第1頁/共1頁北京市朝陽區(qū)2023～2024學(xué)年度第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測高一數(shù)學(xué)試卷2024．7（考試時間120分鐘滿分150分）本試卷分為選擇題（共50分）和非選擇題（共100分）兩部分第一部分（選擇題共分）一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算計(jì)算即得.【詳解】由，得，所以.故選：D2.已知向量，，則（）A. B. C.3 D.5【答案】B【解析】【分析】利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，再利用坐標(biāo)計(jì)算模即得.詳解】向量，，則，所以.故選：B3.如圖，八面體的每個面都是正三角形，并且4個頂點(diǎn)A，B，C，D在同一平面內(nèi)，若四邊形是邊長為2的正方形，則這個八面體的表面積為（）A.8 B.16 C. D.【答案】C【解析】【分析】先計(jì)算出每個面的面積，再乘以8即為表面積；【詳解】每個面的面積為，所以該圖形的表面積為.故選：C4.已知，是平面外的兩條不同的直線，若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合線面間的關(guān)系分析判斷即可.【詳解】因?yàn)?，是平面外的兩條不同的直線，，所以當(dāng)時，可能與垂直，可能與平行，也可能與相交不垂直，當(dāng)時，成立，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B5.中，，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理求解即得.【詳解】在中，由，，得，由正弦定理，得.故選：C6.李華統(tǒng)計(jì)了他爸爸2024年5月的手機(jī)通話明細(xì)清單，發(fā)現(xiàn)他爸爸該月共通話60次，他按每次通話時間長短進(jìn)行分組（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出了如圖所示的頻率分布直方圖．則每次通話時長不低于5分鐘且小于15分鐘的次數(shù)為（）A.18 B.21 C.24 D.27【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定的頻率分布直方圖，求出每次通話時長不低于5分鐘且小于15分鐘的頻率即可得解.【詳解】觀察頻率分布直方圖，得每次通話時長不低于5分鐘且小于15分鐘的頻率為：，則，所以每次通話時長不低于5分鐘且小于15分鐘次數(shù)為21.故選：B7.已知向量，不共線，，，若與同向，則實(shí)數(shù)t的值為（）A. B. C.3 D.或3【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用共線向量定理，結(jié)合平面向量基本定理求解即得.【詳解】由向量與同向，得，即，而向量不共線，則，又，解得，所以實(shí)數(shù)t的值為.故選：A8.近年來，我國國民經(jīng)濟(jì)運(yùn)行總體穩(wěn)定，延續(xù)回升向好態(tài)勢．下圖是我國2023年4月到2023年12月規(guī)模以上工業(yè)增加值同比增長速度（以下簡稱增速）統(tǒng)計(jì)圖．注：規(guī)模以上工業(yè)指年主營業(yè)務(wù)收入2000萬元及以上的工業(yè)企業(yè)．下列說法正確的是（）A.4月，5月，6月這三個月增速的方差比4月，5月，6月，7月這四個月增速的方差大B.4月，5月，6月這三個月增速的平均數(shù)比4月，5月，6月，7月這四個月增速的平均數(shù)小C.連續(xù)三個月增速的方差最大的是9月，10月，11月這三個月D.連續(xù)三個月增速的平均數(shù)最大的是9月，10月，11月這三個月【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定的折線圖，計(jì)算平均數(shù)、方差逐項(xiàng)判斷即得.【詳解】對于AB，4月，5月，6月這三個月增速的平均數(shù)為，4月，5月，6月，7月這四個月增速的平均數(shù)為，B錯誤；4月，5月，6月這三個月增速的方差為，4月，5月，6月，7月這四個月增速的方差為，A正確；對于CD，9月，10月，11月這三個月增速的平均數(shù)為，10月，11月，12月這三個月增速的平均數(shù)為，D錯誤；9月，10月，11月這三個月增速的方差為，10月，11月，12月這三個月增速的方差為，C錯誤.故選：A9.在梯形中，，，，，，則與夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先根據(jù)題干計(jì)算出相應(yīng)的邊長，再根據(jù)余弦定理計(jì)算出，再計(jì)算，最后代入夾角公式即可.【詳解】設(shè)與交于，因?yàn)?，，，所以，，又因?yàn)?，，所以，，，，所以，，由余弦定理得，即，，即，，所?故選：D10.已知，，若動點(diǎn)P，Q與點(diǎn)A，M共面，且滿足，，則的最大值為（）A.0 B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，建立平面直角坐標(biāo)系，確定點(diǎn)的軌跡，由此設(shè)其坐標(biāo)，再利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合三角恒等變換及三角函數(shù)的性質(zhì)求出最大值.【詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則，由，得點(diǎn)在以為圓心，2為半徑圓上，由，得點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，設(shè)，則，當(dāng)時，能取到所有等號，所以的最大值為1.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：建立坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)最值處理是解題的關(guān)鍵.第二部分（非選擇題共100分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．11.已知某學(xué)校漢服社、書法社、詩歌社、曲藝社四個學(xué)生社團(tuán)的人數(shù)比為，現(xiàn)用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法，從這四個社團(tuán)中抽取20人擔(dān)任志愿者，則從曲藝社抽取的人數(shù)為______．【答案】6【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣的定義結(jié)合題意直接求解即可.【詳解】由題意得從曲藝社抽取的人數(shù)為.故答案為：612.袋子中有4個大小和質(zhì)地相同的小球，標(biāo)號為1，2，3，4．若從中隨機(jī)摸出一個小球，則摸到球的標(biāo)號大于3的概率是______；若從中隨機(jī)摸出兩個小球，則摸到球的標(biāo)號之和為偶數(shù)的概率是______．【答案】①.##0.25②.【解析】【分析】利用古典概型，結(jié)合列舉法求出概率即可.【詳解】從中隨機(jī)摸出一個小球，摸到球的標(biāo)號大于3的概率是；從中隨機(jī)摸出兩個小球的樣本空間，共6個，摸到球的標(biāo)號之和為偶數(shù)的事件，共2個，所以摸到球的標(biāo)號之和為偶數(shù)的概率.故答案為：；13.在中，點(diǎn)D，E滿足，．若，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用向量的線性運(yùn)算，結(jié)合平面向量基本定理求解即得.【詳解】在中，向量不共線，由，，得，而，因此，所以.故答案為：14.在中，，，若存在且唯一，則的一個取值為______．【答案】5（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理列式求解即可.【詳解】在中，，，由正弦定理，得，由存在且唯一，知或且，解得或，而，所以的一個取值為5.故答案為：515.已知向量，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，向量滿足，且．若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則______，______．【答案】①.0②.，或【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系得到、的坐標(biāo)可得；設(shè)，根據(jù)，且．建立關(guān)于的方程組求出可得的坐標(biāo)，再由的坐標(biāo)運(yùn)算可得答案.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，所以；設(shè)，則，且，所以且，由，解得，或，所以，或，所以，或.故答案為：①0；②，或.16.在正四棱錐中，與所成的角的大小為α，PA與底面所成的角的大小為β，側(cè)面與底面所成的角的大小為，二面角的大小為．給出下列四個結(jié)論：①；②；③；④．其中所有正確結(jié)論的序號是______．【答案】①③④【解析】【分析】做出四個角，利用三角函數(shù)用邊來表示，然后在逐一判斷選項(xiàng).【詳解】如圖：為底面的中心，分別為的中點(diǎn)，連接，設(shè)底面邊長為，側(cè)棱長為，斜高為，顯然，因?yàn)椋詾楫惷嬷本€與所成的角，即，并且，，因?yàn)槠矫妫詾榕c平面所成的角，即，并且，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，所以為平面與平面所成角的平面角，即，且，，過點(diǎn)作，垂足為，連接，由側(cè)面三角形全等可知，所以為二面角的平面角，即，，且，因?yàn)椋?，即為鈍角，所以最大，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，綜上所述，所以，故①正確；，，故②錯誤；，故③正確；，而，即，故④正確.故答案為：①③④【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是做出4個平面角，然后通過用邊來表示這些角的三角函數(shù)，沒有具體數(shù)據(jù)，所以運(yùn)算比較抽象并且運(yùn)算量較大，在運(yùn)算過程中，需要注意邊之間的等量關(guān)系.三、解答題共5小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．17.如圖，在長方體中，，，為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）求點(diǎn)到平面的距離．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【解析】【分析】（1）令，由三角形中位線性質(zhì)，線面平行的判定推理即得.（2）利用線面垂直、面面垂直的判定推理即得.（3）過作于，由（2）的結(jié)論，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)推理計(jì)算即得.【小問1詳解】在長方體中，令，則為中點(diǎn)，連接，由為的中點(diǎn)，得，而平面，平面，所以平面.【小問2詳解】由平面，平面，得，矩形中，，則矩形為正方形，，而平面，則平面，又平面，所以平面平面.【小問3詳解】在中，過作于，由平面平面，平面平面，平面，因此平面，顯然，，在中，，所以點(diǎn)到平面的距離為.18.生成式人工智能（AIGC）工具正處于蓬勃發(fā)展期，在對話系統(tǒng)、機(jī)器翻譯、文本摘要等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用．為了解學(xué)生對生成式人工智能工具的使用情況，某校從全體學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，調(diào)查得到如下數(shù)據(jù)：經(jīng)常使用20人偶爾使用30人從未使用50人用頻率估計(jì)概率．（1）估計(jì)該校學(xué)生經(jīng)常使用生成式人工智能工具的概率；（2）假設(shè)每名學(xué)生使用生成式人工智能工具的情況相互獨(dú)立，從該校全體學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，估計(jì)這兩名學(xué)生中至少有一名學(xué)生經(jīng)常使用生成式人工智能工具的概率；（3）從這100名學(xué)生中抽取5次，每次隨機(jī)抽取10名學(xué)生，記第次抽取的10名學(xué)生中，有名學(xué)生經(jīng)常使用生成式人工智能工具，有名學(xué)生偶爾使用或者從未使用過生成式人工智能工具．將，，，，的方差記為，，，，，的方差記為，比較，的大?。ńY(jié)論不要求證明）【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用古典概型計(jì)算即得.（2）利用（1）結(jié)論，利用獨(dú)立事件、對立事件的概率公式計(jì)算即得.（3）利用平均數(shù)、方差的定義計(jì)算判斷即得.【小問1詳解】依題意，這100名學(xué)生中有20名學(xué)生經(jīng)常使用生成式人工智能工具，所以所求概率的估計(jì)值為.【小問2詳解】設(shè)“第i名學(xué)生經(jīng)常使用生成式人工智能工具”為事件，“從該校全體學(xué)生中隨機(jī)選取兩名學(xué)生，至少有一名學(xué)生經(jīng)常使用生成式人工智能工具”這事件，，依題意，與估計(jì)為，于是與估計(jì)為，所以所求概率估計(jì)為.【小問3詳解】記，，，，的平均數(shù)為，，，，，的平均數(shù)為，依題意，，，，因此，，所以.19.在中，．（1）求；（2）若的面積是，求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）用余弦定理進(jìn)行邊角互化可解；（2）由面積公式得到，再用余弦定理和基本不等式可解.【小問1詳解】，用余弦定理得到，，化簡得到，則，,則.【小問2詳解】由于,．由余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最小值為.20.如圖1，在中，，，，，分別為，的中點(diǎn)．將沿折起到的位置，得到四棱錐，如圖2．（1）求證：；（2）若M是線段上的點(diǎn)，平面與線段交于點(diǎn)N．再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知．使點(diǎn)M唯一確定，并解答問題．（?。┣笞C：為的中點(diǎn)；（ⅱ）求證：平面．條件①；條件②；條件③．注：如果選擇的條件不符合要求，第（Ⅱ）問得0分，如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計(jì)分．【答案】（1）證明見解析；（2）選擇條件，答案見解析.【解析】【分析】（1）利用線面垂直的判定、性質(zhì)推理即得.（2）選擇條件①③，利用線面平行的判定、性質(zhì)推理得（?。?；利用線面垂直的判定推理得（ⅱ）.【小問1詳解】在中，由，得，由，分別為，的中點(diǎn)，得，則，因此，而平面，則平面，又平面，所以.【小問2詳解】選條件①：，（i）由，平面平面，得平面，又平面，平面平面，因此，則，而，所以，即為的中點(diǎn).（ii）因?yàn)?，由（i）得，則，由（1）得，又平面，所以平面.選條件③：，由，得，（i）由，平面平面，得平面，又平面，平面平面，因此，則，而，所以，即為的中點(diǎn).（ii）因?yàn)?，由（i）得，則，由（1）得，又平面，所以平面.條件②，，由（1）可得平面，則過直線的平面與平面相交，所得交線均與平行，給定條件為上述交線，因此這樣的點(diǎn)M不唯一確定.21.設(shè)是由個非負(fù)整數(shù)組成的行列的數(shù)表，記，，，，設(shè)，，…，的平均數(shù)為，若，則稱數(shù)表為“階數(shù)表”．（1）判斷如下兩個數(shù)表是否為“4階H數(shù)表”；說明理由；，（2）證明：對于一個給定的正整數(shù)，不存在“階數(shù)表”，使得對任意的，都成立；（3）對任意的“階數(shù)表”，是否存在，，滿足，使得?說明理由．【答案】（1）不是“4階數(shù)表”；數(shù)表是“4階數(shù)表”.（2）證明見解析（3）存在，理由見解析【解析】【分析】（1）計(jì)算有即可判斷數(shù)表，計(jì)算即可判斷數(shù)表；（2）利用反證法，根據(jù)定義有，證明出，則與假設(shè)矛盾，即證明出原命題；（3）設(shè)，然后分和兩大類討論即可.【小問1詳解】數(shù)表不是“4階數(shù)表”，數(shù)表是“4階數(shù)表”，理由如下：在數(shù)表中，，因此數(shù)表不是“4階數(shù)表”.在數(shù)表中，，因此數(shù)表是“4階數(shù)表”.【小問2詳解】假