四川省成都市實驗高級中學2025年高二數(shù)學第二學期期末聯(lián)考模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．證明等式時，某學生的證明過程如下（1）當n=1時，，等式成立；（2）假設時，等式成立，即，則當時，，所以當時，等式也成立，故原式成立.那么上述證明（）A．過程全都正確 B．當n=1時驗證不正確C．歸納假設不正確 D．從到的推理不正確2．下列函數(shù)中，其圖像與函數(shù)的圖像關于直線對稱的是A． B． C． D．3．下列三句話按三段論的模式排列順序正確的是（）①2018能被2整除；②一切偶數(shù)都能被2整除；③2018是偶數(shù)；A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①4．二項式的展開式中的常數(shù)項是A．第10項 B．第9項 C．第8項 D．第7項5．已知橢圓的右焦點為，短軸的一個端點為，直線與橢圓相交于、兩點.若，點到直線的距離不小于，則橢圓離心率的取值范圍為A． B． C． D．6．下列函數(shù)中，與函數(shù)的奇偶性相同，且在上單調性也相同的是（）A． B． C． D．7．已知，（），則數(shù)列的通項公式是（）A． B． C． D．8．中，，且，點滿足，則A． B． C． D．9．在的展開式中，記項的系數(shù)為，則＋＋＋＝()A．45 B．60 C．120 D．21010．函數(shù)與在同一坐標系中的圖象可能是（）A． B．C． D．11．已知面積為的等腰內接于拋物線，為坐標原點，，為拋物線的焦點，點.若是拋物線上的動點，則的最大值為（）A． B． C． D．12．一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B．8 C．6 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．復數(shù)滿足，則__________．14．觀察如圖等式，照此規(guī)律，第個等式為______.15．在棱長為1的正方體中，點是對角線上的動點（點與不重合），則下列結論正確的是____.①存在點，使得平面平面；②存在點，使得平面；③的面積不可能等于；④若分別是在平面與平面的正投影的面積，則存在點，使得.16．設直線（為參數(shù)），曲線（為參數(shù)），直線與曲線交于兩點，則__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在直三棱柱中，分別是棱的中點，點在線段上（包括兩個端點）運動．（1）當為線段的中點時，①求證：；②求平面與平面所成銳二面角的余弦值；（2）求直線與平面所成的角的正弦值的取值范圍.18．（12分）已知公差不為零的等差數(shù)列滿足，且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，且數(shù)列的前項和為，求證：.19．（12分）某車間名工人年齡數(shù)據(jù)如表所示：（1）求這名工人年齡的眾數(shù)與極差；（2）以十位數(shù)為莖，個位數(shù)為葉，作出這名工人年齡的莖葉圖；（3）求這名工人年齡的方差．年齡（歲）工人數(shù)（人）合計20．（12分）如圖，在矩形中，為CD的中點，將沿AE折起到的位置，使得平面平面．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值.21．（12分）設相互垂直的直線，分別過橢圓的左、右焦點，，且與橢圓的交點分別為、和、.（1）當?shù)膬A斜角為時，求以為直徑的圓的標準方程；（2）問是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.22．（10分）某學校高三年級學生某次身體素質體能測試的原始成績采用百分制，已知所有這些學生的原始成績均分布在內，發(fā)布成績使用等級制，各等級劃分標準見下表．百分制85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等級ABCD規(guī)定：A，B，C三級為合格等級，D為不合格等級為了解該校高三年級學生身體素質情況，從中抽取了n名學生的原始成績作為樣本進行統(tǒng)計．按照，，，，的分組作出頻率分布直方圖如圖1所示，樣本中分數(shù)在80分及以上的所有數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖2所示求n和頻率分布直方圖中的x，y的值，并估計該校高一年級學生成績是合格等級的概率；根據(jù)頻率分布直方圖，求成績的中位數(shù)精確到；在選取的樣本中，從A，D兩個等級的學生中隨機抽取2名學生進行調研，求至少有一名學生是A等級的概率．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】分析：由題意結合數(shù)學歸納法的證明方法考查所給的證明過程是否存在錯誤即可.詳解：考查所給的證明過程：當時驗證是正確的，歸納假設是正確的，從到的推理也是正確的，即證明過程中不存在任何的問題.本題選擇A選項.點睛：本題主要考查數(shù)學歸納法的概念及其應用，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.2、B【解析】分析：確定函數(shù)過定點（1，0）關于x=1對稱點，代入選項驗證即可．詳解：函數(shù)過定點（1，0），（1，0）關于x=1對稱的點還是（1，0），只有過此點．故選項B正確點睛：本題主要考查函數(shù)的對稱性和函數(shù)的圖像，屬于中檔題．3、C【解析】分析：根據(jù)三段論的一般模式進行排序即可．詳解：由題意知，“一切偶數(shù)都能被2整除”是大前提，“2018是偶數(shù)”是小前提，“2018能被2整除”是結論．故這三句話按三段論的模式排列順序為②③①．故選C．點睛：“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情況；③結論——根據(jù)一般原理對特殊情況做出的判斷．4、B【解析】展開式的通項公式Tr＋1＝，令＝0，得r＝8.展開式中常數(shù)項是第9項.選B.點睛：求二項展開式有關問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第項，再由特定項的特點求出值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)項，再由通項寫出第項，由特定項得出值，最后求出其參數(shù).5、C【解析】

根據(jù)橢圓對稱性可證得四邊形為平行四邊形，根據(jù)橢圓定義可求得；利用點到直線距離構造不等式可求得，根據(jù)可求得的范圍，進而得到離心率的范圍.【詳解】設橢圓的左焦點為，為短軸的上端點，連接，如下圖所示：由橢圓的對稱性可知，關于原點對稱，則又四邊形為平行四邊形又，解得：點到直線距離：，解得：，即本題正確選項：本題考查橢圓離心率的求解，重點考查橢圓幾何性質，涉及到橢圓的對稱性、橢圓的定義、點到直線距離公式的應用等知識.6、A【解析】

先分析的奇偶性以及在的單調性，然后再對每個選項進行分析.【詳解】函數(shù)為偶函數(shù),且在上為增函數(shù)，對于選項,函數(shù)為偶函數(shù)，在上為増函數(shù)，符合要求；對于選項,函數(shù)是偶函數(shù)，在上為減函數(shù)，不符合題意；對于選項,函數(shù)為奇函數(shù)，不符合題意；對于選項,函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，不符合要求；只有選項符合要求，故選.奇偶函數(shù)的判斷：（滿足定義域關于原點對稱的情況下）若，則是奇函數(shù)；若，則是偶函數(shù).7、C【解析】由，得：，∴為常數(shù)列，即，故故選C8、D【解析】分析：以點為原點，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立平面直角坐標系，求得點的坐標，利用向量的坐標運算即可求解．詳解：由題意，以點為原點，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立平面直角坐標系，則，設點，則，又由，所以，即，所以，所以，故選D．點睛：本題主要考查了向量的坐標表示與向量的坐標運算問題，其中恰當?shù)慕⒅苯亲鴺讼?，求得向量的坐標，利用向量的?shù)量積的運算公式求解是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及推理與計算能力．9、C【解析】

由題意依次求出x3y0，x2y1，x1y2，x0y3，項的系數(shù)，求和即可．【詳解】（1+x）6（1+y）4的展開式中，含x3y0的系數(shù)是：=1．f（3，0）=1；含x2y1的系數(shù)是=60，f（2，1）=60；含x1y2的系數(shù)是=36，f（1，2）=36；含x0y3的系數(shù)是=4，f（0，3）=4；∴f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=11．故選C．本題考查二項式定理系數(shù)的性質，二項式定理的應用，考查計算能力．10、C【解析】

由二次函數(shù)中一次項系數(shù)為0，我們易得函數(shù)的圖象關于軸對稱，然后分當時和時兩種情況，討論函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象位置、形狀、頂點位置，可用排除法進行解答．【詳解】由函數(shù)中一次項系數(shù)為0，我們易得函數(shù)的圖象關于軸對稱，可排除；當時，函數(shù)的圖象開口方向朝下，頂點點在軸下方，函數(shù)的圖象位于第二、四象限，可排除；時，函數(shù)的圖象開口方向朝上，頂點點在軸上方，可排除A；故選C．本題考查的知識點是函數(shù)的表示方法(圖象法)，熟練掌握二次函數(shù)及反比例函數(shù)圖象形狀與系數(shù)的關系是解答本題的關鍵．11、B【解析】

根據(jù)題意求得兩點關于對稱，得到直線的方程為，由的面積為，求得，再把過點N的直線方程為，代入，求得判別式求得，最后利用拋物線的定義，即可求解.【詳解】設等腰直角三角形的頂點，且，由，得，所以，即，因為，所以，即兩點關于對稱，所以直線的方程為，由，解得或，故，所以，因為的面積為，所以，過點N的直線方程為，代入可得，所以由，可得，此時直線的傾斜角為，過M作準線的垂線，垂足為A，則，所以，所以直線的傾斜角為或時，此時的最大值為，故選B.本題主要考查了拋物線的標準方程及其簡單的幾何性質的應用，其中解答中求得兩點關于對稱，合理利用拋物線的定義是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.12、A【解析】分析：由三視圖可知，該幾何體是一個四棱錐，它的底面是一個長寬分別為的矩形，棱錐的高為，利用棱錐的體積公式可得結果.詳解：根據(jù)三視圖知：由三視圖可知，該幾何體是一個四棱錐，它的底面是個長寬分別為的矩形，棱錐的高為，，故選A.點睛：本題利用空間幾何體的三視圖重點考查學生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于中檔題.三視圖問題是考查學生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點.觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對正，寬相等”，還要特別注意實線與虛線以及相同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響，對簡單組合體三視圖問題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據(jù)正視圖和側視圖，確定組合體的形狀.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、5.【解析】分析：先求復數(shù)z，再求.詳解：由題得所以.故答案為：5.點睛：（1）本題主要考查復數(shù)的運算和復數(shù)的模，意在考查學生對這些知識的掌握水平.(2)復數(shù)的共軛復數(shù).14、.【解析】分析：由題意結合所給等式的規(guī)律歸納出第個等式即可.詳解：首先觀察等式左側的特點：第1個等式開頭為1，第2個等式開頭為2，第3個等式開頭為3，第4個等式開頭為4，則第n個等式開頭為n，第1個等式左側有1個數(shù)，第2個等式左側有3個數(shù)，第3個等式左側有5個數(shù)，第4個等式左側有7個數(shù)，則第n個等式左側有2n-1個數(shù)，據(jù)此可知第n個等式左側為：，第1個等式右側為1，第2個等式右側為9，第3個等式右側為25，第4個等式右側為49，則第n個等式右側為，據(jù)此可得第個等式為.點睛：歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理，由歸納推理所得的結論不一定正確，通常歸納的個體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法．15、①②④【解析】

逐項分析.【詳解】①如圖當是中點時，可知也是中點且，，，所以平面，所以，同理可知，且，所以平面，又平面，所以平面平面，故正確；②如圖取靠近的一個三等分點記為，記，，因為，所以，所以為靠近的一個三等分點，則為中點，又為中點，所以，且，，，所以平面平面，且平面，所以平面，故正確；③如圖作，在中根據(jù)等面積得：，根據(jù)對稱性可知：，又，所以是等腰三角形，則，故錯誤；④如圖設，在平面內的正投影為，在平面內的正投影為，所以，，當時，解得：，故正確.故填：①②④.本題考查立體幾何的綜合問題，難度較難.對于判斷是否存在滿足垂直或者平行的位置關系，可通過對特殊位置進行分析得到結論，一般優(yōu)先考慮中點、三等分點；同時計算線段上動點是否滿足一些情況時，可以設動點和線段某一端點組成的線段與整個線段長度的比值為，然后統(tǒng)一未知數(shù)去分析問題.16、【解析】試題分析：由題意得，曲線的普通方程為，直線的直角坐標方程為，所以圓心到直線的距離為，所以直線與曲線交于．考點：直線與圓的位置的弦長的計算．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）①見解析；②；（2）.【解析】

（1）以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系，由向量法證明線線垂直和計算二面角．（2）設（），設直線與平面所成的角為由向量坐標法求得設設由導數(shù)法求得范圍．【詳解】以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系，則，.因為分別是棱的中點，所以（1）當為線段的中點時，則①因為所以即②因為設平面的一個法向量為由可得，取，則所以又因為是平面的一個法向量，設平面與平面所成的二面角的平面角為，則.因為為銳角，所以所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為（2）因為在線段上，所以設（），解得，所以.因為設平面的一個法向量為由可得，取則所以設直線與平面所成的角為則因為所以設則所以，設則，設可求得的取值范圍為，進一步可求得的取值范圍為所以直線與平面所成的角的正弦值的取值范圍為.本題全面考查利用空間向量坐標法證明線線垂直，求二面角，構造函數(shù)關系，并利用導數(shù)求范圍，運算難度較大．18、(1).(2)見詳解.【解析】

(1)設公差為，由已知條件列出方程組，解得，解得數(shù)列的通項公式.(2)得出，可由裂項相消法求出其前項和，進而可證結論.【詳解】(1)設等差數(shù)列的公差為().由題意得則化簡得解得所以.(2)證明：，所以.本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本量運算、裂項相消法求和、不等式的證明.通項公式形如的數(shù)列，可由裂項相消法求和.19、（1）眾數(shù)為30，極差為21；（2）見解析；（3）方差,12.6【解析】

（1）根據(jù)眾數(shù)和極差的定義，可以求出眾數(shù)、極差；（2）按照制作莖葉圖的方法制作即可；（3）先求出30個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，然后按照方差計算公式求出方差.【詳解】（1）這20名工人年齡的眾數(shù)為30，極差為；（2）莖葉圖如下：（3）年齡的平均數(shù)為，故這20名工人年齡的方差為.本題考查了眾數(shù)、極差的定義，考查了繪制莖葉圖，考查了方差的計算公式.20、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）由題可得，即，由平面平面，根據(jù)面面垂直的性質可得平面，從而證明平面平面；（2）結合（1），如圖建立空間直角坐標系，分別求出平面與平面的法向量，由二面角的余弦公式求出余弦值，從而可得到平面與平面所成二面角的正弦值．【詳解】（1）證明：設，在矩形中，由為的中點，易求得：，所以．所以．又因為平面平面，平面平面，所以平面．又平面，所以平面平面.（2）設，取中點，連接﹐由，得，所以．又平面平面，平面平面，故平面．如圖，以為坐標原點，分別以，的方向為軸，軸正方向建立空間直角坐標系，依題意得：.，由（1）知平面，故可取平面的法向量為，設平面的法向量為，則，即不妨取，得，設平面與平面所成二面角為θ，，則，所以平面與平面所成二面角的正弦值為.本題考查立體幾何中面面垂直的證明以及二面角的正弦值的求法，考查利用空間向量解決問題的能力，屬于中檔題．21、（Ⅰ）（Ⅱ）存在，使得恒成立，詳見解析【解析】

（1）將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，計算出線段的中點坐標，利用弦長公式計算出，于此得出圓心坐標和半徑長，再寫出圓的標準式方程；（2）對直線的斜率是否存在進行分類討論，在直線的斜率不存在時，分別計算出和，可計算出的值，在直線的斜率存在且不為零時，設直線的方程為，將該直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式以及韋達定理計算出，同理計算出，代入題中等式計算出的值，從而說明實數(shù)存在．【詳解】（1）由題意可設的方程為，代入可得．所以，的中點坐標為．又，所以，以為直徑的圓的方程為．