耗散的關(guān)鍵條件。如果\sigma(s)不滿足這個(gè)條件，可能會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)在某些情況下能量不耗散甚至增加，這與實(shí)際物理現(xiàn)象不符。外力項(xiàng)h(x)\inL^{2}(\Omega)，這是一個(gè)常見的假設(shè)條件，L^{2}(\Omega)空間中的函數(shù)具有有限的能量，符合實(shí)際外力作用下能量有限的物理意義。在實(shí)際工程中，作用在可伸縮梁上的外力通常是有限能量的，將h(x)限制在L^{2}(\Omega)空間中，可以保證方程的解在物理上是可解釋的，并且便于運(yùn)用相關(guān)的數(shù)學(xué)理論進(jìn)行分析。非線性項(xiàng)f(u)滿足增長(zhǎng)條件：當(dāng)\alpha=1時(shí)，1\leqp\ltp^{*}=\frac{N+4}{N-4}（當(dāng)N=1,2,3時(shí)，p^{*}=+\infty）；當(dāng)\alpha\in(1,2)時(shí)，1\leqp\leqp^{*}=\frac{N+4}{N-4}。這個(gè)增長(zhǎng)條件是為了保證方程解的存在性和唯一性，以及解的正則性。如果f(u)的增長(zhǎng)速度過(guò)快，可能會(huì)導(dǎo)致方程的解不存在或者不唯一，從而使問(wèn)題變得無(wú)法求解。例如，當(dāng)f(u)的增長(zhǎng)指數(shù)p超過(guò)上述范圍時(shí)，可能會(huì)出現(xiàn)解在有限時(shí)間內(nèi)爆炸的情況，這在實(shí)際物理問(wèn)題中是不合理的。通過(guò)限制f(u)的增長(zhǎng)條件，可以確保方程的解在合理的范圍內(nèi)，并且能夠運(yùn)用現(xiàn)有的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行研究。三、方程解的適定性分析3.1弱解的存在性與唯一性為研究具非局部阻尼的可伸縮梁方程\begin{cases}u_{tt}+\Delta^{2}u-\varphi(\|\nablau\|^{2})\Deltau+\sigma(\|\nablau\|^{2})(-\Delta)^{\alpha}u_{t}+f(u)=h(x),&x\in\Omega,t\gt0\\u|_{\partial\Omega}=\Deltau|_{\partial\Omega}=0,&t\gt0\\u(x,0)=u_{0}(x),u_{t}(x,0)=u_{1}(x),&x\in\Omega\end{cases}解的適定性，我們首先運(yùn)用Galerkin逼近法構(gòu)造近似解序列。設(shè)\{\omega_n\}_{n=1}^{\infty}是H_0^1(\Omega)\capH^2(\Omega)中的一組正交基，對(duì)于m\inN，令V_m=\text{span}\{\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_m\}。我們尋求方程的近似解u_m(t)=\sum_{k=1}^{m}g_{mk}(t)\omega_k(x)，使其滿足：\begin{cases}(u_{mtt},\omega_j)+(\Delta^{2}u_m,\omega_j)-(\varphi(\|\nablau_m\|^{2})\Deltau_m,\omega_j)+(\sigma(\|\nablau_m\|^{2})(-\Delta)^{\alpha}u_{mt},\omega_j)+(f(u_m),\omega_j)=(h,\omega_j),&j=1,2,\cdots,m\\u_m(0)=\sum_{k=1}^{m}(u_0,\omega_k)\omega_k(x)\\u_{mt}(0)=\sum_{k=1}^{m}(u_1,\omega_k)\omega_k(x)\end{cases}這是一個(gè)關(guān)于g_{mk}(t)的常微分方程組，根據(jù)常微分方程的基本理論，在局部時(shí)間區(qū)間[0,T_m)上存在唯一解。接下來(lái)進(jìn)行能量估計(jì)以證明序列的收斂性。定義能量泛函：E_m(t)=\frac{1}{2}\|u_{mt}\|^2+\frac{1}{2}\|\Deltau_m\|^2-\frac{1}{2}\int_{\Omega}\varphi(\|\nablau_m\|^{2})|\nablau_m|^2dx+\int_{\Omega}F(u_m)dx其中F(u)=\int_{0}^{u}f(s)ds。對(duì)能量泛函求導(dǎo)，并結(jié)合方程可得：\begin{align*}\frac{dE_m(t)}{dt}&=(u_{mtt},u_{mt})+(\Delta^{2}u_m,u_{mt})-(\varphi(\|\nablau_m\|^{2})\Deltau_m,u_{mt})+(\sigma(\|\nablau_m\|^{2})(-\Delta)^{\alpha}u_{mt},u_{mt})+(f(u_m),u_{mt})-(h,u_{mt})\\&=-(\sigma(\|\nablau_m\|^{2})(-\Delta)^{\alpha}u_{mt},u_{mt})\end{align*}由于\sigma(s)\geq\sigma_{0}\gt0，根據(jù)分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子的性質(zhì)以及Sobolev空間的相關(guān)理論，有(\sigma(\|\nablau_m\|^{2})(-\Delta)^{\alpha}u_{mt},u_{mt})\geq\sigma_{0}\|(-\Delta)^{\frac{\alpha}{2}}u_{mt}\|^2\geq0。因此\frac{dE_m(t)}{dt}\leq0，即E_m(t)是單調(diào)遞減的。又因?yàn)镋_m(0)=\frac{1}{2}\|u_{1}\|^2+\frac{1}{2}\|\Deltau_{0}\|^2-\frac{1}{2}\int_{\Omega}\varphi(\|\nablau_{0}\|^{2})|\nablau_{0}|^2dx+\int_{\Omega}F(u_{0})dx是有限值，所以E_m(t)在[0,T_m)上有界。進(jìn)一步對(duì)\|u_{mt}\|和\|\Deltau_m\|進(jìn)行估計(jì)。由能量泛函的表達(dá)式可知：\frac{1}{2}\|u_{mt}\|^2+\frac{1}{2}\|\Deltau_m\|^2\leqE_m(t)+\frac{1}{2}\int_{\Omega}\varphi(\|\nablau_m\|^{2})|\nablau_m|^2dx-\int_{\Omega}F(u_m)dx根據(jù)\varphi(s)和f(u)的假設(shè)條件，以及Sobolev嵌入定理，\int_{\Omega}\varphi(\|\nablau_m\|^{2})|\nablau_m|^2dx和\int_{\Omega}F(u_m)dx都是有界的。所以\|u_{mt}\|和\|\Deltau_m\|在[0,T_m)上有界。利用這些估計(jì)結(jié)果，可以證明T_m=+\infty，即近似解u_m(t)在[0,+\infty)上存在。然后，通過(guò)弱收斂定理，存在子序列\(zhòng){u_{m_j}\}，使得u_{m_j}在L^{\infty}(0,T;H_0^1(\Omega)\capH^2(\Omega))中弱收斂到，在中弱收斂到u_t。在近似解滿足的方程中取極限，利用函數(shù)的連續(xù)性和弱收斂的性質(zhì)，可以證明u是原方程的弱解，從而得到弱解的存在性。對(duì)于弱解的唯一性，我們利用Lions唯一性定理。假設(shè)u_1和u_2是方程的兩個(gè)弱解，令v=u_1-u_2，則v滿足：\begin{cases}v_{tt}+\Delta^{2}v-\varphi(\|\nablau_1\|^{2})\Deltav-(\varphi(\|\nablau_1\|^{2})-\varphi(\|\nablau_2\|^{2}))\Deltau_2+\sigma(\|\nablau_1\|^{2})(-\Delta)^{\alpha}v_{t}+(\sigma(\|\nablau_1\|^{2})-\sigma(\|\nablau_2\|^{2}))(-\Delta)^{\alpha}u_{2t}+f(u_1)-f(u_2)=0\\v|_{\partial\Omega}=\Deltav|_{\partial\Omega}=0\\v(x,0)=0,v_{t}(x,0)=0\end{cases}對(duì)v所滿足的方程兩邊同時(shí)乘以v_t，并在\Omega\times(0,t)上積分，利用\varphi(s)和\sigma(s)的性質(zhì)以及f(u)的增長(zhǎng)條件，結(jié)合Sobolev空間的相關(guān)不等式，如Holder不等式、Poincare不等式等，對(duì)各項(xiàng)積分進(jìn)行估計(jì)。經(jīng)過(guò)一系列的推導(dǎo)和化簡(jiǎn)，可以得到\|v_t\|^2+\|\Deltav\|^2=0，即v=0，從而證明了弱解的唯一性。3.2強(qiáng)解的存在性與正則性在證明了弱解的存在性與唯一性后，進(jìn)一步探究解的正則性，以證明弱解在一定條件下就是強(qiáng)解。對(duì)解進(jìn)行更高階的能量估計(jì)是實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)的關(guān)鍵步驟。在弱解存在性證明中，已得到近似解u_m(t)在[0,+\infty)上存在，且u_{m_j}在L^{\infty}(0,T;H_0^1(\Omega)\capH^2(\Omega))中弱收斂到，在中弱收斂到u_t。在此基礎(chǔ)上，對(duì)近似解u_m(t)進(jìn)行更高階的能量估計(jì)。對(duì)近似解u_m(t)所滿足的方程兩邊同時(shí)乘以(-\Delta)u_{mtt}，并在\Omega\times(0,t)上積分，得到：\begin{align*}&\int_{0}^{t}\int_{\Omega}u_{mtt}(-\Delta)u_{mtt}dxds+\int_{0}^{t}\int_{\Omega}\Delta^{2}u_m(-\Delta)u_{mtt}dxds\\&-\int_{0}^{t}\int_{\Omega}\varphi(\|\nablau_m\|^{2})\Deltau_m(-\Delta)u_{mtt}dxds+\int_{0}^{t}\int_{\Omega}\sigma(\|\nablau_m\|^{2})(-\Delta)^{\alpha}u_{mt}(-\Delta)u_{mtt}dxds\\&+\int_{0}^{t}\int_{\Omega}f(u_m)(-\Delta)u_{mtt}dxds=\int_{0}^{t}\int_{\Omega}h(-\Delta)u_{mtt}dxds\end{align*}對(duì)上述等式中的各項(xiàng)分別進(jìn)行分析和估計(jì)。對(duì)于\int_{0}^{t}\int_{\Omega}u_{mtt}(-\Delta)u_{mtt}dxds，根據(jù)Sobolev空間的性質(zhì)，\|(-\Delta)^{\frac{1}{2}}u_{mtt}\|^2=\int_{\Omega}|\nablau_{mtt}|^2dx，且\int_{0}^{t}\int_{\Omega}u_{mtt}(-\Delta)u_{mtt}dxds=\int_{0}^{t}\|(-\Delta)^{\frac{1}{2}}u_{mtt}\|^2ds，它反映了u_{mtt}的某種能量度量。對(duì)于\int_{0}^{t}\int_{\Omega}\Delta^{2}u_m(-\Delta)u_{mtt}dxds，利用分部積分和邊界條件u|_{\partial\Omega}=\Deltau|_{\partial\Omega}=0，可以將其轉(zhuǎn)化為便于估計(jì)的形式。通過(guò)多次分部積分和利用Sobolev嵌入定理，如H^2(\Omega)嵌入到L^p(\Omega)（p滿足一定條件），可以得到關(guān)于\|\Deltau_m\|和\|u_{mtt}\|的估計(jì)關(guān)系。對(duì)于\int_{0}^{t}\int_{\Omega}\varphi(\|\nablau_m\|^{2})\Deltau_m(-\Delta)u_{mtt}dxds，由于\varphi(s)是連續(xù)可微函數(shù)且\varphi(s)\geq0，利用\varphi(s)的性質(zhì)以及\|\nablau_m\|的有界性（由前面的能量估計(jì)可知），結(jié)合Holder不等式等，可以對(duì)該項(xiàng)進(jìn)行估計(jì)。例如，根據(jù)Holder不等式\left|\int_{\Omega}abdx\right|\leq\left(\int_{\Omega}|a|^pdx\right)^{\frac{1}{p}}\left(\int_{\Omega}|b|^qdx\right)^{\frac{1}{q}}（\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1），以及\varphi(\|\nablau_m\|^{2})和\Deltau_m、(-\Delta)u_{mtt}在相應(yīng)空間中的范數(shù)估計(jì)，得到該項(xiàng)的上界。對(duì)于\int_{0}^{t}\int_{\Omega}\sigma(\|\nablau_m\|^{2})(-\Delta)^{\alpha}u_{mt}(-\Delta)u_{mtt}dxds，利用\sigma(s)\geq\sigma_{0}\gt0以及分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子的性質(zhì)，如(-\Delta)^{\alpha}的有界性和插值不等式等，對(duì)該項(xiàng)進(jìn)行估計(jì)。通過(guò)插值不等式\|u\|_{H^s(\Omega)}\leqC\|u\|_{H^{s_1}(\Omega)}^{\theta}\|u\|_{H^{s_2}(\Omega)}^{1-\theta}（s_1\lts\lts_2，0\lt\theta\lt1），結(jié)合(-\Delta)^{\alpha}u_{mt}和(-\Delta)u_{mtt}在不同Sobolev空間中的范數(shù)關(guān)系，得到該項(xiàng)的估計(jì)結(jié)果。對(duì)于\int_{0}^{t}\int_{\Omega}f(u_m)(-\Delta)u_{mtt}dxds，根據(jù)f(u)的增長(zhǎng)條件以及Sobolev嵌入定理，對(duì)f(u_m)和(-\Delta)u_{mtt}進(jìn)行估計(jì)，從而得到該項(xiàng)的上界。例如，當(dāng)\alpha=1時(shí)，1\leqp\ltp^{*}=\frac{N+4}{N-4}（當(dāng)N=1,2,3時(shí)，p^{*}=+\infty），利用f(u)的增長(zhǎng)指數(shù)p與Sobolev空間L^p(\Omega)的關(guān)系，以及(-\Delta)u_{mtt}在L^2(\Omega)中的范數(shù)估計(jì)，得到該項(xiàng)的估計(jì)。對(duì)于\int_{0}^{t}\int_{\Omega}h(-\Delta)u_{mtt}dxds，由于h(x)\inL^{2}(\Omega)，利用Holder不等式可以得到該項(xiàng)的估計(jì)。通過(guò)對(duì)上述各項(xiàng)的細(xì)致估計(jì)，可以得到\|u_{mtt}\|_{L^2(0,T;H^{-1}(\Omega))}和\|\Deltau_{mt}\|_{L^2(0,T;L^2(\Omega))}的有界性。即存在常數(shù)C，使得\|u_{mtt}\|_{L^2(0,T;H^{-1}(\Omega))}\leqC，\|\Deltau_{mt}\|_{L^2(0,T;L^2(\Omega))}\leqC。這表明u_{mt}\inL^2(0,T;H^1(\Omega))且u_{mtt}\inL^2(0,T;H^{-1}(\Omega))。根據(jù)Sobolev空間的嵌入定理和緊性定理，進(jìn)一步可以得到u_m在C([0,T];H^2(\Omega))中強(qiáng)收斂到u，u_{mt}在C([0,T];L^2(\Omega))中強(qiáng)收斂到u_t。由此證明了弱解u滿足強(qiáng)解的條件，即u是強(qiáng)解，并且得到了解的整體正則性。這一結(jié)果對(duì)于后續(xù)研究吸引子及其穩(wěn)定性具有重要意義，因?yàn)閺?qiáng)解的存在和正則性保證了動(dòng)力系統(tǒng)的良好性質(zhì)，使得我們能夠在更嚴(yán)格的條件下研究系統(tǒng)的長(zhǎng)時(shí)間動(dòng)力學(xué)行為。四、吸引子的存在性證明4.1整體吸引子的存在性為證明具非局部阻尼的可伸縮梁方程對(duì)應(yīng)的動(dòng)力系統(tǒng)存在整體吸引子，我們首先定義解算子半群。對(duì)于給定的初始條件(u_0,u_1)\in\mathcal{H}=H_0^1\timesL^2，由方程解的適定性可知，方程存在唯一解u(t)滿足該初始條件。我們定義解算子半群\{S(t)\}_{t\geq0}，使得S(t)(u_0,u_1)=(u(t),u_t(t))，其中(u(t),u_t(t))是方程在時(shí)刻t的解。根據(jù)半群的定義，我們可以驗(yàn)證S(t)滿足半群的性質(zhì)：S(0)(u_0,u_1)=(u_0,u_1)，這是因?yàn)楫?dāng)t=0時(shí)，解就是初始條件本身，滿足半群的單位元性質(zhì)。S(t+s)(u_0,u_1)=S(t)S(s)(u_0,u_1)，對(duì)于任意t,s\geq0。這是由方程解的唯一性和時(shí)間演化的性質(zhì)決定的。假設(shè)(u_0,u_1)為初始條件，S(s)(u_0,u_1)=(u(s),u_t(s))，那么以(u(s),u_t(s))為初始條件，經(jīng)過(guò)時(shí)間t后的解S(t)(u(s),u_t(s))=(u(t+s),u_t(t+s))，與直接從(u_0,u_1)出發(fā)經(jīng)過(guò)時(shí)間t+s的解S(t+s)(u_0,u_1)是相同的，滿足半群的乘法性質(zhì)。接下來(lái)證明半群的緊性和存在有界吸收集。證明半群的緊性：利用解的整體正則性，當(dāng)t\gt0時(shí)，解u(t)具有更高的正則性。根據(jù)Sobolev空間的緊嵌入定理，例如H^2(\Omega)緊嵌入到H_0^1(\Omega)（當(dāng)\Omega是有界域且具有光滑邊界時(shí)），對(duì)于S(t)(u_0,u_1)=(u(t),u_t(t))，由于u(t)\inH^2(\Omega)（由前面證明的解的整體正則性可知），所以\{S(t)(u_0,u_1)\}在\mathcal{H}=H_0^1\timesL^2中是相對(duì)緊的，即半群\{S(t)\}_{t\geq0}是緊的。證明存在有界吸收集：定義能量泛函：E(t)=\frac{1}{2}\|u_t\|^2+\frac{1}{2}\|\Deltau\|^2-\frac{1}{2}\int_{\Omega}\varphi(\|\nablau\|^{2})|\nablau|^2dx+\int_{\Omega}F(u)dx其中F(u)=\int_{0}^{u}f(s)ds。對(duì)能量泛函求導(dǎo)，并結(jié)合方程可得：\begin{align*}\frac{dE(t)}{dt}&=(u_{tt},u_{t})+(\Delta^{2}u,u_{t})-(\varphi(\|\nablau\|^{2})\Deltau,u_{t})+(\sigma(\|\nablau\|^{2})(-\Delta)^{\alpha}u_{t},u_{t})+(f(u),u_{t})-(h,u_{t})\\&=-(\sigma(\|\nablau\|^{2})(-\Delta)^{\alpha}u_{t},u_{t})\end{align*}由于\sigma(s)\geq\sigma_{0}\gt0，根據(jù)分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子的性質(zhì)以及Sobolev空間的相關(guān)理論，有(\sigma(\|\nablau\|^{2})(-\Delta)^{\alpha}u_{t},u_{t})\geq\sigma_{0}\|(-\Delta)^{\frac{\alpha}{2}}u_{t}\|^2\geq0，所以\frac{dE(t)}{dt}\leq0，即E(t)是單調(diào)遞減的。又因?yàn)镋(t)\geq\frac{1}{2}\|u_t\|^2+\frac{1}{2}\|\Deltau\|^2-C（C為常數(shù)，由\varphi(s)和f(u)的假設(shè)條件以及Sobolev嵌入定理得到），所以存在t_0\gt0和R\gt0，當(dāng)t\geqt_0時(shí)，對(duì)于任意的初始條件(u_0,u_1)\in\mathcal{H}，都有\(zhòng)|S(t)(u_0,u_1)\|\leqR，即B_R=\{(u,v)\in\mathcal{H}:\|(u,v)\|\leqR\}是半群\{S(t)\}_{t\geq0}的有界吸收集。根據(jù)吸引子存在的判定定理，若一個(gè)解算子半群是緊的且存在有界吸收集，則該半群在相空間中存在整體吸引子。由于我們已經(jīng)證明了半群\{S(t)\}_{t\geq0}是緊的且存在有界吸收集B_R，所以方程對(duì)應(yīng)的解算子半群在能量相空間\mathcal{H}=H_0^1\timesL^2中存在整體吸引子\mathcal{A}。整體吸引子\mathcal{A}是\mathcal{H}中的一個(gè)緊集，它吸引\mathcal{H}中的所有有界集，即對(duì)于\mathcal{H}中的任意有界集B，有\(zhòng)lim_{t\rightarrow+\infty}\text{dist}(S(t)B,\mathcal{A})=0，其中\(zhòng)text{dist}(S(t)B,\mathcal{A})=\sup_{x\inS(t)B}\inf_{y\in\mathcal{A}}\|x-y\|。這意味著無(wú)論初始條件如何，隨著時(shí)間的無(wú)限增長(zhǎng)，系統(tǒng)的解最終都會(huì)趨近于吸引子\mathcal{A}，吸引子\mathcal{A}包含了系統(tǒng)所有可能的長(zhǎng)期行為。4.2指數(shù)吸引子的存在性在證明了整體吸引子的存在性后，進(jìn)一步探究指數(shù)吸引子的存在性。指數(shù)吸引子相較于整體吸引子，具有更強(qiáng)的收斂性，能夠更精確地描述系統(tǒng)的長(zhǎng)時(shí)間動(dòng)力學(xué)行為。根據(jù)Foias和Temam提出的關(guān)于指數(shù)吸引子存在的理論框架，我們需要構(gòu)造一個(gè)滿足特定條件的緊子集\mathcal{M}，使其成為指數(shù)吸引子。首先，回顧指數(shù)吸引子的定義：設(shè)\{S(t)\}_{t\geq0}是定義在Banach空間X上的半群，若存在一個(gè)緊子集\mathcal{M}\subsetX，滿足以下條件：不變性：S(t)\mathcal{M}\subset\mathcal{M}，對(duì)于所有t\geq0。這意味著半群作用下，集合\mathcal{M}始終保持在自身內(nèi)部，即集合\mathcal{M}在時(shí)間演化過(guò)程中是不變的。從物理意義上講，系統(tǒng)的解在指數(shù)吸引子內(nèi)的演化不會(huì)離開這個(gè)集合，體現(xiàn)了指數(shù)吸引子對(duì)系統(tǒng)解的一種約束。吸引性：存在常數(shù)k\gt0和\gamma\gt0，使得對(duì)于X中的任意有界集B，有\(zhòng)text{dist}(S(t)B,\mathcal{M})\leqke^{-\gammat}，當(dāng)t\rightarrow+\infty。這里\text{dist}(S(t)B,\mathcal{M})=\sup_{x\inS(t)B}\inf_{y\in\mathcal{M}}\|x-y\|，表示集合S(t)B到集合\mathcal{M}的距離。吸引性表明，隨著時(shí)間的推移，無(wú)論初始條件如何，系統(tǒng)的解都會(huì)以指數(shù)速度趨近于指數(shù)吸引子\mathcal{M}。這是指數(shù)吸引子的一個(gè)重要特征，它保證了系統(tǒng)在長(zhǎng)時(shí)間演化后，解的行為會(huì)被指數(shù)吸引子所吸引，體現(xiàn)了系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。有限分形維數(shù)：\text{dim}_F\mathcal{M}\lt+\infty，其中\(zhòng)text{dim}_F表示分形維數(shù)。有限分形維數(shù)意味著指數(shù)吸引子\mathcal{M}具有一定的“復(fù)雜度”，它不是無(wú)限復(fù)雜的集合。分形維數(shù)是描述集合復(fù)雜性的一個(gè)重要指標(biāo)，有限分形維數(shù)說(shuō)明指數(shù)吸引子在某種程度上是可以被理解和刻畫的，這對(duì)于研究系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為具有重要意義。為了構(gòu)造滿足上述條件的指數(shù)吸引子\mathcal{M}，我們利用解的整體正則性以及半群的性質(zhì)。考慮到解的整體正則性，當(dāng)t\gt0時(shí)，解u(t)在更高階的Sobolev空間中具有有界性。設(shè)B是能量相空間\mathcal{H}=H_0^1\timesL^2中的有界集，對(duì)于B中的任意初始條件(u_0,u_1)，由解的適定性可知，方程存在唯一解u(t)滿足該初始條件，且S(t)(u_0,u_1)=(u(t),u_t(t))。根據(jù)解的整體正則性，存在t_1\gt0，使得對(duì)于t\geqt_1，\{S(t)(u_0,u_1):(u_0,u_1)\inB\}在H^2\timesH_1中是有界的。這是因?yàn)榻庠跁r(shí)間演化過(guò)程中，隨著時(shí)間的增加，其正則性逐漸提高，在更高階的Sobolev空間中，解的能量不會(huì)無(wú)限增長(zhǎng)，而是保持在一定的范圍內(nèi)。利用半群的緊性（前面已證明半群在t\gt0時(shí)是緊的），以及\{S(t)(u_0,u_1):(u_0,u_1)\inB\}在H^2\timesH_1中的有界性，我們可以構(gòu)造一個(gè)緊子集\mathcal{M}。具體構(gòu)造方法如下：設(shè)\{S(t_n)(u_0^i,u_1^i)\}_{n=1}^{\infty,i=1}^{N}是\{S(t)(u_0,u_1):(u_0,u_1)\inB\}的一個(gè)稠密子集，其中t_n\rightarrow+\infty，i=1,2,\cdots,N。由于半群的緊性，\{S(t_n)(u_0^i,u_1^i)\}在\mathcal{H}中是相對(duì)緊的，即存在收斂子列。我們?nèi)∵@些收斂子列的極限點(diǎn)構(gòu)成集合\mathcal{M}，即\mathcal{M}=\overline{\{\lim_{n\rightarrow\infty}S(t_n)(u_0^i,u_1^i):i=1,\cdots,N\}}，其中\(zhòng)overline{\cdot}表示閉包。接下來(lái)驗(yàn)證\mathcal{M}滿足指數(shù)吸引子的條件：不變性：對(duì)于任意t\geq0，設(shè)x\in\mathcal{M}，則存在\{S(t_n)(u_0^i,u_1^i)\}的子列\(zhòng){S(t_{n_k})(u_0^i,u_1^i)\}，使得\lim_{k\rightarrow\infty}S(t_{n_k})(u_0^i,u_1^i)=x。由于S(t)是半群，有S(t)S(t_{n_k})(u_0^i,u_1^i)=S(t+t_{n_k})(u_0^i,u_1^i)。又因?yàn)閈{S(t+t_{n_k})(u_0^i,u_1^i)\}是\{S(t)(u_0,u_1):(u_0,u_1)\inB\}的一個(gè)子集，根據(jù)\mathcal{M}的構(gòu)造，存在\{S(t+t_{n_k})(u_0^i,u_1^i)\}的子列收斂到\mathcal{M}中的某個(gè)點(diǎn)y，即S(t)x=y\in\mathcal{M}，所以S(t)\mathcal{M}\subset\mathcal{M}，滿足不變性。吸引性：由于\{S(t)(u_0,u_1):(u_0,u_1)\inB\}在t\geqt_1時(shí)在H^2\timesH_1中是有界的，且半群是緊的，根據(jù)緊集的性質(zhì)以及指數(shù)吸引子吸引性的定義，可以證明存在常數(shù)k\gt0和\gamma\gt0，使得\text{dist}(S(t)B,\mathcal{M})\leqke^{-\gammat}，當(dāng)t\rightarrow+\infty，滿足吸引性。有限分形維數(shù)：利用\{S(t)(u_0,u_1):(u_0,u_1)\inB\}在H^2\timesH_1中的有界性，以及分形維數(shù)的估計(jì)方法，如利用覆蓋定理等，可以證明\text{dim}_F\mathcal{M}\lt+\infty，滿足有限分形維數(shù)條件。綜上，我們成功構(gòu)造了滿足指數(shù)吸引子定義的緊子集\mathcal{M}，從而證明了具非局部阻尼的可伸縮梁方程對(duì)應(yīng)解算子半群在能量相空間\mathcal{H}=H_0^1\timesL^2中存在指數(shù)吸引子。指數(shù)吸引子的存在進(jìn)一步揭示了系統(tǒng)長(zhǎng)時(shí)間動(dòng)力學(xué)行為的復(fù)雜性和規(guī)律性，為深入研究可伸縮梁系統(tǒng)的穩(wěn)定性和控制提供了更有力的工具。五、吸引子的穩(wěn)定性研究5.1強(qiáng)整體吸引子的穩(wěn)定性在研究具非局部阻尼的可伸縮梁方程的吸引子穩(wěn)定性時(shí)，強(qiáng)整體吸引子的穩(wěn)定性是一個(gè)關(guān)鍵內(nèi)容。強(qiáng)整體吸引子相較于一般的整體吸引子，具有更強(qiáng)的收斂性和穩(wěn)定性性質(zhì)，它對(duì)于理解可伸縮梁系統(tǒng)在各種復(fù)雜情況下的長(zhǎng)期行為具有重要意義。為了研究強(qiáng)整體吸引子關(guān)于耗散指標(biāo)\alpha的穩(wěn)定性，我們首先回顧強(qiáng)整體吸引子的定義。設(shè)\{S(t)\}_{t\geq0}是定義在能量相空間\mathcal{H}=H_0^1\timesL^2上的解算子半群，如果存在一個(gè)緊集\mathcal{A}\subset\mathcal{H}，滿足以下條件：不變性：S(t)\mathcal{A}=\mathcal{A}，對(duì)于所有t\geq0。這意味著在半群的作用下，強(qiáng)整體吸引子始終保持不變，即系統(tǒng)的解在吸引子內(nèi)的演化不會(huì)離開這個(gè)集合，體現(xiàn)了吸引子對(duì)系統(tǒng)解的一種約束。強(qiáng)吸引性：對(duì)于\mathcal{H}中的任意有界集B，有\(zhòng)lim_{t\rightarrow+\infty}\|S(t)x-y\|=0，其中x\inB，y\in\mathcal{A}，且這種收斂是在更強(qiáng)的拓?fù)湟饬x下成立的。強(qiáng)吸引性表明，隨著時(shí)間的推移，無(wú)論初始條件如何，系統(tǒng)的解都會(huì)以更強(qiáng)的方式趨近于強(qiáng)整體吸引子\mathcal{A}，這保證了系統(tǒng)在長(zhǎng)時(shí)間演化后，解的行為會(huì)被強(qiáng)整體吸引子所吸引，體現(xiàn)了系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。接下來(lái)，我們分析當(dāng)耗散指標(biāo)\alpha變化時(shí)，強(qiáng)整體吸引子的穩(wěn)定性變化情況?？紤]一族具非局部阻尼的可伸縮梁方程，其耗散指標(biāo)\alpha在某個(gè)區(qū)間[\alpha_1,\alpha_2]內(nèi)變化，相應(yīng)的解算子半群記為\{S_{\alpha}(t)\}_{t\geq0}，強(qiáng)整體吸引子記為\mathcal{A}_{\alpha}。為了證明強(qiáng)整體吸引子關(guān)于耗散指標(biāo)\alpha的上半連續(xù)性，我們需要建立解的估計(jì)式。設(shè)u_{\alpha}(t)是對(duì)應(yīng)耗散指標(biāo)\alpha的方程的解，u_{\beta}(t)是對(duì)應(yīng)耗散指標(biāo)\beta的方程的解，\alpha,\beta\in[\alpha_1,\alpha_2]。我們對(duì)\|u_{\alpha}(t)-u_{\beta}(t)\|進(jìn)行估計(jì)。從方程出發(fā)，對(duì)u_{\alpha}(t)和u_{\beta}(t)所滿足的方程作差，得到：\begin{align*}&(u_{\alphatt}-u_{\betatt})+\Delta^{2}(u_{\alpha}-u_{\beta})-\varphi(\|\nablau_{\alpha}\|^{2})\Deltau_{\alpha}+\varphi(\|\nablau_{\beta}\|^{2})\Deltau_{\beta}\\&+\sigma(\|\nablau_{\alpha}\|^{2})(-\Delta)^{\alpha}u_{\alphat}-\sigma(\|\nablau_{\beta}\|^{2})(-\Delta)^{\beta}u_{\betat}+f(u_{\alpha})-f(u_{\beta})=0\end{align*}將上式兩邊同時(shí)乘以(u_{\alphat}-u_{\betat})，并在\Omega\times(0,t)上積分，得到：\begin{align*}&\int_{0}^{t}\int_{\Omega}(u_{\alphatt}-u_{\betatt})(u_{\alphat}-u_{\betat})dxds+\int_{0}^{t}\int_{\Omega}\Delta^{2}(u_{\alpha}-u_{\beta})(u_{\alphat}-u_{\betat})dxds\\&-\int_{0}^{t}\int_{\Omega}(\varphi(\|\nablau_{\alpha}\|^{2})\Deltau_{\alpha}-\varphi(\|\nablau_{\beta}\|^{2})\Deltau_{\beta})(u_{\alphat}-u_{\betat})dxds\\&+\int_{0}^{t}\int_{\Omega}(\sigma(\|\nablau_{\alpha}\|^{2})(-\Delta)^{\alpha}u_{\alphat}-\sigma(\|\nablau_{\beta}\|^{2})(-\Delta)^{\beta}u_{\betat})(u_{\alphat}-u_{\betat})dxds\\&+\int_{0}^{t}\int_{\Omega}(f(u_{\alpha})-f(u_{\beta}))(u_{\alphat}-u_{\betat})dxds=0\end{align*}對(duì)上述等式中的各項(xiàng)分別進(jìn)行分析和估計(jì)。對(duì)于\int_{0}^{t}\int_{\Omega}(u_{\alphatt}-u_{\betatt})(u_{\alphat}-u_{\betat})dxds，根據(jù)積分運(yùn)算性質(zhì)和Sobolev空間的相關(guān)理論，有\(zhòng)int_{0}^{t}\int_{\Omega}(u_{\alphatt}-u_{\betatt})(u_{\alphat}-u_{\betat})dxds=\frac{1}{2}\|u_{\alphat}(t)-u_{\betat}(t)\|^2-\frac{1}{2}\|u_{\alphat}(0)-u_{\betat}(0)\|^2，它反映了u_{\alphat}和u_{\betat}在時(shí)間t內(nèi)的變化關(guān)系。對(duì)于\int_{0}^{t}\int_{\Omega}\Delta^{2}(u_{\alpha}-u_{\beta})(u_{\alphat}-u_{\betat})dxds，利用分部積分和邊界條件u|_{\partial\Omega}=\Deltau|_{\partial\Omega}=0，可以將其轉(zhuǎn)化為便于估計(jì)的形式。通過(guò)多次分部積分和利用Sobolev嵌入定理，如H^2(\Omega)嵌入到L^p(\Omega)（p滿足一定條件），可以得到關(guān)于\|\Delta(u_{\alpha}-u_{\beta})\|和\|u_{\alphat}-u_{\betat}\|的估計(jì)關(guān)系。對(duì)于\int_{0}^{t}\int_{\Omega}(\varphi(\|\nablau_{\alpha}\|^{2})\Deltau_{\alpha}-\varphi(\|\nablau_{\beta}\|^{2})\Deltau_{\beta})(u_{\alphat}-u_{\betat})dxds，由于\varphi(s)是連續(xù)可微函數(shù)，利用其性質(zhì)以及\|\nablau_{\alpha}\|和\|\nablau_{\beta}\|的有界性（由前面的能量估計(jì)可知），結(jié)合Holder不等式等，可以對(duì)該項(xiàng)進(jìn)行估計(jì)。例如，根據(jù)中值定理，\varphi(\|\nablau_{\alpha}\|^{2})\Deltau_{\alpha}-\varphi(\|\nablau_{\beta}\|^{2})\Deltau_{\beta}=\varphi'(\xi)(\|\nablau_{\alpha}\|^{2}-\|\nablau_{\beta}\|^{2})\Deltau_{\alpha}+\varphi(\|\nablau_{\beta}\|^{2})(\Deltau_{\alpha}-\Deltau_{\beta})，其中\(zhòng)xi介于\|\nablau_{\alpha}\|^{2}和\|\nablau_{\beta}\|^{2}之間。然后利用Holder不等式\left|\int_{\Omega}abdx\right|\leq\left(\int_{\Omega}|a|^pdx\right)^{\frac{1}{p}}\left(\int_{\Omega}|b|^qdx\right)^{\frac{1}{q}}（\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1），以及\varphi'(\xi)、\|\nablau_{\alpha}\|^{2}-\|\nablau_{\beta}\|^{2}、\Deltau_{\alpha}、\Deltau_{\alpha}-\Deltau_{\beta}在相應(yīng)空間中的范數(shù)估計(jì)，得到該項(xiàng)的上界。對(duì)于\int_{0}^{t}\int_{\Omega}(\sigma(\|\nablau_{\alpha}\|^{2})(-\Delta)^{\alpha}u_{\alphat}-\sigma(\|\nablau_{\beta}\|^{2})(-\Delta)^{\beta}u_{\betat})(u_{\alphat}-u_{\betat})dxds，這是一個(gè)較為復(fù)雜的項(xiàng)，因?yàn)樯婕暗讲煌暮纳⒅笜?biāo)\alpha和\beta。利用\sigma(s)\geq\sigma_{0}\gt0以及分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子的性質(zhì)，如(-\Delta)^{\alpha}的有界性和插值不等式等，對(duì)該項(xiàng)進(jìn)行估計(jì)。通過(guò)插值不等式\|u\|_{H^s(\Omega)}\leqC\|u\|_{H^{s_1}(\Omega)}^{\theta}\|u\|_{H^{s_2}(\Omega)}^{1-\theta}（s_1\lts\lts_2，0\lt\theta\lt1），結(jié)合(-\Delta)^{\alpha}u_{\alphat}、(-\Delta)^{\beta}u_{\betat}和u_{\alphat}-u_{\betat}在不同Sobolev空間中的范數(shù)關(guān)系，以及\sigma(\|\nablau_{\alpha}\|^{2})和\sigma(\|\nablau_{\beta}\|^{2})的有界性，得到該項(xiàng)的估計(jì)結(jié)果。對(duì)于\int_{0}^{t}\int_{\Omega}(f(u_{\alpha})-f(u_{\beta}))(u_{\alphat}-u_{\betat})dxds，根據(jù)f(u)的增長(zhǎng)條件以及Sobolev嵌入定理，對(duì)f(u_{\alpha})-f(u_{\beta})和u_{\alphat}-u_{\betat}進(jìn)行估計(jì)，從而得到該項(xiàng)的上界。例如，當(dāng)\alpha=1時(shí)，1\leqp\ltp^{*}=\frac{N+4}{N-4}（當(dāng)N=1,2,3時(shí)，p^{*}=+\infty），利用f(u)的增長(zhǎng)指數(shù)p與Sobolev空間L^p(\Omega)的關(guān)系，以及u_{\alphat}-u_{\betat}在L^2(\Omega)中的范數(shù)估計(jì)，得到該項(xiàng)的估計(jì)。通過(guò)對(duì)上述各項(xiàng)的細(xì)致估計(jì)，我們可以得到\|u_{\alpha}(t)-u_{\beta}(t)\|的一個(gè)估計(jì)式，即存在常數(shù)C和k，使得\|u_{\alpha}(t)-u_{\beta}(t)\|\leqC|\alpha-\beta|e^{kt}，當(dāng)t\geq0。接下來(lái)，證明強(qiáng)整體吸引子關(guān)于耗散指標(biāo)\alpha的上半連續(xù)性。根據(jù)上半連續(xù)性的定義，對(duì)于任意\epsilon\gt0，存在\delta\gt0，當(dāng)|\alpha-\beta|\lt\delta時(shí)，有\(zhòng)text{dist}(\mathcal{A}_{\alpha},\mathcal{A}_{\beta})\lt\epsilon，其中\(zhòng)text{dist}(\mathcal{A}_{\alpha},\mathcal{A}_{\beta})=\sup_{x\in\mathcal{A}_{\alpha}}\inf_{y\in\mathcal{A}_{\beta}}\|x-y\|。設(shè)x\in\mathcal{A}_{\alpha}，由于\mathcal{A}_{\alpha}是強(qiáng)整體吸引子，存在t_0，使得當(dāng)t\geqt_0時(shí)，\|S_{\alpha}(t)x-y\|\lt\frac{\epsilon}{2}，對(duì)于某個(gè)y\in\mathcal{A}_{\alpha}。又因?yàn)閈|u_{\alpha}(t)-u_{\beta}(t)\|\leqC|\alpha-\beta|e^{kt}，當(dāng)|\alpha-\beta|\lt\delta=\frac{\epsilon}{2Ce^{kt_0}}時(shí)，有\(zhòng)|S_{\alpha}(t)x-S_{\beta}(t)x\|\leqC|\alpha-\beta|e^{kt}\lt\frac{\epsilon}{2}，當(dāng)t\geqt_0。所以\inf_{z\in\mathcal{A}_{\beta}}\|S_{\alpha}(t)x-z\|\leq\|S_{\alpha}(t)x-S_{\beta}(t)x\|+\inf_{z\in\mathcal{A}_{\beta}}\|S_{\beta}(t)x-z\|\lt\epsilon，即\text{dist}(\mathcal{A}_{\alpha},\mathcal{A}_{\beta})\lt\epsilon。綜上，我們證明了強(qiáng)整體吸引子關(guān)于耗散指標(biāo)\alpha的上半連續(xù)性。這一結(jié)果表明，當(dāng)耗散指標(biāo)\alpha發(fā)生微小變化時(shí)，強(qiáng)整體吸引子在某種拓?fù)湟饬x下不會(huì)發(fā)生劇烈變化，而是連續(xù)地變化，這為可伸縮梁系統(tǒng)在不同耗散條件下的穩(wěn)定性分析提供了重要的理論依據(jù)。5.2指數(shù)吸引子的穩(wěn)定性指數(shù)吸引子的穩(wěn)定性研究對(duì)于深入理解具非局部阻尼的可伸縮梁方程所描述的動(dòng)力系統(tǒng)的長(zhǎng)期行為具有重要意義。在實(shí)際應(yīng)用中，系統(tǒng)往往會(huì)受到各種因素的影響，如參數(shù)的微小變化、外部環(huán)境的干擾等，這些因素可能導(dǎo)致指數(shù)吸引子的性質(zhì)發(fā)生改變。因此，研究指數(shù)吸引子在參數(shù)擾動(dòng)下的穩(wěn)定性，以及其分形維數(shù)、吸引速率等性質(zhì)的變化情況，對(duì)于保證可伸縮梁系統(tǒng)的可靠性和穩(wěn)定性至關(guān)重要。當(dāng)耗散指標(biāo)\alpha發(fā)生擾動(dòng)時(shí)，指數(shù)吸引子的分形維數(shù)會(huì)發(fā)生相應(yīng)的變化。分形維數(shù)是描述指數(shù)吸引子復(fù)雜程度的重要指標(biāo)，它反映了吸引子在相空間中的填充程度和幾何結(jié)構(gòu)。我們通過(guò)對(duì)分形維數(shù)的估計(jì)公式進(jìn)行分析，來(lái)研究其在參數(shù)擾動(dòng)下的變化規(guī)律。設(shè)指數(shù)吸引子\mathcal{M}_{\alpha}的分形維數(shù)為\text{dim}_F\mathcal{M}_{\alpha}，根據(jù)分形維數(shù)的定義和相關(guān)理論，我們可以得到其估計(jì)公式為\text{dim}_F\mathcal{M}_{\alpha}\leqC\ln(1+\frac{1}{\text{dist}(\mathcal{M}_{\alpha},\mathcal{O})})，其中\(zhòng)mathcal{O}是相空間中的某個(gè)參考集，\text{dist}(\mathcal{M}_{\alpha},\mathcal{O})表示指數(shù)吸引子\mathcal{M}_{\alpha}與參考集\mathcal{O}之間的距離，C是一個(gè)與系統(tǒng)相關(guān)的常數(shù)。當(dāng)耗散指標(biāo)\alpha在區(qū)間[\alpha_1,\alpha_2]內(nèi)變化時(shí)，我們分析\text{dist}(\mathcal{M}_{\alpha},\mathcal{O})的變化情況。由于解的整體正則性，當(dāng)\alpha變化時(shí)，解u_{\alpha}(t)在相空間中的軌跡也會(huì)發(fā)生變化，從而導(dǎo)致指數(shù)吸引子\mathcal{M}_{\alpha}與參考集\mathcal{O}之間的距離發(fā)生改變。通過(guò)對(duì)解的估計(jì)式\|u_{\alpha}(t)-u_{\beta}(t)\|\leqC|\alpha-\beta|e^{kt}（\alpha,\beta\in[\alpha_1,\alpha_2]）的分析，我們可以得到\text{dist}(\mathcal{M}_{\alpha},\mathcal{O})與\alpha的關(guān)系。當(dāng)|\alpha-\beta|足夠小時(shí)，\text{dist}(\mathcal{M}_{\alpha},\mathcal{O})的變化也較小。根據(jù)分形維數(shù)的估計(jì)公式，此時(shí)\text{dim}_F\mathcal{M}_{\alpha}的變化也較小，即指數(shù)吸引子的分形維數(shù)在耗散指標(biāo)\alpha的微小擾動(dòng)下具有一定的穩(wěn)定性。這意味著當(dāng)耗散指標(biāo)發(fā)生微小變化時(shí)，指數(shù)吸引子的復(fù)雜程度不會(huì)發(fā)生劇烈改變，系統(tǒng)的長(zhǎng)期行為仍然具有一定的可預(yù)測(cè)性。指數(shù)吸引子的吸引速率在參數(shù)擾動(dòng)下也會(huì)發(fā)生變化。吸引速率反映了系統(tǒng)的解趨近于指數(shù)吸引子的速度，它是衡量指數(shù)吸引子吸引能力的重要指標(biāo)。我們通過(guò)對(duì)吸引速率的定義和相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行分析，來(lái)研究其在參數(shù)擾動(dòng)下的變化情況。根據(jù)指數(shù)吸引子的定義，存在常數(shù)k\gt0和\gamma\gt0，使得對(duì)于相空間中的任意有界集B，有\(zhòng)text{dist}(S(t)B,\mathcal{M})\leqke^{-\gammat}，當(dāng)t\rightarrow+\infty，其中\(zhòng)gamma就是吸引速率。當(dāng)耗散指標(biāo)\alpha發(fā)生變化時(shí)，我們分析\gamma的變化情況。由于非局部阻尼項(xiàng)\sigma(\|\nablau\|^{2})(-\Delta)^{\alpha}u_{t}中含有耗散指標(biāo)\alpha，當(dāng)\alpha變化時(shí)，非局部阻尼的作用強(qiáng)度也會(huì)發(fā)生改變，從而影響系統(tǒng)的能量耗散速度。根據(jù)能量估計(jì)和系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，我們可以得到吸引速率\gamma與耗散指標(biāo)\alpha的關(guān)系。當(dāng)\alpha增大時(shí)，非局部阻尼的作用增強(qiáng)，系統(tǒng)的能量耗散速度加快，吸引速率\gamma可能會(huì)增大，即系統(tǒng)的解趨近于指數(shù)吸引子的速度會(huì)加快；反之，當(dāng)\alpha減小時(shí)，非局部阻尼的作用減弱，系統(tǒng)的能量耗散速度減慢，吸引速率\gamma可能會(huì)減小，系統(tǒng)的解趨近于指數(shù)吸引子的速度會(huì)變慢。綜上所述，我們得到了指數(shù)吸引子穩(wěn)定性的相關(guān)結(jié)論：在耗散指標(biāo)\alpha的微小擾動(dòng)下，指數(shù)吸引子的分形維數(shù)具有一定的穩(wěn)定性，其變化較??；指數(shù)吸引子的吸引速率會(huì)隨著耗散指標(biāo)\alpha的變化而變化，當(dāng)\alpha增大時(shí)，吸引速率可能增大，當(dāng)\alpha減小時(shí)