高三數(shù)學(xué)大題規(guī)范訓(xùn)練（29）15.已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且滿足．（1）證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）證明見解答，（2）【解答】【分析】（1）根據(jù)條件中的遞推關(guān)系式，結(jié)合等差數(shù)列的定義，即可證明，并求通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，可知，再利用裂項(xiàng)相消法求和.【小問1詳解】由，，得，則，于是，所以數(shù)列是首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，故，所以,【小問2詳解】由（1）知，所以.16.如圖，在三角形中，，，平分交于點(diǎn)，．（1）求的值；（2）求的長(zhǎng)度；（3）求的面積．【答案】（1）（2）（3）【解答】【分析】（1）由題意，利用正弦定理，結(jié)合角的取值范圍，可得答案；（2）由題意，求得三角形的內(nèi)角，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，可得答案；（3）利用三角形的面積公式，結(jié)合正弦的差角公式，可得答案.【小問1詳解】在中，由正弦定理得，所以，因?yàn)?，所以；【小?詳解】由（1）得，由題設(shè)，，則，即為等腰三角形，所以．【小問3詳解】，所以面積．17.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，是正三角形，.平面平面ABCD，點(diǎn)在棱PC上.（1）若平面ADE與棱PB交于點(diǎn)，求證：平面ABCD；（2）若二面角E-AD-B的余弦值為，求點(diǎn)到平面ABCD的距離.【答案】（1）答案見解答（2）【解答】【分析】（1）運(yùn)用線面平行判斷得到平面，再用線面平行性質(zhì)得到，進(jìn)而得到線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，，則點(diǎn)，求出平面的法向量，根據(jù)二面角余弦值構(gòu)造方程即可求出,再用點(diǎn)到平面的距離公式計(jì)算即可.【小問1詳解】因?yàn)榈酌媸橇庑?，所以，又平面，平面，則平面．點(diǎn)在線段上，平面與線段交于點(diǎn)，所以平面平面，而平面，所以．又平面，平面，所以平面．【小問2詳解】取的中點(diǎn)，連接，，如圖所示，由條件，是正三角形，，則，，，而平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，則，而，得．在中，，結(jié)合勾股定理易得．以為原點(diǎn)，，，分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)，，則，所以點(diǎn)，，，設(shè)平面的法向量為，由取，則，，平面的法向量為，而平面的法向量為，故，解得（舍負(fù)），所以．設(shè)直線E與平面所成角為，．18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，（?。┣蟮臉O值；（ⅱ）若的極小值小于0，求的取值范圍．【答案】（1）（2）（?。O小值，無(wú)極大值；（ⅱ）【解答】【分析】（1）求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；（2）（?。┣髮?dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性進(jìn)而求出極值；（ⅱ）分析可得，構(gòu)造函數(shù)，，解法一利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，解法二根據(jù)，在內(nèi)均單調(diào)遞增得到函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)求解即可.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，則，，可得，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，所以切線方程為，即；【小問2詳解】（?。┮?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，令，解得；?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則有極小值，無(wú)極大值；（ⅱ）由題意可得：，因?yàn)?，所以，?gòu)建，，因?yàn)?，所以在?nèi)單調(diào)遞增，因?yàn)椋坏仁降葍r(jià)于，解得，所以的取值范圍為.解法二：由題意可得：，即，構(gòu)建，，因?yàn)?，在?nèi)均單調(diào)遞增，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，不等式等價(jià)于，解得，所以的取值范圍為.19.對(duì)于確定的正整數(shù)，若存在正整數(shù)，使得成立，則稱數(shù)列為“階可分拆數(shù)列”．（1）設(shè)是公差為的等差數(shù)列，若為“階可分拆數(shù)列”，證明：；（2）設(shè)函數(shù)，記曲線在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)為，，探究數(shù)列是否為“階可分拆數(shù)列”，并說(shuō)明理由；（3）設(shè)，若數(shù)列為“階可分拆數(shù)列”，求由所有的值組成的集合．【答案】（1）證明見解答（2）數(shù)列不是“階可分拆數(shù)列”，理由見解答（3）．【解答】【分析】（1）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，表示出，由題意建立方程，可得答案；（2）由函數(shù)解答式求導(dǎo)，設(shè)出切點(diǎn)并寫出切線方程，表示出數(shù)列，利用余弦和角公式，可得答案；（3）由題意建立方程并化簡(jiǎn)整理，利用列舉檢驗(yàn)，可得答案.【小問1詳解】因?yàn)槭枪顬榈牡炔顢?shù)列，所以，所以，．因?yàn)闉椤半A可分拆數(shù)列”，所以，即．化簡(jiǎn)，得．【小問2詳解】由，得．又切點(diǎn)為，，則過(guò)該切點(diǎn)的切線方程為易知當(dāng)時(shí)，．令，整理，得，所以，所以，．又，所以；所以數(shù)列不是“階可分拆數(shù)列”．【小問3詳解】由題意，知對(duì)于確定的正整數(shù)，存在正整數(shù)，使得成立，即，所以．①若，則，當(dāng)時(shí)，成立：②若，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以不存在正整數(shù)，使得成立；③若，則，當(dāng)時(shí)，成立；④若