河北省石家莊市康福外國語學(xué)校2025屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末檢測(cè)模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．七巧板是我國古代勞動(dòng)人民的發(fā)明之一，被譽(yù)為“東方魔板”.如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為（）A． B． C． D．2．玲玲到保山旅游，打電話給大學(xué)同學(xué)姍姍，忘記了電話號(hào)碼的后兩位，只記得最后一位是6，8，9中的一個(gè)數(shù)字，則玲玲輸入一次號(hào)碼能夠成功撥對(duì)的概率是()A．13 B．110 C．13．定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，有，且為奇函數(shù)，則不等式的解集為A． B． C． D．4．設(shè)非零向量，，滿足，，則與的夾角為（）A． B． C． D．5．設(shè)函數(shù)，若的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．6．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足關(guān)系式，則的值等于（）A． B． C． D．7．設(shè)等比數(shù)列滿足，，則的最大值為A．32 B．128 C．64 D．2568．設(shè)集合，若，則（）A．1 B． C． D．-19．設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則的值為（）A． B． C． D．10．執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入的，那么輸出的（）A． B．C． D．11．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積（單位：）是（）A． B． C． D．12．曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角為（）A．30° B．60° C．45° D．120°二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．正方體ABCD-A1B1C1D14．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是．15．已知函數(shù)的定義域是，關(guān)于函數(shù)給出下列命題：①對(duì)于任意，函數(shù)是上的減函數(shù)；②對(duì)于任意，函數(shù)存在最小值；③存在，使得對(duì)于任意的，都有成立；④存在，使得函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．其中正確命題的序號(hào)是________．(寫出所有正確命題的序號(hào))16．已知函數(shù)在R上為增函數(shù)，則a的取值范圍是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列是公差不為的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．（12分）某研究機(jī)構(gòu)為了調(diào)研當(dāng)代中國高中生的平均年齡，從各地多所高中隨機(jī)抽取了40名學(xué)生進(jìn)行年齡統(tǒng)計(jì)，得到結(jié)果如下表所示：年齡（歲）數(shù)量6101284(Ⅰ)若同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表，試估計(jì)這批學(xué)生的平均年齡；(Ⅱ)若在本次抽出的學(xué)生中隨機(jī)挑選2人，記年齡在間的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.19．（12分）已知函數(shù)的定義域?yàn)?（1）若，解不等式；（2）若，求證：.20．（12分）在中，角所對(duì)的邊分別為,其中（1）求;（2）求邊上的高，21．（12分）袋中有形狀和大小完全相同的四種不同顏色的小球，每種顏色的小球各有1個(gè)，分別編號(hào)為1，2，3，1．現(xiàn)從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球．（Ⅰ）若兩個(gè)球顏色不同，求不同取法的種數(shù)；（Ⅱ）在（1）的條件下，記兩球編號(hào)的差的絕對(duì)值為隨機(jī)變量X，求隨機(jī)變量X的概率分布與數(shù)學(xué)期望．22．（10分）某中學(xué)高中畢業(yè)班的三名同學(xué)甲、乙、丙參加某大學(xué)的自主招生考核，在本次考核中只有合格和優(yōu)秀兩個(gè)等次.若考核為合格，則給予分的降分資格；若考核為優(yōu)秀，則給予分的降分資格.假設(shè)甲、乙、丙考核為優(yōu)秀的概率分別為、、，他們考核所得的等次相互獨(dú)立.（1）求在這次考核中，甲、乙、丙三名同學(xué)中至少有一名考核為優(yōu)秀的概率；（2）記在這次考核中，甲、乙、丙三名同學(xué)所得降分之和為隨機(jī)變量，請(qǐng)寫出所有可能的取值，并求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

設(shè)出大正方形的面積，求出陰影部分的面積，從而求出滿足條件的概率即可．【詳解】設(shè)“東方魔板”的面積是4，

則陰影部分的三角形面積是1，

陰影部分平行四邊形的面積是則滿足條件的概率故選：B本題考查了幾何概型問題，考查面積之比，是一道基礎(chǔ)題．2、D【解析】

由分步計(jì)數(shù)原理和古典概型求得概率．【詳解】由題意可知，最后一位有3種可能，倒數(shù)第2位有10種可能，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理總共情況為N=3×10=30，滿足情況只有一種，概率為P=1利用排列組合計(jì)數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是正確進(jìn)行分類和分步，分類時(shí)要注意不重不漏.在本題中，只有兩個(gè)號(hào)碼都拔完這種事情才完成，所以是分步計(jì)數(shù)原理．3、B【解析】

構(gòu)造函數(shù)，則得的單調(diào)性，再根據(jù)為奇函數(shù)得，轉(zhuǎn)化不等式為，最后根據(jù)單調(diào)性性質(zhì)解不等式.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，所以在上單獨(dú)遞減，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以.因此不等式等價(jià)于，即，選B.利用導(dǎo)數(shù)解抽象函數(shù)不等式，實(shí)質(zhì)是利用導(dǎo)數(shù)研究對(duì)應(yīng)函數(shù)單調(diào)性，而對(duì)應(yīng)函數(shù)需要構(gòu)造.構(gòu)造輔助函數(shù)常根據(jù)導(dǎo)數(shù)法則進(jìn)行：如構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造等4、B【解析】

由，且，可得，展開并結(jié)合向量的數(shù)量積公式，可求出的值，進(jìn)而求出夾角.【詳解】由，且，得，則，即，故，則，故.又，所以.故選：B本題考查向量夾角的求法，考查向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】很明顯，且應(yīng)滿足當(dāng)時(shí)，類指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值不大于一次函數(shù)的函數(shù)值，即，解得：，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛：(1)問題中參數(shù)值影響變形時(shí)，往往要分類討論，需有明確的標(biāo)準(zhǔn)、全面的考慮；(2)求解過程中，求出的參數(shù)的值或范圍并不一定符合題意，因此要檢驗(yàn)結(jié)果是否符合要求．6、D【解析】

求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后令，求得的值.【詳解】依題意，令得，，故選D.本小題在導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

先求出通項(xiàng)公式公式，再根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)和等差數(shù)列的求和公式，可得，令，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可求出．【詳解】由，，可得，解得，，，，令，當(dāng)或時(shí)，有最小值，即，的最大值為，故選C．本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式等差數(shù)列的求和公式，指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題8、A【解析】

由得且，把代入二次方程求得，最后對(duì)的值進(jìn)行檢驗(yàn).【詳解】因?yàn)?，所以且，所以，解?當(dāng)時(shí)，，顯然，所以成立，故選A.本題考查集合的交運(yùn)算，注意求出參數(shù)的值后要記得檢驗(yàn).9、C【解析】分析：求導(dǎo)，代值即可.詳解：，則.故選：C.點(diǎn)睛：對(duì)于函數(shù)求導(dǎo)，一般要遵循先化簡(jiǎn)再求導(dǎo)的基本原則．求導(dǎo)時(shí)，不但要重視求導(dǎo)法則的應(yīng)用，而且要特別注意求導(dǎo)法則對(duì)求導(dǎo)的制約作用，在實(shí)施化簡(jiǎn)時(shí)，首先必須注意變換的等價(jià)性，避免不必要的運(yùn)算失誤．10、D【解析】分析：由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量的值，模擬程序的運(yùn)行過程，分析循環(huán)中各個(gè)變量值的變化情況，可得結(jié)論.詳解：模擬程序的運(yùn)行過程，分析循環(huán)中各個(gè)變量值的變化情況，可得程序的作用是求和，即，故選D.點(diǎn)睛：本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過程，以便得出正確的結(jié)論，是中檔題.算法是新課標(biāo)高考的一大熱點(diǎn)，其中算法的交匯性問題已成為高考的一大亮，這類問題常常與函數(shù)、數(shù)列、不等式等交匯自然，很好地考查考生的信息處理能力及綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力，解決算法的交匯性問題的方：（1）讀懂程序框圖、明確交匯知識(shí)，(2）根據(jù)給出問題與程序框圖處理問題即可.11、A【解析】由三視圖可知，該幾何體是半個(gè)圓柱和以圓柱軸截面為底面的四棱錐組成的組合體，其中半圓柱底面半徑為，高為，體積為，四棱錐體積為，所以該幾何體體積為，故選A.【方法點(diǎn)睛】本題利用空間幾何體的三視圖重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問題是考查學(xué)生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點(diǎn).觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關(guān)鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長(zhǎng)對(duì)正，寬相等”，還要特別注意實(shí)線與虛線以及相同圖形的不同位置對(duì)幾何體直觀圖的影響.12、C【解析】

求導(dǎo)得：在點(diǎn)處的切線斜率即為導(dǎo)數(shù)值1.所以傾斜角為45°.故選C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、60°【解析】

由正方體的性質(zhì)可以知道：DC1//AB1,根據(jù)異面直線所成角的定義,可以知道∠B1AD1【詳解】如圖所示：連接AB1,因?yàn)镈C1//AB1,所以∠AB1、AD1、D1∠B1AD1=60°故答案為60°本題考查了異面直線所成的角,掌握正方體的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.14、【解析】試題分析：因?yàn)?，所以單調(diào)遞增區(qū)間是考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)應(yīng)用15、②④【解析】函數(shù)的定義域是，且，當(dāng)時(shí)，在恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故①錯(cuò)誤；對(duì)于，存在，使，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以對(duì)于任意，函數(shù)存在最小值，故②正確；函數(shù)的圖象在有公共點(diǎn)，所以對(duì)于任意，有零點(diǎn)，故③錯(cuò)誤；由②得函數(shù)存在最小值，且存在，使，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故④正確；故填②④.點(diǎn)睛：本題的易錯(cuò)點(diǎn)在于正確理解“任意”和“存在”的含義，且正確區(qū)分兩者的不同.16、【解析】

由分段函數(shù)在R上為增函數(shù),則,進(jìn)而求解即可.【詳解】因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù),所以,解得,故答案為:本題考查已知分段函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍,考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義和，，成等比數(shù)列代入公式得到方程，解出答案.(2)據(jù)(1)把通項(xiàng)公式寫出,根據(jù)裂項(xiàng)求和的方法求得.【詳解】解：(1)，，成等比數(shù)列,則或(舍去)所以（2）本題考查了公式法求數(shù)列通項(xiàng)式，裂項(xiàng)求和方法求，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）估計(jì)這批學(xué)生的平均年齡為歲；（2）見解析.【解析】分析：(1)根據(jù)組中值與對(duì)應(yīng)區(qū)間概率乘積的和計(jì)算平均數(shù)，(2)先判斷隨機(jī)變量服從“超幾何分布”，再根據(jù)“超幾何分布”分布列公式以及數(shù)學(xué)期望公式求結(jié)果.詳解：(Ⅰ)由表中的數(shù)據(jù)可以估算這批學(xué)生的平均年齡為.所以估計(jì)這批學(xué)生的平均年齡為（歲）.(Ⅱ)由表中數(shù)據(jù)知，“本次抽出的學(xué)生中”挑選2人，服從“超幾何分布”，則,,.故的分布列為012故的數(shù)學(xué)期望為.點(diǎn)睛：對(duì)于有些實(shí)際問題中的隨機(jī)變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布(如二項(xiàng)分布，超幾何分布)，則此隨機(jī)變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式()求得.因此，應(yīng)熟記常見的典型分布的期望公式，可加快解題速度.19、(1)(2)見解析【解析】分析：（1）由可得，然后將不等式中的絕對(duì)值去掉后解不等式可得所求．（2）結(jié)合題意運(yùn)用絕對(duì)值的三角不等式證明即可．詳解：（1），即，則，∴，∴不等式化為．①當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得；②當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得.綜上可得．∴原不等式的解集為.（2）證明：∵，∴.又，∴.點(diǎn)睛：含絕對(duì)值不等式的常用解法（1）基本性質(zhì)法：當(dāng)a>0時(shí)，|x|＜a?－a＜x＜a，|x|＞a?x＜－a或x＞a．（2）零點(diǎn)分區(qū)間法：含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值符號(hào)的不等式，可用零點(diǎn)分區(qū)間法去掉絕對(duì)值符號(hào)，將其轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的不含絕對(duì)值符號(hào)的不等式(組)求解．（3）幾何法：利用絕對(duì)值的幾何意義，畫出數(shù)軸，將絕對(duì)值轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離求解．（4）數(shù)形結(jié)合法：在直角坐標(biāo)系中作出不等式兩邊所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用函數(shù)圖象求解．20、（1）；（2）【解析】

（1）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，再由正弦定理求出，即可得解；（2）首先由兩角和的正弦公式求出，過作交于點(diǎn)，在中，，即可求出；【詳解】解：（1）因?yàn)榍?，，，由正弦定理可得，即解得，因?yàn)?，?）如圖，過作交于點(diǎn)，在中如圖所示，在中，故邊上的高為本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，正弦定理解三角形以及三角恒等變換的應(yīng)用，屬于中檔題.21、（1）96（2）見解析【解析】

（1）兩個(gè)球顏色不同的情況共有12＝96(種).（2）隨機(jī)變量X所有可能的值為0，1，2，2．P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝2)＝所以隨機(jī)變量X的概率分布列為：X0122P所以E(X)＝0＋1＋2＋2＝．點(diǎn)睛：求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每個(gè)值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式(常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨(dú)立事件的概率積公式，以及對(duì)立事件的概率公式等)，求出隨機(jī)變量取每個(gè)值時(shí)的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值，對(duì)于有些實(shí)際問題中的隨機(jī)變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布(如二項(xiàng)分布)，則此隨機(jī)變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式()求得.