數(shù)字信號(hào)處理教程z變換

1.定義-\(Z\)變換的定義為：對(duì)于離散序列\(zhòng)(x(n)\)，其\(Z\)變換\(X(z)\)定義為\(X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)z^{-n}\)，其中\(zhòng)(z\)是一個(gè)復(fù)變量，\(z=re^{j\omega}\)（\(r\)為模，\(\omega\)為輻角）。2.收斂域（ROC）-確定收斂域的重要性：\(Z\)變換的表達(dá)式只有在其收斂域內(nèi)才有意義。-收斂域的求法-對(duì)于有限長(zhǎng)序列：-若\(x(n)\)是因果序列（\(n<0\)時(shí)\(x(n)=0\)），其收斂域?yàn)閈(0<\vertz\vert\leqslant\infty\)。-若\(x(n)\)是反因果序列（\(n>0\)時(shí)\(x(n)=0\)），其收斂域?yàn)閈(0\leqslant\vertz\vert<\infty\)。-若\(x(n)\)是雙邊有限長(zhǎng)序列，其收斂域?yàn)閈(0<\vertz\vert<\infty\)。-對(duì)于右邊序列（\(n<n_0\)時(shí)\(x(n)=0\)，\(n_0\)為有限值），其收斂域?yàn)閈(\vertz\vert>R_x-\)，\(R_x-\)是收斂半徑。-對(duì)于左邊序列（\(n>n_0\)時(shí)\(x(n)=0\)，\(n_0\)為有限值），其收斂域?yàn)閈(\vertz\vert<R_x+\)。-對(duì)于雙邊序列，收斂域?yàn)閈(R_x-<\vertz\vert<R_x+\)。3.\(Z\)變換的性質(zhì)-線性性質(zhì)：若\(x_1(n)\stackrel{Z}{\longleftrightarrow}X_1(z)\)，\(ROC=R_1\)；\(x_2(n)\stackrel{Z}{\longleftrightarrow}X_2(z)\)，\(ROC=R_2\)，則\(ax_1(n)+bx_2(n)\stackrel{Z}{\longleftrightarrow}aX_1(z)+bX_2(z)\)，\(ROC\)包含\(R_1\capR_2\)。-移位性質(zhì)-雙邊\(Z\)變換：若\(x(n)\stackrel{Z}{\longleftrightarrow}X(z)\)，\(ROC=R\)，則\(x(n-n_0)\stackrel{Z}{\longleftrightarrow}z^{-n_0}X(z)\)，\(ROC=R\)（可能會(huì)增加或去除\(z=0\)或\(z=\infty\)點(diǎn)）。-單邊\(Z\)變換：若\(x(n)\)為因果序列，\(x(n)\stackrel{Z}{\longleftrightarrow}X(z)\)，則\(x(n-n_0)\stackrel{Z}{\longleftrightarrow}z^{-n_0}X(z)\)，\(n_0\geqslant0\)。-卷積定理-若\(x_1(n)\stackrel{Z}{\longleftrightarrow}X_1(z)\)，\(ROC=R_1\)；\(x_2(n)\stackrel{Z}{\longleftrightarrow}X_2(z)\)，\(ROC=R_2\)，則\(x_1(n)x_2(n)\stackrel{Z}{\longleftrightarrow}X_1(z)X_2(z)\)，\(ROC\)包含\(R_1\capR_2\)。-\(Z\)域尺度變換（乘以指數(shù)序列）性質(zhì)：若\(x(n)\stackrel{Z}{\longleftrightarrow}X(z)\)，\(ROC=R\)，則\(a^{n}x(n)\stackrel{Z}{\longleftrightarrow}X(\frac{z}{a})\)，\(ROC=\verta\vertR\)。4.逆\(Z\)變換-定義：已知\(X(z)\)及其收斂域，求原序列\(zhòng)(x(n)\)的過程稱為逆\(Z\)變換。-計(jì)算方法-留數(shù)法：\(x(n)=\frac{1}{2\pij}\oint_{C}X(z)z^{n-1}dz\)，其中\(zhòng)(C\)是收斂域內(nèi)環(huán)繞原點(diǎn)的一條逆時(shí)針閉合圍道，\(x(n)=\sum[\text{Res}[X(z)z^{n-1},z_k]]\)，\(z_k\)是\(X(z)z^{n-1}\)在圍道\(C\)內(nèi)的極點(diǎn)。-部分分式展開法