南京市勵(lì)志高級(jí)中學(xué)2024-2025年度高一年級(jí)第二學(xué)期第三次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷（時(shí)間：120分鐘滿分：150分）考生注意1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.2.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式化簡(jiǎn)集合，即可由交集的定義即可求解.【詳解】不等式，可解得：，則；綜合可得或，而，因此，．故選：B．2.已知全集為，則圖中陰影部分表示的集合是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件，求出集合，再利用集合的運(yùn)算，即可求解.【詳解】易知，又，所以，故選：C.3.已知函數(shù)，則函數(shù)的最小值為（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)基本不等式即可得到最值.【詳解】因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選：B.4.復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的虛部為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的概念可得.【詳解】由題意可得復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的虛部為.故選：B5.設(shè)為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.1 B.6 C.5 D.1或5【答案】C【解析】【分析】由純虛數(shù)的概念可得結(jié)果.【詳解】由復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則，解得：.故選：C.6.已知向量，若，則（）A.2 B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量垂直列方程，化簡(jiǎn)求得.【詳解】若，則，即，向量，則，解得.故選：A7.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩角和與差的余弦公式結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，可求值.【詳解】因?yàn)?；?所以，.所以.故選：B8.在圓內(nèi)接梯形中，，，，，則其外接圓的半徑為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件判斷為等腰梯形，得，由余弦定理求得，再由正弦定理即可求得其外接圓半徑.【詳解】如圖，梯形內(nèi)接于圓，則，因，則，故梯形為等腰梯形，則，所求即的外接圓的半徑．在中，由余弦定理可得，則，又由正弦定理，，即．故選：B．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，為邊的中點(diǎn)，且，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】連接，利用向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】連接，因?yàn)闉檫呏悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以，故A正確；BC錯(cuò)誤；由，可得，所以，故D正確.故選：AD.10.設(shè)是三角形的一個(gè)內(nèi)角，下列選項(xiàng)中可能為負(fù)值的有（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】由是三角形的一個(gè)內(nèi)角可得的范圍，即可得A、B、C選項(xiàng)，結(jié)合輔助角公式可得D.【詳解】是三角形的一個(gè)內(nèi)角，故，則，可能小于0，可能小于0，，則，則可能小于0.故選：BCD.11.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】對(duì)于A，由可判斷；對(duì)于B，由已知結(jié)合余弦定理可得，由正弦定理可得，結(jié)合三角形內(nèi)角和可判斷；對(duì)于C，由三角形內(nèi)角和可判斷；對(duì)于D，由BC結(jié)論可判斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)橛捎嘞叶ɡ?，所以，整理得，由正弦定理可得，即，所以，因?yàn)闉榈膬?nèi)角，所以或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由B可知，當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，所以，所以，故此時(shí)為等腰直角三角形，，所以，故C正確；對(duì)于D，由B知，，所以，由C知，，所以，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AC三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.若向量滿足，且的夾角為，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)模長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】,故答案為：.13.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，，則______．【答案】【解析】【分析】利用正弦定理邊化角，計(jì)算可得，可求.【詳解】因?yàn)?，所以由正弦定理可得．又，所以，故．又因?yàn)?，所以．故答案為?14.已知，且滿足，，則______．【答案】##【解析】【分析】應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系結(jié)合兩角差的余弦化簡(jiǎn)，應(yīng)用角的范圍或應(yīng)用三角恒等變換結(jié)合角的范圍得出，最后應(yīng)用二倍角余弦公式計(jì)算.【詳解】因，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所?故答案為：四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）15.設(shè)，，，為平面內(nèi)的四點(diǎn)，且，，.（1）若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)向量，若與平行，求實(shí)數(shù)值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及相等向量、共線向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可得解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)點(diǎn)，則,.因，所以，即得.所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.【小問(wèn)2詳解】由題意得，所以，.因?yàn)?，所以，解?16.在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，．（1）求的值；（2）若時(shí)，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理化角為邊可求答案；（2）先求，利用面積公式可得答案.【小問(wèn)1詳解】，由余弦定理得，，又，，化簡(jiǎn)得，．【小問(wèn)2詳解】由（1）得，為銳角，，，，的面積．17.如圖，在直三棱柱中，所有棱長(zhǎng)均為4，D是AB的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求異面直線與所成角的正弦值．【答案】（1）證明過(guò)程見解析（2）【解析】【分析】（1）連接交于，利用三角形中位線定理，結(jié)合線面平行的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，結(jié)合異面直線所成角定理、直棱柱的性質(zhì)、余弦定理、同角的三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】連接交于，在直三棱柱中，所有棱長(zhǎng)均為4，因此四邊形是正方形，所以是的中點(diǎn)，而D是AB的中點(diǎn)，因此有，而平面，平面，所以平面；【小問(wèn)2詳解】由（1）可知：，因此異面直線與所成角為（或其補(bǔ)角），因?yàn)槭钦叫危?，在直三棱柱中，所有棱長(zhǎng)均為4，因此四邊形是正方形，因此有，在直三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，因此也就垂直底面中任何直線，因此有，由余弦定理可知：，因此.18.已知銳角滿足．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意求出，利用兩角差的正弦公式即可求得；（2）由（1）解出，由均為銳角以及的取值情況，解出的取值范圍，即可求得的值.小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，，所以，則，又，所以，則，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，因?yàn)?，，，所以，由?）知，所以，則，所以.19.在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于非零向量，滿足，則稱為這兩個(gè)向量的“協(xié)方差”.（1）若，證明：.（2）已知向量的夾角為，向量的夾角為，且.證明：.（3）在中，線段為的兩條內(nèi)角平分線，點(diǎn)分別在邊上，，且，求.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的“協(xié)方差”的定義即可證明；（2）根據(jù)向量的夾角公式即得，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得代入