第9章整式乘法與因式分解（壓軸題+易錯(cuò)題專練）目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)一已知多項(xiàng)式乘積不含某項(xiàng)求字母的值】 1【考點(diǎn)二單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式與圖形面積】 3【考點(diǎn)三通過(guò)對(duì)完全平方公式變形求值】 6【考點(diǎn)四求完全平方式中的字母系數(shù)】 8【考點(diǎn)五整式乘法中新定義型運(yùn)算問(wèn)題】 10【考點(diǎn)六平方差公式與幾何圖形】 14【考點(diǎn)七完全平方公式與幾何圖形】 18【考點(diǎn)八十字相乘法因式分解】 21【考點(diǎn)九分組分解法因式分解】 26【考點(diǎn)十因式分解的應(yīng)用】 31【考點(diǎn)一已知多項(xiàng)式乘積不含某項(xiàng)求字母的值】例題：（2023上·山東濟(jì)寧·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知關(guān)于x的多項(xiàng)式不含項(xiàng)和項(xiàng)，則當(dāng)時(shí)，這個(gè)多項(xiàng)式的值為．【答案】【分析】本題考查了多項(xiàng)式中不含某項(xiàng)的條件，求多項(xiàng)式的值；由多項(xiàng)式中不含某項(xiàng)的條件可得，求出、的值，化簡(jiǎn)出多項(xiàng)式，再代入求值即可；理解“多項(xiàng)式中不含某一項(xiàng)就是使得這一項(xiàng)的系數(shù)為零”是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：多項(xiàng)式不含項(xiàng)和項(xiàng)，，解得：，原多項(xiàng)式為，當(dāng)時(shí)，原式；故答案：．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·湖南衡陽(yáng)·八年級(jí)衡陽(yáng)市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考階段練習(xí)）如果的乘積中不含項(xiàng)，則m=．【答案】【分析】本題主要考查多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法，先根據(jù)多項(xiàng)式的乘法法則展開，再根據(jù)題意二次項(xiàng)的系數(shù)等于0列式求解即可．【詳解】∵乘積中不含項(xiàng)，∴，解得，故答案為：．2．（2023上·湖北·八年級(jí)校考周測(cè)）已知關(guān)于的一次二項(xiàng)式與的積不含二次項(xiàng)，一次項(xiàng)的系數(shù)是4．求：(1)系數(shù)與的值；(2)二項(xiàng)式與的積．【答案】(1)系數(shù)的值為，系數(shù)的值為；(2)【分析】本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式．（1）先計(jì)算，得，再根據(jù)關(guān)于的一次二項(xiàng)式與的積不含二次項(xiàng)，一次項(xiàng)的系數(shù)是4，得到關(guān)于與的方程，解方程即可得到答案；（2）把與的值代入，計(jì)算即可得到答案．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：，關(guān)于的一次二項(xiàng)式與的積不含二次項(xiàng)，一次項(xiàng)的系數(shù)是4，，解得：，系數(shù)的值為，系數(shù)的值為；（2）解：由（1）得：系數(shù)的值為，系數(shù)的值為，二項(xiàng)式與的積為：．【考點(diǎn)二單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式與圖形面積】例題：（2023上·上海青浦·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，兩個(gè)相連的正方形的邊長(zhǎng)分別是a、b.完成下面兩題（如果含有，請(qǐng)?jiān)诮Y(jié)果中保留的形式）．

(1)用含a、b的式子表示陰影部分的面積；(2)當(dāng)，時(shí)，求陰影部分的面積．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了列代數(shù)式，涉及到正方形、圓的面積公式，正確表示出陰影部分的面積是解題的關(guān)鍵．（1）陰影部分的面積梯形的面積三角形的面積正方形的面積扇形的面積；（2）當(dāng)，時(shí)，代入（1）中代數(shù)式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：陰影部分的面積為：；（2）當(dāng)，時(shí)，原式．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，某社區(qū)有兩塊相連的長(zhǎng)方形空地，一塊長(zhǎng)為，寬為；另一塊長(zhǎng)為，寬為．現(xiàn)將兩塊空地進(jìn)行改造，計(jì)劃在中間邊長(zhǎng)為的正方形（陰影部分）中種花，其余部分種植草坪．(1)求計(jì)劃種植草坪的面積；(2)已知，，若種植草坪的價(jià)格為30元/，求種植草坪應(yīng)投入的資金是多少元？【答案】(1)計(jì)劃種植草坪的面積為(2)種植草坪應(yīng)投入的資金是243000元【分析】本題考查了列代數(shù)式，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，以及整式的混合運(yùn)算-化簡(jiǎn)求值，弄清楚題意是解答本題的關(guān)鍵．（1）計(jì)劃種植草坪的面積等于2個(gè)矩形的面積減去陰影部分的面積，利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則，平方差公式和完全平方公式化簡(jiǎn)，去括號(hào)合并得到最簡(jiǎn)結(jié)果即可；（2）將a與b的值代入（1）中求得的栽花面積和草坪面積，再根據(jù)總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：（1）兩塊空地總面積：，，栽花面積：，草坪面積：．（2），，草坪價(jià)格為30元/，應(yīng)投入的資金元．2．（2023上·江西上饒·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，一個(gè)長(zhǎng)方形運(yùn)動(dòng)場(chǎng)被分隔成，，，，，共個(gè)區(qū)，區(qū)是邊長(zhǎng)為的正方形，區(qū)是邊長(zhǎng)為的正方形．

(1)列式表示每個(gè)區(qū)長(zhǎng)方形場(chǎng)地的周長(zhǎng)，并將式子化簡(jiǎn)；（用含、的代數(shù)式表示）(2)列式表示整個(gè)長(zhǎng)方形運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的周長(zhǎng)，并將式子化簡(jiǎn)；（用含、的代數(shù)式表示）(3)如果，，求整個(gè)長(zhǎng)方形運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的面積．【答案】(1)右上方區(qū)長(zhǎng)方形場(chǎng)地的周長(zhǎng)為：，左下角區(qū)長(zhǎng)方形場(chǎng)地的周長(zhǎng)為：(2)整個(gè)長(zhǎng)方形運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的周長(zhǎng)為：(3)整個(gè)長(zhǎng)方形運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的面積為【分析】本題主要考查整式的混合運(yùn)算與圖形周長(zhǎng)、面積的計(jì)算，掌握整式的混合運(yùn)算，代入求值是解題的關(guān)鍵．（1）區(qū)是邊長(zhǎng)為的正方形，區(qū)是邊長(zhǎng)為的正方形，圖形結(jié)合即可求解；（2）根據(jù)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)的計(jì)算方法，整式的加減運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解；（3）根據(jù)長(zhǎng)方形的面積的計(jì)算方法列式，代入，計(jì)算即可．【詳解】（1）解：區(qū)是邊長(zhǎng)為的正方形，區(qū)是邊長(zhǎng)為的正方形，∴區(qū)長(zhǎng)方形場(chǎng)地的長(zhǎng)為：，寬為：，∴右上方區(qū)長(zhǎng)方形場(chǎng)地的周長(zhǎng)為：，左下角區(qū)長(zhǎng)方形場(chǎng)地的周長(zhǎng)為：．（2）解：由（1）可知，區(qū)長(zhǎng)方形場(chǎng)地的長(zhǎng)為：，寬為，∴整個(gè)長(zhǎng)方形運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的長(zhǎng)為：，寬為：，∴整個(gè)長(zhǎng)方形運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的周長(zhǎng)為：．（3）解：整個(gè)長(zhǎng)方形運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的長(zhǎng)為：，寬為：，∴整個(gè)長(zhǎng)方形運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的面積為：，當(dāng)，時(shí)，原式，∴整個(gè)長(zhǎng)方形運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的面積為．【考點(diǎn)三通過(guò)對(duì)完全平方公式變形求值】例題：（2023上·河南南陽(yáng)·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，求下列各式的值．(1)(2)【答案】(1)25(2)17【分析】（1）直接求出的平方；（2）用（1）式減去求解；【詳解】（1）解：；（2）；【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式，以及公式的轉(zhuǎn)換．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·甘肅平?jīng)觥ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期末）閱讀理解：已知，，求的值．解：∵，∴，即，∵，∴，參考上述過(guò)程解答：(1)若，．①___________；②求的值；(2)已知，，求的值．【答案】(1)①5；②1(2)1【分析】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，熟記公式的形式，掌握整體思想是解題關(guān)鍵．（1）①根據(jù)即可求解；②根據(jù)即可求解；（2）根據(jù)求出即可求解．【詳解】（1）解：①∵，∴，即，∵，∴故答案為：5②（2）解：∵，，∴∵2．（2024上·甘肅定西·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀材料：若滿足，求的值．解：設(shè)，，則，所以請(qǐng)仿照上例解決下面的問(wèn)題：(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：若x滿足，求：的值．(2)若，求：的值．【答案】(1)21(2)【分析】本題考查了利用完全平方公式變形求值，熟記完全平方公式是解題關(guān)鍵．（1）設(shè)，則，再利用完全平方公式變形求值即可得；（2）設(shè)，則，再利用完全平方公式變形求值即可得．【詳解】（1）解：設(shè)，則，所以．（2）解：設(shè)，則，所以．【考點(diǎn)四求完全平方式中的字母系數(shù)】例題：（2023上·寧夏吳忠·八年級(jí)?？计谀┤绻且粋€(gè)完全平方式，那么k的值是．【答案】【分析】本題考查完全平方公式，兩數(shù)的平方和，再加上或減去它們積的2倍，就構(gòu)成了一個(gè)完全平方式．注意積的2倍的符號(hào)，避免漏解．這里首末兩項(xiàng)是x和5這兩個(gè)數(shù)的平方，那么中間一項(xiàng)為加上或減去x和5的積的2倍，故．【詳解】解：∵，∴．故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·四川內(nèi)江·八年級(jí)四川省內(nèi)江市第一中學(xué)校考期中）已知是完全平方式，為常數(shù)，則的值為(

)A．或 B．或 C．或 D．【答案】C【分析】此題考查了完全平方式，利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可確定出的值．【詳解】解：∵是完全平方式，∴，解得：或，故選：C．2．（2024上·河南駐馬店·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若是x的完全平方式，則【答案】9【分析】本題考查了完全平方式，先根據(jù)已知平方項(xiàng)和乘積二倍項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù)，再根據(jù)完全平方公式求解即可，熟記完全平方公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，故答案為：9．3．（2023上·全國(guó)·八年級(jí)期末）若多項(xiàng)式的結(jié)果是一個(gè)多項(xiàng)式的平方，則單項(xiàng)式．【答案】或【分析】本題考查完全平方公式；分當(dāng)M為中間項(xiàng)時(shí)，當(dāng)為中間項(xiàng)時(shí)，兩種情況根據(jù)完全平方式的特點(diǎn)進(jìn)行求解即可．【詳解】解：當(dāng)M為中間項(xiàng)時(shí)，則，∴；當(dāng)為中間項(xiàng)時(shí)，則，∴；綜上所述，或，故答案為：或．【考點(diǎn)五整式乘法中新定義型運(yùn)算問(wèn)題】例題：（2023上·江西南昌·八年級(jí)校考期中）閱讀下列材料：規(guī)定一種新運(yùn)算：．例如：，按照這種運(yùn)算的規(guī)定，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：(1)當(dāng)，求的值；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查定義新運(yùn)算，解一元一次方程，非負(fù)性．（1）根據(jù)題中給出的例子列出方程，再計(jì)算即可；（2）根據(jù)題中給出的例子列出方程，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出的值，然后再計(jì)算即可．掌握新運(yùn)算的法則，正確的列出方程，是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵，∴∴∴，∴（2）∵∴∴∴，∴，∴，又∵，∴，解得：，∴．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·湖南株洲·七年級(jí)株洲二中?？计谀╅喿x下列材料，回答問(wèn)題：材料一：我們定義一種新運(yùn)算：我們把形如這樣的式子叫作“行列式”，行列式的運(yùn)算方式是：．例如：；；．材料二：在探究的時(shí)候，我們不妨利用多項(xiàng)式和多項(xiàng)式的乘法將其打開：，我們把這個(gè)公式叫作“差的完全立方公式”．按同樣的方法我得出“和的完全立方公式”為：．這兩個(gè)公式常運(yùn)用在因式分解和簡(jiǎn)便運(yùn)算等過(guò)程中．(1)計(jì)算：______；______．(2)已知，，求的值．(3)已知，，，求的值．【答案】(1)13，(2)18(3)【分析】（1）根據(jù)材料一直接計(jì)算，再根據(jù)材料二中公式變形即可；（2）將變形為，代入計(jì)算即可；（3）根據(jù)已知得到，再將所求式子利用新定義和公式變形，得到，再整體代入計(jì)算即可．【詳解】（1）解：由題意可得：；；（2）∵，，∴；（3）∵，，，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，代數(shù)式求值，新定義運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是讀懂材料所提供的新運(yùn)算法則，靈活運(yùn)用給出的差的完全立方公式與和的完全立方公式進(jìn)行變形．2．（2023上·北京海淀·八年級(jí)北京交通大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法．它是指將一個(gè)式子的某一部分通過(guò)恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來(lái)解決一些問(wèn)題．例如，把二次三項(xiàng)式進(jìn)行配方．解：我們定義：一個(gè)整數(shù)能表示成（a，b是整數(shù)）的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”．例如，5是“完美數(shù)”．理由：因?yàn)椋偃?，（x，y是整數(shù)），所以M也是“完美數(shù)”．(1)解決問(wèn)題：請(qǐng)你再寫一個(gè)小于16的“完美數(shù)”______；并判斷40是否為“完美數(shù)”______；(2)若二次三項(xiàng)式（x是整數(shù)）是“完美數(shù)”，可配方成（m，n為常數(shù)），則的值為______；(3)探究問(wèn)題：已知（x，y是整數(shù)，k是常數(shù)），要使S為“完美數(shù)”，則符合條件的k值為______；拓展結(jié)論：已知實(shí)數(shù)x，y滿足，求的最小值．【答案】(1)10，是(2)2(3)13，4【分析】（1）由題意知，，，然后作答即可；（2）由題意知，，由（x是整數(shù)）是“完美數(shù)”，可配方成（m，n為常數(shù)），可得，，然后代值求解即可；（3），由S為“完美數(shù)”，可得，解得，；由，可得，然后作答即可．【詳解】（1）解：由題意知，，，故答案為：10，是；（2）解：由題意知，，∵（x是整數(shù)）是“完美數(shù)”，可配方成（m，n為常數(shù)），∴，，∴，故答案為：2；（3）解：，∵S為“完美數(shù)”，∴，解得，，故答案為：13；∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，最小，最小值為4．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，代數(shù)式求值等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于理解題意并熟練掌握完全平方公式．【考點(diǎn)六平方差公式與幾何圖形】例題：（2023上·吉林·八年級(jí)統(tǒng)考期末）探究活動(dòng)：（1）如圖1是邊長(zhǎng)分別為a、b的正方形，可以求出陰影部分的面積是．（寫成兩數(shù)平方差的形式）（2）如圖2，若將圖1中陰影部分裁剪下來(lái)，重新拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，面積是．（寫成多項(xiàng)式乘積的形式）（3）比較圖1、圖2陰影部分的面積，可以得到等式：．知識(shí)應(yīng)用：①計(jì)算：；②計(jì)算【答案】探究活動(dòng)：（1）；（2）；（3）；知識(shí)應(yīng)用：①；②【分析】本題主要考查了平方差公式的幾何背景以及靈活應(yīng)用，表示出圖形陰影部分面積是解題的關(guān)鍵．（1）大正方形的面積與小正方形的面積的差就是陰影部分的面積；（2）利用矩形的面積公式即可求解；（3）根據(jù)（1）（2）表示的陰影部分面積相等即可解答；知識(shí)應(yīng)用：①利用平方差公式即可求解；②把化為，再利用公式即可求解．【詳解】解：探究活動(dòng)：（1）（2）（3）（等號(hào)左右順序可互換）；知識(shí)應(yīng)用：①；②；【變式訓(xùn)練】1．（2022上·湖南衡陽(yáng)·八年級(jí)衡陽(yáng)市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考階段練習(xí)）實(shí)踐與探索：如圖1，在邊長(zhǎng)為的大正方形里挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形，再把圖1中的剩余部分（陰影部分）拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖2所示）．(1)上述操作能驗(yàn)證的等式是：______（請(qǐng)選擇正確的一個(gè)）A．B．C．(2)請(qǐng)應(yīng)用這個(gè)等式完成下列各題：①已知，則______．②計(jì)算：．【答案】(1)A(2)①4②【分析】本題主要考查了平方差公式的應(yīng)用，有理數(shù)的混合運(yùn)算．（1）觀察圖形，利用拼接前后的面積關(guān)系即可得出結(jié)論；（2）①利用平方差公式解答即可；②將1看成，利用平方差公式解答即可．【詳解】（1）圖1的面積為，圖2的面積為：，由于拼接前后的面積相等，∴，∴上述操作能驗(yàn)證的等式是A，故答案為：A；（2）①∵，∴，∴，故答案為：4；②∵，∴2．（2023上·河南南陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休”．請(qǐng)你利用數(shù)形結(jié)合的思想解決以下數(shù)學(xué)問(wèn)題．從邊長(zhǎng)為a的正方形減掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖2）．

(1)通過(guò)計(jì)算兩個(gè)圖形（陰影部分）的面積，驗(yàn)證的一個(gè)等式是．(2)若，，求的值．(3)計(jì)算的值是．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查平方差公式與圖形面積．（1）利用兩種方法求出圖形面積即可；（2）利用（1）中結(jié)論進(jìn)行求解即可；（3）利用（1）中結(jié)論，裂項(xiàng)相乘即可．解題的關(guān)鍵是得到．【詳解】（1）解：由圖1，陰影部分的面積為，由圖2，長(zhǎng)方形的面積為；∴；故答案為：．（2）∵，，且，∴．（3）原式．【考點(diǎn)七完全平方公式與幾何圖形】例題：現(xiàn)有長(zhǎng)與寬分別為、的小長(zhǎng)方形若干個(gè)，用兩個(gè)這樣的小長(zhǎng)方形，拼成如圖1的圖形，用四個(gè)相同的小長(zhǎng)方形拼成圖2的圖形，請(qǐng)認(rèn)真觀察圖形，解答下列問(wèn)題：(1)根據(jù)圖中條件，請(qǐng)寫出圖1和圖2所驗(yàn)證的關(guān)于、的關(guān)系式：（用、的代數(shù)式表示出來(lái)）；圖1表示：；圖2表示：；根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問(wèn)題：(2)若，，則；；(3)如圖3，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，以，為邊向兩邊作正方形，設(shè)，兩正方形的面積和，求圖中陰影部分面積．【詳解】（1）解：圖1中，由圖可知，，由題意得，，即，故答案為：．圖2中，由圖可知，，，由題圖可知，，即，故答案為：．（2）解：，，，，∴．故答案為：16；12．（3）解：由題意得，，，，，，，∴．即圖中陰影部分的面積為．【變式訓(xùn)練】1．將完全平方公式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，可以解決很多的數(shù)學(xué)問(wèn)題，例如：若，，求的值．解：因?yàn)?，所以，即．又因?yàn)椋裕鶕?jù)上面的解題思路與方法，解決下列問(wèn)題：(1)若，，則；(2)若，，求的值；(3)兩個(gè)正方形如圖擺放，面積和為34，，則圖中陰影部分面積和為．【詳解】（1）解：，，即，又，，，故答案為：12；（2）解：∵，，；（3）解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為m、的邊長(zhǎng)為n，，，，即，，，，，，解得：m=5,n=3，．故答案為：5．2．如圖①，正方形是由兩個(gè)長(zhǎng)為a、寬為b的長(zhǎng)方形和兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b的正方形拼成的．(1)利用正方形面積的不同表示方法，直接寫出、、之間的關(guān)系式，這個(gè)關(guān)系式是；(2)若m滿足，請(qǐng)利用（1）中的數(shù)量關(guān)系，求的值；(3)若將正方形的邊、分別與圖①中的、重疊，如圖②所示，已知，，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果必須是一個(gè)具體數(shù)值）．【詳解】（1）（2）設(shè)，，則，，由已知得：，∴，∴，

∴（3）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則，，∵∴∵∴【考點(diǎn)八十字相乘法因式分解】例題：（2023春·安徽阜陽(yáng)·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）閱讀理解：用“十字相乘法”分解因式；．第一步：二次項(xiàng)系數(shù)2可以寫成，常數(shù)項(xiàng)可以寫成或；第二步：如下圖，畫“×”號(hào)，將1、2寫在“×”號(hào)左邊，將、3或1、寫在“×”號(hào)的右邊，共有如下圖的四種情形：

第三步：驗(yàn)算“交叉相乘兩個(gè)積的和”是否等于一次項(xiàng)的系數(shù)：①的系數(shù)為；②的系數(shù)為；③的系數(shù)為；④的系數(shù)為．顯然，第②個(gè)“交叉相乘兩個(gè)積的和”等于一次項(xiàng)系數(shù)，因此有：．像這樣，通過(guò)十字交叉線幫助，把二次三項(xiàng)式分解因式的方法，叫做十字相乘法．問(wèn)題：(1)分解因式：；①完善下圖中“×”號(hào)右邊的數(shù)使得；“交叉相乘兩個(gè)積的和”等于一次項(xiàng)系數(shù)；

②分解因式：_______；(2)分解因式：．①完善橫線上的數(shù)字；

②分解因式：________．【答案】(1)①見解析；②(2)①見解析；②【分析】（1）（2）①根據(jù)“交叉相乘兩個(gè)積的和”等于一次項(xiàng)系數(shù)填寫橫線上的數(shù)；②根據(jù)所填數(shù)字，仿照材料分解即可．【詳解】（1）解：①

；②；（2）①

；②．【點(diǎn)睛】本題考查了十字相乘法分解因式，解題的關(guān)鍵是讀懂材料，理解十字相乘法的計(jì)算方法．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣西北?！て吣昙?jí)統(tǒng)考期中）閱讀理解：用“十字相乘法”因式分解例如：求：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題干中解題過(guò)程，對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別分解，交叉相乘再相加，湊成一次項(xiàng)系數(shù)即可求解；（2）根據(jù)題干中解題過(guò)程，對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別分解，交叉相乘再相加，湊成一次項(xiàng)系數(shù)即可求解．【詳解】（1）解：如圖，∴（2）解：如圖，∴．【點(diǎn)睛】本題考查十字相乘法因式分解，掌握分解的步驟是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·廣西梧州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀理解題在因式分解中有一種常用的方法叫十字相乘法，可以用一元二次式的因式分解，這個(gè)方法其實(shí)就是運(yùn)用乘法公式運(yùn)算來(lái)進(jìn)行因式分解，基本式子為：，例如：分解因式，，，按此排列：

交叉相乘，乘積相加等于，得到，這就是十字相乘法．利用上述方法解決下列問(wèn)題：(1)分解因式：；(2)先分解因式，再求值：，其中．【答案】(1)(2)，45【分析】（1）根據(jù)十字相乘法進(jìn)行因式分解即可；（2）先運(yùn)用式子相乘法進(jìn)行因式分解，再代入求解．【詳解】（1）解：；（2）當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，熟練掌握十字相乘法進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·湖南岳陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀理解：用“十字相乘法”分解因式的方法（如圖）．第一步：二次項(xiàng)；第二步：常數(shù)項(xiàng)，畫“十字圖”驗(yàn)算“交叉相乘之和”；

第三步：發(fā)現(xiàn)第③個(gè)“交叉相乘之和”的結(jié)果等于一次項(xiàng)．即．像這樣，通過(guò)畫“十字圖”，把二次三項(xiàng)式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”．運(yùn)用結(jié)論：(1)將多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，可以表示為_______________；(2)若可分解為兩個(gè)一次因式的積，請(qǐng)畫好“十字圖”，并求整數(shù)的所有可能值．【答案】(1)(2)圖見解析，，，，16【分析】（1）根據(jù)“十字相乘法”的步驟分解因式即可；（2）根據(jù)“十字相乘法”的步驟分解因式即可．【詳解】（1）解：，常數(shù)項(xiàng)，，，故答案為：；（2）解：，常數(shù)項(xiàng)，畫“十字圖”如下：

，，，16．【點(diǎn)睛】本題考查了十字相乘法分解因式，理解十字相乘法是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·陜西榆林·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀下列材料：將一個(gè)形如的二次三項(xiàng)式因式分解時(shí)，如果能滿足且，則可以把因式分解成．例如：（1）；（2）．根據(jù)材料，把下列式子進(jìn)行因式分解．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】根據(jù)進(jìn)行解答即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．【點(diǎn)睛】本題考查了十字相乘法分解因式，運(yùn)用十字相乘法分解因式時(shí)，要意觀察，嘗試，并體會(huì)它實(shí)質(zhì)是二項(xiàng)式乘法的逆過(guò)程，注意分解因式一定要徹底．【考點(diǎn)九分組分解法因式分解】例題：（2023春·陜西西安·八年級(jí)高新一中?？计谀读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版》關(guān)于運(yùn)算能力的解釋為：運(yùn)算能力主要是指根據(jù)法則和運(yùn)算律進(jìn)行正確運(yùn)算的能力，因此，我們面對(duì)沒有學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)題時(shí)，方法可以創(chuàng)新，但在創(chuàng)新中要遵循法則和運(yùn)算律，才能正確解答，下面介紹一種分解因式的新方法——拆項(xiàng)補(bǔ)項(xiàng)法：把多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆開或填補(bǔ)上互為相反數(shù)的兩項(xiàng)（或幾項(xiàng)），使原式適合于已學(xué)過(guò)的方法進(jìn)行分解．例題：用拆項(xiàng)補(bǔ)項(xiàng)法分解因式．解：添加兩項(xiàng)．原式請(qǐng)你結(jié)合自己的思考和理解完成下列各題：(1)分解因式：；(2)分解因式；(3)分解因式：．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)例題用拆項(xiàng)補(bǔ)項(xiàng)法分解因；（2）根據(jù)例題用拆項(xiàng)補(bǔ)項(xiàng)法分解因；（3）根據(jù)例題用拆項(xiàng)補(bǔ)項(xiàng)法分解因；【詳解】（1）解：；（2）（3）【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，理解題意，正確的增項(xiàng)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇泰州·七年級(jí)靖江市靖城中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）將一個(gè)多項(xiàng)式分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法是因式分解中的分組分解法，一般的分組分解法有四種形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法“3+3”分法等．如“2+2”分法：請(qǐng)你仿照以上方法，探索并解決下列問(wèn)題：(1)分解因式：；(2)分解因式：；(3)分解因式：．【答案】(1)）；(2)；(3)．【分析】利用分組分解法、公式法進(jìn)行因式分解．【詳解】（1）解：=；（2）解：；（3）解：．【點(diǎn)睛】本題考查的是分組分解法因式分解，掌握分組分解法、公式法的一般步驟是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·山東青島·八年級(jí)統(tǒng)考期末）【問(wèn)題提出】：分解因式：（1）

（2）【問(wèn)題探究】：某數(shù)學(xué)“探究學(xué)習(xí)”小組對(duì)以上因式分解題目進(jìn)行了如下探究：探究1：分解因式：（1）分析：甲發(fā)現(xiàn)該多項(xiàng)式前兩項(xiàng)有公因式，后兩項(xiàng)有公因式，分別把它們提出來(lái)，剩下的是相同因式，可以繼續(xù)用提公因式法分解．解：另：乙發(fā)現(xiàn)該多項(xiàng)式的第二項(xiàng)和第四項(xiàng)含有公因式，第一項(xiàng)和第三項(xiàng)含有公因式，把，提出來(lái)，剩下的是相同因式，可以繼續(xù)用提公因式法分解．解：探究2：分解因式：（2）分析：甲發(fā)現(xiàn)先將看作一組應(yīng)用平方差公式，其余兩項(xiàng)看作一組，提出公因式6，則可繼續(xù)再提出因式，從而達(dá)到分解因式的目的．解：【方法總結(jié)】：對(duì)不能直接使用提取公因式法，公式法進(jìn)行分解因式的多項(xiàng)式，我們可把被分解的多項(xiàng)式分成若干組，分別按“基本方法”即提取公因式法和公式法進(jìn)行分解，然后，再?gòu)目傮w上按“基本方法”繼續(xù)進(jìn)行分解，直到分解出最后結(jié)果．這種分解因式的方法叫做分組分解法：【學(xué)以致用】：嘗試運(yùn)用分組分解法解答下列問(wèn)題；（1）分解因式：；（2）分解因式：；【拓展提升】：（3）分解因式：．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）把前面兩個(gè)和后面兩個(gè)分別組成兩組，提公因式后再利用平方差公式繼續(xù)分解；（2）把前面三個(gè)和后面一個(gè)組成兩組，利用公式分解即可；（3）把15分解成，再把前面三個(gè)和后面一個(gè)組成兩組，利用公式分解即可．【詳解】解：（1）；（2）；（3）．【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是注意用分組分解法時(shí)，一定要考慮分組后能否提取公因式，運(yùn)用公式．【考點(diǎn)十因式分解的應(yīng)用】例題：（2023秋·廣東深圳·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）小強(qiáng)是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊(cè)中，有這樣一條