第五章《圖形的軸對稱》綜合測試卷一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=58°，點D，E分別在AB，AC上，將△ADE沿DE折疊得△FDE，且滿足EF∥AB，則∠1=（

A．74 B．72 C．70 D．682．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，D是AB的中點，點E，F(xiàn)分別在邊AC，CB上，且滿足AE=CF，則四邊形CEDF的面積為（）A．36 B．18 C．9 D．93．如圖，BM是∠ABC的平分線，點D是BM上一點，點P為直線BC上的一個動點．若△ABD的面積為9，AB=6，則線段DP的長不可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5.54．在正方形ABCD中，將AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到AE，旋轉(zhuǎn)角為α，連接BE，并延長至點F，使CF=CB，連接DF，則∠DFC的度數(shù)是（

）A．45°+α2 B．45°+α C．90°?α5．在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB，BC于點M，P，AC的垂直平分線分別交AC，A．8 B．10 C．14 D．10或146．如圖是AD∥BC的一張紙條，按圖1→圖2→圖3，把這一紙條先沿EF折疊并壓平，再沿BF折疊并壓平，若圖3中∠EFC=12°，則圖2中∠AEF的度數(shù)為（A．114° B．115° C．116° D．120°7．如圖，矩形ABCD中，點E為BC邊的中點，連接AE，過E作EF⊥AE交CD于點F，連接AF，若∠BAE=α，則∠DAF的度數(shù)為（

）A．45°+α B．45°?α C．90°?2α D．45°?8．在一次數(shù)學(xué)實踐課上，老師拿出一張三角形紙片ABC，他問學(xué)生：通過一次折疊，一定能折出三角形的中線、高線、角平分線中的哪些線？班里四個同學(xué)給出不同答案：小高說：高線和中線；小雪說：中線和角平分線；小琪說：高線和角平分線；小嘉說：高線、中線和角平分線都可以．他們答案正確的是（

）A．小高 B．小雪 C．小琪 D．小嘉9．如圖，在△ABC中，AD平分∠CAB，下列說法：①若CD:BD=2:3，則S△ACD②若CD:BD=2:3，則AC:AB=2:3；③若∠C=90°，AC+AB=20，CD=3，則S△ABC④若∠C=90°，AC:AB=5:13，BC=36，則CD=10．其中正確的是（

）A．①② B．②③ C．①③④ D．②③④10．如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，格線的交點稱為格點，以格點為頂點的三角形稱為格點三角形，圖中的△ABC為格點三角形，在圖中與△ABC成軸對稱的格點三角形可以畫出（

）

A．3個 B．4個 C．5個 D．6個二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．圍棋起源于中國，古代稱為“弈”．如圖是兩位同學(xué)的部分對弈圖，輪到白方落子，觀察棋盤，白方如果落子于點的位置，則所得的對弈圖是軸對稱圖形．（填寫A，B，C，D中的一處即可，A，B，C，D位于棋盤的格點上）12．如圖，在等腰三角形△ABC中，AB=AC，D為BC延長線上一點，EC⊥AC，且AC=CE，垂足為C，連接BE，若BC=a，則△BCE的面積為．13．如圖，ABCD，PB和PC分別平分∠ABC和∠DCB，AD過點P，且與AB垂直，若AD=8cm，

BC=10cm，則四邊形ABCD的面積是14．如圖在△ABC中DM，EN分別垂直平分邊AC和邊BC，交邊AB于M，N兩點，DM與EN所在直線相交于點F．若∠MFN=72°，求∠MCN的度數(shù)為．15．在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線與邊AC所在的直線相交所得的銳角為40°，則∠C的度數(shù)為．16．如圖，Rt?ABC中，∠ACB=90°，角平分線CE，BD交于點F，若FD=FE，則∠CDF=度．三．解答題（共8小題，滿分72分）17．（6分）如圖，方格紙中每個小方格都是邊長為1的正方形，我們把以格點的連線為邊的多邊形稱為“格點多邊形”．如圖中四邊形ABCD就是一個“格點四邊形”．(1)求圖中四邊形ABCD的面積；(2)在圖中的方格紙中畫一個格點四邊形，使該四邊形A1B1C1D1與原四邊形ABCD關(guān)于直線l成軸對稱．（要求A與A1，B與B1(3)在直線l上找到一點Q，使QC?QD18．（6分）在等腰△ABC中，AB=BC，高AD、BE所在的直線相交于點F，將△ACD沿直線AD翻折，點C的對稱點C′落在直線BC上，連接F(1)如圖1，當(dāng)∠ABC=45°時，①求證：BF=AC；②求∠FC(2)當(dāng)∠ABC=135°時，補全圖2，并求證：C′19．（8分）如圖，在長方形ABCD中，AB=2,AD=3，點P在邊AD上運動，連接BP，點A關(guān)于直線BP的對稱點為A1

(1)點A1落在BC邊上，求線段AP(2)點A1落在線段PC上，求線段PC(3)當(dāng)點P運動到點D時，連接CA1．請問CA20．（8分）下列正方形網(wǎng)格圖中，部分方格涂上了顏色，請按照不同要求作圖．(1)作出圖①的對稱軸；(2)將圖②中的某一個方格涂上顏色，使整個圖形成僅有一條對稱軸的軸對稱圖形；(3)將圖③中的某兩個方格涂上顏色，使整個圖形有四條對稱軸的軸對稱圖形．21．（10分）我們定義：在一個圖形上畫一條直線，若這條直線既平分該圖形的面積，又平分該圖形的周長，我們稱這條直線為這個圖形的“等分積周線”．

(1)如圖1，在△ABC中，AB=BC，且BC≠AC，請你在圖1中作出△ABC的一條“等分積周線”；(2)在圖1中，過點C能否畫出一條“等分積周線”？若能，說出確定的方法；若不能，請說明理由．(3)如圖2，四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，EF垂直平分AD，垂足為F，交BC于點E，已知AB=4，BC=10，CD=6．求證：直線EF為四邊形ABCD的“等分積周線”；(4)如圖3，在△ABC中，AB=BC=7cm，AC=10cm，請你不過△ABC的頂點，畫出22．（10分）在四邊形ABCD中，僅用無刻度的直尺和圓規(guī)完成下列作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）(1)如圖1，在邊AB上確定點P，使點P到邊CD、CB的距離相等．(2)如圖2，在四邊形ABCD的邊上確定點E的位置，使∠A+∠BED=180°，若點E有不同位置，請用E1、E23．（12分）如圖(1)動手操作：如圖①，將矩形紙片ABCD折疊，使點D與點B重合，點C落在點c'處，折痕為EF，若∠ABE=20°，那么∠EFC'的度數(shù)為______．(2)觀察發(fā)現(xiàn)：小明將三角形紙片ABC（AB＞AC）沿過點A的直線折疊，使得AC落在AB邊上，折痕為AD，展開紙片（如圖②）；再次折疊該三角形紙片，使點A和點D重合，折痕為EF，展平紙片后得到△AEF（如圖③）．小明認為△AEF是等腰三角形，你同意嗎？請說明理由．24．（12分）綜合與實踐：如圖1，直線OB與直線AC相互垂直，垂足為點O，OA=OB=6．初步感知：（1）如圖1，C為OA延長線上一點，連接BC．過點A作AH⊥BC，垂足為點H，AH交OB于點P．①求證：△APO≌△BCO；②若OC=2，試求△ABP的面積．拓展延伸：（2）如圖2，若點D為AB的中點，點M為BO延長線上一動點，連結(jié)MD，過點D作DN⊥DM交直線OA于點N，當(dāng)M點在BO延長線上運動的過程中，S△BDM參考答案一．選擇題1．A【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)．首先根據(jù)平行的性質(zhì)可得∠CGE=∠B=58°，根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余可得∠GEC=32°，根據(jù)鄰補角的定義可得∠FEA=148°，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠1=74°．【詳解】解：如下圖所示，∵EF∥∴∠CGE=∠B=58°，∵∠C=90°，∴∠GEC=90°?∠CGE=90°?58°=32°，∴∠FEA=180°?∠GEC=180°?32°=148°，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知∠1=1故選：A．2．C【分析】此題重點考查等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積公式等知識，證明△EAD≌△FCD是解題的關(guān)鍵．由∠ACB=90°，AC=BC=6，得S△ABC=18，∠A=∠B=45°，由D是AB的中點，得S△ADC=12S△ABC=9，CD=AD=BD，∠FCD=∠ACD=45°，則∠A=∠FCD，而AE=CF【詳解】解：∵∠ACB=90°，AC=BC=6，∴S△ABC=∵D是AB的中點，∴S△ADC=S△BDC∴∠A=∠FCD，在△EAD和△FCD中，AD=CD∠A=∠FCD∴△EAD≌△FCD(SAS∴S∴S故選：C．3．A【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)定理，垂線段最短，過點D作DE⊥AB，利用三角形的面積公式求出DE的長，根據(jù)垂線段最短得到DP⊥BC時，DP最短，此時DP=DE，進行判斷即可．【詳解】解：過點D作DE⊥AB，則：S△ABD∴DE=3，∵點P為直線BC上的一個動點，∴當(dāng)DP⊥BC時，DP最短，∵BM是∠ABC的平分線，∴當(dāng)DP⊥BC時，DP=DE=3，∴線段DP的長不可能是2；故選A．4．A【分析】本題考查正方形性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)，等腰三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)表示出∠ABE=∠AEB=90°?α2，結(jié)合正方形性質(zhì)得到∠CBF=α2，再利用等腰三角形性質(zhì)得到∠BCF，進而得到【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠BCD=90°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠BAE=α，AB=AE，∴∠ABE=∠AEB=180°?α∴∠CBF=∠ABC?∠ABE=α∵CF=CB，∴∠CBF=∠CFB=α2，∴∠BCF=180°?2×α∴∠DCF=∠BCF?∠BCD=90°?α，∴∠DFC=∠CDF=180°?故選：A．5．D【分析】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得：AP=BP，AQ=QC，分兩種情況：當(dāng)點P在點Q左側(cè)時，當(dāng)點P在點【詳解】解：當(dāng)點P在點Q左側(cè)時，如圖所示：由垂直平分線性質(zhì)可知AP=BP，∴C△AQP當(dāng)點P在點Q的右側(cè)時，如圖所示：由垂直平分線性質(zhì)可知AP=BP，∴C△AQP綜上所述，△AQP的周長為10或14，故選：D．6．C【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．解決本題的關(guān)鍵是畫出折疊前后的圖形．設(shè)∠B′FE=x，根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠BFE=∠B′FE=x，∠AEF=∠A【詳解】解：如圖，設(shè)∠B∵紙條沿EF折疊，∴∠BFE=∠B∴∠BFC=∠BFE?∠CFE=x?12°，∵紙條沿BF折疊，∴∠C而∠B∴x+x+x?12°=180°，解得x=64°，∵A′∴∠A∴∠AEF=116°．故選：C．7．C【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，延長AE，DC交于點G，先根據(jù)矩形的性質(zhì)證明△ABE≌△GCEASA，得到AE=GE，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)證明AF=FG，所以∠FAE=∠G，繼而證明∠BAE=∠EAF【詳解】解：如圖，延長AE，DC交于點G，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠BAE=∠G，∠B=∠ECG=90°，∵點E為BC邊的中點，∴BE=CE，∴△ABE≌△GCEASA∴AE=GE，∵EF⊥AE，∴AF=FG，∴∠FAE=∠G，∴∠BAE=∠EAF，∵∠BAE=α，∴∠EAF=α，∴∠DAF=90°?∠BAE?∠EAF=90°?2α．故選：C．8．C【分析】本題考查三角形中的折疊問題，先折疊再根據(jù)三角形角平分線、中線、高線定義判斷即可得到答案．【詳解】解：如圖，過A折疊三角形紙片，使AC與AB重合，此時折痕即是過點A的角平分線，經(jīng)過了一次折疊；先折出BC中點，再過中點和A折疊三角形紙片，折痕即是過點A的中線，經(jīng)過了兩次折疊；過A折疊三角形紙片，使BC在折痕兩側(cè)的部分在同一直線上，此時折痕即是過點A的高線，經(jīng)過了一次折疊；∴通過一次折疊，一定能折出三角形的角平分線、高線，故小琪的說法正確，故選：C．9．D【分析】分別根據(jù)角平分線的性質(zhì)結(jié)合三角形面積法進行求解即可【詳解】解：①設(shè)BC邊上的高為h，則S△ACD:S△ABD=②過D作DE⊥AB，DF⊥AC，∵AD平分∠CAB，∴DE=DF,∵S∴1因此，若CD:BD=2:3，則AC:AB=2:3，故②正確；③若∠C=90°，過D作DE⊥AB，∵AD平分∠CAB，∴DE=CD=3,∴S故③正確；④若∠C=90°，AC:AB=5:13，BC=36，∴設(shè)AC=5x，AB=13x∴12x=36，解得x=3，∴AC=15,AB=39∵S△ACD∴12AC·CD+解得，CD=10．故④正確故選：D10．D【分析】本題考查了利用軸對稱變換作圖，根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)分別確定出不同的對稱軸，然后作出軸對稱三角形即可得解．【詳解】解：如圖，最多能畫出6個格點三角形與△ABC成軸對稱．

所以在圖中與△ABC成軸對稱的格點三角形可以畫出6個．故選：D．二．填空題11．A或C【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義解答即可．本題考查了軸對稱圖形，熟練掌握軸對稱圖形的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】根據(jù)軸對稱圖形的定義，發(fā)現(xiàn)放在B，D處不能構(gòu)成軸對稱圖形，放在A或C處可以，故答案為：A或C．12．1【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形全等的判定和性質(zhì)，過A作AH⊥BC于H，過E作EF⊥BC于F，利用等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可．【詳解】解：過A作AH⊥BC于H，過E作EF⊥BC于F，

∴∠AHC=∠EFC=90°，∴∠CAH+∠ACH=90°，∵AB=AC，∴BH=HC=1∵∠ACE=90°，∴∠ACH+∠ECF=90°，∴∠ECF=∠CAH，在△ACH與△CEF中，∠AHC=∴△ACH≌△CEF，∴EF=CH=1∴△BCE的面積=1故答案為：1413．40【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．作PE⊥BC于點E，根據(jù)AB∥CD，AD⊥AB，得到∠BAP=∠CDP=90°，根據(jù)BP平分∠ABC，CP平分∠DCB得到AP=PE=PD=4，△ABP≌△EBP,△DCP≌△ECP，即可得到答案．【詳解】解：過點P作PE⊥BC于點E，∴∠BEP=∠CEP=90°，∵AD⊥AB,AB∥CD，∴∠BAP=∠CDP=90°，∵BP平分∠ABC，CP平分∠DCB，∴AP=PE，PE=DP，∴AP=PE=PD=1∵BP=BP，∴△EBP≌△ABP(HL)，∴S△EBP同理可得：△ECP≌△DCP，S△ECP∴四邊形ABCD的面積=2S故答案為：40．14．36°【分析】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，等角對等邊，三角形內(nèi)角和的知識，解題的關(guān)鍵是掌握垂直平分線的性質(zhì)．由線段垂直平分線的性質(zhì)得∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，根據(jù)三角形內(nèi)角和，則∠NMF+∠MNF=108°，再根據(jù)對頂角相等，則∠AMD+∠ENB=108°，根據(jù)三角形內(nèi)角和，則∠A=90°?∠AMD，∠B=90°?∠ENB，最后根據(jù)∠A+∠ACM+∠MCN+∠BCN+∠B=180°，即可求解．【詳解】解：∵DM，EN分別垂直平分邊AC和邊BC，∴AM=CM，CN=BN，∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，∵∠MFN=72°，∴∠NMF+∠MNF=108°，∵∠AMD=∠NMF，∠ENB=∠MNF，∴∠AMD+∠ENB=108°，∵∠A=90°?∠AMD，∠B=90°?∠ENB，∴∠A+∠B=180°?∠AMD+∠ENB∴∠A+∠ACB+∠B=180°，∴∠A+∠ACM+∠MCN+∠BCN+∠B=180°，∴∠MCN=180°?2∠A+∠B故答案為：36°．15．65°或25°【分析】此題考查了線段垂直平分線和三等腰三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是分類討論，分當(dāng)AB的垂直平分線與邊AC相交和當(dāng)AB的垂直平分線與CA的延長線相交兩種情況求解即可．【詳解】解：當(dāng)AB的垂直平分線與邊AC相交時，如圖①，AB邊的垂直平分線與AC邊交于點D，∠ADE=40°，則∵AB=AC，∴∠B=∠C=180°當(dāng)AB的垂直平分線與CA的延長線相交時，如圖②，AB邊的垂直平分線與CA的延長線交于點D，∠ADE=40°，則∴∠BAC=180°?50°=130°．∵AB=AC，∴∠B=∠C=180°?130°綜上所述：∠C為65°或25°．故答案為：65°或25°．16．75【分析】本題考查了角平分線定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識是解答本題的關(guān)鍵．過點F作FG⊥AB于點G，F(xiàn)H⊥AC于點H，F(xiàn)T⊥BC于點T，連結(jié)AF，先根據(jù)角平分線定理證明FH=FT，F(xiàn)G=FT，從而得到FH=FG，再根據(jù)“斜邊直角邊”證明△FHD≌△FGE，得到∠FDH=∠FEG，設(shè)∠CBD=x，列出方程并求解，得到x=15°，由此即得答案．【詳解】解：過點F作FG⊥AB于點G，F(xiàn)H⊥AC于點H，F(xiàn)T⊥BC于點T，連接AF，∵CE平分∠ACB，∴FH=FT，∠BCE=1∵BD平分∠ABC，∴FG=FT，∠CBD=1∴FH=FG，∵∠FHD=∠FGE=90°，F(xiàn)D=FE，∴△FHD≌△FGE(HL∴∠FDH=∠FEG，設(shè)∠CBD=x，則∠ABC=2x，∠CDF=90°?x，∴90°?x=2x+45°，解得x=15°，∴∠CDF=90°?x=75°．故答案為：75．三．解答題（共8小題，滿分72分）17．（1）解：四邊形ABCD的面積為1（2）解：如圖所示，A1（3）∵QD=Q∴CD+QD≥CQ當(dāng)D在CQ上時取得等于號，∴QC?QD≤CD∴QC?Q∴延長CD交l于點Q，則點Q即為所求；如圖所示18．（1）解：①證明：∵AD是△ABC的高，∠ABC=45°，∴∠BDF=90°=∠ADC,BD=AD，∵BF是△ABC的高，∴∠DBF=90°?∠C=∠DAC，在△BDF和△ADC中，∠DBF=∠DACBD=AD∴△BDF≌△ADC(ASA∴BF=AC；②解：如圖：由①知：△BDF≌△ADC(ASA∴DF=DC，∵將△ACD沿直線AD翻折，點C的對稱點C′落在直線BC∴DC=DC∴DF=DC故△DFC∴∠FC（2）解：補全圖形如下：∵∠ABC=135°，∴∠ABD=45°，∵AD是△ABC的高，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD=BD，∵AD,BE是△ABC的高，∴∠ADC=90°=∠BDF=∠BEC，∵∠EBC=∠DBF，∴∠DFB=∠ACD，∴△DBF≌△DAC(AAS∴DF=DC，∵將△ACD沿直線AD翻折，點C的對稱點C′落在直線BC∴DC=DC∴DF=DC∴∠DC∴∠DC∴C19．（1）解：如圖1中，

∵四邊形ABCD是長方形，∴∠BAD=∠ABC=90°∵點A1落在BC∴∠ABP=∠PB∵∠A=90°,∴∠ABP=∠APB=45°,∴△APB為等腰直角三角形，∴AP=AB=2．（2）如圖2中，∵點A1落在線段PC

∴AB=BA1=2，即點B∵AB⊥AD，∴BA∴S∵AD∥BC，∴△PBC的高等于AB，∴S∴PC?BA∴PC=BC=3.（3）如圖3，方法1：∵長方形ABCD，

∴S又∵三角形ABP沿PB對折，∴S△PAB=∵△PBC與△PBA所以PB上的高相等，故過C點的高等于過A1即C點與A1點到直線PD又∵A1點與點C在故CA方法2：∵三角形ABP沿PD對折，∴∠APB=∠BPA又∵長方形ABCD，∴AD∥BC∴∠APB=∠PBC，∴∠BP∴△PBE為等腰三角形，

∴PE=BE，又∵BC=AD=PA∴CE=EA∴∠BCA在△PBE和△A∠PBC=12(180°?∠BEP)又∵∠BEP=∠∠PBC=∠BCA∴C20．（1）如圖①所示的對稱軸即為所求：（2）（2）如圖②所示：（3）如圖③所示：21．（1）解：∵AB=BC，∴△ABC為等腰三角形，則由等腰三角形的“三線合一”可得，作線段AC的中垂線BD，∴AD=CD，∴S△ABD=如圖所示，BD所在的直線即為所求：

（2）解：不能，理由：如圖2，

若直線CD平分△ABC的面積，那么S△ADC∴AD=BD，∵AC≠BC，∴AD+AC≠BD+BC，∴過點C不能畫出一條“等分積周線”．（3）證明：連接AE、DE，設(shè)BE=x，如圖：

∵EF垂直平分AD，∴AE=DE，AF=DF，S△AEF∵∠B=∠C=90°，AB=4，BC=10，CD=6，∴Rt△ABE和AB2+B解得：x=6，∴BE=6，CE=4，∴AB+BE=CE+DC，S△ABE∴SS四邊形∴SAF+AB+BE=DF+EC+DC，∴直線EF為四邊形ABCD的“等分積周線”．（4）解：如圖4，在AC上取一點F，使得FC=AB=7cm，在BC上取一點E，使得BE=2作直