2/242025年中考考前最后一卷數(shù)學(xué)·全解全析第Ⅰ卷一、選擇題（本大題共8個小題，每小題3分，共24分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）1．計算的結(jié)果是（

）A．4 B． C． D．2【答案】B【知識點】有理數(shù)的減法運算【分析】本題主要考查了有理數(shù)的減法計算，直接根據(jù)有理數(shù)減法計算法則求解即可．【詳解】解：，故選：B．2．把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形的主要方法有切截、展開、從不同方向看．下列方法得到的平面圖形是長方形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】幾何體展開圖的認識、從不同方向看幾何體、截一個幾何體【分析】本題考查了幾何體的展開圖以及認識平面圖形，掌握圓柱和圓錐的特征是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)圓柱、圓錐的特征解答即可．【詳解】解：選項A的切截是一個圓，故選項A不符合題意；選項B的切截是一個等腰三角形，故選項B不符合題意；選項C是圓柱的側(cè)面展開圖，是一個長方形，故選項C符合題意；選項D從左面看是一個等腰三角形，故選項D不符合題意．故選：C．3．光線在不同介質(zhì)中的傳播速度不同，從一種介質(zhì)射向另一種介質(zhì)時會發(fā)生折射．如圖是一塊玻璃的a、b兩面，且，現(xiàn)有一束光線從玻璃中射向空氣時發(fā)生折射，折射后光線變成，為射線延長線上一點，已知，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補．先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，進而得出，即可解答．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵，∴，故選：D．4．如圖，中，，，于，是的中線．要說明“三個角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等”是假命題，可以作為反例的兩個三角形是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】D【知識點】舉例說明假（真）命題、斜邊的中線等于斜邊的一半、含30度角的直角三角形、用ASA（AAS）證明三角形全等（ASA或者AAS）【分析】利用含有角的直角三角形的特征和直角三角形斜邊中線的特點，求出和的每個角，可以判斷出兩個三角形三角不對應(yīng)相等，對進行判斷；是等邊三角形，是直角三角形，三角不對應(yīng)相等，對進行判斷；利用證明，并且兩個三角形的三角對應(yīng)相等，對進行判斷；在和中可求三角對應(yīng)相等，但是，可對進行判斷．【詳解】解：、，，，是的中線且，，在中，，在中，，兩個三角形三角不對應(yīng)相等，故本選項不符合題意；、，是等邊三角形，是直角三角形，兩個三角形三角不對應(yīng)相等，也不全等，故本選項不符合題意；、在和中，，又，且，故本選項不符合題意；、在和中，，，兩三角形三角對應(yīng)相等，但，這兩個三角形不全等故本選項符合題意．故選：．【點睛】本題考查了真假命題的判斷，及含有角的直角三角形的特征和直角三角形斜邊中線的特點，三角形全等的判定，對命題的正確理解是解答本題的關(guān)鍵．5．如圖，在正方形中，點是的中點，以點為圓心、為半徑作弧，交于點，連接，若，則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】根據(jù)正方形的性質(zhì)求線段長、求扇形面積、求其他不規(guī)則圖形的面積【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，扇形面積公式，由四邊形為正方形，得，，，再由題意可得，，然后由和扇形面積公式即可求解，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵四邊形為正方形，，∴，，，∵點是的中點，以點為圓心、為半徑作弧，交于點，∴，，∴，∴，，故選：．6．一次函數(shù)的圖象與的圖象相交于點，則關(guān)于x，y的方程組的解是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】兩直線的交點與二元一次方程組的解【分析】本題考查了兩直線的交點與二元一次方程組的解，解答本題的關(guān)鍵要明確兩直線的交點坐標即為對應(yīng)二元一次方程組的解．根據(jù)“兩直線的交點坐標即為對應(yīng)二元一次方程組的解”求解即可．【詳解】解：∵一次函數(shù)的圖象與的圖象相交于點，∴，∴方程組的解是，故選：B．7．如圖，菱形中，點O是的中點，，垂足為M，交于點N，，，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】用勾股定理解三角形、斜邊的中線等于斜邊的一半、利用菱形的性質(zhì)求線段長、解直角三角形的相關(guān)計算【分析】本題考查了解直角三角形，菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線等于斜邊一半．連接，先由菱形性質(zhì)可得對角線與交于點O，由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得，，進而由菱形對角線求出邊長，由，解三角形即可求出．【詳解】解：連接，如圖，∵菱形中，與互相垂直平分，又∵點O是的中點，∴A、O、C三點在同一直線上，∴，∵，，∴，，∵，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴．故選：B．8．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，若,則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)拋物線，得出拋物線開口向上，有最低點，求出對稱軸為，當或當時，，得出離對稱軸越遠，函數(shù)值越大，結(jié)合，得出點離對稱軸要比點離對稱軸遠，，得出，則點在對稱軸的左邊，點在對稱軸的右邊，得出不等式求解，綜合得出答案即可．【詳解】解：∵拋物線經(jīng)過點，，∴拋物線開口向上，有最低點，對稱軸為，令，則，解得：或，∴當或當時，，∴離對稱軸越遠，函數(shù)值越大，∵，∴點離對稱軸要比點離對稱軸遠，，∴，∴點在對稱軸的左邊，點在對稱軸的右邊，∴，解得：，綜上所述，，故選：B．第Ⅱ卷二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）9．計算的結(jié)果等于．【答案】【知識點】積的乘方運算【分析】此題主要考查了積的乘方，正確掌握運算法則是解題關(guān)鍵．直接利用積的乘方運算法則計算得出答案．【詳解】解：，故答案為：．10．數(shù)學(xué)知識廣泛應(yīng)用于化學(xué)領(lǐng)域，是研究化學(xué)的重要工具．比如在學(xué)習(xí)化學(xué)式時，甲烷化學(xué)式為，乙烷化學(xué)式為，丙烷化學(xué)式為，按此規(guī)律，當碳原子的數(shù)目為n（n為正整數(shù)）時，氫原子的數(shù)目是．【答案】/【知識點】數(shù)字類規(guī)律探索【分析】本題主要考查了數(shù)字類的規(guī)律探索，觀察發(fā)現(xiàn)出規(guī)律成為解題的關(guān)鍵．經(jīng)觀察可以發(fā)現(xiàn)：烷烴中氫原子數(shù)是碳原子的2倍加上2，據(jù)此規(guī)律即可解答．【詳解】解：碳原子個數(shù)為1時，氫原子數(shù)為個，碳原子個數(shù)為2時，氫原子數(shù)為個，碳原子個數(shù)為3時，氫原子數(shù)為個，……，以此類推，可知，碳原子個數(shù)為n時，氫原子數(shù)為個．故答案為：．11．如圖，由六塊相同的含的直角三角形拼成一個大的正六邊形，內(nèi)部留下一個小的正六邊形空隙．如果直角三角形最短邊的長為，那么小正六邊形的邊心距是．【答案】【知識點】正多邊形和圓的綜合、解直角三角形的相關(guān)計算【分析】本題考查正多邊形和圓，掌握直角三角形的邊角關(guān)系以及正六邊形的性質(zhì)是正確解答的關(guān)鍵．根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系以及正六邊形的性質(zhì)進行計算即可．【詳解】解：如圖，由題意得，在中，，，，又，，即正六邊形的邊長為，設(shè)正六邊形的中心為，連接，過點作于點，則，在中，，，，即正六邊形的邊心距為，故答案為：．12．在平面直角坐標系中，函數(shù)與的圖象交于，兩點．若點的坐標是，則點的坐標為．【答案】【知識點】求反比例函數(shù)解析式、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，把點分別代入和得的值，再聯(lián)立方程組，解方程可得B的坐標．【詳解】解：把點代入得，，∴；把點代入，得，∴，∴反比例函數(shù)的解析式為；聯(lián)立方程組得，解得或，經(jīng)檢驗符合題意；∵，∴；故答案為：．13．如圖，在中，，點、分別是、邊上的動點（不與的頂點重合），且，連接交于點于點，若，則的長為．【答案】【知識點】等腰三角形的性質(zhì)和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】先證明是等腰直角三角形，再得，結(jié)合，，證明，得，再證明是等腰直角三角形，最后運用勾股定理列式計算，即可作答．【詳解】解：∵在中，，∴是等腰直角三角形，∴，．∵，∴，∴，則，∴，則，又，∴是等腰直角三角形，∴,∴，則．故答案為：3．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共13個小題，共81分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）14．（5分）計算：．【答案】【知識點】求一個數(shù)的立方根、實數(shù)的混合運算、零指數(shù)冪、利用二次根式的性質(zhì)化簡【分析】此題考查了實數(shù)的混合運算．利用二次根式的性質(zhì)、零指數(shù)冪、立方根和絕對值進行化簡，再進行加減法即可．【詳解】解：（3分）．（2分）15．（5分）解不等式組：【答案】【知識點】求不等式組的解集【分析】本題考查求不等式組的解集，分別求出每一個不等式的解集，找到它們的公共部分，即為不等式組的解集．【詳解】解：由①，得：；（2分）由②，得：；（2分）∴不等式組的解集為：．（5分）16．（5分）化簡：．【答案】【知識點】分式化簡求值【分析】本題考查了分式的化簡求值，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．先利用異分母分式加減法法則計算括號里，再算括號外．【詳解】原式（2分）（4分）．（5分）17．（5分）如圖，在四邊形中，，，E為邊上一點．請用尺規(guī)作圖法在四邊形內(nèi)部求作一點P，使四邊形為矩形．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見解析【知識點】作垂線(尺規(guī)作圖)、矩形的判定定理理解【分析】本題考查作圖——復(fù)雜作圖，矩形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題．根據(jù)尺規(guī)作圖作垂線的方法，過點作垂直，過點作，即可求解．【詳解】解：如圖所示，即為所求．（5分）18．（5分）如圖，在中，點、在對角線上，連接、，，求證：．【答案】見解析【知識點】全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、利用平行四邊形的性質(zhì)證明【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定，證明，得到，即可得證．【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，（1分）∴．

（2分）在和中，，∴，

（4分）∴，

∴．（5分）19．（5分）二十四節(jié)氣，是上古農(nóng)耕文明的產(chǎn)物，蘊含了中華民族悠久的文化內(nèi)涵和歷史積淀．張濤收集了四張節(jié)氣圖案的卡片：．小滿，．芒種，．夏至，．小暑，這些卡片除正面圖案外無其他差別，洗勻后背面朝上放置．(1)張濤從四張卡片中隨機抽取一張卡片，抽到“A．小滿”的概率是；(2)若張濤從四張卡片中隨機抽取一張卡片，不放回，洗勻后妹妹再從剩下的三張卡片中隨機抽取一張卡片，請用畫樹狀圖或列表的方法，求兩人都沒有抽到“C．夏至”的概率．【答案】(1)(2)兩人都沒有抽到“C．夏至”的概率為．【知識點】列表法或樹狀圖法求概率【分析】本題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．（1）直接由概率公式求解即可；（2）畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中兩人都沒有抽到“C．夏至”的有6種，再由概率公式求解即可．【詳解】（1）解：張濤從四張卡片中隨機抽取一張卡片，共有4種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中抽到“A．小滿”的結(jié)果只有1種，∴張濤從四張卡片中隨機抽取一張卡片，抽到“A．小滿”的概率是，故答案為：；（1分）（2）解：畫樹狀圖如下：（4分）共有12種等可能的結(jié)果，其中兩人都沒有抽到“C．夏至”的有6種，∴兩人都沒有抽到“C．夏至”的概率為．（5分）20．（5分）黃茅海跨海通道連接珠海市和江門市，是港珠澳大橋西延的關(guān)鍵通道，黃茅海大橋建設(shè)過程中，有甲、乙兩個工程隊參與其中，甲、乙兩個工程隊一天共鋪設(shè)橋梁構(gòu)件80件，甲工程隊施工3天比乙工程隊施工2天多鋪設(shè)橋梁構(gòu)件30件，問甲、乙工程隊每天各鋪設(shè)橋梁構(gòu)件多少件？【答案】設(shè)甲工程隊每天鋪設(shè)橋梁構(gòu)件38件，則乙工程隊每天鋪設(shè)橋梁構(gòu)件42件【知識點】工程問題(一元一次方程的應(yīng)用)【分析】設(shè)甲工程隊每天鋪設(shè)橋梁構(gòu)件x件，則乙工程隊每天鋪設(shè)橋梁構(gòu)件件，根據(jù)甲工程隊施工3天比乙工程隊施工2天多鋪設(shè)橋梁構(gòu)件30件，即可求解．本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，理解題意，得出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)甲工程隊每天鋪設(shè)橋梁構(gòu)件x件，則乙工程隊每天鋪設(shè)橋梁構(gòu)件件，（3分）解得：（4分）乙工程隊每天鋪設(shè)橋梁構(gòu)件為：（5分）答：設(shè)甲工程隊每天鋪設(shè)橋梁構(gòu)件38件，則乙工程隊每天鋪設(shè)橋梁構(gòu)件42件．21．（6分）在學(xué)習(xí)了平面反射的知識后，某班科學(xué)社團利用平面鏡反射光線測量班級智慧黑板的寬度.如圖在地面水平放置一塊平面鏡，一束光線從點發(fā)出，測得入射角時，反射光線恰好到達黑板上端處，將一束光從點發(fā)出，測得入射角時，反射光線恰好到達黑板下端處.經(jīng)測量，已知點，，在同一豎直直線上，點，在同一水平線上，求智慧黑板寬的長（結(jié)果精確到，入射角等于反射角，參考數(shù)據(jù)：，，，）

【答案】智慧黑板的寬約為【知識點】仰角俯角問題(解直角三角形的應(yīng)用)【分析】本題主要考查了解直角三角形，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)入射角等于反射角，求出和中和的度數(shù)，再根據(jù)這兩個角的正切分別求出和的長度，再利用線段的和與差求出的長．【詳解】解：由題意得：，，（1分）在中，，，，（3分）在中，，，，（5分），（6分）答：智慧黑板的寬約為22．（7分）血乳酸濃度是衡量運動強度的重要指標，最大血乳酸濃度指人體在極限運動時血液中乳酸含量的峰值．某校運動科學(xué)小組以“探究年齡與最大血乳酸濃度的關(guān)系”為主題開展實驗研究．小組通過運動生理實驗室測得不同年齡的最大血乳酸濃度數(shù)據(jù)如下，發(fā)現(xiàn)最大血乳酸濃度L（）與年齡（周歲）符合一次函數(shù)關(guān)系：年齡x/周歲15202530354045最大血乳酸濃度/（）12.011.511.010.510.09.59.0(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；(2)已知不同運動目標對應(yīng)的血乳酸濃度范圍如表所示，28歲的小劉計劃進行提升無氧耐力的訓(xùn)練，他的運動血乳酸濃度應(yīng)控制在什么范圍？（結(jié)果保留一位小數(shù)）運動目標血乳酸濃度占最大濃度的百分比有氧耐力訓(xùn)練無氧耐力訓(xùn)練【答案】(1)(2)小劉的運動血乳酸濃度應(yīng)控制在這個范圍內(nèi)【知識點】求一次函數(shù)解析式、求一次函數(shù)自變量或函數(shù)值、其他問題(一次函數(shù)的實際應(yīng)用)【分析】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，求一次函數(shù)的函數(shù)值，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法解題即可；（2）將代入，求得，然后根據(jù)無氧耐力訓(xùn)練的血乳酸濃度占最大濃度的百分比計算即可．【詳解】（1）解：設(shè)關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為（、為常數(shù)，且）．（1分）將，和，分別代入中，得，解得，（3分）關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為．（4分）（2）解：當時，．

28歲的小劉最大血乳酸濃度為是．（5分），（6分），

小劉的運動血乳酸濃度應(yīng)控制在這個范圍內(nèi)．（7分）23．（7分）人工智能（AI）通過智能算法處理數(shù)據(jù)、自動化辦公、客戶服務(wù)等任務(wù)．可以幫助人們高效完成工作并優(yōu)化決策．某學(xué)校計劃對初三年級開展5種AI興趣課程，分別是：A（編程基礎(chǔ)）、B（圖像識別）、C（語音交互）、D（數(shù)據(jù)分析）、E（智能系統(tǒng)），為了解學(xué)生對不同AI模塊的喜愛情況，學(xué)校從初三年級隨機抽取部分學(xué)生進行問卷調(diào)查，對調(diào)查所得到的數(shù)據(jù)進行整理、描述和分析，部分信息如下：根據(jù)以上信息，解決下列問題：(1)將圖①中的條形統(tǒng)計圖補充完整（畫圖并標注相應(yīng)數(shù)據(jù)）；(2)圖②中項目E對應(yīng)的圓心角的度數(shù)為；所調(diào)查學(xué)生的喜歡項目的眾數(shù)是；(3)若該校初三年級共有500名學(xué)生，根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果，請估計喜歡B（圖像識別）模塊的學(xué)生人數(shù)．【答案】(1)見解析(2)；（圖像識別）(3)150【知識點】求眾數(shù)、求扇形統(tǒng)計圖的圓心角、畫條形統(tǒng)計圖、由樣本所占百分比估計總體的數(shù)量【分析】本題考查了條形統(tǒng)計圖，扇形統(tǒng)計圖的應(yīng)用以及用樣本估計總體，解題的關(guān)鍵是能從兩種統(tǒng)計圖中獲取有效信息，并進行相關(guān)計算．（1）根據(jù)項目的人數(shù)和占比求出總?cè)藬?shù)，進而求出項目人數(shù)以補充條形統(tǒng)計圖；（2）根據(jù)圓心角公式求出項目對應(yīng)的圓心角度數(shù)，根據(jù)眾數(shù)定義找出眾數(shù)；（3）根據(jù)樣本中喜歡模塊的比例來估計總體中喜歡模塊的學(xué)生人數(shù)．【詳解】（1）解：已知項目人數(shù)為9人，占比，則總?cè)藬?shù)為（人），項目人數(shù)為（人），補全條形統(tǒng)計圖如圖：（2分）（2）解：項目對應(yīng)的圓心角的度數(shù)為，項目的人數(shù)最多，所以所調(diào)查學(xué)生的喜歡項目的眾數(shù)是（圖像識別），故答案為：；（圖像識別）；（5分）（3）解：樣本中喜歡（圖像識別）模塊的比例為，該校初三年級共有500名學(xué)生，所以估計喜歡模塊的學(xué)生人數(shù)為人，答：喜歡B（圖像識別）模塊的學(xué)生人數(shù)是150人．（7分）24．（8分）如圖，內(nèi)接于是的直徑，連接，點是延長線上一點，是的切線，連接并延長交于點，且．(1)求證：；(2)若，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)【知識點】根據(jù)等邊對等角證明、圓周角定理、切線的性質(zhì)定理、解直角三角形的相關(guān)計算【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，角的和差等知識，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．（1）由是的切線，得到，進一步得到，即可得出結(jié)論；（2）由，得到，進一步得到，再通過解直角三角形即可求解．【詳解】（1）證明：∵是的切線，∴，∴．

（1分）∵，，∴，，（2分）∴，∴，即．（3分）（2）解：∵，∴，∵，∴，（4分）∵是的直徑，∴，∴，（5分）∵，∴．

（6分）∵，∴，，

∴．（8分）25．（8分）新中國成立以來，幾代人逢山開路，遇水架橋，正在加快建設(shè)交通強國．如圖1是某地高速公路上修建的兩個隧道，如圖2是其橫截面示意圖．素材一：隧道與均呈拋物線型，已知隊道底部C與隧道底部A相距2m，以直線為x軸，線段的中垂線為y軸建立平面直角坐標系，點D、B都在x軸上．素材二：所在拋物線與所在拋物線關(guān)于y軸對稱，底部寬為12m，所在拋物線的最高點P與路面的距離為8m．(1)求隧道所在拋物線的表達式；(2)現(xiàn)需在隧道、內(nèi)壁上分別安裝攝像頭N、M，如圖2所示，即N、M均在各自拋物線對稱軸左側(cè)的拋物線上，已知點M、N到路面的豎直距離均為6m，求M，N兩點間的距離．【答案】(1)(2)【知識點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、拱橋問題(實際問題與二次函數(shù))【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)題意求得函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．（1）由題意可知頂點坐標為，故利用二次函數(shù)的頂點式，設(shè)拋物線的函數(shù)表達式為，將代入，即可求解．（2）令，解一元二次方程，求得點，，的坐標，進而即可求解．【詳解】（1）由題意知，，，，，

（1分）設(shè)隧道所在拋物線的表達式為，（2分）將代入，得，解得，

∴所在拋物線的表達式為．（4分）（2）∵所在拋物線的表達式為．令，則，解得：，，

（5分）∵N在拋物線對稱軸左側(cè)，∴，∵所在拋物線與所在拋物線關(guān)于y軸對稱，∴所在拋物線的表達式為，

（6分）令，則，解得，，

∵M