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文檔簡介
13.4課題學習最短路徑問題13.4課題學習最短路徑問題數(shù)學人教版八年級上冊授課人:XXX1.如圖,連接A,B兩點的所有線中,哪條最短?為什么?AB①②③②最短,因為兩點之間,線段最短.2.如圖,點P是直線l外一點,點P與該直線l上各點連接的所有線段中,哪條最短?為什么?PC最短,因為垂線段最短.導入新知PlABCD3.在以前學習過哪些有關(guān)線段大小的結(jié)論?三角形三邊關(guān)系:兩邊之和大于第三邊;斜邊大于直角邊.4.如圖,如何做點A關(guān)于直線l的對稱點?AlA′導入新知1.能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題.2.體會圖形的變化在解決最值問題中的作用,感悟轉(zhuǎn)化思想.素養(yǎng)目標“兩點的所有連線中,線段最短”“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中,垂線段最短”等的問題,我們稱之為最短路徑問題.AB①②③PlABCD利用對稱知識解決最短路徑問題知識點1現(xiàn)實生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑問題,本節(jié)將利用數(shù)學知識探究數(shù)學史上著名的“牧馬人飲馬問題”及“造橋選址問題”.探究新知
如圖,牧馬人從A地出發(fā),到一條筆直的河邊l飲馬,然后到B地,牧馬人到河邊的什么地方飲馬,可使所走的路徑最短?C抽象成ABl數(shù)學問題作圖問題:在直線l上求作一點C,使AC+BC最短問題.實際問題ABl探究新知
現(xiàn)在假設(shè)點A,B分別是直線l異側(cè)的兩個點,如何在l上找到一個點,使得這個點到點A,點B的距離的和最短?
根據(jù)“兩點之間,線段最短”,可知這個交點即為所求.解:連接AB,與直線l相交于一點C.問題1:AlBC探究新知如果點A,B分別是直線l同側(cè)的兩個點,又應該如何解決所走路徑最短的問題?【思考】對于問題2,如何將點B“移”到l
的另一側(cè)B′處,滿足直線l
上的任意一點C,都保持CB與CB′的長度相等?ABl利用軸對稱,作出點B關(guān)于直線l的對稱點B′.問題2:探究新知作法:(1)作點B
關(guān)于直線l的對稱點B′;(2)連接AB′,與直線l
相交于點C.則點C即為所求.ABlB′C探究新知你能用所學的知識證明AC+BC最短嗎?證明:如圖,在直線l上任取一點C′(與點C
不重合),連接AC′,BC′,B′C′.由軸對稱的性質(zhì)知,
BC=B′C,BC′=B′C′.∴
AC+BC=AC+B′C=AB′,
∴
AC′+BC′=AC′+B′C′.在△AB′C′中,AB′<AC′+B′C′,∴AC+BC<AC′+BC′.即AC+BC
最短.問題3:ABlB′CC′探究新知例1如圖,已知點D,點E分別是等邊三角形ABC中BC,AB邊的中點,AD=5,點F是AD邊上的動點,則BF+EF的最小值為()A.7.5B.5C.4D.不能確定解析:△ABC為等邊三角形,點D是BC邊的中點,即點B與點C關(guān)于直線AD對稱.∵點F在AD上,故BF=CF.即BF+EF的最小值可轉(zhuǎn)化為求CF+EF的最小值,故連接CE即可,線段CE的長即為BF+EF的最小值.而CE=AD.B最短路徑問題的應用素養(yǎng)考點探究新知方法點撥此類求線段和的最小值問題,找準對稱點是關(guān)鍵,而后將求線段長的和轉(zhuǎn)化為求某一線段的長,再根據(jù)已知條件求解.探究新知如圖,直線l是一條河,P、Q是兩個村莊.欲在l上的某處修建一個水泵站,向P、Q兩地供水,現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案,圖中實線表示鋪設(shè)的管道,則所需要管道最短的是()DPQlA.MPQlB.MPQlC.MPQlD.M鞏固練習如圖,A、B是兩個蓄水池,都在河流a的同側(cè),為了方便灌溉作物,要在河邊建一個抽水站,將河水送到A、B兩地,問該站建在河邊什么地方,可使所修的渠道最短,試在圖中確定該點(保留作圖痕跡).解:如圖,P點即為該點.鞏固練習例2如圖,在直角坐標系中,點A,B的坐標分別為(1,4)和(3,0),點C是y軸上的一個動點,且A,B,C三點不在同一條直線上,當△ABC的周長最小時點C的坐標是()A.(0,3)B.(0,2)C.(0,1)D.(0,0)解析:作B點關(guān)于y軸對稱點B′,連接AB′,交y軸于點C′,此時△ABC的周長最小,然后依據(jù)點A與點B′的坐標可得到BE、AE的長,然后證明△B′C′O為等腰直角三角形即可.B′C′EA鞏固練習方法點撥求三角形周長的最小值,先確定動點所在的直線和固定點,而后作某一固定點關(guān)于動點所在直線的對稱點,而后將其與另一固定點連線,連線與動點所在直線的交點即為三角形周長最小時動點的位置.探究新知如圖,已知牧馬營地在P處,每天牧馬人要趕著馬群先到河邊飲水,再帶到草地吃草,然后回到營地,請你替牧馬人設(shè)計出最短的放牧路線.解:如圖AP+AB即為最短的放牧路線.探究新知
如圖,A和B兩地在一條河的兩岸,現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短(假定河的兩岸是平行的直線,橋要與河垂直)?BAABNM利用平移知識解決造橋選址問題知識點2探究新知BA●●
?NMNNM
如圖假定任選位置造橋MN,連接AM和BN,從A到B的路徑是AM+MN+BN,那么怎樣確定橋的位置,才能使A到B的路徑最短呢?M探究新知【思考】我們能否在不改變AM+MN+BN的前提下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢?什么圖形變換能幫助我們呢?1.把A平移到岸邊.2.把B平移到岸邊.3.把橋平移到和A相連.4.把橋平移到和B相連.BAMN探究新知BAMNA'B'1.把A平移到岸邊.AM+MN+BN長度改變了.2.把B平移到岸邊.AM+MN+BN長度改變了.探究新知BAMN3.把橋平移到和A相連.4.把橋平移到和B相連.AM+MN+BN長度有沒有改變呢?探究新知BAA1MN如圖,平移A到A1,使AA1等于河寬,連接A1B交河岸于N作橋MN,此時路徑AM+MN+BN最短.理由:另任作橋M1N1,連接AM1,BN1,A1N1.N1M1由平移性質(zhì)可知,AM=A1N,AA1=MN=M1N1,AM1=A1N1.AM+MN+BN轉(zhuǎn)化為AA1+A1B,而AM1+M1N1+BN1轉(zhuǎn)化為AA1+A1N1+BN1.在△A1N1B中,因為A1N1+BN1>A1B.因此AM1+M1N1+BN1
>AM+MN+BN.探究新知A·BMNECD證明:由平移的性質(zhì),得BN∥EM
且BN=EM,MN=CD,BD∥CE,BD=CE,所以A到B的路徑長為AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若橋的位置建在CD處,連接AC,CD,DB,CE,則A到B的路徑長為AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ACE中,∵AC+CE>AE,∴AC+CE+MN>AE+MN,即AC+CD+DB
>AM+MN+BN,故橋的位置建在MN處,A到B的路徑最短.探究新知解決最短路徑問題的方法
在解決最短路徑問題時,我們通常利用軸對稱、平移等變換把未知問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題,從而作出最短路徑的選擇.方法點撥探究新知牧馬人從A地出發(fā),先到草地邊某一處牧馬,再到河邊飲馬,然后回到B處,請畫出最短路徑.A′B′PQ....鞏固練習如圖,在正方形ABCD中,E,F(xiàn)分別為AD,BC的中點,P為對角線BD上的一個動點,則下列線段的長等于AP+EP最小值的是()A.AB B.DE C.BD D.AF解析:如圖,連接CP,由AD=CD,∠ADP=∠CDP=45°,DP=DP,可得△ADP≌△CDP,∴AP=CP,∴AP+PE=CP+PE,∴當點E,P,C在同一直線上時,AP+PE的最小值為CE長,此時,由AB=CD,∠ABF=∠CDE,BF=DE,可得△ABF≌△CDE,∴AF=CE,∴AP+EP最小值等于線段AF的長.D鏈接中考1.如圖,直線m同側(cè)有A、B兩點,A、A′關(guān)于直線m對稱,A、B關(guān)于直線n對稱,直線m與A′B和n分別交于P、Q,下面的說法正確的是()A.P是m上到A、B距離之和最短的點,
Q是m上到A、B距離相等的點.
B.Q是m上到A、B距離之和最短的點,
P是m上到A、B距離相等的點.
C.P、Q都是m上到A、B距離之和最短的點.
D.P、Q都是m上到A、B距離相等的點.A基礎(chǔ)鞏固題.課堂檢測2.如圖,∠AOB=30°,∠AOB內(nèi)有一定點P,且OP=10.在OA上有一點Q,OB上有一點R.若△PQR周長最小,則最小周長是()A.10B.15C.20D.30A課堂檢測3.如圖,牧童在A處放馬,其家在B處,A、B到河岸的距離分別為AC和BD,且AC=BD,若點A到河岸CD的中點的距離為500米,則牧童從A處把馬牽到河邊飲水再回家,所走的最短距離是
米.ACBD河1000課堂檢測4.如圖,邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格中,△AOB的頂點均在格點上,點A,B的坐標分別是A(3,2),B(1,3).點P在x軸上,當PA+PB的值最小時,在圖中畫出點P.xyOBAB'P解析:作出點B關(guān)于x軸的對稱點B′,連接AB′交x軸于點P,點P就是所求的點.課堂檢測如圖,荊州古城河在CC′處直角轉(zhuǎn)彎,河寬相同,從A處到B處,須經(jīng)兩座橋:DD′,EE′(橋?qū)挷挥嫞?,設(shè)護城河以及兩座橋都是東西、南北方向的,怎樣架橋可使ADD′E′EB的路程最短?ADD′CC′EE′B能力提升題課堂檢測解:作AF⊥CD,且AF=河寬,作BG⊥CE,且BG=河寬,連接GF,與河岸相交于E′,D′.作DD′,EE′即為橋.理由:由作圖法可知,AF//DD′,AF=DD′,則四邊形AFD′D為平行四邊形,于是AD=FD′,同理,BE=GE′,由兩點之間線段最短可知,GF最小.AD′CC′EE′BFGD課堂檢測(1)如圖①,在AB直線一側(cè)C、D兩點,在AB上找一點P,使C、D、P三點組成的三角形的周長最短,找出此點并說明理由.(2)如圖②,在∠AOB內(nèi)部有一點P,是否在OA、OB上分別存在點E、F,使得E、F、P三點組成的三角形的周長最短,找出E、F兩點,并說明理由.(3)如圖③,在∠AOB內(nèi)部有兩點M、N,是否在OA、OB上分別存在點E、F,使得E、F、M、N,四點組成的四邊形的周長最短,找出E、F兩點,并說明理由.ABCDPOABNOABM圖①圖②圖③圖①圖②圖③拓廣探索題課堂檢測ABCDM'C'P圖①POABP'P''EF圖②NOABMN'EF圖③課堂檢測原理線段公理和垂線段最短最短路徑問題解題方法造橋選址問題關(guān)鍵是將固定線段“橋”平移最短路徑問題軸對稱知識+線段公理解題方法課堂小結(jié)作業(yè)內(nèi)容教材作業(yè)從課后習題中選取自主安排配套練習冊練習課后作業(yè)相關(guān)內(nèi)容延伸學習,授課時可參考。《課題學習最短路徑問題》教案一、教學目標知識與技能理解并掌握利用軸對稱解決兩點之間最短路徑問題,能將實際問題抽象為數(shù)學問題,并運用所學知識解決。掌握“垂線段最短”“兩點之間,線段最短”等基本原理在最短路徑問題中的應用。過程與方法通過觀察、實驗、猜想、驗證等數(shù)學活動,經(jīng)歷將實際問題抽象為數(shù)學的線段和最小問題的過程,培養(yǎng)學生的抽象思維和轉(zhuǎn)化能力。在解決問題的過程中,體會數(shù)學建模、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想方法,提高分析問題和解決問題的能力。情感態(tài)度與價值觀感受數(shù)學與生活的緊密聯(lián)系,激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣,增強學生應用數(shù)學的意識。通過小組合作探究,培養(yǎng)學生的團隊協(xié)作精神和勇于探索的科學態(tài)度,讓學生在解決問題的過程中體驗成功的喜悅。二、教學重難點教學重點利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間,線段最短”問題。能運用軸對稱和平移等知識解決實際生活中的最短路徑問題。教學難點如何通過軸對稱和平移等變換,將復雜的實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型,并找到最短路徑的構(gòu)造方法。理解最短路徑問題的證明思路,培養(yǎng)邏輯推理能力。三、教學方法講授法、演示法、討論法、探究法相結(jié)合,利用多媒體輔助教學,通過動畫演示、實際操作等方式幫助學生理解抽象的數(shù)學知識。四、教學過程(一)情境導入(5分鐘)展示生活中的實際問題圖片或視頻,如:一位將軍從城堡A出發(fā),先到河邊飲馬,然后再去城堡B開會,應該怎樣走才能使路程最短?提出問題:“同學們,如果你是這位將軍,你會如何選擇路線呢?”引導學生思考并發(fā)表自己的想法,從而引出本節(jié)課的課題——最短路徑問題。(二)知識回顧(3分鐘)提問學生:“我們學過的關(guān)于最短路徑的知識有哪些?”引導學生回顧“垂線段最短”“兩點之間,線段最短”等基本原理。簡單舉例,加深學生對這些原理的理解,為后續(xù)解決最短路徑問題做好鋪墊。(三)探究新知(20分鐘)探究一:兩點在直線異側(cè)的最短路徑問題多媒體展示問題:如圖,A,B兩點在直線l的異側(cè),在直線l上找一點C,使AC+BC最短。引導學生分析:根據(jù)“兩點之間,線段最短”,直接連接AB,與直線l的交點即為所求的點C。讓學生在練習本上畫出圖形,并說明理由。探究二:兩點在直線同側(cè)的最短路徑問題提出問題:如果A,B兩點在直線l的同側(cè),在直線l上找一點C,使AC+BC最短,又該如何解決呢?組織學生小組討論,嘗試尋找解決方法。教師巡視各小組,參與討論,適時引導。利用多媒體動畫演示:作點B關(guān)于直線l的對稱點B′,連接AB′,與直線l的交點C即為所求。讓學生觀察動畫,理解為什么這樣找到的點C能使AC+BC最短。引導學生進行嚴格的證明:因為點B和點B′關(guān)于直線l對稱,所以直線l是線段BB′的垂直平分線,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì),可得BC=B′C。所以AC+BC=AC+B′C,而根據(jù)“兩點之間,線段最短”,AB′最短,即當點C為AB′與直線l的交點時,AC+BC最短。探究三:造橋選址問題展示問題:如圖,A和B兩地在一條河的兩岸,現(xiàn)要在河上造一座橋MN,橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短?(假定河的兩岸是平行的直線,橋要與河垂直。)引導學生分析:由于河寬是固定的,即MN的長度是定值,所以要使路徑AMNB最短,只需AM+NB最短??梢酝ㄟ^平移的方法,將AM+NB轉(zhuǎn)化為在同一條直線上的線段和。動畫演示解題過程:將點A沿垂直于河岸的方向向下平移,使平移的距離等于河寬,得到點A′,連接A′B,與靠近B地的河岸交于點N,過點N作MN垂直于河岸,交對岸于點M,則MN即為所求的橋的位置。組織學生進行證明:因為AA′=MN,且AA′∥MN,所以四邊形AA′NM是平行四邊形,所以AM=A′N,那么AM+NB=A′N+
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