第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年上海市浦東新區(qū)進才中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.在以下調(diào)查中，適合用普查的是(

)A.調(diào)查某批次汽車的抗撞擊能力 B.調(diào)查一批LED燈的壽命

C.調(diào)查某城市居民的食品消費結(jié)構(gòu) D.調(diào)查一個班級學(xué)生的身高情況2.函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)且導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且f′(x)的圖象如圖所示，則f(x)的圖象可能是(

)A. B.

C. D.3.若一個三位數(shù)的各位數(shù)字之和為10，則稱這個三位數(shù)為“十全十美數(shù)”，如208，136都是“十全十美數(shù)”，則這樣的“十全十美數(shù)”共有(????)個A.32 B.64 C.54 D.964.設(shè)a，b為非負整數(shù)，m為正整數(shù)，若a和b被m除得的余數(shù)相同，則稱a和b對模m同余，記為a≡b(modm).若p為質(zhì)數(shù)，n為不能被p整除的正整數(shù)，則np?1≡1(modp)，這個定理是費馬在1636年提出的費馬小定理，它是數(shù)論中的一個重要定理.現(xiàn)有以下2個命題：

①250+1≡2(mod7)；

②對于任意正整數(shù)x，x13A.①真②真 B.①假②真 C.①真②假 D.①假②假二、填空題：本題共12小題，共60分。5.已知集合A={1,2,3}，B={x|x2<8}，則A∩B=6.復(fù)數(shù)z=4?i1?i?2i7.從1，2，3，4，5中任意取出兩個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)的概率是______．8.已知向量a與b的夾角為120°，a=(2,0)，|b|=1，則a?9.甲、乙兩人各射擊一次，命中的概率分別為0.8和0.6，兩人同時命中的概率為0.5，則甲、乙兩人至少有一人命中的概率為______．10.在(2x211.已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)分別為兩組學(xué)生射擊移動靶時的命中率，其莖葉圖如圖所示.其中m，n∈N.若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，平均數(shù)也相等，則m?n=______．12.若(x+5)2025=a0+a1x+13.已知函數(shù)f(x)=12x?cosx,x∈[?π214.“楊輝三角”是數(shù)學(xué)史上的一個偉大成就.在如圖所示的“楊輝三角”中，去掉所有的數(shù)字1，余下的數(shù)逐行從左到右排列，得到數(shù)列{an}為2，3，3，4，6，4，5，10，…，若am=10，m∈15.某制藥公司生產(chǎn)某種膠囊，其中膠囊中間部分為圓柱，且圓柱高為l，左右兩端均為半球形，其半徑為r，若其表面積為S，則膠囊的體積V取最大值時r=______．

16.設(shè)a1、a2、?、a8是1、2、3、4、5、6、7、8的一個排列，S={x|x=|a1三、解答題：本題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題14分)

已知如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=AA1=1．

(1)18.(本小題14分)

已知f(x)=3sinxcosx+cos2x?12．

(1)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間；

19.(本小題14分)

某學(xué)校高一年級的學(xué)生有1200人，其中男生800人，女生400人，為了了解高一年級學(xué)生的身高信息，采用分層抽樣的方法抽取樣本，測量身高所得的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下頻率分布直方圖和頻率分布表：

高一女生身高樣本的頻率分布表組別頻數(shù)頻率[140,148)40.10[148,156)8n[156,164)mp[164,172)120.30[172,180)20.05(1)求p的值.并利用高一男生身高頻率分布直方圖來估計男生樣本的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值做代表)；

(2)若女生身高的樣本方差為70.4，男生身高的樣本方差為89，請根據(jù)題目圖表所給信息，求高一年級學(xué)生身高的樣本平均數(shù)和方差．20.(本小題14分)

已知橢圓E：x212+y2b2=1(a>b>0)過點(3,32)，其右焦點為F.過點F作與坐標(biāo)軸都不垂直的直線與橢圓E交于A，B兩點，線段AB的中點為M，O為坐標(biāo)原點，且直線OM與直線l：x=4交于點N．

(1)求橢圓E的標(biāo)準方程；

(2)若OM21.(本小題14分)

已知函數(shù)y=f(x)，P為坐標(biāo)平面上一點.若函數(shù)y=f(x)的圖像上存在與P不同的一點Q，使得直線PQ是函數(shù)y=f(x)在點Q處的切線，則稱點P具有性質(zhì)Mf．

(1)若f(x)=x2，判斷點P(1,0)是否具有性質(zhì)Mf，并說明理由：

(2)若f(x)=x3?3x，證明：除原點外函數(shù)y=f(x)的圖像上所有的點均具有性質(zhì)Mf；

(3)若f(x)=e參考答案1.D

2.B

3.C

4.A

5.{1,2}

6.?17.258.?1

9.0.9

10.672

11.24

12.6

13.?14.45

15.S16.70

17.解：(1)根據(jù)題意可得該直三棱柱的側(cè)面積為2×1×1+2×1=2+2；

該直三棱柱的體積為12×1×1×1=12；

(2)根據(jù)題意可將直三棱柱ABC?A1B1C1補全成如圖所示的正方體：

易知18.解：(1)由題意得f(x)=32sin2x+12cos2x=sin(2x+π6)，

由π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ(k∈Z)，解得π6+kπ≤x≤2π3+kπ(k∈Z)，

所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[π6+kπ,19.解：(1)因為[140,148)的頻數(shù)為4，頻率為0.1，

所以樣本容量為40，則m=14，所以p=1440=0.35；

由男生樣本的頻率分布直方圖知：

平均數(shù)為x1?=150×0.1+160×0.2+170×0.4+180×0.3=169；

(3)由女生樣本的頻率分布表可知：

平均數(shù)為x2?=144×0.1+152×0.2+160×0.35+168×0.3+176×0.05=160，

所以高一年級學(xué)生身高的樣本平均數(shù)為x?=23×169+13×160=166，

20.解：(1)因為點(3,32)在橢圓E上，所以912+34b2=1，解得b=3，

所以橢圓E的標(biāo)準方程為：x212+y23=1．

(2)由OM=2MN可得(xM,yM)=2(xN?xM,yN?yM)，可得：xM=23xN=83，

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，直線AB的方程為y=k(x?3)，

聯(lián)立

y=k(x?3)x212+y23=1，消去y得(1+4k2)x2?24k2x+3621.解：(1)點P(1,0)具有性質(zhì)Mf，

理由如下：設(shè)Q(q,q2)，因為f′(x)=2x，

所以曲線y=f(x)在點Q處的切線方程為：y=2qx?q2，

將點P(1,0)坐標(biāo)代入，得：2q?q2=0，所以q=0或2，

即函數(shù)y=f(x)的圖像上存在與P不同的一點Q(0,0)，

使得直線PQ是函數(shù)y=f(x)圖像在點Q處的切線，故點P(1,0)具有性質(zhì)Mf；

(2)證明：f′(x)=3x2?3對稱中心為(0,0)，

設(shè)P(p,p3?3p)，Q(q,q3?3q)，

函數(shù)y=f(x)的圖像在Q處的切線方程為：y=(3q2?3)(x?q)+q3?3q，

因為點P在切線上，所以p3?3p=(3q2?3)(p?q)+q3?3q，

化簡可得(p?q)2(2q+p)=0，

當(dāng)p=0時，只能p=q=0，

即P、Q點皆為原點不符合性質(zhì)Mf，

當(dāng)p≠0時，q=?p2≠p，

即存在與P不同的一點Q，使得直線PQ是函數(shù)y=f(x)