高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1河北省部分示范校2025屆高三下學(xué)期高考模擬數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.?C.? D.【答案】B【解析】等價于且，故解不等式得，所以，，所以可得：?，.故ACD錯，B對.故選：B.2.若復(fù)數(shù)是方程的兩個不同的根，則（）A. B. C. D.9【答案】A【解析】設(shè).則，因為，所以解得或不妨設(shè)，則.故選：A.3.某校高三學(xué)生的?？紨?shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，按照，，，的比例將考試成績劃分為優(yōu)秀、良好、合格和基本合格四個等級.若小張的數(shù)學(xué)成績?yōu)榉?，則他的等級是（）附：，，.A.優(yōu)秀 B.良好 C.合格 D.基本合格【答案】B【解析】由題得，，所以，，，，因，，所以，根據(jù)比例成績大于分為優(yōu)秀，因為，根據(jù)比例成績在到之間的為良好，，根據(jù)比例成績在到之間的為合格，，根據(jù)比例成績小于分為基本合格，因為小張的數(shù)學(xué)成績?yōu)榉郑瑒t他的等級是良好.故選：B.4.已知，則（）A.1 B.2 C. D.3【答案】D【解析】因為，所以.所以所以，因為.則，所以，所以.所以3.故選：D5.若函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，所以，又因為定義域為關(guān)于原點對稱，所以是奇函數(shù)，由于，可知函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，所以即，即，則，該不等式組無解，所以解集為.故選：D.6.已知正方體的棱長為2，平面截正方體所得的圖形為六邊形，設(shè)該六邊形的周長為，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】連接,由于平面，平面，故，又平面，故平面，又平面，故，,則，同理可得,平面，故平面，由于平面，故平面平面，平面與平面的交線為,平面與平面的交線為，故，同理可得故平面如圖陰影部分，，同理可得,故六邊形周長為定值，所以B正確.故選：B7.在正項無窮數(shù)列中，若，則是，，成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】因為，所以，所以，所以.當(dāng)時，，所以，所以，所以充分性成立；因為，所以，因為，，，所以，所以，所以，所以,因為，所以，即，所以必要性成立.故選:C.8.已知拋物線，過點作的兩條切線，切點分別為，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意得切線斜率存在，設(shè)過點的的切線方程為，即，與聯(lián)立，消去得，故，即，設(shè)，為的兩個根，由韋達定理得，，設(shè)直線，的斜率分別為，，，，因為，所以，則，故，，則，，得到，，，由兩點間距離公式得，，，，，故B正確.故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知向量，則（）A.若，則B.若，則C.若取得最大值，則D.若，則在上的投影向量為【答案】ABD【解析】對于A，若，則，則，解得，所以A正確；對于B，若，則，所以，解得，所以B正確；對于C，，當(dāng)，即時，取最大值，所以C錯誤；對于D，若，則，所以在上的投影向量為，所以D正確.故選：ABD.10.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點，的零點之間距離的最小值為，則（）A.B.的單調(diào)遞增區(qū)間為C.的圖象關(guān)于點對稱D.的解集為【答案】BC【解析】由已知得，的最小正周期為，所以，因為函數(shù)的圖象經(jīng)過點，所以，因為，所以，所以，則，所以A錯誤；當(dāng)且僅當(dāng)時，單調(diào)遞增，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以B正確；令，得.所以的圖象關(guān)于點對稱，所以C正確；因，由，可得，即，所以，或，而當(dāng)時，，故只需，由可得，解得，因為，故，因此，的解集為，D錯.故選：BC.11.我們把平面內(nèi)到兩個定點的距離之積為常數(shù)的點的軌跡，稱為卡西尼卵形線（CassiniOval）．在平面直角坐標系中，兩個定點，，，是平面上的兩個動點，設(shè)滿足的的軌跡為一條連續(xù)的封閉曲線，滿足的的軌跡為一條連續(xù)的封閉曲線，則（）A.關(guān)于軸、軸對稱 B.當(dāng)不在軸上時，C.當(dāng)時，縱坐標的最大值大于 D.當(dāng)，有公共點時，【答案】ACD【解析】對于選項A：設(shè)，由，得，將代入得到，將將代入得到，所以關(guān)于軸、軸均對稱，A正確；對于選項B：當(dāng)不在軸上時，與不共線，可以作為一個三角形的三個頂點，所以，B錯誤；對于選項C：當(dāng)時，，當(dāng)時，可得：，解得：，此時，即，故當(dāng)時，點的縱坐標的最大值大于1，C正確；對于選項D：由，得為橢圓，且，其方程為，所以，代入，得，所以，因為，所以，解得：或舍去，D正確；故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某市在2025高考模擬測試評卷中，實行雙評加抽樣三評的評卷方法.已知收到有效的數(shù)學(xué)答卷為5萬份，有效的物理答卷為3萬份，有效的化學(xué)答卷為2.5萬份.若雙評后利用分層抽樣的方法抽取210份樣卷進行三評，則應(yīng)抽取數(shù)學(xué)樣卷的份數(shù)為______.【答案】100【解析】由題意，應(yīng)抽取數(shù)學(xué)樣卷的份數(shù)為.故答案為：10013.若雙曲線虛軸的上、下端點分別位于圓的外部與內(nèi)部，其中為的半焦距，則離心率的一個取值可以為__________.【答案】2（答案不唯一?滿足即可）【解析】由題得虛軸的端點分別為，，因為虛軸的上，下端點分別位于圓的外部與內(nèi)部，所以0解得，即，即，則，故的取值范圍為，則可取.故答案為：（答案不唯一?滿足即可）14.已知半徑為1的球內(nèi)切于上、下底面半徑分別為，的圓臺，若，則圓臺表面積的最小值為__________.【答案】【解析】作出圓臺與內(nèi)切球的軸截面如圖，過作于點，易得，，，則，則，同理得，則在中，，解得，因為，所以，所以圓臺的表面積，設(shè)，所以，所以，因為，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值為.故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角的對邊分別為.（1）求；（2）若，求的取值范圍.注：.解：（1）因為，所以，由正弦定理得，所以，因為，所以.（2）因為，所以，所以，因為.所以，所以，即，即的取值范圍為.16.如圖，在多面體中，為正三角形，平面，平面，平面，，，分別為與的重心.（1）求證：，且平面平面；（2）若，，直線與平面所成的角為，求到平面的距離.證明：（1）延長交于，延長交于，連接，由，分別為與的重心，得，分別為對應(yīng)線段的中點，則，由平面，平面，平面，得，則，點四點共面，由，，得，則；由平面，平面，得，而為正三角形，即，又平面，因此平面，而平面，則平面平面，所以平面平面.（2）解：由，平面，得平面，而平面，則，，而，則直線兩兩垂直，以為原點，以直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖，過作于，則，由平面，平面，得平面平面，直線是在平面內(nèi)的射影，因此為直線與平面所成的角，，，而，則，，又，則，連接，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，所以到平面的距離為.17.在直角坐標系中，已知為一個動點，且直線，的斜率之積為.（1）求的軌跡的方程；（2）若，經(jīng)過點的直線與交于點，求證：.（1）解：設(shè)，因為，直線的斜率之積為.所以，化簡得，即的方程為.（2）證明：由題知直線的斜率不為零，設(shè)的方程為，聯(lián)立與，得，顯然判別式，設(shè)，所以，設(shè)直線的斜率分別為，所以，即，即，所以.18.已知函數(shù).（1）證明：，；（2）求函數(shù)的零點個數(shù).（1）證明：欲證，，即證，，令，則，因為，，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，成立.（2）解：令，所以，①當(dāng)時，，，所以，即在時無零點；②當(dāng)時，，，所以，所以在時單調(diào)遞增，所以，即在時無零點；③當(dāng)時，令，則，顯然在上單調(diào)遞增，又，，所以存在使得，因此可得時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，又，，所以存在，使得，即時，，，單調(diào)遞減；時，，，單調(diào)遞增，又，，所以在上有2個不同的零點；④當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以，即成立，所以在上無零點，綜上，函數(shù)有2個不同的零點.19.將數(shù)列中的各項隨機排列后構(gòu)成一個數(shù)列為，則稱是的一個“隨機數(shù)列”；若中的各項均滿足，則稱是的“完全隨機數(shù)列”，記的“完全隨機數(shù)列”的個數(shù)為.（1）直接用表示的最小值和最大值；（不需要寫出過程）（2）分別計算，并證明：是公比為的等比數(shù)列；（3）若從中隨機選取一個數(shù)列，記此數(shù)列是的“完全隨機數(shù)列”的概率為，證明：.解：（1）最小值為，最大值為.（2）顯然；當(dāng)時，為數(shù)列1，2，則其完全隨機數(shù)列必為2，1，故；當(dāng)時，為數(shù)列，則完全隨機數(shù)列可以為或，故；當(dāng)時，為數(shù)列，為得到數(shù)列的完全隨機數(shù)列，可先排1，有3種排法，比如1排到2的位置，那就再排2，也有3種排法，剩下的兩個數(shù)字只有1種排法，由乘法原理可得.當(dāng)數(shù)列有項時，其“完全隨機數(shù)列”的排法可以分為兩個步驟：第一步：隨機排且不排在第項的位置，有種排法；第二步：隨機排其余項，根據(jù)第一步的排法，可以分為兩類；第一類：若.排在第項位置，但不排在第項的位置，這樣的排法有種；第二類：若排在第項的位置，排在第項的位置，這樣的排法有種，所以由計數(shù)原理得，又，所以，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.（3）由（2）得，所以，，，，以上各式相加可得，所以，又數(shù)列的隨機數(shù)列的個數(shù)為，所以.河北省部分示范校2025屆高三下學(xué)期高考模擬數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.?C.? D.【答案】B【解析】等價于且，故解不等式得，所以，，所以可得：?，.故ACD錯，B對.故選：B.2.若復(fù)數(shù)是方程的兩個不同的根，則（）A. B. C. D.9【答案】A【解析】設(shè).則，因為，所以解得或不妨設(shè)，則.故選：A.3.某校高三學(xué)生的?？紨?shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，按照，，，的比例將考試成績劃分為優(yōu)秀、良好、合格和基本合格四個等級.若小張的數(shù)學(xué)成績?yōu)榉郑瑒t他的等級是（）附：，，.A.優(yōu)秀 B.良好 C.合格 D.基本合格【答案】B【解析】由題得，，所以，，，，因，，所以，根據(jù)比例成績大于分為優(yōu)秀，因為，根據(jù)比例成績在到之間的為良好，，根據(jù)比例成績在到之間的為合格，，根據(jù)比例成績小于分為基本合格，因為小張的數(shù)學(xué)成績?yōu)榉?，則他的等級是良好.故選：B.4.已知，則（）A.1 B.2 C. D.3【答案】D【解析】因為，所以.所以所以，因為.則，所以，所以.所以3.故選：D5.若函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，所以，又因為定義域為關(guān)于原點對稱，所以是奇函數(shù)，由于，可知函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，所以即，即，則，該不等式組無解，所以解集為.故選：D.6.已知正方體的棱長為2，平面截正方體所得的圖形為六邊形，設(shè)該六邊形的周長為，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】連接,由于平面，平面，故，又平面，故平面，又平面，故，,則，同理可得,平面，故平面，由于平面，故平面平面，平面與平面的交線為,平面與平面的交線為，故，同理可得故平面如圖陰影部分，，同理可得,故六邊形周長為定值，所以B正確.故選：B7.在正項無窮數(shù)列中，若，則是，，成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】因為，所以，所以，所以.當(dāng)時，，所以，所以，所以充分性成立；因為，所以，因為，，，所以，所以，所以，所以,因為，所以，即，所以必要性成立.故選:C.8.已知拋物線，過點作的兩條切線，切點分別為，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意得切線斜率存在，設(shè)過點的的切線方程為，即，與聯(lián)立，消去得，故，即，設(shè)，為的兩個根，由韋達定理得，，設(shè)直線，的斜率分別為，，，，因為，所以，則，故，，則，，得到，，，由兩點間距離公式得，，，，，故B正確.故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知向量，則（）A.若，則B.若，則C.若取得最大值，則D.若，則在上的投影向量為【答案】ABD【解析】對于A，若，則，則，解得，所以A正確；對于B，若，則，所以，解得，所以B正確；對于C，，當(dāng)，即時，取最大值，所以C錯誤；對于D，若，則，所以在上的投影向量為，所以D正確.故選：ABD.10.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點，的零點之間距離的最小值為，則（）A.B.的單調(diào)遞增區(qū)間為C.的圖象關(guān)于點對稱D.的解集為【答案】BC【解析】由已知得，的最小正周期為，所以，因為函數(shù)的圖象經(jīng)過點，所以，因為，所以，所以，則，所以A錯誤；當(dāng)且僅當(dāng)時，單調(diào)遞增，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以B正確；令，得.所以的圖象關(guān)于點對稱，所以C正確；因，由，可得，即，所以，或，而當(dāng)時，，故只需，由可得，解得，因為，故，因此，的解集為，D錯.故選：BC.11.我們把平面內(nèi)到兩個定點的距離之積為常數(shù)的點的軌跡，稱為卡西尼卵形線（CassiniOval）．在平面直角坐標系中，兩個定點，，，是平面上的兩個動點，設(shè)滿足的的軌跡為一條連續(xù)的封閉曲線，滿足的的軌跡為一條連續(xù)的封閉曲線，則（）A.關(guān)于軸、軸對稱 B.當(dāng)不在軸上時，C.當(dāng)時，縱坐標的最大值大于 D.當(dāng)，有公共點時，【答案】ACD【解析】對于選項A：設(shè)，由，得，將代入得到，將將代入得到，所以關(guān)于軸、軸均對稱，A正確；對于選項B：當(dāng)不在軸上時，與不共線，可以作為一個三角形的三個頂點，所以，B錯誤；對于選項C：當(dāng)時，，當(dāng)時，可得：，解得：，此時，即，故當(dāng)時，點的縱坐標的最大值大于1，C正確；對于選項D：由，得為橢圓，且，其方程為，所以，代入，得，所以，因為，所以，解得：或舍去，D正確；故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某市在2025高考模擬測試評卷中，實行雙評加抽樣三評的評卷方法.已知收到有效的數(shù)學(xué)答卷為5萬份，有效的物理答卷為3萬份，有效的化學(xué)答卷為2.5萬份.若雙評后利用分層抽樣的方法抽取210份樣卷進行三評，則應(yīng)抽取數(shù)學(xué)樣卷的份數(shù)為______.【答案】100【解析】由題意，應(yīng)抽取數(shù)學(xué)樣卷的份數(shù)為.故答案為：10013.若雙曲線虛軸的上、下端點分別位于圓的外部與內(nèi)部，其中為的半焦距，則離心率的一個取值可以為__________.【答案】2（答案不唯一?滿足即可）【解析】由題得虛軸的端點分別為，，因為虛軸的上，下端點分別位于圓的外部與內(nèi)部，所以0解得，即，即，則，故的取值范圍為，則可取.故答案為：（答案不唯一?滿足即可）14.已知半徑為1的球內(nèi)切于上、下底面半徑分別為，的圓臺，若，則圓臺表面積的最小值為__________.【答案】【解析】作出圓臺與內(nèi)切球的軸截面如圖，過作于點，易得，，，則，則，同理得，則在中，，解得，因為，所以，所以圓臺的表面積，設(shè)，所以，所以，因為，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值為.故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角的對邊分別為.（1）求；（2）若，求的取值范圍.注：.解：（1）因為，所以，由正弦定理得，所以，因為，所以.（2）因為，所以，所以，因為.所以，所以，即，即的取值范圍為.16.如圖，在多面體中，為正三角形，平面，平面，平面，，，分別為與的重心.（1）求證：，且平面平面；（2）若，，直線與平面所成的角為，求到平面的距離.證明：（1）延長交于，延長交于，連接，由，分別為與的重心，得，分別為對應(yīng)線段的中點，則，由平面，平面，平面，得，則，點四點共面，由，，得，則；由平面，平面，得，而為正三角形，即，又平面，因此平面，而平面，則平面平面，所以平面平面.（2）解：由，平面，得平面，而平面，則，，而，則直線兩兩垂直，以為原點，以直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖，過作于，則，由平面，平面，得平面平面，直線是在平面內(nèi)的射影，因此為直線與平面所成的角，，，而，則，，又，則，連接，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，所以到平面的距離為.17.在直角坐標系中，已知為一個動點，且直線，的斜率之積為.（1）求的軌跡的方程；（2）若，經(jīng)過點的直線與交于點，求證：.（1）解：設(shè)，因為，直線的斜率之積為.所以，化簡得，即的方程為.（2）證明：由題知直線的斜率不為零，設(shè)的方程為，聯(lián)立與，得，顯然判別式，設(shè)，所以，設(shè)直線的斜率分別為，所以，即，即，所以.18.