三腰等角13.3.2等邊三角形班級:XXX時間：20XX.XX形等腰三角形13.3.2等邊三角形（第2課時）數(shù)學人教版八年級上冊授課人：XXX2.這個特殊的直角三角形相比一般的直角三角形有什么不同之處，它有什么特殊性質？1.等邊三角形是軸對稱圖形，若沿著其中一條對稱軸折疊，能產(chǎn)生什么特殊圖形？導入新知想一想:1.探索含30°角的直角三角形的性質．2.會運用含30°角的直角三角形的性質進行有關的證明和計算.素養(yǎng)目標如圖，將兩個相同的含30°角的三角尺擺放在一起，你能借助這個圖形找到Rt△ABC的直角邊BC與斜邊AB之間的數(shù)量關系嗎？分離拼接ACB含30°角的直角三角形的性質知識點問題1：探究新知將一張等邊三角形紙片，沿一邊上的高對折，如圖所示，你有什么發(fā)現(xiàn)？問題2：探究新知性質：

在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.ABCD如圖，顯然，△ADC與△ABC關于AC成軸對稱圖形，因此AB=AD,∠BAD=2×30°=60°，從而△ABD是一個等邊三角形.再由AC⊥BD,可得BC=CD=AB.你還能用其他方法證明嗎？探究新知證明：延長BC到D，使BD=AB，連接AD.在△ABC

中，∵∠C=90°，∠A=30°,∴∠B=60°．∴△ABD

是等邊三角形．又∵AC⊥BD,已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.求證：BC=AB．ABCD

證明方法：倍長法∴BC=AB．

∴BC=

BD．

方法一：探究新知方法點撥

倍長法就是延長得到的線段是原線段的正整數(shù)倍，即1倍、2倍……倍長法探究新知EABC證明：

在BA上截取BE=BC，連接EC.

∵∠B=60°，BE=BC.∴△BCE是等邊三角形，∴∠BEC=60°，BE=EC.∵∠A=30°，∴∠ECA=∠BEC–∠A=60°–30°=30°.∴AE=EC，∴AE=BE=BC，∴AB=AE+BE=2BC.∴BC=AB．

證明方法：截半法方法二：探究新知方法點撥在證明中，在較長的線段上截取一條線段等于較短的線段就是截半法.截半法探究新知含30°角的直角三角形的性質：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.∵在Rt△ABC

中，∠C=90°，∠A=30°，歸納總結應用格式：∴

BC=AB．

ABC探究新知例1如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜邊AB上的高，AD＝3cm，則AB的長度是(

)A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm注意：運用含30°角的直角三角形的性質求線段長時，要分清線段所在的直角三角形．D解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜邊AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的長度是12cm.探究新知利用含30°角的直角三角形的性質求線段的值素養(yǎng)考點1ABCD△ABC中，AB=AC，∠C=30°,DA⊥BA于A，BD=9.6cm，則AD=.BCD4.8cmBCDAA如圖∠C=90°，D是CA的延長線上的一點，∠BDC=15°，且AD=AB，則BC=AD.鞏固練習例2如圖，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，則PD等于(

)A．3B．2C.1.5D．1解析：如圖，過點P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.EC探究新知歸納總結含30°角的直角三角形與角平分線、垂直平分線的綜合運用時，關鍵是尋找或作輔助線構造含30°角的直角三角形．探究新知如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，AB=4．則BD=

.1ABCD

鞏固練習已知:等腰三角形的底角為15°,腰長為20.求腰上的高.解:過點C作CD⊥BA,交BA的延長線于點D.∵∠B=∠ACB=15°

(已知),∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°，ACBD15°15°20))∴CD=AC=×20=10.鞏固練習例3如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，過點D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分線．CD與DB有怎樣的數(shù)量關系？請說明理由．解：理由如下：∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°.∵DE是∠ADB的平分線，∴∠ADE＝∠BDE.又∵DE＝DE，∴△AED≌△BED(ASA).探究新知在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.∵∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.∴CD＝AD＝BD，即CD＝DB.探究新知歸納總結含30°角的直角三角形的性質是表示線段倍分關系的一個重要的依據(jù)，如果問題中出現(xiàn)探究線段倍分關系的結論時，要聯(lián)想此性質．探究新知Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度？邊AB與BC之間有什么關系？

證明：∵∠B+∠A=180°–

∠C=90°，

∠B=2∠A，

∴∠B=60°，∠A=30°.

∴

AB=2BC.鞏固練習例4如圖是屋架設計圖的一部分，點D

是斜梁AB的中點，立柱BC，DE

垂直于橫梁AC，AB=7.4cm，∠A=30°，立柱BC,DE

有多長？ABCDE利用直角三角形的性質解決實際問題素養(yǎng)考點2

圖中BC,DE分別是哪個直角三角形的直角邊？它們所對的銳角分別是多少度？探究新知ABCDE解：∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°，∴BC=AB,DE=AD.∴BC=AB=×7.4=3.7(m).又AD=AB,∴DE=AD=×3.7=1.85(m).答：立柱BC的長是3.7m，DE的長是1.85m.探究新知如圖，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC=1，則OF=

．解：作EH⊥OA于H，∵∠AOE=∠BOE=15°，EC⊥OB，EH⊥OA，∴EH=EC=1，∠AOB=30°.∵EF∥OB，∴∠EFH=∠AOB=30°，∠FEO=∠BOE.∴EF=2EH=2，∠FEO=∠FOE.∴OF=EF=2．2H鏈接中考1.如圖，一棵樹在一次強臺風中于離地面3米處折斷倒下，倒下部分與地面成30°角，這棵樹在折斷前的高度為()A．6米B．9米C．12米D．15米2.某市在舊城綠化改造中，計劃在一塊如圖所示的△ABC空地上種植草皮優(yōu)化環(huán)境，已知∠A＝150°，這種草皮每平方米售價a元，則購買這種草皮至少需要()A．300a元B．150a元C．450a元D．225a元BB基礎鞏固題課堂檢測3.在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,若AB=10,則BC

=

.54.如圖，Rt△ABC中，∠A=30°，AB+BC=12cm，則AB=______cm.8ACB第4題圖課堂檢測1.在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分線，BE=5，則求AC的長．解：連接AE，∵DE是AB的垂直平分線，∴BE=AE，∴∠EAB=∠B=15°，∴∠AEC=∠EAB+∠B=30°．∵∠C=90°，∴AC=AE=BE=2.5．能力提升題課堂檢測2.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°

，D是BC的中點，DE⊥AB于E點，求證：BE=3EA.證明：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°.∵D是BC的中點，∴AD⊥BC.∴∠ADC=90°，∠BAD=∠DAC=60°.∴AB=2AD.∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∴∠ADE=30°，∴AD=2AE.∴AB=4AE，∴BE=3AE.課堂檢測如圖，已知△ABC是等邊三角形，D,E分別為BC,AC上的點，且CD=AE，AD、BE相交于點P，BQ⊥AD于點Q,求證:BP=2PQ.∴△ADC≌△BEA.證明：∵△ABC為等邊三角形，∴AC=BC=AB,∠C=∠BAC=60°，∵CD=AE，拓廣探索題課堂檢測∴∠CAD=∠ABE.∵∠BAP+∠CAD=60°，∴∠ABE+∠BAP=60°.∴∠BPQ=60°.又∵BQ⊥AD，∴BP=2PQ.∴∠PBQ=30°，∴∠BQP=90°，課堂檢測內容在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半使用要點含30°角的直角三角形的性質①分清30°的角所在的直角邊②作輔助線，構造直角三角形注意前提條件：直角三角形中證題方法倍長法截半法課堂小結作業(yè)內容教材作業(yè)從課后習題中選取自主安排配套練習冊練習課后作業(yè)相關知識內容延伸學習，授課時可參考?！兜冗吶切巍罚ǖ?課時）教案一、教學目標知識與技能學生能夠理解并熟練掌握等邊三角形的判定方法，準確區(qū)分不同判定條件適用的情境。深入理解含30°角的直角三角形的性質，能靈活運用該性質解決相關幾何問題。過程與方法通過觀察、實驗、猜想、驗證等數(shù)學活動過程，逐步培養(yǎng)學生的邏輯推理能力和空間想象能力，讓學生在探究過程中學會從不同角度思考問題，提高分析問題和解決問題的能力。在合作交流與自主探究中，引導學生體驗數(shù)學知識的形成過程，掌握研究數(shù)學問題的一般方法，培養(yǎng)學生的探究意識和創(chuàng)新精神。情感態(tài)度與價值觀激發(fā)學生的學習興趣，使學生在探索活動中獲得成功的體驗，增強學生學習數(shù)學的信心。培養(yǎng)學生嚴謹?shù)目茖W態(tài)度和勇于探索的精神，讓學生感受數(shù)學的應用價值，體會數(shù)學與生活的緊密聯(lián)系。二、教學重難點教學重點等邊三角形的判定定理及其應用，學生需能夠準確運用判定定理判斷一個三角形是否為等邊三角形，并解決相關實際問題。含30°角的直角三角形的性質及其應用，學生要熟練掌握該性質在幾何計算和證明中的運用。教學難點等邊三角形判定定理的探究過程，引導學生通過自主探究和合作交流，發(fā)現(xiàn)并歸納出等邊三角形的判定方法，理解判定定理的推導邏輯。含30°角的直角三角形性質的探索與證明，幫助學生理解性質的內在邏輯關系，掌握證明方法，并能在復雜的幾何圖形中準確識別和運用該性質。三、教學方法講授法、探究法、討論法、練習法相結合，通過教師的講解引導學生理解知識要點，利用探究活動激發(fā)學生的學習主動性，組織學生討論促進思維碰撞，安排練習鞏固所學知識。四、教學過程（一）復習引入（5分鐘）提問學生等邊三角形的定義和性質，引導學生回顧：等邊三角形的三條邊都相等，三個角都相等且都為60°；等邊三角形是軸對稱圖形，有三條對稱軸等知識。展示一些簡單的等腰三角形圖形，讓學生判斷是否為等邊三角形，并說明理由，通過具體實例復習等邊三角形的判定方法，為新課學習做鋪墊。（二）探究等邊三角形的判定方法（15分鐘）提出問題：除了根據(jù)定義，還有哪些方法可以判定一個三角形是等邊三角形呢？引導學生思考并進行小組討論。學生分組進行探究活動，教師巡視指導，鼓勵學生通過畫圖、測量、計算等方式進行驗證。小組代表匯報探究結果，教師進行總結歸納：判定方法1：三個角都相等的三角形是等邊三角形。判定方法2：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。引導學生對這兩個判定方法進行證明，以判定方法1為例，已知在△ABC中，∠A=∠B=∠C，求證：△ABC是等邊三角形。證明：因為∠A=∠B，根據(jù)等角對等邊，可得BC=AC；又因為∠B=∠C，所以AC=AB；因此AB=BC=AC，即△ABC是等邊三角形。同理可證明判定方法2。通過一些簡單的例題，讓學生運用新學的判定方法進行判斷，如：已知一個三角形的三個內角分別為60°、60°、60°，判斷該三角形是否為等邊三角形；已知一個等腰三角形的頂角為60°，判斷該三角形是否為等邊三角形等，加深學生對判定方法的理解和掌握。（三）探究含30°角的直角三角形的性質（15分鐘）展示一個含30°角的直角三角形模型，提出問題：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊與斜邊有什么關系呢？引導學生進行猜想。組織學生進行小組合作探究，教師提供一些含30°角的直角三角形紙片，讓學生通過折疊、測量等方法進行驗證。小組代表分享探究結果，教師進行總結：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。引導學生進行嚴格的證明，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，求證：BC=1/2AB。證明：延長BC至點D，使CD=BC，連接AD。因為∠ACB=90°，所以∠ACD=90°。又因為AC=AC，BC=CD，所以△ABC≌△ADC（SAS）。所以AB=AD，∠B=∠D。因為∠B=180°-∠A-∠C=60°，所以∠D=60°，則△ABD是等邊三角形，所以AB=BD。又因為BD=BC+CD=2BC，所以BC=1/2AB。通過例題講解，讓學生掌握該性質的應用，如：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8，求BC的長度；已知在直角三角形中，一條直角邊是斜邊的一半，且這條直角邊所對的銳角為30°，另一條直角邊為3，求斜邊的長度等，引導學生分析題目條件，運用性質進行求解。（四）課堂練習（10分鐘）基礎練習下列三角形：①有兩個角等于60°的三角形；②有一個角等于60°的等腰三角形；③三個外角（每個頂點處各取一個外角）都相等的三角形；④一腰上的中線