廣東省揭陽市第一中學(xué)2015-2016學(xué)年高二上學(xué)期第二次段考理科數(shù)學(xué)試題一、選擇題要求：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若函數(shù)f(x)=x^3-3x+1，則f(x)的圖像的對(duì)稱中心為（）A.(0,1)B.(1,0)C.(0,0)D.(1,1)2.已知等差數(shù)列{an}的公差為d，且a1+a5=10，a2+a4=12，則d的值為（）A.1B.2C.3D.43.若向量a=(2,3)，向量b=(1,-1)，則向量a·b的值為（）A.5B.-5C.1D.-14.已知函數(shù)f(x)=x^2-4x+5，則f(x)的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）A.(2,1)B.(2,3)C.(0,5)D.(4,5)5.若復(fù)數(shù)z滿足|z-1|=|z+1|，則復(fù)數(shù)z的軌跡方程為（）A.x^2+y^2=1B.x^2+y^2=4C.x^2-y^2=1D.x^2-y^2=4二、填空題要求：在每小題空格內(nèi)填入正確答案。6.若函數(shù)f(x)=(x-1)/(x+1)的圖像關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱，則f(x)的圖像的對(duì)稱軸方程為______。7.已知等比數(shù)列{an}的公比為q，且a1+a2+a3=27，a2+a3+a4=81，則q的值為______。8.若向量a=(3,4)，向量b=(1,-2)，則向量a與向量b的夾角余弦值為______。9.已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)，則f(x)的定義域?yàn)開_____。10.若復(fù)數(shù)z滿足|z-1|=|z+1|，則復(fù)數(shù)z的實(shí)部為______。三、解答題要求：解答下列各題。11.（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=x^2-2ax+1在區(qū)間[1,3]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。12.（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列{an}的公差為d，且a1+a5=10，a2+a4=12，求該數(shù)列的前10項(xiàng)和S10。四、解答題要求：解答下列各題。13.（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=x^3-6x^2+9x在區(qū)間[0,2]上的圖像如圖所示，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值和最小值。14.（本小題滿分12分）已知數(shù)列{an}滿足an=2an-1-1，且a1=1，求該數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn。五、證明題要求：證明下列各題。15.（本小題滿分12分）證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，都有x^3-x≥0。16.（本小題滿分12分）證明：在三角形ABC中，若角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，則a^2+b^2-c^2≥2ab。六、應(yīng)用題要求：解答下列各題。17.（本小題滿分12分）某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每天生產(chǎn)x個(gè)，每個(gè)產(chǎn)品的成本為10元，售價(jià)為15元。若每天生產(chǎn)的產(chǎn)品全部售出，則每天可獲得利潤(rùn)y元。求y與x的關(guān)系式，并求出每天至少需要生產(chǎn)多少個(gè)產(chǎn)品才能保證利潤(rùn)不少于200元。18.（本小題滿分12分）某班有學(xué)生40人，要從中選出4名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽。若要求選出的4名學(xué)生中至少有2名女生，求選出女生人數(shù)的種數(shù)。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析：函數(shù)f(x)=x^3-3x+1的圖像關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，因此對(duì)稱中心為(1,0)。2.A解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)，有a1+a5=2a3，a2+a4=2a3，所以2a3=10，a3=5。由于a1+a5=10，可得a1=5-4d，a5=5+4d。由a2+a4=12，可得5+4d+5-4d=12，解得d=1。3.A解析：向量a·b=2*1+3*(-1)=2-3=-1。4.B解析：函數(shù)f(x)=x^2-4x+5可以寫成f(x)=(x-2)^2+1，因此頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1)。5.C解析：復(fù)數(shù)z的軌跡是以原點(diǎn)為中心，半徑為2的圓，因此軌跡方程為x^2-y^2=1。二、填空題6.x=1解析：由于f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱，因此對(duì)稱軸的方程為x=0+(0-1)=-1。7.3解析：由a1+a2+a3=27和a2+a3+a4=81，可得a1+a1q+a1q^2=27和a1q+a1q^2+a1q^3=81。解這個(gè)方程組得到q=3。8.3/5解析：向量a與向量b的夾角余弦值為a·b/(|a|*|b|)=(-1)/(sqrt(2^2+3^2))=-1/5=3/5。9.x>-1解析：函數(shù)f(x)=ln(x+1)的定義域?yàn)閤+1>0，即x>-1。10.-1解析：復(fù)數(shù)z滿足|z-1|=|z+1|，表示z到點(diǎn)1和點(diǎn)-1的距離相等，因此z的實(shí)部為-1。三、解答題11.解析：函數(shù)f(x)=x^2-2ax+1在區(qū)間[1,3]上單調(diào)遞增，說明對(duì)稱軸x=a在區(qū)間[1,3]內(nèi)，即1≤a≤3。12.解析：由a1+a5=10和a2+a4=12，可得a1+(a1+4d)=10和(a1+d)+(a1+3d)=12。解這個(gè)方程組得到a1=3，d=1。因此S10=10/2*(2a1+(10-1)d)=5*(6+9)=75。四、解答題13.解析：由于f(x)=x^3-6x^2+9x，求導(dǎo)得f'(x)=3x^2-12x+9。令f'(x)=0，解得x=1或x=3。在x=1和x=3處，f(x)分別取最小值0和最大值18。14.解析：由an=2an-1-1，可得an-2an-1=-1。因此an-1=2(an-1-1)。令bn=an-1，則bn是一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng)為0，公比為2。因此bn=0*2^(n-1)=0，即an=1。五、證明題15.解析：對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，有x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)。由于x(x-1)(x+1)的符號(hào)取決于x的值，當(dāng)x≥1或x≤-1時(shí)，x(x-1)(x+1)≥0；當(dāng)-1<x<1時(shí)，x(x-1)(x+1)<0。因此x^3-x≥0。16.解析：在三角形ABC中，根據(jù)余弦定理，有a^2+b^2-c^2=2ab*cos(C)。由于0≤cos(C)≤1，因此a^2+b^2-c^2≥2ab*0=0。六、應(yīng)用題17.解析：利潤(rùn)y=(售價(jià)-成本)*生產(chǎn)數(shù)量=(15-10)*x=5x。要保證利潤(rùn)不少于200元，即5x≥200，解得x≥40。因此每天至少需要生產(chǎn)40個(gè)產(chǎn)品。18.解析：從40人中選出4名學(xué)生的總方法數(shù)為C(40,4)。至少有2名女生，即有2名女生和2名男生，或者3