第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)

圖5.1線性狀態(tài)觀測器第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)在觀測器技術(shù)中建造了一個對象的模型，模型與對象由同一個輸入量所激勵。用真實對象的輸出與觀測模型的輸出之差經(jīng)過適當?shù)脑鲆嫘拚?，作為一個附加的修正輸入加到觀測模型中以確保：第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)圖5.2含有參考模型的自適應控制系統(tǒng)第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)在模型參考跟蹤系統(tǒng)中，參考模型是控制系統(tǒng)的一部分。所要求的系統(tǒng)期望特性由參考模型狀態(tài)的動態(tài)響應所確定，所定義的誤差矢量在每一時刻直接測量參考模型特性與被控對象實際特性之間的差，并對自適應機構(gòu)的參數(shù)進行修正，產(chǎn)生一個輔助的控制信號以保證可調(diào)系統(tǒng)達到參考模型規(guī)定的性能第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)

比較圖5.1和圖5.2，可以看到線性模型跟蹤控制系統(tǒng)與線性觀測器之間存在著相似性，盡管它們目的不同，但它們結(jié)構(gòu)卻相似：在兩種情況中，都含有兩個子系統(tǒng)；一個真實的對象和一個人為構(gòu)造的模型。兩種情況都要求兩個狀態(tài)矢量具有相似的動態(tài)性能。為了達到這一目的，狀態(tài)矢量或輸出矢量之差被用來作為主要的信息來源第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)一、模型參考自適應系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)類型

1）并聯(lián)模型參考自適應系統(tǒng)

第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)2）串并聯(lián)模型參考自適應系統(tǒng)第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)3）串聯(lián)模型參考自適應系統(tǒng)第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)二、模型參考自適應系統(tǒng)的構(gòu)成

1）參考模型2）可調(diào)系統(tǒng)3）自適應機構(gòu)其中，可調(diào)系統(tǒng)包括被控對象，前置控制器和反饋控制器第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)按照參考模型、可調(diào)系統(tǒng)以及自適應機構(gòu)的實現(xiàn)方式，模型參考自適應系統(tǒng)也可以分為連續(xù)型、離散型和混合型

從參考模型的種類上，可分為理想模型參考自適應控制和可調(diào)模型參考自適應控制

第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)參考模型與可調(diào)系統(tǒng)兩者性能之間的一致性，由自適應機構(gòu)保證，性能一致性程度由狀態(tài)廣義誤差或輸出廣義誤差式中xm和ym分別為參考模型和可調(diào)系統(tǒng)的狀態(tài)和輸出，只要誤差向量不為零，自適應機構(gòu)就按減少偏差方向修正或更新控制器的參數(shù)，以使系統(tǒng)實際性能指標達到或接近希望的性能指標。具體實施時，可更新前置和反饋控制器的參數(shù)，也可直接改變加到對象輸入端的信號，前者稱為參數(shù)自適應方案，后者稱為信號綜合自適應方案第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)按照年代先后出現(xiàn)的次序，理想模型參考自適應系統(tǒng)的設(shè)計基本理論有以下三種：1、局部參數(shù)最優(yōu)化理論2、李雅普諾夫函數(shù)3、超穩(wěn)定性與正性概念第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)為了減少設(shè)計和實現(xiàn)中的困難，做如下假設(shè)：

1）參考模型是時不變系統(tǒng)

2）參考模型和可調(diào)模型是線性的，有時為了分析方便，還假設(shè)它們的階次相同

3）廣義誤差可測

4）在自適應控制過程中，可調(diào)參數(shù)或輔助信號僅依賴于自適應機構(gòu)假設(shè)4)意味著自適應速度應大于被控對象參數(shù)的變化速度，否則就不可能實現(xiàn)漸近自適應第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)5.1局部參數(shù)最優(yōu)化的設(shè)計方法

局部參數(shù)最優(yōu)化設(shè)計方法：通常稱為MIT律，設(shè)計原理是構(gòu)造一個由廣義誤差和可調(diào)參數(shù)組成的目標函數(shù)，并把它視為位于可調(diào)參數(shù)空間的一個超曲面，再利用參數(shù)最優(yōu)化方法使這個目標函數(shù)逐漸減少，直到目標函數(shù)達到最小或位于最小值的某個鄰域為止，從而滿足可調(diào)系統(tǒng)與參考模型之間的一致性要求第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)在MIT律中，常用到誤差的二次型目標函數(shù)，在單變量情況下，大多采用誤差平方積分的目標函數(shù)，為使目標函數(shù)達到最小的參數(shù)最優(yōu)化的常用方法有：最速下降法，牛頓-拉富遜（Newton-Raphson）法，共軛梯度法和變尺度法等，其中最速下降法比較簡單第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)在應用局部參數(shù)最優(yōu)化設(shè)計方法時，除了前面的假設(shè)外，還要附加另外兩條假設(shè)：

5）可調(diào)系統(tǒng)參數(shù)已位于參考模型參數(shù)的某個鄰域內(nèi)；

6）可調(diào)參數(shù)的調(diào)節(jié)速度低，即自適應增益假設(shè)5)是MIT律自身能力限制的。假設(shè)6)是為了從廣義誤差測量中將參數(shù)調(diào)節(jié)作用與指令輸入信號的作用分離出來所必須的第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)設(shè)被控對象的傳遞函數(shù)為：其中,D(s)和N(s)為已知的常系數(shù)多項式，Kp為對象的增益當系統(tǒng)受到干擾時，被控系統(tǒng)的增益Kp可能發(fā)生變化,使動態(tài)特性發(fā)生偏離，Kp的變化是不可測量的。為了克服由Kp的漂移所造成的影響，在控制系統(tǒng)中設(shè)置了一個可調(diào)增益Kc，來補償由Kp的變化所造成的影響第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)

具有可調(diào)增益的MIT方案

系統(tǒng)控制結(jié)構(gòu)圖第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)設(shè)理想模型的傳遞函數(shù)為：其中，增益Km是根據(jù)期望的動態(tài)響應來確定的定義廣義輸出誤差e為：其中，ym為理想模型的輸出，y為被控系統(tǒng)的輸出，e表示輸入信號為r(t)時，理想系統(tǒng)的響應與實際系統(tǒng)響應之間的偏離第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)設(shè)計目標：確定可調(diào)增益Kc(t)的自適應調(diào)節(jié)律，使得下列性能指標J達到最?。?5.1)

首先求出J對的偏導數(shù)：

下面采用梯度法來尋求Kc(t)的最優(yōu)調(diào)節(jié)律第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)根據(jù)梯度法，值應沿梯度下降的方向移動，在一定的步距下，的變化量將取如下的數(shù)值：其中k為正常數(shù)則調(diào)整后的Kc為第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)式中，為調(diào)整前的初值。將上式兩邊分別對時間求導數(shù)后，得到的變化率與廣義誤差e的關(guān)系為：(5.2)為了計算，先求由參數(shù)輸入R(s)到輸出偏差E(s)傳遞函數(shù)：第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)

將上述拉普格斯變換式轉(zhuǎn)化為微分方程的時域算子形式，令：則e滿足下列微分方程：其中，p為微分運算子上式兩端對Kc求導數(shù)，得：(5.3)第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)另一方面，考慮到參考模型的輸出與輸入之間滿足下列關(guān)系：(5.4)令(5.3)式與(5.4)式相除，整理后得：將此式代入(5.2)式，得：第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)令則有：(5.5)(5.5)式就是所要求的可調(diào)增益Kc的調(diào)節(jié)律，即系統(tǒng)的自適應規(guī)律，有時被稱為MIT規(guī)則。從(5.5)式中可看出，這種自適應機構(gòu)是由一個乘法器和一個積分器組成，具體實現(xiàn)的結(jié)構(gòu)圖如下圖所示第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)MIT控制方案的實現(xiàn)圖

可以綜合出閉環(huán)自適應控制系統(tǒng)的數(shù)學模型為：第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)【例5.1】考慮一個一階系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)特性為：根據(jù)MIT規(guī)則設(shè)計的閉環(huán)的自適應控制系統(tǒng)應為：第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)

下面我們通過解方程的解，看一下系統(tǒng)的穩(wěn)定性假定在時，y和均為零，且當輸入一個幅度為R的階躍信號時，考慮后，參考模型的出為：所以自適應調(diào)節(jié)律為：第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)對閉環(huán)系統(tǒng)的微分方程求導數(shù)使得誤差的動態(tài)方程為：或可見，當時，上式右端第三項e中的系數(shù)趨近于，即有：此系統(tǒng)方程是漸近穩(wěn)定的，即時，有：e=0，即第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)從以上分析可以看出：①對于一階系統(tǒng)，按照MIT規(guī)則設(shè)計的閉環(huán)自適應系統(tǒng)是穩(wěn)定的②跟蹤速度或自適應速度是按指數(shù)規(guī)律進行的，從理論上說，只有當所以，自適應速度的是比較相當慢的時，誤差才趨于零，第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)MIT方案的主要優(yōu)點：它設(shè)計出的自適應律所需要的信號都容易獲得，利用的輸出偏差e和期望輸出均可直接獲得MIT方案的缺點：不能保證設(shè)計的自適應控制系統(tǒng)總是穩(wěn)定的對于一個理想的自適應控制系統(tǒng)，在任何參考輸入的情況下，總是希望當時，有但這種系統(tǒng)可能是不穩(wěn)定的。下面舉例說明。第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)

【例5.2】考慮被控對象為：理想系統(tǒng)模型為：根據(jù)前面推導出的結(jié)果，閉環(huán)自適應控制系統(tǒng)由以下微分方程組所決定：第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)假定在的階躍信號，即r(t)=A，來研究偏差e的穩(wěn)定性。時，由參考輸入加上一個幅值為A第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)對上式偏差微分方程的兩端求導，并整理得：假設(shè)ym(t)的動態(tài)響應比e(t)自適應調(diào)整過程快得多。即在研究e(t)的調(diào)節(jié)過程時，認為ym(t)已達到了它的穩(wěn)定值KmA，那么e(t)的微分方程就可簡化為下式：

第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)利用勞斯（Routh）穩(wěn)定性判斷，很容易得到以下不等式，即當(5.8)時，系統(tǒng)不穩(wěn)定，即當滿足條件式(5.8)時，輸出偏差e（yp情況也相同）將出現(xiàn)不穩(wěn)定，這是不容許的。因此在應用參數(shù)最優(yōu)化方法進行設(shè)計時，最后必須對整個系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行分析和檢驗，而這一步工作往往是很麻煩的第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)5.2李雅普諾夫穩(wěn)定性理論設(shè)計法一、引言

李雅普諾夫穩(wěn)定性理論：研究線性或非線性、定?；驎r變系統(tǒng)的重要基礎(chǔ)，也是自適應控制系統(tǒng)設(shè)計的重要理論基礎(chǔ)李雅普諾夫穩(wěn)定性分析方法：分為第一方法和第二方法。李雅普諾夫第一方法是通過求解系統(tǒng)微分方程來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性；李雅普諾夫第二方法則不需要求解系統(tǒng)微分方程，而是通過分析虛構(gòu)的李雅普諾夫函數(shù)來判定或設(shè)計系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此，李雅普諾夫第二方法被廣泛應用于自適應控制系統(tǒng)設(shè)計中第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)二、穩(wěn)定性的一般概念及定義

一個動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其中，若f與t無關(guān)，則上式描述的系統(tǒng)稱為自治的或時不變的；反之，被稱為非自治的或時變的。方程解在狀態(tài)空間的軌跡稱為軌線第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)若狀態(tài)空間中存在某一狀態(tài)Xe，滿足方程則Xe就是系統(tǒng)的一個平衡點。如果沒有外力作用于系統(tǒng)，則系統(tǒng)保持平衡。如果系統(tǒng)受到外來作用，則必須考慮系統(tǒng)能否保持這個平衡狀態(tài)。于是提出了系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性問題第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)三、李雅普諾夫函數(shù)與第二方法

李雅普諾夫函數(shù)：李雅普諾夫引出了一個虛構(gòu)的能量函數(shù)，利用李雅普諾夫函數(shù)的性質(zhì)，可分析得到系統(tǒng)的穩(wěn)定性，這種分析方法叫做李雅普諾夫第二方法定義一個對時間連續(xù)可微的狀態(tài)x的標量函數(shù)V(x,t)，稱為李雅普諾夫函數(shù)。對于一般的控制系統(tǒng)，V(x,t)是狀態(tài)變量的函數(shù)，也是一個廣義的“能量函數(shù)”，它具有以下性質(zhì)：第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)1）V(0,t)=0，且具有連續(xù)偏導數(shù)；2）V(x,t)是正定的，而且是x的單調(diào)非降函數(shù)，即V(x,t)>0，當，，其中S是狀態(tài)空間中包含原點在內(nèi)的某個域這樣定義的李雅普諾夫函數(shù)V(x,t)可以作為狀態(tài)x距離空間原點（平面點）遠近距離的一種量度，也可以代表狀態(tài)為x時系統(tǒng)的總能量。第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)對于線性系統(tǒng)，尋求李雅普諾夫函數(shù)比較簡單，通常選為系統(tǒng)狀態(tài)變量X的二次型函數(shù)，即為了使正定，P應是正定矩陣對于復雜系統(tǒng)，尋求較為困難，需要相當經(jīng)驗第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)四、李雅普諾夫穩(wěn)定定理設(shè)系統(tǒng)方程為即原點為系統(tǒng)的平衡點，對此有如下三個重要定理。定理5.1：李雅普諾夫基本定理。對于上式所描述的系統(tǒng)，如果在包含原點0在內(nèi)的某個域D內(nèi)，存在李雅普諾夫函數(shù)>0且，則系統(tǒng)在原點0是穩(wěn)定的。第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)定理5.2：李雅普諾夫漸近穩(wěn)定性定理。對于上式所描述的系統(tǒng)，如果在包含原點0在內(nèi)的某個域D內(nèi)，存在李雅普諾夫函數(shù)>0且則系統(tǒng)在原點0是漸近的定理5.3：李雅普諾夫全局漸近穩(wěn)定性定理。如果在包含原點0在內(nèi)的某個域D內(nèi)，存在李雅普諾夫函數(shù)正定，且有上界和負定，又當有，則系統(tǒng)在原點的穩(wěn)定是全局漸近穩(wěn)定第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)五、線性時不變系統(tǒng)穩(wěn)定定理設(shè)線性時不變系統(tǒng)的自由運動方程為：其中，A為n維狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。令以下二次型函數(shù)：作為選定的李雅普諾夫函數(shù)，其中P為實對稱矩陣。對V(x)求時間導數(shù)得：第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)其中，恒等式(5.9)被稱為李雅普諾夫方程利用這個方程可以決定平衡點x=0處的穩(wěn)定性一般有兩種具體方法：一種是先給定一個正定對稱陣P，由于矩陣A是已知的，可以從方程(5.9)中解出Q，然后檢驗Q的正定性。另一種方法是先設(shè)定正定對稱陣Q，例如可以設(shè)Q為單位陣，代入方程(5.9)中求出矩陣P，然后再判斷P的正定性。如果P>0，則系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)現(xiàn)將上述結(jié)果總結(jié)如下：線性時不變系統(tǒng)在平衡點x=0是漸近穩(wěn)定的，當且僅當對任意給定的對稱矩陣Q，都存在一個正定對稱陣P，并滿足：標量函數(shù)就是該系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)【例5.3】判斷線性定常系統(tǒng)在坐標原點的穩(wěn)定性，系統(tǒng)狀態(tài)方程為第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)

解：利用來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。設(shè)正定對稱陣記則李雅普諾夫矩陣方程為第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)據(jù)此可得到三個方程：解此聯(lián)立方程可得第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)故矩陣P有下列子行列式：所以有P>0第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)故該系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。該系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)為第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)【例5.4】試分析下列系統(tǒng)的穩(wěn)定性解：由解得系統(tǒng)平衡點為構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)對時間t求導數(shù)得顯然，系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定。第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)六、基于狀態(tài)空間方程的設(shè)計

設(shè)被控對象是單輸入/單輸出的線性系統(tǒng)，對象的結(jié)構(gòu)已知，但參數(shù)未知，其狀態(tài)方程和觀測方程為：

(5.10)其中，是未知參數(shù)矩陣；是未知參數(shù)向量；是未知參數(shù)向量；u(t)是對象的輸入控制作用標量；是對象的輸出標量；是對象的n維狀態(tài)向量第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)給定參考模型，其輸入為系統(tǒng)的參考輸入r(t)；其輸出為控制系統(tǒng)期望的輸出響應ym(t)。參考模型的狀態(tài)方程和觀測方程分別為：(5.11)其中，，和為給定的常數(shù)矩陣或向量，其階數(shù)分別與Ap，Bp和Cp相同。Am為穩(wěn)定矩陣；xm(t)為參考模型的狀態(tài)向量第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)自適應控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)

為了使對象輸出yp(t)能夠與模型的輸出ym(t)相一致，必須設(shè)置參數(shù)可調(diào)的控制器?？刂破髋c對象一起組成參數(shù)可調(diào)系統(tǒng)，如上圖所示，其中，G為可調(diào)前饋增益矩陣作為前置控制器；F為可調(diào)反饋增益矩陣作為反饋控制器。根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可以寫出以下關(guān)系式：(5.12)第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)

將(5.12)式代入(5.10)式可得下列可調(diào)系統(tǒng)的方程為：定義廣義誤差方程為：(5.13)設(shè)計任務(wù)是：利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論尋求可調(diào)參數(shù)G和F的自適應律，以達到狀態(tài)收斂性：(5.14a)第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)和（或）參數(shù)收斂性：(5.14b)即：使可調(diào)系統(tǒng)對參考輸入r(t)的動態(tài)響應與參考模型完全一致若令：(5.15)第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)其中，和分別表示模型參數(shù)與系統(tǒng)參數(shù)的狀態(tài)偏差和參數(shù)偏差，并且它們應當滿足以下微分方程：(5.16)現(xiàn)在的控制任務(wù)等價于設(shè)計一個F(e,t)和G(e,t)的自適應調(diào)節(jié)律，使得微分方程(5.15)和(5.16)漸近穩(wěn)定，即當時，e(t)，和都趨于零第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)構(gòu)造下列二次函數(shù)作為李雅普諾夫函數(shù)：式中此處稱為矩陣A的跡，它等于矩陣A的特征多項式中項系數(shù)的(-1)倍。比如：矩陣A的特征多項式為：第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)則有稱為矩陣A的跡滿足下列分配律和交換律的性質(zhì)：第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)

【例5.5】對于求第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)

解：由變換為的多項式為：所以第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)在二次型的李雅普諾夫函數(shù)V中選用矩陣跡的運算主要關(guān)心的是其符號，而不是數(shù)值的大小求V對時間的導數(shù)：由性質(zhì)：以及表示的項為標量，所以有：第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)

將(5.16)式代入的表達式中有：由于上式中以及項均為標量，所以有：又因為有：第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)

將這些關(guān)系式代入的表達式中得：(5.17)式(5.17)右邊第一項是負的。為了保證負定，可令(5.17)式右邊的后兩項分別為零，由此可得：第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)

由此可得自適應控制律為：(5.18)自適應控制律(5.18)可以保證閉環(huán)系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定性，滿足狀態(tài)收斂性和參數(shù)收斂性第五章模型參考自適應控制系統(tǒng)【例5.6】用李雅普諾夫穩(wěn)定理論重新設(shè)計例5.1

解：由輸入/輸出方程：得：得