三腰等角13.3.2等邊三角形班級:XXX時間：20XX.XX形等腰三角形13.3.2等邊三角形（第1課時）數(shù)學人教版八年級上冊授課人：XXX下列圖片中有你熟悉的數(shù)學圖形嗎？你能說出此圖形的名稱嗎？

導入新知1.掌握等邊三角形的定義，等邊三角形與等腰三角形的關系.2.探索等邊三角形的性質(zhì)和判定．3.能運用等邊三角形的性質(zhì)和判定進行計算和證明．素養(yǎng)目標小明想制作一個三角形的相框，他有四根木條，長度分別為10cm，10cm，10cm，6cm，你能幫他設計出幾種形狀的三角形？等邊三角形的性質(zhì)知識點110cm6cm10cm10cm10cm10cm探究新知等腰三角形等邊三角形一般三角形在等腰三角形中，有一種特殊的情況，就是底與腰相等，即三角形的三邊相等，我們把三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.探究新知名稱圖形定義性質(zhì)

判定等腰三角形等邊對等角三線合一等角對等邊兩邊相等兩腰相等軸對稱圖形ABC有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形探究新知ABCABC等邊三角形的三個內(nèi)角之間有什么關系？等腰三角形AB=AC∠B=∠C等邊三角形AB=AC=BCAB=AC∠B=∠CAC=BC∠A=∠B∠A=∠B=∠C內(nèi)角和為180°=60°問題1：探究新知結(jié)論：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每一個角都等于60°.已知：AB=AC=BC，

求證：∠A=∠B=∠C=60°.

證明：

∵AB=AC，∴∠B=∠C.(等邊對等角)

同理

∠A=∠C.∴∠A=∠B=∠C.

∵∠A+∠B+∠C=180°,∴∠A=∠B=∠C=60°.探究新知ABCABC等邊三角形有“三線合一”的性質(zhì)嗎?等邊三角形有幾條對稱軸？結(jié)論:等邊三角形每條邊上的中線、高和所對角的平分線都“三線合一”.頂角的平分線、底邊的高底邊的中線三線合一一條對稱軸三條對稱軸問題2：探究新知圖形等腰三角形

性質(zhì)

每條邊上的中線、高和這條邊所對的角的平分線互相重合三個角都相等，對稱軸（3條）等邊三角形對稱軸（1條）兩個底角相等底邊上的中線、高和頂角的平分線互相重合且都是60o兩條邊相等三條邊都相等歸納總結(jié)探究新知例1如圖，△ABC是等邊三角形，E是AC上一點，D是BC延長線上一點，連接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度數(shù)．解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵∠ABE＝40°，∴∠EBC＝∠ABC–∠ABE＝60°–40°＝20°.∵BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°，∴∠CED＝∠ACB–∠D＝40°.等邊三角形的性質(zhì)應用素養(yǎng)考點探究新知解決與等邊三角形有關的計算問題，關鍵是注意“每個內(nèi)角都是60°”這一隱含條件，一般需結(jié)合“等邊對等角”、三角形的內(nèi)角和與外角的性質(zhì)解答.方法點撥探究新知如圖，△ABC是等邊三角形，BD平分∠ABC，延長BC到E，使得CE=CD．求證：BD=DE．證明：∵△ABC是等邊三角形，BD是角平分線，∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°．又∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，∴∠CDE=∠CED=30°．∴∠DBC=∠DEC．∴DB=DE（等角對等邊）．鞏固練習例2△ABC為等邊三角形，點M是BC邊上任意一點，點N是CA邊上任意一點，且BM＝CN，BN與AM相交于Q點，∠BQM等于多少度？解：∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.又∵BM＝CN，∴△AMB≌△BNC(SAS)，∴∠BAM＝∠CBN，∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.探究新知方法點撥

此題屬于等邊三角形與全等三角形的綜合運用，一般先利用等邊三角形的性質(zhì)判定三角形全等，而后利用全等及等邊三角形的性質(zhì)，求角度或證明邊相等.探究新知如圖，已知△ABC為等邊三角形，點D，E分別在BC，AC邊上，且AE=CD，AD與BE相交于點F．（1）求證：△ABE≌△CAD；（2）求∠BFD的度數(shù)．（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA，即∠BAE=∠C=60°，在△ABE和△CAD中，∴△ABE≌△CAD（SAS）．（2）解：∵∠BFD=∠ABE+∠BAD，又∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD．∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．鞏固練習圖形等腰三角形判定

三個角都相等的三角形是等邊三角形等邊三角形從角看：兩個角相等的三角形是等腰三角形從邊看：兩條邊相等的三角形是等腰三角形三條邊都相等的三角形是等邊三角形小明認為還有第三種方法“兩條邊相等且有一個角是60°的三角形也是等邊三角形”，你同意嗎？等邊三角形的判定方法：

有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.等邊三角形的判定知識點2探究新知根據(jù)條件判斷下列三角形是否為等邊三角形.（1）（2）（6）（5）不是是是是是（4）（3）不一定是鞏固練習例1

如圖，在等邊三角形ABC中，DE∥BC，求證：△ADE是等邊三角形.ACBDE證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C.∵DE//BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ADE是等邊三角形.等邊三角形的判定的應用素養(yǎng)考點本題還有其他證法嗎？探究新知證明：∵

△ABC是等邊三角形，

∴

∠A=∠ABC=∠ACB=60°．

∵

DE∥BC，

∴

∠ABC=∠ADE，

∠ACB=∠AED.∴

∠A=∠ADE=∠AED.∴

△ADE是等邊三角形.

若點D,E在邊AB,AC的延長線上，且DE∥BC，結(jié)論還成立嗎？ADEBC變式訓練鞏固練習若點D,E在邊AB,AC的反向延長線上，且DE∥BC，結(jié)論依然成立嗎？證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠B=∠C=60°．∵DE∥BC，∴∠B=∠D，∠C=∠E．∴∠EAD=∠D=∠E．∴△ADE是等邊三角形．ADEBC變式訓練鞏固練習上題中,若將條件DE∥BC改為AD=AE,△ADE還是等邊三角形嗎?試說明理由.ACBDE證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C.∵AD=AE,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ADE是等邊三角形.變式訓練鞏固練習例2等邊△ABC中，點P在△ABC內(nèi)，點Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，問△APQ是什么形狀的三角形？試證明你的結(jié)論．解：△APQ為等邊三角形．證明如下：∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC.∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ，∴△ABP≌△ACQ(SAS)，∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°，∴△APQ是等邊三角形．探究新知方法點撥

判定一個三角形是等邊三角形有以下方法：一是證明三角形三條邊相等；二是證明三角形三個內(nèi)角相等；三是先證明三角形是等腰三角形，再證明有一個內(nèi)角等于60°.探究新知證明：∵△ABC為等邊三角形，且AD=BE=CF∴AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60°，∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），∴DF=ED=EF，∴△DEF是等邊三角形．如圖，等邊△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是各邊上的一點，且AD=BE=CF．求證：△DEF是等邊三角形．鞏固練習

如圖，在等邊三角形ABC中，點D是邊BC的中點，則∠BAD=______．30°ACBD鏈接中考2.如圖，等邊三角形ABC的三條角平分線交于點O，DE∥BC，則這個圖形中的等腰三角形共有（）A.4個B.5個C.6個D.7個DACBDEO1.等邊三角形的兩條高線相交成鈍角的度數(shù)是（）A．105°B．120°C．135°D．150°B基礎鞏固題課堂檢測3.在等邊△ABC中，BD平分∠ABC，BD=BF，則∠CDF的度數(shù)是（）A．10°B．15°C．20°D．25°4.如圖,△ABC和△ADE都是等邊三角形，已知△ABC的周長為18cm,EC=2cm,則△ADE的周長是

cm.ACBDE12B課堂檢測5.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以AB為邊在△ABC外作等邊△ABD，E是AB的中點，連接CE并延長交AD于F．求證：△AEF≌△BEC．證明：∵△ABD是等邊三角形，∴∠DAB=60°，∵∠CAB=30°，∠ACB=90°，∴∠EBC=180°–90°–30°=60°，∴∠FAE=∠EBC．∵E為AB的中點，∴AE=BE．又∵∠AEF＝∠BEC，∴△AEF≌△BEC（ASA）．課堂檢測如圖，A,O,D三點共線，△OAB和△OCD是兩個全等的等邊三角形，求∠AEB的大小.解：∵△OAB和△OCD是兩個全等的等邊三角形.∴AO=BO,CO=DO,∠AOB=∠COD=60°.∵A,O,D三點共線，∴∠DOB=∠COA=120°.∴△COA≌△DOB(SAS).∴∠DBO=∠CAO.設OB與EA相交于點F,∵∠EFB=∠AFO，∴∠AEB=∠AOB=60°.CBODAEF能力提升題課堂檢測圖①、圖②中，點C為線段AB上一點，△ACM與△CBN都是等邊三角形．(1)如圖①，線段AN與線段BM是否相等？請說明理由；(2)如圖②，AN與MC交于點E，BM與CN交于點F，探究△CEF的形狀，并證明你的結(jié)論．圖①圖②拓廣探索題課堂檢測解：(1)AN＝BM.∵△ACM與△CBN都是等邊三角形，∴AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°.∴∠ACN＝∠MCB.∴△ACN≌△MCB(SAS)．∴AN＝BM.圖①課堂檢測(2)△CEF是等邊三角形．證明：∵∠ACE＝∠FCM=60°，∴∠ECF=60°.∵△ACN≌△MCB，∴∠CAE＝∠CMB.∵AC＝MC，∴△ACE≌△MCF(ASA)，∴CE＝CF.∴△CEF是等邊三角形．圖②課堂檢測等邊三角形定義底=腰特殊性性質(zhì)特殊性邊三邊相等角三個角都等于60°軸對稱性軸對稱圖形，每條邊上都具有“三線合一”性質(zhì)判定特殊性三邊都相等三角都相等有一個角是60°的等腰三角形課堂小結(jié)作業(yè)內(nèi)容教材作業(yè)從課后習題中選取自主安排配套練習冊練習課后作業(yè)相關知識內(nèi)容延伸學習，授課時可參考?！兜冗吶切巍罚ǖ?課時）教案一、教學目標知識與技能學生能夠準確理解等邊三角形的概念，深入探索并熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)和判定方法。能夠熟練運用等邊三角形的性質(zhì)和判定進行相關的計算和證明，解決實際數(shù)學問題。過程與方法通過觀察、實驗、猜想、驗證等一系列數(shù)學活動過程，培養(yǎng)學生的邏輯推理能力和空間想象能力，提升學生分析問題和解決問題的能力。引導學生在探究過程中，體會類比、分類討論等數(shù)學思想方法，提高學生的數(shù)學思維素養(yǎng)。情感態(tài)度與價值觀激發(fā)學生對數(shù)學的濃厚興趣，使學生在自主探索和合作交流中獲得成功的體驗，增強學生學習數(shù)學的自信心。培養(yǎng)學生嚴謹?shù)目茖W態(tài)度和勇于創(chuàng)新的精神，讓學生感受數(shù)學的美學價值和應用價值。二、教學重難點教學重點等邊三角形的概念、性質(zhì)和判定方法，學生需清晰理解并準確記憶。能夠靈活運用等邊三角形的性質(zhì)和判定解決相關數(shù)學問題，掌握解題思路和方法。教學難點等邊三角形判定定理的探究與證明過程，幫助學生理解證明思路和邏輯關系。學會在復雜的幾何圖形中準確識別和運用等邊三角形的性質(zhì)與判定，提高學生的解題能力。三、教學方法講授法：通過清晰的講解，向?qū)W生傳授等邊三角形的概念、性質(zhì)和判定等重要知識，確保學生掌握基礎知識。探究法：組織學生進行自主探究活動，如通過觀察、測量、猜想等方式，探索等邊三角形的性質(zhì)和判定方法，培養(yǎng)學生的探究能力和創(chuàng)新思維。討論法：引導學生進行小組討論，促進學生之間的思想交流和碰撞，共同解決問題，培養(yǎng)學生的合作精神和交流能力。練習法：安排針對性的練習題，讓學生在練習中鞏固所學知識，提高解題能力，及時發(fā)現(xiàn)和解決學生存在的問題。四、教學過程（一）導入新課（5分鐘）回顧等腰三角形的相關知識，提問學生等腰三角形的定義、性質(zhì)和判定方法，如：等腰三角形的兩腰相等，兩底角相等，等腰三角形頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合；有兩邊相等的三角形是等腰三角形，有兩個角相等的三角形是等腰三角形等，引導學生積極回答，鞏固已學知識。展示一些生活中常見的等邊三角形圖片，如交通標志、建筑物結(jié)構(gòu)等，引發(fā)學生的興趣，然后提出問題：“在等腰三角形中，有一種特殊的情況，就是底與腰相等，即三角形的三邊都相等，這樣的三角形我們把它叫做等邊三角形。那么等邊三角形除了具有等腰三角形的性質(zhì)外，還有哪些特殊的性質(zhì)呢？又如何判定一個三角形是等邊三角形呢？”從而引出本節(jié)課的課題——等邊三角形。（二）探索新知（25分鐘）等邊三角形的性質(zhì)讓學生拿出準備好的等邊三角形紙片，通過折疊、測量等方式，觀察等邊三角形的角和邊的特點。提出問題引導學生思考：把等腰三角形的性質(zhì)“等邊對等角”用于等邊三角形，能得到什么結(jié)論？把等腰三角形的性質(zhì)“三線合一”用于等邊三角形，又能得到什么結(jié)論？等邊三角形是軸對稱圖形嗎？如果是，有幾條對稱軸？組織學生進行小組討論，鼓勵學生大膽發(fā)表自己的觀點，教師巡視各小組討論情況，適時給予指導。小組代表發(fā)言，分享小組討論的結(jié)果，教師進行總結(jié)歸納：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每一個角都等于60°。已知：在△ABC中，AB=AC=BC。求證：∠A=∠B=∠C=60°。證明：因為AB=AC，根據(jù)“等邊對等角”可得∠B=∠C；同理，因為AB=BC，所以∠A=∠C。所以∠A=∠B=∠C。又因為三角形內(nèi)角和為180°，即∠A+∠B+∠C=180°，所以∠A=∠B=∠C=60°。等邊三角形每條邊上的中線、高和所對角的平分線都“三線合一”。等邊三角形是軸對稱圖形，有三條對稱軸，分別是每條邊上的中線、高和所對角的平分線所在的直線?？偨Y(jié)等邊三角形性質(zhì)表格：|名稱|圖形|邊角|重要線段|對稱性||:--:|:--:|:--:|:--:|:--:||等腰三角形|兩腰相等|兩個底角相等|頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合|軸對稱圖形||等邊三角形|三條邊相等|三個角相等，且都為60°|每條邊上的中線、高和它所對角的平分線都互相重合|軸對稱圖形，有三條對稱軸|等邊三角形的判定方法提出問題：一個三角形滿足什么條件就是等邊三角形？引導學生從邊和角的角度進行思考。學生可能會回答：三條邊相等的三角形是等邊三角形（這是等邊三角形的定義）。繼續(xù)提問：三個角都相等的三角形是等邊三角形嗎？讓學生進行猜想并嘗試證明。已知：在△ABC中，∠A=∠B=∠C。求證：△ABC是等邊三角形。證明：因為∠A=∠B，根據(jù)“等角對等邊”可得BC=AC；同理，因為∠B=∠C，所以AC=AB。所以AB=BC=AC，即△ABC是等邊三角形。從而得出等邊三角形的判定方法1：三個角都相等的三角形是等邊三角形。再問：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形嗎？引導學生分情況討論，即當這個60°的角是頂角時和當這個60°的角是底角時兩種情況。當60°角為頂角時：已知在△ABC中，AB=AC，∠A=60°。求證：△ABC是等邊三角形。證明：因為AB=AC，所以∠B=∠C。又因為三角形內(nèi)角和為180°，∠A=60°，所以∠B+∠C=180°-∠A=120°，則∠B=∠C=60°。所以∠A=∠B=∠C=60°，即△ABC是等邊三角形。當60°角為底角時：已知在△ABC中，AB=AC，∠B=60°。求證：△ABC是等邊三角形。證明：因為AB=AC，∠B=60°，所以∠C=∠B=60°。又因為三角形內(nèi)角和為180°，所以∠A=180°-∠B-∠C=60°。所以∠A=∠B=∠C=60°，即△ABC是等邊三角形。總結(jié)得出等邊三角形的判定方法2：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形?？偨Y(jié)等邊三角形判定表格：|圖形|等腰三角形|等邊三角形||:--:|:--:|:--:||判定（從邊看）|兩條邊相等的三角形是等腰三角形|三條邊都相等的三角形是等邊三角形||判定（從角看）|兩個角相等的三角形是等腰三角形|三個角都相等的三角形是等邊三角形；有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形|（三）例題講解（15分鐘）例1：如圖，△ABC是等邊三角形，BD平分∠ABC，延長BC到點E，使得CE=CD。求證：BD=DE。分析：要證明BD=DE，可通過證明∠DBC=∠E來實現(xiàn)。證明：因為△ABC是等邊三角形，BD平分∠ABC，所以∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=1/2∠ABC=30°。又因為CE=CD，所以∠CDE=∠E。而∠ACB是△CDE的一個外角，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，∠ACB=∠CDE+∠E，所以∠CDE=∠E=30°。因此∠DBC=∠E，所以BD=DE。例2：如圖，△ABC是等邊三角形，DE∥BC，分別交AB，AC于點D，E。求證：△ADE是等邊三角形。分析：已知△ABC是等邊三角形，要證明△ADE是等邊三角形，可根據(jù)等邊三角形的判定方法，證明△ADE的三個角都相等或三條邊都相等，這里通過DE∥BC，利用平行線的性質(zhì)得到角相等來證明。證明：因為△ABC是等邊三角形，所以∠A=∠B=∠C=60°。又因為DE∥BC，根據(jù)兩直線平行，同位角相等，可得∠ADE=∠B，∠AED=∠C。所以∠ADE=∠AED=∠A=60°。所以△ADE是等邊三角形。（四）課堂練習（10分鐘）基礎練習等邊三角形的兩條高線相交成鈍角的度數(shù)是（）A.105°B.120°C.135°D.150°答案：B。解析：等邊三角形每個內(nèi)角為60°