新高考新題型第19題新定義壓軸解答題全歸納

【目錄】

考點?：集合新定義

考點二：函數(shù)與導數(shù)新定義

考點三：立體幾何新定義

考點四：三角函數(shù)新定義

考出五:平面向量與解二角形新定義

考點六：數(shù)列新定義

考點七:圓徘曲線新定義

考點八：概率與統(tǒng)計新定義

考點九：高等數(shù)學背景下新定義

創(chuàng)新意識與創(chuàng)新應用是新時代的主旋律，也是高中數(shù)學教學與學習口需要不斷滲透與培養(yǎng)的一種基本精神

與能力！借助“新定義”，可以巧妙進行數(shù)學知識中的概念類比、公式設置、性質應用、知識拓展與創(chuàng)新應用等的

交匯與融合，很好地融入創(chuàng)新意識與創(chuàng)新應用.

所謂“新定義”型問題，主要是指在問題中定義了高中數(shù)學中沒有學過的?些概念、新運算、新符號，要求同

學們讀懂題意并結合已有知識、能力進行理解，根據(jù)新定義進行運算、推理、遷移的一種題型。

考點要求考題統(tǒng)計考情分析

集合新定義2018年北京卷第20題，14分【命題預測】

2024年九省聯(lián)考之后，第19題將考查新定義問題?，F(xiàn)在

2023年北京卷第21題，15分

也有部分地區(qū)考試采用該結構考試，比如安徽合肥一中省

數(shù)列新定義2022年北京卷第21題，15分

十聯(lián)考等。預測2024年新高考試卷第19題結構考查新定

2021年北京卷第21題，15分

義問題，壓軸題，難度比較大.

工法

i.代數(shù)型新定義問題的常見考查形式

a概念中的新定義：

⑵運算中的新定義：

⑶規(guī)則的新定義等.

2.解決“新定義”問題的方法

在實際解決“新定義”問題時，關鍵是正確提取新定義中的新概念、新公式、新性質、新模式等信息，確定新定

義的名稱或符號、概念、法則等，并進行信息再加工，尋求相近知識點，明確它們的共同點和不同點，探求解決

方法，在此基礎上進行知識轉換，有效輸出，合理歸納，結合相關的數(shù)學技巧與方法來分析與解決！

題目11(2018?北京)設n為正整數(shù)，集合A={a|a=(tPt2,-11),{0,1},k=1,2,…，n},對于集合A

中的任意元素a=(xPx2??“，x)和6=(yPy?-y),記M中，B)=#(x#yrlx「yl)+(x步y(tǒng)f|x蔓y

I)+…(xn+yn-|xn-yn|)].

(I)當n=3時，荀=(1,1,0),B=(0,1,1),狗I(a,a)和M(a,B)的值：

(II)當n=4時，設B是A的子集，且滿足：對于B中的任意元素當相同時，M(a,①是奇數(shù)：當明

B不同時，M(a,B)是偶數(shù).求集合B中元素個數(shù)的最大值：

(HD給定不小于2的n,謂是A的子集，且滿足：對于B中的任意兩個不同的元素a,B,M(a,B)=0,寫出

一個集合B,使其元素個數(shù)最多，并說明理由.

潁目2〕(2023?北京)數(shù)列{aj,{bj的項數(shù)均為m(m>2),且i/曰{1,2,…，m},{aL{b入的前n項和

分別為An,Bn，并規(guī)定Ao=Bd=0.對于k￡{0,L2,“,m),定義rimax{i|B^A[0,1,2,-,n)

},其中，maxM表示數(shù)集M中最大的數(shù).

(I)若ai=2,&2=1，@3=3>b]=1,'=3?63=3>(戶r]，r少r：；的值：

(II)若ai>bpWr^rj+i+rj-i,j=1,2,m-1,求、n；

(HI)證明：WEOWp<qWm,()Wr<sWm,排f=A

?M

題目3(2022?北京)已知Q:apa?lak為有窮整數(shù)數(shù)列.給定正整數(shù)m,若對任意的n￡U，2,…，m｝,

在Q中存在ai,ai+i,ai+2,…，i5(j20),使得a+ai+i+ai+2+-+ai+j=n,貝豚Q為m-連續(xù)可表數(shù)列

(I)判斷Q:2,1,4是否為5-連續(xù)兀表數(shù)列？是否為6-連續(xù)可表數(shù)列？說明理由；

(II)若&街⑼，…，ak為8-連續(xù)可表數(shù)列,求證：k的最小值為4：

(IH)若Q:a-a2,…，ak為20-連續(xù)可表數(shù)列，且a十口寸…+a長20,求證：k>7.

題目4(2021?北京)設p為實數(shù).若無窮數(shù)列｛aJ滿足如下三個性質，則稱｛a｝為貨散列：

①a1+p20,Ba2+P=0：

②a4n-l<a4n(n=1,2,“);

③am+n￡匕+耳+p，#+引+p+1｝(m=1,2,-；n=1,2,-).

(I)如果數(shù)列｛aj的前四項為2,-2,-2,-1,那么｛aj,是否可能為況數(shù)列？說明理由：

(II)若數(shù)列｛aJ是北激列，求a$

(III)設數(shù)列｛aj的前n項和為S八是否存在於數(shù)列｛a%使得S'S值成立？如果存在，求出所有的p；如

果不存在.說明理由.

?M

考點一：集合新定義

題目1（2024?:|瓊順義?高三統(tǒng)考期末）給定正整數(shù)n23,設集合A=a,1alz…,a0.若對任意i,{1,2

…，n）,a,+aj,a「aj兩數(shù)中至少有?一個屬于A,則稱集合A具有性質P.

⑴分別判斷集合1,2,3與-1,0,1,2是否具有性質P：

⑵若集合4={l,&b}具有性質P,芯+b的值；

（3;若具有性質P的集合B中包含6人元素，且1￡B,求集合B.

題目2（2024?」掠?高三北京四中?？计谀┮阎?=a,a?…，a”n》3，集合TG

%yx￡S,y￡S,x#：y,且滿足,Vaj,aj￡Si,j=1,2,???,n,i#j,a,ajWT與

a,aET

立對于T定義dT&b=:曬Tai="da.,典H=l,2,in,j恰有一個成

0,b,aeT尸舊

例如ITQ2=dTaaaj+dTa3+dT電a.1+?1?+dTa^an.

（1；若n=4,aba2,aa,a2,aaa4ET,a2的值及1Ta的最大值：

⑵從a1，,??，11a中任意刪去兩個數(shù)，記剩下的數(shù)的和為由，求M的最小值（用n表示）；

⑶對于滿足ITa<n-1i=1,2,?,n的每一個集合T,集合S中是否都存在三個不同的元素e,3g,辿

得&e,f+dTf：g+dTge=3恒成立？請說明理由.

?M

題目[3](2024?4涼?高三景山學校?？计谀?設集合A2n={1,2,3,2n](neN*>11,如果對手的每一

個含有m(m24)個元素的子集P,F中必有4個元素的和等于4n+l,稱正整數(shù)m為集合A2n的一窄”“相關

數(shù)”.

⑴當n=3時,判斷5和6是否為集合A6的“相關數(shù)”，說明理由:

⑵若m為集合A2n的“相關數(shù)”，證明：m-n-320；

⑶給定正整數(shù)n,求集合A2n的“相關數(shù)”m的最小值.

題目4(2024?北京?101中學?？寄M預測)設A是正整數(shù)集的一個非空子集，如果對于任意xwA,都有x-

1WA或x+1WA,貝席A為自鄰集.記集合An={1,2…，n)(n>2,nGN)的所有子集中的自鄰集的個數(shù)

為an.

(E直接寫出A4的所有自鄰集：

⑵若n為偶數(shù)且n>6,求證：An的所有含5個元素的子集中，自鄰集的個數(shù)是偶數(shù)；

⑶若n24,茄正：anW2an71

?M

考點二：函數(shù)與導數(shù)新定義

題目[11（2024?麻茂名?統(tǒng)考一模）若函數(shù)fx在ab上有定義，且對于任意不同的x,小行&b,都有

fx.-fx2<kx「x，則解x為“b上的“k類函數(shù)”.

22

（1：若fX=亍+X，步蜥X是否為1,2上的“3類函數(shù)”；

2

⑵若fx=ax-1ex-今Y-x】nx為l,e上的“2類函數(shù)”，求實數(shù)a的取值范圍；

⑶若fx為1,2上的“2類函數(shù)"，月f1=f2,證明：V*,電￡1,2,fX]-fx<1.

2

23n

題目2J（2024?山東?高三校聯(lián)考階段練習）定義函數(shù)fnx=l?x+尹尹??+T+匹】'*

（1；求曲線y=f\x在x=-2處的切線斜率；’

⑵若f?x-22kcx對任意x￡R恒成立，求k的取值范圍：

⑶討論函數(shù)f“x的零點個數(shù)，并判斷f“X是否有最小值.若fx有最小值m，證明：m〉l-ln2：若

二x沒有最小值，說明理由.

（注：e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)）

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［題目@(2024?上海嘉定?統(tǒng)考一模)對于函數(shù)y=f(x),把卬稱為函教y=f(x)的一階導,令,”仲,則

將g⑨稱為函數(shù)y=f(x)的二階導，以此類推…得到n階導.為了方便書寫，我們將n階導用［f(x)l表

示.

⑴已知函數(shù)f(x)=ex+ainx-x2,寫出其二階導函數(shù)并討論其二階導函數(shù)單調性.

⑵現(xiàn)定義一個新的數(shù)列：在y=f(x)取a1=f(l)作為數(shù)列的首項，并將［fQ+n)Ln21作為數(shù)列的第n+

1項.我們稱該數(shù)列為y=f(x)的"n階導數(shù)列”

①若函數(shù)g(x)=xnU】/",豳比)是y=g(x)的"n階導數(shù)列”，取Tn為{a}n

T的前項積，求數(shù)列

1的通項公式.

②隹報們高中階段學過的初等函數(shù)中，是否有函數(shù)使得該函數(shù)的“n階導數(shù)列”為嚴格減數(shù)列且為無窮數(shù)列，

請寫出它并證明此結論.(寫出一個即可)

題目4卜2024?一嗨?高三上海市七寶中學校聯(lián)考階段練習)已知函數(shù)fx=ex~x,gx=e-x+xe

然對數(shù)的底數(shù)，設函數(shù)Fx=afx-gx,'其中為自

⑴若a=e,求函數(shù)y=Fx的單調區(qū)間，并寫出函數(shù)y=Fx-m有三個零點時實數(shù)m的取值范圍：

⑵當0<a<1時，x、耳分別為函數(shù)y=Fx的極大值點和極小值點，且不等式Fx,+tFx>0電任

意a￡Q1恒成立，求實數(shù)t的取值范圍.

⑶對于函數(shù)y=fx,若實數(shù)x滿足fx4x［F=D,其中F、D為豐零實數(shù)，則x稱為函數(shù)fx的“F

-D-篤志點”.

ex,x>0

①已知函數(shù)fx=1且函斷x有且只有3個“1-1-篤志點”，求實數(shù)a的取值范圍：

TXTrT<1T，X<0

②定義在R上的函數(shù)fx滿足：存在唯一實數(shù)m,對任意的實數(shù)x,使徨'm+x=fm-x恒成立或

fm+x=-fm-x恒成立.對于有序實數(shù)對F.D,討論函數(shù)fx“F-D-篤志點”個數(shù)的奇偶性，并

說明理由

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考點三：立體幾何新定義

題目1（2024?安徽?校聯(lián)考模擬預測）空間中，兩兩互相垂直且有公共原點的三條數(shù)軸構成直角坐標系，如果

坐標系中有兩條坐標軸不垂直，那么這樣的坐標系稱為“斜坐標系”.現(xiàn)有一種空間斜坐標系，它任意兩條

數(shù)軸的夾角均為60，我們將這種坐標系稱為“斜60°坐標系”.我們類比空間直角坐標系，定義“空間斜60

坐標系”下向量的斜60坐標：i,j,k分別為“斜6。坐標系”下三條數(shù)軸（x軸、y軸、z軸）正方向的單位向

量,若向量n=xi+yj+zk,貝3與有序實數(shù)組x,y,z相對應，稱向量n的斜60坐標為[x,y,z],記作n=

（1；若@=1,2,3,b=乘+b的斜60坐標；

⑵在平行六面體ABCD-ABC/）i中，AB=AD=2,AAt=3,ZBAD=ZBAA（=ZDAA1=60,N為線段

DG的中點.如圖,以AB,AD,AA為基底建立“空間斜60坐標系”.

①求BN的斜60坐標：

②若AM=2,-2,0，求AV與BN夾角的余弦值.

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aia2a3

題目2（2024?河南?高三校聯(lián)考期末）三階行列式是解決復雜代數(shù)運算的算法，其運算法則如卜.：btb2b3

ClC2C3

iJk

=a|b2c3+a2b3Ci+a3b1C2-a3l>2C1-336,03-3^302.若aXb=xiyizi，貝腕Xb為空間向量a與b的叉乘,

x2y2z2

其中a=xj+yJ+zk（xiy?z戶R）,b=x?i+yd+z火?“3Z2丘R）,i,j,k為單位正交基底.以。為

坐標原點、分別以i,j,k的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系，已知A,B是空間直角坐標

系中異于0的不同兩點.

（1；①若A1,2,1,B0,-1,1,OAX0B：

②證明：0AX0B+OBX0A=0.

⑵記AA0B的面積為SZkAOB,證明：=yOAXOB.

海部鼠0AX0B2的幾何意義表示以aAOB為底而、0AX0B為高的三棱錐體積的6倍.

題目］3（2024?上海普陀?高三?？计谀τ谝粋€三維空間，如果一個平面與一個球只有一個交點，則稱這個

平面是這個球的切平面已知在空間直角坐標系0-xyz中，球）的半徑為1,記平面xOy、平面iOx、平面

yC'Z分別為a、B、y.

（1）若棱長為a的正方體、棱長為b的正四面體的內(nèi)切球均為球0,求事J值:

J___1___1

⑵若球。在處有一切平面為人》宓舟。的交線方程，并寫出它的一個法向量;

⑶如果在球面上任意一品乍切平面L淞與a、B、Y的交線分別為m、n、p,求0到m、n、p距離乘積的最

小值.

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題目4（2024?全國?高三專題練習）無數(shù)次借著你的光，看到未曾見過的世界：國慶七十周年、建黨百年天安門

廣場三千人合唱的磅礴震撼，“930烈士紀念日”向人民英雄敬獻花籃儀式的凝重莊嚴……171金帆合隼團，

這絕不是一個抽象的名字，而是艱辛?與光耀的延展，當你想起他，應是四季人間，應是繁星璀璨！這是開學典

禮中，我校金帆合唱團的頒獎詞，聽后讓人熱血沸騰，讓人心向往之.圖1就是金帆排練廳，大家都親切的稱

之為“六角樓”，其造型別致，可以理解為一個正六棱柱（圖2）由上底面各棱向內(nèi)切割為正六楂臺（圖3）,正

六棱柱的側棱DH交AD】的延長線于點H,經(jīng)測量NDQU=12,BAB=10,AB1=）8,sinl2^0.2

⑴寫出三條正六樓臺的結構特征.

⑵“六角樓”一樓為辦公區(qū)域，二樓為金帆排練廳，假設排練廳地板恰好為六棱柱中截面，忽略墻壁厚度，估

和金帆排練廳對應幾何體體積（棱臺體積公式：V=A-hSVS飛+S）

⑶“小迷糊”站在“六角樓”下，陶醉在歌聲里“大聰明”走過來說：“數(shù)學是理性的音樂，音樂是感性的數(shù)學

學好數(shù)學方能更好的欣賞音樂，比如咱們剛剛聽到的一個復合音就可以表示為函數(shù)Sx=Sinx?

^-sin2xx￡R,你看這多美妙!”

“小迷糊”：

親愛的同學們，快來幫“小迷糊”求一下Sx的最大值吧.

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考點四：三角函數(shù)新定義

題目1對于定義域R上的函數(shù)f(x),如果存在非零常數(shù)T,對任意x￡R,都郁(x+T)=Tf(x)成立，則稱

f(：＜)為“T函數(shù)”.

(E設函數(shù)f(x)=x,判柵(x)是否為“T函數(shù)”,說明理由；

⑵若函數(shù)g(x)=ax(a＞。且aWl)的圖象與函數(shù)y=x的圖象有公共點，證明：gx為“T函數(shù)”；

⑶若函數(shù)h(x)=cosmx為“T函數(shù)”,求實數(shù)m的取值范圍.

題目；2若對于定義在R上的連續(xù)函數(shù)f(x),存在常數(shù)a(a￡R),使律'(x+a)+af(x)=0對任意的實數(shù)x成

立.則稱f(x)是回旋函數(shù)，且階數(shù)為a.

⑴試判斷函數(shù)f(x)=sinnx是否是一個階數(shù)為1的回旋函數(shù)，并說明理由：

⑵已知f(x)=sinax是回旋函數(shù)，求實數(shù)3的值；

⑶若回旋函數(shù)f(x)=sin3X-13＞0)在0,1恰有100個零點,求實數(shù)的值.

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考點五：平面向量與解三角形新定義

題目1已知0為坐標原點，對于函數(shù)f(x)=asinx+bcosx,稱向量0M=(a,b)為函數(shù)f(x)的相伴特征向

量，同時稱函數(shù)f(x)為向量OU的相伴函數(shù).

U)記向量ON=(1,㈤的相伴函數(shù)為f(x),若生(x)=割?g看時，求sinx的值；

出已知八(-2,3)4(2,6),07=(一囚1)為卜3=[^5乂-卷的相伴特征向量，(b(x)=hy-y，請

問在y=<!>6)的圖象上是否存在一點P,使得AP_LBP.若存在，求出P點坐標；若不存在，說明理由；

⑶記向量ON=(1,⑻的相伴函數(shù)為f(x),若當*0,與1時不等式f(x)+kfx+9>0恒成立，求實

數(shù)k的取值范圍.

題目2如圖，半圓0的直徑為2cm,八為直徑延長線上的點，0A=2cm,B為半圓上任意一點，以AB為一

邊作等邊三角形ABC.設NA0B=□.

⑴當a時，求四邊形OACB的周長：

⑵克羅狄斯?托勒密(Plolemy)所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如卜定理：任意凸四

邊形中，兩條對角線的乘積小于或等于兩組對邊乘積之和，當且僅當對角互補時取等號，根據(jù)以上材料，則當

線段0C的長取最大值時，求NA0C.

⑶問：B在什么位置時，四邊形OACB的面積最大，并求出面積的最大值.

C

B

A

O

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題目3將平面直角坐標系中的一列點A",ai、A22,32、…、Ann,an、-?An,設n=AnA,

j，其中」為與y軸方向相同的單位向量.若對任意的正整數(shù)n,都年n+1>fn,貝麻A為T,品J.

⑴判斷A、A2ZJ、A33,J、…、Ann,l、…是否為T點列，并說明理由：

⑵若A為T點列，且a?>ai.任取其中連續(xù)三點Ak、Ak+卜A—泄心AA-A卜+2為鈍角三角形：

⑶若4為T點列，對于正整數(shù)k、l、mk<1<m，比較AAj與Al-kAm?j的大小，并說明理曰.

題目Y對于給定的正整數(shù)n，讀合R』a|Q=(xXa.7),x-f2,3,「n}'其中元素.稱為一

個n維向量.特別地，()=(0,0,…稱為零向量.

設kWR,a=(ap%…，綜)￡內(nèi)，8=(?,以…由)仁R%定義加法和數(shù)乘：a+B=⑶+b?a2+b2,…,4+bn),

ka=(kabka2,…,ka)

對一組向量?！?，…，aREN3s22),若存在一組不全為零的實數(shù)ktk2kt使得kqtka,4…+ks

4=0,則稱這組向量線性相關.否則，稱為線性無關.

(I)對n=3,判斷下列各組向量是線性相關還是線性無關，并說明理由.

①a=(1,1,1),6=(2,2,2)：

②a=(1,1,1),3=(2,2,2),y=(5,1,4)；

③Q=(1,1,0),3=(1,0,1),Y=(0,1,1),5=(1,1,1).

(II)已知向量a,B,丫線性無關，判斷向量a+B,B+Y，。+Y是線性相關還是線性無關，并說明理由.

(III)已知m(m22)個向量Q>a3…，*,線性相關，但其中任意m-1個都線性無關，證明下列結論：

(0如果存在等式kP1+k?2+…+km%=0(kgR,i=1,2,3,…,m),則這些系數(shù)kfk2???,k，或者全為零，

或者全不為零；

(ii)如果兩個等式kp1+k92+…+k門％=0,1p1+1f12+'"+lnan=0(kR,1R,i=1,2,3,m)同時成

K

立其中1*0,則￥=導=-=弋

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考點六：數(shù)列新定義

題目1（2024?北京?高三北京市第五中學?？茧A段練習）若數(shù)列的滿足：不￡QI,n￡N*,且a=l

a，貝琳

q為一個X數(shù)列.對于一個X數(shù)列an,若數(shù)列bn滿足：b產(chǎn)1,Flbn+1=%與二9n匕N*,則稱“b

為an的伴隨數(shù)列.

⑴若X數(shù)列4中，芻=l,4=0,q=l,寫出其伴隨數(shù)列b中？由，卜的值：

⑵若斗為一個X數(shù)列，4為a的伴隨數(shù)列.0

?W："an為常數(shù)列”是“bn為噤比數(shù)列”的充要條件；

②求1）2019的最大值.

題目2（2024?4晾西城?北京師大附中校考模擬預測）已知A為有限個實數(shù)構成的非空集合，設A+A=

口+aj34,3jGA,A-A=社-9qWA,i迎合A+A和A-A其元素個數(shù)分別為A+A,A-A.

設nA=A+A-A-A.例如當八二1,2時，A+A=2,3,4,A-A=-1,0,1,A+A=A-A,

所以nA=0.

⑴若A=1,3,5,左A的值；

（2）設A是由3個正實數(shù)組成的集合旦A+AnA=0,A=AU0,證明：nA-nA為定值：

⑶若q是一個各項互不相同的無窮遞增正整數(shù)數(shù)列，對任意n￡N*,設a「a”…鳴，，b.=nA.

已知a產(chǎn)1,a亍2,?且對任意nWN*,bn20,求數(shù)列a

的通項公式.

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題目3（2024?上海浦東新?華師大二附中?？寄M預測）已知數(shù)列｛an｝：1,-2,-2,3,3,3,-4,-4,-4,

k個

一4,…，（-l）kfk,…,（-l）kfk,即*;Dk（伐0（k￡N*）時，a=（-l）k-,k,述=a+a+…

22nn12

+an（neN*）.

（1；求S2020的值：

⑵求當/I）<門忘（k+D（k+2）上、*）,試用限k的代數(shù)式表示Sn（nGN*）；

⑶對于tWN*,定義集合P干5代.是211的整數(shù)倍，nGN*.求集合P202c.中元素的個數(shù).

迤目4（2024?全國?高三專題練習）時于無窮數(shù)列an,若存在正整數(shù)T：使得an+T=an對一切正整數(shù)n都成

立，則稱無窮數(shù)列an是周期為T的周期數(shù)列.

（1；已知無窮數(shù)列緣是周期為2的周期數(shù)列，旦a亍3,a亍1,S懸數(shù)列a的前n項和，若對一

nn

切正整數(shù)n恒成立，求常數(shù)t的取值范圍；

⑵若無窮數(shù)列3n和h滿足bn=an+i-q，求證：\a是周期為T的周期數(shù)列”的充要條件是“b是周

Tn

期為T的周期數(shù)列，且bf0M；

i-l

bi=1,b>=a

⑶若無窮數(shù)列8和h滿足bn=an+Lan,且h?bn.i,是否存在非零常數(shù)a,使得an

nbn+?n31,ntMN

是周期數(shù)列？若存在，請求出所有滿足條件的常數(shù)a：若不存在，請說明理由.

?M

考點七：圓錐曲線新定義

題目1直線族是指具有某種共同性質的直線的全體.如：方程y=kx+l中，當k取給定的實數(shù)時，表示二條

直線；當k在實數(shù)范圍內(nèi)變化時，表示過點Q1的直線族（不含y軸）.記直線族2（a-2）x+4y-4a+a2=°

（其中a￡R）為中，直線族y=3t2x-2t3（其中t>0）為Q.

（1；分別判斷點A0,1,B（1,2）是否在中的某條直線上，并說明理由；

⑵對于給定的正實數(shù)X”點P（xqy）i不在C的任意一條直線上，求y的取值范圍（用x表示）：

⑶出線族的包絡被定義為這樣一條曲線：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點處的切線，且該曲線上

每一點處的切線都是該直線族中的某條直線.求C的包絡和甲的包絡.

?M

題目2(2024?貴州貴陽?高三統(tǒng)考期末)閱讀材料：

在平面直角坐標系中，若點Mx,y與定點Fc,0(或F-c,()的距離和它到定直線l:x=或或

c(1:x=

■—)的距離之比是常數(shù)00<c<a),則J(x；c)z+yz=j化簡可得槳+_2_=1,設)2=a2-c2(b>

caa2ad2a2-c

A

c

2y2

0),則得到方程1x■+l(a>b>0),所以點M的軌跡是一個橢圓，這是從另一個角度給出了橢圓的定

義這里定點Fc,0是橢圓的一個焦點，直線l:x=吩稱為相應于焦點F的準線：定點F-c,0是橢圓的

C

另一個焦點，直線I:x=-貯稱為相應于焦點r的準線.

C

2

根據(jù)橢圓的這個定義，我們可以把到焦點的距離轉化為到準線的距離.若點MX,y在橢x圓2「V二Ka

>b>0)±,Fc,0是橢圓的右焦點，橢圓的離心率e=3,則點Mx,y到準線l:x=貯的距離為貯?x,

acc

2

所以MF=—"X=a-^x=a-ex,我們把這個公式稱為橢圓的焦半徑公式.

aVa

結合閱讀材料回答下面的問題：

v2y2

己知橢圓C:*+琶=1(a>b>0)的右焦點為F,點P是該橢圓上第一象限的點，JlPF_Lx軸，若直線l:x

=9是橢圓右準線方程，點P到直線1的距離為8.

(1；求點P的坐標：

⑵若點M,N也在橢圓C上且ZXMNF的重心為F,聲捌FM,FP,FN是否能構成等差數(shù)列？如果能，求

出該等差數(shù)列的公差，如果不能，說明理由.

?M

題目3（2024?重慶?高三重慶八中校考階段練習）類似平面解析幾何中的曲線與方程，在空間直角坐標系中,

可以定義的而（含平面）S的方程，若曲面S和三元方程Fx,y,z=0之間滿足：①曲面S上任意一點的坐標

均為三元方程Fx,y,z=0的解：②以三元方程Fx,y,z=0的任意解…出。為坐標的點均在曲面S

上，則稱曲面S的方程為F%y,z=0,方程Fx,y,z=0的曲面為S.已知曲面C的方程為苧+。苧

（1；已知直線1過曲面C上一點Q1,1.2,叫=-2,0,-4為方向向量，求證：直線1在曲面C上（即1上任

意一點均在曲面C上）；

⑵己知曲面C可視為平面xOz中某雙曲線的一支繞z軸旋轉一周所得的旋轉面；同時，過曲面C上任意一

點，有且僅有兩條直線，使得它們均在曲面C上.設直線1在曲面C上，且過點10,0,211

所成角的余弦值.，求異面直線與

?M

題目4（2024?■中山?高三統(tǒng)考期末）類比平面解析幾何的觀點，在空間中，空間平面和曲面可以看作是適

合某種條件的動點的軌跡，在空間直角坐標系0-xyz中，空間平面和曲面的方程是一個三元方程

Fx,y,7.-0.

（1）類比平面解析幾何中直線的方程，直接寫出：

①過點Px“8Zo,法向量為!1=A,B,C的平面的方程；

②平面的一般方程；

③在x,y,z軸上的截距分別為a,b,c的平面的截距式方程（abcWO）：（不需要說明理由）

⑵設Fb也為空間中的兩個定點，BF2=2c>0,我們將曲面「定義為滿足PE,+PE=2aa>c的動

點P的軌跡，試建立一個適當?shù)目臻g直角坐標系0-xyz,并推導出曲面「的方程.

題目5（2024?湖南長沙?高三雅禮中學?？茧A段練習）定義：一般地，當.〉0nA#1時，我們把方程土+卷

x2y2

=Ha>b>0）表示的橢圓C入稱為橢圓=1(a>b>0)的相似橢圓.

薛碑

（1：如圖，已知F1-40,F2n0,V為。0:x2+y2=4上的動點，延長卜'"1至點N,使得MN=MF,小

的垂直平分線與F2N交于點P,記點P的軌跡為曲線C,賽的方程；

⑵在條件⑴下，已知橢圓C是橢圓C的相似橢圓，M,N是橢圓C的左、右頂點點Q是C上異于四個頂

點的任意一點，當入=e216為曲線C的離心率）時，設直線QM1與橢圓C交于點A,B,直線QN1與橢圓交

于點D,E,求AB+DE的值.

?M

題目6(2024?全國?高三專題練習)在平面直角坐標系中，定義dA,B=maxx「x2,yry2為兩點

Axby..BX2>y2的“切比雪夫距離”，例如：點P」2，點P5，黝1-3<2-5,所以點P與點P

的“切比雪夫距離”為2-5=3,記為dP?P2=3.

(1：已知點A0,y,13為乂軸上的一個動點，

①若dA,B=3,寫出點B的坐標：

②直接寫出dA.B的最小值

⑵求證：對任意三點A,B,C,都有dA,C+dC,B2dA,B；

⑶定點Cxoy，動點Px,y滿足dC,P=rr>0,若動點P所在的曲線所圍成圖形的面積是36,來

的值.

22

題目7(2024?上海黃浦?高三格致中學?？奸_學考試)定義：若橢圓C:5+，v=l(a>b>0)上的兩個點

AXyy

Axby.,Bx&y滿足二1+0,貝?麻A,B為該橢圓的一個“共航點對”，記作A,B.已知橢圓C的

2a2b2

一個焦點坐標為Fl-2抬0,旦橢圓C過點A3.1.

(1：求橢圓C的標準方程：

⑵求“共椀點對”A,B中點B所在直線1的方程，

⑶設0為坐標原點，點匕Q在橢圓(:上，且PQOA,(2)中的直線1與橢圓C交于兩點B,B,,用點的

縱坐標大于0,設四點B“P,B匕Q在梢圓C上逆時針排列.證明：四邊形BRBQ的面枳小于8曠

?M

考點八：概率與統(tǒng)計新定義

題目1]在平面直角坐標系xOy中,設點集A={(0,0),(1,0),(2,0),-,(n,0)},B={(0,1),(nJ)},C={(0,

2),(1,2),(2,2),……,(n,2)},n￡N*.令Mn=AnUBnUCn.從集合M「中任取兩個不同的點,用隨機變量X

表示它們之間的距離.

⑴當n=l時，求X的概率分布：

⑵對給定的正整數(shù)n(n23),求概率P(XWn)(用n表示).

題目2(2024?河北?高三雄縣第一高級中學校聯(lián)考期末)在信息論中，炳(entropy)是接收的每條消息中包含

的信息的平均量，乂被稱為信息燧、信源徜、平均自信息量這里，“消息”代表來自分布或數(shù)據(jù)流中的事件、樣

本或特征.(皤最好理解為不確定性的量度而不是確定性的量度，因為越隨機的信源的燧越大)來自信源的另

一個特征是樣本的概率分布.這里的想法是，比較不可能發(fā)生的事情，當它發(fā)生了，會提供更多的信息由于

一些其他的原因，把信息(端)定義為概率分布的對數(shù)的相反數(shù)是有道理的.事件的概率分布和每個事件的

信息量構成了一個隨機變量，這個隨機變量的均值(即期望)就是這個分布產(chǎn)生的信息量的平均值(即場).

燧的單位通常為比特，但也用Sh、nat、Hart計量，取決于定義用到對數(shù)的底采用概率分布的對數(shù)作為信

息的量度的原因是其可加性例如，投擲一次硬幣提供了ISh的信息，而擲m次就為m位.更一般地，你需要

用log2n位來表示一個可以取n個值的變量.在1948年，克勞德?艾爾，五德?香農(nóng)將熱力學的燧，引入到信息

論，因此它乂被稱為香農(nóng)滴.而正是信息烯的發(fā)現(xiàn)，使得1871年由英國物理學家詹姆斯?麥克斯韋為了說明

違反熱力學第二定律的可能性而設想的麥克斯韋妖理論被推翻.設隨機變量;所有取值為L2,,n,定義，

的信息燧H(9=-；Pl°gP'；iP=l'i二

[9…=i=,

出金n9,.記探索&的信息病關于PI的解析式，并求其最大值；

⑵若P尸p2=■rp=2P(k=2,3,n)，求此時的信息炳.

2n1k”k

?M

題目3(2024?:|驚?高三階段練習)設離散型隨機變量X和Y有相同的可能取值，它們的分布列分別為

nn

PX==Xk,PY=a=yk,Xk>0,^>0,k=1,2,n,“=yk=1.指標D(X||Y)可用來刻畫

kk=lt=i

X和Y的相似程度，其定義為D(XllY)=\klni..設X“B(n,p),O<p<1.

k=iy

(1：若Y~B(n,q),O<q<1,求D(X||Y)；

⑵若n=2,P(Y=k-1)=ik=1,2,3,求1)(X||Y)的最小值：

J

⑶對任意與X有相同可能取值的隨機變量Y,證明：1)(X11Y)20,并指出取等號的充要條件

?M

題目4(2024?山西朔州?高三?？奸_學考試)某校20名學生的數(shù)學成績xii=1,2,…,20和知識競賽成績yi

i=1,2,…,20如下表:

學生編號i12345678910

數(shù)學成績Xi100999693908885838077

知識競賽成績yi29016022C20065709010060270

學生編號i11121314151617181920

數(shù)學成績Xi75747270686660503935

知識競賽成績yi4535405025302015105

20

計算可得數(shù)學成績的平均值是X=75,知識競賽成績的平均值是y=90,并且K-X2=6464,

i=l

2020

y)-y2=149450?x「xy「y=21650.

i=l