高中特色招生數(shù)學(xué)試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sinx\)的最小正周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(3\pi\)D.\(4\pi\)2.已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，則\(A\capB=\)（）A.\(\{1\}\)B.\(\{4\}\)C.\(\{2,3\}\)D.\(\{1,2,3,4\}\)3.直線\(y=2x+1\)的斜率為（）A.\(-2\)B.\(-\frac{1}{2}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(2\)4.若\(a\gtb\)，則下列不等式成立的是（）A.\(a^2\gtb^2\)B.\(ac\gtbc\)C.\(a+c\gtb+c\)D.\(\frac{1}{a}\lt\frac{1}\)5.拋物線\(y^2=4x\)的焦點坐標是（）A.\((1,0)\)B.\((0,1)\)C.\((2,0)\)D.\((0,2)\)6.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(3,4)\)，則\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow=\)（）A.\((4,6)\)B.\((-2,-2)\)C.\((2,2)\)D.\((-4,-6)\)7.若\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，且\(\alpha\)在第一象限，則\(\cos\alpha=\)（）A.\(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)C.\(-\frac{1}{2}\)D.\(\frac{1}{2}\)8.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=a_n+2\)，則\(a_5=\)（）A.\(9\)B.\(11\)C.\(13\)D.\(15\)9.函數(shù)\(f(x)=x^3\)的導(dǎo)數(shù)\(f^\prime(x)\)是（）A.\(3x^2\)B.\(x^2\)C.\(3x\)D.\(1\)10.圓\((x-1)^2+(y+2)^2=4\)的圓心坐標為（）A.\((1,-2)\)B.\((-1,2)\)C.\((1,2)\)D.\((-1,-2)\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是奇函數(shù)（）A.\(y=x\)B.\(y=x^2\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=\cosx\)2.下列屬于基本不等式應(yīng)用的是（）A.求函數(shù)\(y=x+\frac{1}{x}(x\gt0)\)的最小值B.證明\(a^2+b^2\geq2ab\)C.求三角形面積D.求數(shù)列通項公式3.以下哪些是橢圓的標準方程形式（）A.\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)B.\(\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)C.\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)D.\(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\)4.對于等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)，下列說法正確的是（）A.\(a_n=a_1+(n-1)d\)（\(d\)為公差）B.若\(m+n=p+q\)，則\(a_m+a_n=a_p+a_q\)C.前\(n\)項和\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)D.是常數(shù)列時公差\(d=0\)5.下列函數(shù)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增的有（）A.\(y=x\)B.\(y=x^2\)C.\(y=\frac{1}{x}\)D.\(y=\lnx\)6.已知直線\(l_1:y=k_1x+b_1\)，\(l_2:y=k_2x+b_2\)，若\(l_1\parallell_2\)，則（）A.\(k_1=k_2\)B.\(b_1=b_2\)C.\(k_1k_2=-1\)D.\(b_1\neqb_2\)7.關(guān)于復(fù)數(shù)\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)），正確的是（）A.實部是\(a\)B.虛部是\(b\)C.\(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)D.\(z\)的共軛復(fù)數(shù)\(\overline{z}=a-bi\)8.以下哪些是等比數(shù)列的性質(zhì)（）A.\(a_n=a_1q^{n-1}\)（\(q\)為公比）B.若\(m+n=p+q\)，則\(a_m\cdota_n=a_p\cdota_q\)C.前\(n\)項和\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}(q\neq1)\)D.常數(shù)列一定是等比數(shù)列9.已知\(\triangleABC\)，由下列條件能確定三角形形狀的有（）A.\(a=3\)，\(b=4\)，\(c=5\)B.\(A=30^{\circ}\)，\(B=60^{\circ}\)，\(C=90^{\circ}\)C.\(a=b\)，\(A=45^{\circ}\)D.\(a=2\)，\(b=3\)，\(A=30^{\circ}\)10.下列哪些是二項式\((a+b)^n\)展開式的性質(zhì)（）A.共有\(zhòng)(n+1\)項B.二項式系數(shù)之和為\(2^n\)C.中間項二項式系數(shù)最大D.各項次數(shù)都為\(n\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的子集。（）2.若\(a\gtb\)，\(c\gtd\)，則\(a-c\gtb-d\)。（）3.函數(shù)\(y=\cosx\)的圖象關(guān)于\(y\)軸對稱。（）4.直線\(x=1\)的斜率不存在。（）5.雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)的漸近線方程是\(y=\pm\frac{a}x\)。（）6.若向量\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=0\)，則\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow\)。（）7.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=n^2\)，則\(a_n=2n-1\)。（）8.函數(shù)\(y=e^x\)的導(dǎo)數(shù)是\(y^\prime=e^x\)。（）9.圓\(x^2+y^2=r^2\)的圓心是原點\((0,0)\)。（）10.若\(a\)，\(b\)，\(c\)成等比數(shù)列，則\(b^2=ac\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^2-2x+3\)的對稱軸和頂點坐標。-答案：對于二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)，對稱軸\(x=-\frac{2a}\)，此函數(shù)\(a=1\)，\(b=-2\)，則對稱軸\(x=1\)。把\(x=1\)代入函數(shù)得\(y=2\)，頂點坐標為\((1,2)\)。2.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\)為第二象限角，求\(\cos\alpha\)和\(\tan\alpha\)的值。-答案：因為\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)，\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，則\(\cos\alpha=-\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}=-\frac{4}{5}\)。\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}}=-\frac{3}{4}\)。3.求過點\((1,2)\)且斜率為\(3\)的直線方程。-答案：由直線的點斜式方程\(y-y_0=k(x-x_0)\)（\((x_0,y_0)\)為直線上一點，\(k\)為斜率），已知點\((1,2)\)，斜率\(k=3\)，則直線方程為\(y-2=3(x-1)\)，即\(y=3x-1\)。4.計算\(\int_{0}^{1}x^2dx\)的值。-答案：根據(jù)定積分公式\(\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C(n\neq-1)\)，則\(\int_{0}^{1}x^2dx=[\frac{1}{3}x^3]_{0}^{1}=\frac{1}{3}(1^3-0^3)=\frac{1}{3}\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)和\((-\infty,0)\)上的單調(diào)性，并說明理由。-答案：在\((0,+\infty)\)上，任取\(x_1\ltx_2\)，\(f(x_1)-f(x_2)=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}=\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}\gt0\)，所以\(f(x_1)\gtf(x_2)\)，函數(shù)單調(diào)遞減。同理在\((-\infty,0)\)上也單調(diào)遞減。2.已知橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)，討論\(a\)，\(b\)變化時對橢圓形狀的影響。-答案：\(a\)決定橢圓在\(x\)軸方向的“長度”，\(a\)越大，橢圓越扁長；\(b\)決定橢圓在\(y\)軸方向的“長度”，\(b\)越大，橢圓越接近圓。當\(a\)，\(b\)差距越大，橢圓越扁；當\(a\)，\(b\)越接近，橢圓越接近圓。3.探討等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系。-答案：等差數(shù)列通項公式\(a_n=a_1+(n-1)d=dn+(a_1-d)\)，當\(d\neq0\)時，\(a_n\)是關(guān)于\(n\)的一次函數(shù)，\(d\)是斜率，\(a_1-d\)是截距；\(d=0\)時，\(a_n\)是常函數(shù)。其圖象是直線上的孤立點。4.討論在三角形中，已知兩邊及其中一邊的對角，解三角形的情況。-答案：已知\(a\)，\(b\)，\(A\)。當\(A\)為鈍角或直角，若\(a\gtb\)有一解，\(a\leqb\)無解；當\(A\)為銳角，若\(a\geqb\)有一解，\(a\ltb\)時，\(a\gtb\sinA\)有兩解，\(a