湖南省婁底市漣源市第二中學(xué)2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)，則z的虛部為（）A． B． C． D．3．已知，，則（）A． B． C． D．4．的展開式中的系數(shù)為（）A．2 B．6 C．4 D．5．某校文藝匯演上有一個(gè)合唱節(jié)目，4名女同學(xué)和4名男同學(xué)需從左至右排成一排上臺(tái)演唱，則男生甲與女生乙相鄰，且男生丙與女生丁相鄰的排法種數(shù)為（）A．1440 B．2880 C．480 D．9606．已知，則的最大值是（）A．-1 B．1 C．4 D．77．圓與圓的公切線有且僅有（）A．4條 B．3條 C．2條 D．1條8．設(shè)函數(shù)是R上可導(dǎo)的偶函數(shù)，且，當(dāng)，滿足，則的解集為（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．某校高三年級(jí)選考地理科的學(xué)生有100名，現(xiàn)將他們該科的一次考試分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換為等級(jí)分，已知等級(jí)分X的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換區(qū)間為，若等級(jí)分，則（）參考數(shù)據(jù)：；；A．這次考試等級(jí)分的標(biāo)準(zhǔn)差為5B．這次考試等級(jí)分超過70分的約有45人C．D．這次考試等級(jí)分在內(nèi)的人數(shù)約為48人10．設(shè)，隨機(jī)變量的分布列如下圖所示，則下列說法正確的有（

）X012PA．恒為1 B．隨增大而增大C．恒為 D．最小值為011．已知點(diǎn)為橢圓（）的左焦點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上異于，的一點(diǎn)，直線，分別為，，橢圓的離心率為，若，，則（

）A． B． C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．已知隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且，設(shè)，那么.13．從3名男生和5名女生中選出2人分別擔(dān)任2項(xiàng)不同的社區(qū)活動(dòng)服務(wù)者，要求男、女生各1人，那么不同的安排有種（用數(shù)字做答）；14．楊輝三角是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種排列，在歐洲這個(gè)表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的，我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)了如圖所示的表，這是我國數(shù)學(xué)史上的一次偉大成就，如圖所示，在“楊輝三角”中去除所有為1的項(xiàng)，依次構(gòu)成數(shù)列，2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……，則此數(shù)列的前119項(xiàng)的和為．(參考數(shù)據(jù)：，，)四、解答題（本大題共5小題）15．已知.(1)求的最小正周期，最大值和最小值.(2)把的圖象向右平移后得到的圖象，求的解析式.16．若.(1)求的值；(2)求的值.17．端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗，設(shè)一盤中裝有10個(gè)粽子，其中豆沙粽3個(gè)，白粽7個(gè)，這兩種粽子的外觀完全相同，從中任意選取3個(gè).(1)求既有豆沙粽又有白粽的概率；(2)設(shè)X表示取到的豆沙粽個(gè)數(shù)，求X的分布列及期望.18．如圖，在四棱錐中，平面，，，.

(1)求證：平面；(2)若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.19．2024年新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)卷面分值進(jìn)行了調(diào)整，其中第9題到第11題為多項(xiàng)選擇題，每題分值為6分，若正確選項(xiàng)有2個(gè)，選對(duì)2個(gè)得6分，選對(duì)1個(gè)得3分，有選錯(cuò)的或不選擇得0分；若正確選項(xiàng)有3個(gè)，選對(duì)3個(gè)得6分，選對(duì)2個(gè)得4分，選對(duì)1個(gè)得2分，有選錯(cuò)的或不選擇得0分.已知甲、乙兩位同學(xué)各自獨(dú)立作答第11題，設(shè)第11題正確答案是2個(gè)選項(xiàng)的概率為.(1)已知甲同學(xué)隨機(jī)（等可能）選擇了2個(gè)選項(xiàng)作答，求他既選出正確選項(xiàng)也選出錯(cuò)誤選項(xiàng)的概率；(2)若乙同學(xué)在作答第11題時(shí)，除確定B，D選項(xiàng)不能同時(shí)選擇之外沒有答題思路，只能隨機(jī)選擇若干選項(xiàng)作答.求乙在答題過程中使得分最大的答題方式，并寫出最大得分.

參考答案1．【答案】D【詳解】由交集定義可知：.故選D.2．【答案】A【詳解】復(fù)數(shù)的實(shí)部為2，虛部為.故選A.3．【答案】B【詳解】因?yàn)椋?，所?故選B.4．【答案】D【詳解】的展開式中的系數(shù)即為的展開式中的系數(shù)，又二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，令，可得，則的系數(shù)為.故選D.5．【答案】B【詳解】因?yàn)槟猩着c女生乙相鄰，且男生丙與女生丁相鄰，所以先將男生甲與女生乙、男生丙與女生丁分別看作一個(gè)整體，與剩下4名學(xué)生進(jìn)行排列有種排法，又男生甲與女生乙之間有種排法，男生丙與女生丁之間有種排法，因此根據(jù)乘法原理得所求種數(shù)為，故選B.6．【答案】B【詳解】由題意可得：，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即故選B.7．【答案】A【詳解】圓：，所以，.圓：，所以，.因?yàn)?，，所?所以圓與圓相離.所以兩圓有4條公切線.故選A.8．【答案】C【詳解】令，∵函數(shù)在上是可導(dǎo)的偶函數(shù)，∴在上也是偶函數(shù)又當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴在上是增函數(shù)∵，由得即不等式轉(zhuǎn)化為，∴x不為0時(shí)有，而x為0時(shí)，不等式顯然成立，∴不等式的解集為.故選C.9．【答案】AD【詳解】對(duì)于A，因，則，故A正確；對(duì)于B，因，即這次考試等級(jí)分超過70分的學(xué)生約占一半，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因，故這次考試等級(jí)分在內(nèi)的人數(shù)約為人，故D正確，故選AD.10．【答案】AC【詳解】因?yàn)?，解得：，所以隨機(jī)變量的分布列如下圖，X012P因?yàn)椋銥?，故A正確；B錯(cuò)誤；，故C正確，D錯(cuò)誤.故選AC.11．【答案】AC【詳解】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)，連接，，根據(jù)橢圓對(duì)稱性可知四邊形為平行四邊形，則，且由，可得，所以，則，．由余弦定理可得，所以，所以橢圓的離心率．設(shè)，，則，，，所以，又，，相減可得．因?yàn)?，所以，所以．故選AC．12．【答案】0【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，，所以，所以，因?yàn)?，所?13．【答案】30【詳解】先選一名男生，有3種方法；再選一名女生，有5種方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理求得選取男、女生各1名，不同的安排方案種數(shù)為.14．【答案】131022【詳解】n次二項(xiàng)系數(shù)對(duì)應(yīng)楊輝三角的第n+1行，例如，系數(shù)分別為1,2,1,對(duì)應(yīng)楊輝三角的第三行，令x=1,就可以求出該行的系數(shù)之和，第1行為，第2行為，第3行為，以此類推即每一行數(shù)字和為首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，則楊輝三角形的前n項(xiàng)和為，若去除所有的為1的項(xiàng)，則剩下的每一行的個(gè)數(shù)為1,2,3,4，……，可以看成構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，則前n項(xiàng)和，可得當(dāng)n=14，再加上第15行的前14項(xiàng)時(shí)，所有項(xiàng)的個(gè)數(shù)和為119，由于最右側(cè)為2,3,4,5，……，為一個(gè)首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，則第15行的第15項(xiàng)為16，則楊輝三角的前17項(xiàng)和為，且前17行中有個(gè)1，故此數(shù)列的前119項(xiàng)的和為.15．【答案】(1)周期為2π，最大值為4，最小值為(2)【詳解】（1），

∴的最小周期為2π，最大值為4，最小值為.（2）把的圖象右移后得,.16．【答案】(1)242(2)【詳解】（1）∵，令，可得，令，可得，∴.（2）∵，令，可得①，令，可得②，結(jié)合①②可得：17．【答案】(1)(2)分布列見解析，【詳解】（1）依題意，既有豆沙粽又有白粽的概率為；（2）X的可能取值為則，，，.

所以X的分布列如下：X0123P.18．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因?yàn)?，，，所以四邊形為直角梯形，取中點(diǎn)E，連接，則，則四邊形為正方形，

則，，所以，所以.

因?yàn)槠矫妫矫?，所以?/p>

因?yàn)?，平面，平面，所以平?（2）由（1）可知，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?，，則，，，則，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，即，令，則，故.

由（1）可知平面，所以是平面的一個(gè)法向量，記作，記平面與平面的夾角為，則.所以平面與平面所成銳二面角的余弦值.19．【答案】(1)(2)乙同學(xué)選擇雙選AC時(shí)得分最大，最大值為分【詳解】（1）設(shè)事件A為“該題的正確答案是2個(gè)選項(xiàng)”，則為“該題的正確答案是3個(gè)選項(xiàng)”，即，.

設(shè)事件B為“甲同學(xué)既選出正確選項(xiàng)也選出錯(cuò)誤選項(xiàng)”，則，，

所以，則他既選出正確選項(xiàng)也選出錯(cuò)誤選項(xiàng)的概率為.（2）由題知選項(xiàng)B，D不能同時(shí)選，則乙同學(xué)可