專題06一次方程（組）及其應(yīng)用【八大題型】TOC\o"1-3"\h\u【題型1等式的性質(zhì)及一元一次方程的相關(guān)概念】 2【題型2一次方程(組)的解法】 2【題型3一元一次方程的應(yīng)用】 3【題型4二元一次方程組的應(yīng)用之和差倍分問題】 4【題型5二元一次方程組的應(yīng)用之銷售問題】 4【題型6中考最熱考法之以注重過程性學(xué)習(xí)的形式考查一次方程（組）】 6【題型7中考最熱考法之以跨學(xué)科背景考查一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用】 7【題型8中考最熱考法之以真實(shí)問題情境為背景考查二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用】 9【知識點(diǎn)一次方程(組)】1.定義定義1：含有未知數(shù)的等式叫做方程。定義2：只含有一個未知數(shù)(元)，未知數(shù)的次數(shù)都是1，等號兩邊都是整式的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是。定義3：使方程中等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。定義4：含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫做二元一次方程，它的一般形式是。定義5：把兩個方程合在一起，就組成了方程組。定義6：方程組中有兩個未知數(shù)，含有每個未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且一共有兩個方程，這樣的方程組叫做二元一次方程組。定義7：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解。定義8：二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解。2.等式的性質(zhì)性質(zhì)1：若a=b，則a±c=b±c。等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等。性質(zhì)2：若a=b，則ac=bc；(c≠0)。等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等。3.解一元一次方程的一般步驟①去分母；②去括號；③移項(xiàng)；④合并同類項(xiàng)；⑤系數(shù)化為1。4.解二元一次方程組的方法①代入消元法；②加減消元法。代入消元法：把二元一次方程組中一個方程的一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一個方程，實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個二元一次方程組的解。這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法。加減消元法：當(dāng)二元一次方程組的兩個方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時，把這兩個方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個未知數(shù)，得到一個一元一次方程。這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法。5.方程(組)與實(shí)際問題解有關(guān)方程(組)的實(shí)際問題的一般步驟：第1步：審題。認(rèn)真讀題，分析題中各個量之間的關(guān)系。第2步：設(shè)未知數(shù)。根據(jù)題意及各個量的關(guān)系設(shè)未知數(shù)。第3步：列方程(組)。根據(jù)題中各個量的關(guān)系列出方程(組)。第4步：解方程(組)。根據(jù)方程(組)的類型采用相應(yīng)的解法。第5步：答?！绢}型1等式的性質(zhì)及一元一次方程的相關(guān)概念】【例1】（2023·內(nèi)蒙古包頭·二模）設(shè)x、y、c是實(shí)數(shù)，正確的是（

）A．若x=y，則x+c=c?y B．若x=y，則c?x=c?yC．若x=y，則xc=yc 【變式1-1】（2023·吉林·統(tǒng)考中考真題）請寫出一個解為2的一元一次方程，這個方程可以為．【變式1-2】（2023·安徽宿州·統(tǒng)考三模）若a，b，c為互不相等的實(shí)數(shù)，且67a+1A．a(chǎn)?c=6b?a B．C．a(chǎn)?b=6b?c D．【變式1-3】（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x【題型2一次方程(組)的解法】【例2】（2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）若實(shí)數(shù)x，y，m滿足x+y+m=6，3x?y+m=4，則代數(shù)式?2xy+1的值可以是（

）A．3 B．52 C．2 D．【變式2-1】（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的一元一次方程2x+m=5的解為x=1，則m的值為（

）A．3 B．?3 C．7 D．?7【變式2-2】（2023·海南·統(tǒng)考中考真題）若代數(shù)式x+2的值為7，則x等于（

）A．9 B．?9 C．5 D．?5【變式2-3】（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）解方程組：x?2y=1【題型3一元一次方程的應(yīng)用】【規(guī)律方法】利用一元一次方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，而等量關(guān)系往往隱藏在含有關(guān)鍵詞的語句中，列方程時應(yīng)注意以下內(nèi)容：設(shè)未知數(shù)時，單位要寫清楚；列方程時，方程兩邊所表示的量應(yīng)該相同，并且各項(xiàng)的單位要一致；對于求得的解，還要檢驗(yàn)其是否符合實(shí)際意義。【例3】（2023浙江杭州·校聯(lián)考一模）小紅在一家文具店買了一種大筆記本4個和一種小筆記本6個，共用了62元．已知她買的這種大筆記本的單價比這種小筆記本的單價多3元，求該文具店中這種大筆記本的單價．【變式3-1】（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）對聯(lián)是中華傳統(tǒng)文化的瑰寶，對聯(lián)裝裱后，如圖所示，上、下空白處分別稱為天頭和地頭，左、右空白處統(tǒng)稱為邊．一般情況下，天頭長與地頭長的比是6:4，左、右邊的寬相等，均為天頭長與地頭長的和的110．某人要裝裱一副對聯(lián)，對聯(lián)的長為100cm，寬為

【變式3-2】（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）古代中國的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中有一題：“今有生絲三十斤，干之，耗三斤十二兩．今有干絲一十二斤，問生絲幾何？”意思是：“今有生絲30斤，干燥后耗損3斤12兩（古代中國1斤等于16兩）．今有干絲12斤，問原有生絲多少？”則原有生絲為斤．【變式3-3】（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）為了美化環(huán)境，建設(shè)生態(tài)桂林，某社區(qū)需要進(jìn)行綠化改造，現(xiàn)有甲、乙兩個綠化工程隊(duì)可供選擇，已知甲隊(duì)每天能完成的綠化改造面積比乙隊(duì)多200平方米，甲隊(duì)與乙隊(duì)合作一天能完成800平方米的綠化改造面積．（1）甲、乙兩工程隊(duì)每天各能完成多少平方米的綠化改造面積？（2）該社區(qū)需要進(jìn)行綠化改造的區(qū)域共有12000平方米，甲隊(duì)每天的施工費(fèi)用為600元，乙隊(duì)每天的施工費(fèi)用為400元，比較以下三種方案：①甲隊(duì)單獨(dú)完成；②乙隊(duì)單獨(dú)完成；③甲、乙兩隊(duì)全程合作完成．哪一種方案的施工費(fèi)用最少？【題型4二元一次方程組的應(yīng)用之和差倍分問題】【例4】（2023·吉林·中考真題）被譽(yù)為“最美高鐵”的長春至琿春城際鐵路途經(jīng)許多隧道和橋梁，其中隧道累計長度與橋梁累計長度之和為342km，隧道累計長度的2倍比橋梁累計長度多36km．求隧道累計長度與橋梁累計長度．

【變式4-1】（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）某班有52名學(xué)生，其中男生人數(shù)是女生人數(shù)的2倍少17人，則女生有名．【變式4-2】（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一題，原文是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，問大小器各容幾何．”意思是：有大小兩種盛酒的桶，已知5個大桶加上1個小桶可以盛酒3斛（斛，是古代的一種容量單位），1個大桶加上5個小桶可以盛酒2斛．1個大桶、1個小桶分別可以盛酒多少斛？請解答．【變式4-3】（2023·吉林·統(tǒng)考中考真題）問題解決糖葫蘆一般是用竹簽串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．現(xiàn)將一些山楂分別串在若干根竹簽上．如果每根竹簽串5個山楂，還剩余4個山楂；如果每根竹簽串8個山楂，還剩余7根竹簽．這些竹簽有多少根？山楂有多少個？反思?xì)w納現(xiàn)有a根竹簽，b個山楂．若每根竹簽串c個山楂，還剩余d個山楂，則下列等式成立的是________（填寫序號）．⑴bc+d=a；⑵ac+d=b；⑶ac?d=b．

【題型5二元一次方程組的應(yīng)用之銷售問題】【例5】（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題）在襄陽市創(chuàng)建“經(jīng)濟(jì)品牌特色品牌”政策的影響下．每到傍晚，市內(nèi)某網(wǎng)紅燒烤店就食客如云，這家燒烤店的海鮮串和肉串非常暢銷，店主從食品加工廠批發(fā)以上兩種產(chǎn)品進(jìn)行加工銷售，其中海鮮串的成本為m元/支，肉串的成本為n元/支；兩次購進(jìn)并加工海鮮串和肉串的數(shù)量與成本如下表所示（成本包括進(jìn)價和其他費(fèi)用）：次數(shù)數(shù)量（支）總成本（元）海鮮串肉串第一次3000400017000第二次4000300018000針對團(tuán)以消費(fèi)，店主決定每次消費(fèi)海鮮串不超過200支時，每支售價5元；超過200支時、不超過200支的部分按原價，超過200支的部分打八折．每支肉串的售價為3.5元．(1)求m、n的值；(2)五一當(dāng)天，一個旅游團(tuán)去此店吃燒烤，一次性消費(fèi)海鮮串和肉串共1000支，且海鮮串不超過400支．在本次消費(fèi)中，設(shè)該旅游團(tuán)消費(fèi)海鮮串x支，店主獲得海鮮串的總利潤為y元，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；(3)在（2）的條件下，該旅游團(tuán)消費(fèi)的海鮮串超過了200支，店主決定給該旅游團(tuán)更多優(yōu)惠，對每支肉串降價a（0<a<1）元，但要確保本次消費(fèi)獲得肉串的總利潤始終不低于海鮮串的總利潤，求a的最大值．

【變式5-1】（2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）2023年“地攤經(jīng)濟(jì)”成為社會關(guān)注的熱門話題，“地攤經(jīng)濟(jì)”有著啟動資金少、管理成本低等優(yōu)點(diǎn)，特別是在受到疫情沖擊后的經(jīng)濟(jì)恢復(fù)期，“地攤經(jīng)濟(jì)”更是成為許多創(chuàng)業(yè)者的首選，甲經(jīng)營了某種品牌小電器生意，采購2臺A種品牌小電器和3臺B種品牌小電器，共需要90元；采購3臺A種品牌小電器和1臺B種品牌小電器，共需要65元銷售一臺A種品牌小電器獲利3元，銷售一臺B種品牌小電器獲利4元．(1)求購買1臺A種品牌小電器和1臺B種品牌小電器各需要多少元？(2)甲用不小于2750元，但不超過2850元的資金一次性購進(jìn)A、B兩種品牌小電器共150臺，求購進(jìn)A種品牌小電器數(shù)量的取值范圍．(3)在（2）的條件下，所購進(jìn)的A、B兩種品牌小電器全部銷售完后獲得的總利潤不少于565元，請說明甲合理的采購方案有哪些？并計算哪種采購方案獲得的利潤最大，最大利潤是多少？【變式5-2】（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）佳衣服裝廠給某中學(xué)用同樣的布料生產(chǎn)A，B兩種不同款式的服裝，每套A款服裝所用布料的米數(shù)相同，每套B款服裝所用布料的米數(shù)相同，若1套A款服裝和2套B款服裝需用布料5米，3套A款服裝和1套B款服裝需用布料7米．(1)求每套A款服裝和每套B款服裝需用布料各多少米；(2)該中學(xué)需要A，B兩款服裝共100套，所用布料不超過168米，那么該服裝廠最少需要生產(chǎn)多少套B款服裝？

【變式5-3】（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）某水果種植基地為響應(yīng)政府號召，大力種植優(yōu)質(zhì)水果．某超市看好甲、乙兩種優(yōu)質(zhì)水果的市場價值，經(jīng)調(diào)查，這兩種水果的進(jìn)價和售價如下表所示：水果種類進(jìn)價（元千克）售價（元）千克）甲a20乙b23該超市購進(jìn)甲種水果15千克和乙種水果5千克需要305元；購進(jìn)甲種水果20千克和乙種水果10千克需要470元．(1)求a，b的值；(2)該超市決定每天購進(jìn)甲、乙兩種水果共100千克進(jìn)行銷售，其中甲種水果的數(shù)量不少于30千克，且不大于80千克．實(shí)際銷售時，若甲種水果超過60千克，則超過部分按每千克降價3元銷售．求超市當(dāng)天售完這兩種水果獲得的利潤y（元）與購進(jìn)甲種水果的數(shù)量x（千克）之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；(3)在（2）的條件下，超市在獲得的利潤y（元）取得最大值時，決定售出的甲種水果每千克降價3m元，乙種水果每千克降價m元，若要保證利潤率（利潤率=利潤本金）不低于16

【題型6中考最熱考法之以注重過程性學(xué)習(xí)的形式考查一次方程（組）】【規(guī)律方法】本題以“閱讀+任務(wù)”的形式，通過閱讀解一次方程（組）的過程，尋找錯誤，要養(yǎng)成善于總結(jié)，勤于反思、敢于質(zhì)疑的數(shù)學(xué)思維。【例6】（2023·浙江衢州·中考真題）小紅在解方程7x3解：2×7x=4x?1……(1)請在相應(yīng)的方框內(nèi)用橫線劃出小紅的錯誤處．(2)寫出你的解答過程．【變式6-1】（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）用消元法解方程組{x?3y=5解法一：

解法二：由②，得3x+(x?3y)=2，③

由①-②，得3x=3．

把①代入③，得3x+5=2．（1）反思：上述兩個解題過程中有無計算錯誤?若有誤，請在錯誤處打“×”．（2）請選擇一種你喜歡的方法,完成解答．【變式6-2】（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）以下是圓圓解方程x+12解：去分母，得3（x+1）﹣2（x﹣3）＝1．去括號，得3x+1﹣2x+3＝1．移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得x＝﹣3．圓圓的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，寫出正確的解答過程．

【變式6-3】（2023·山西忻州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）下面是小彬同學(xué)解二元一次方程組的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．x?2y=1①解：①×3，得3x?6y=3．③…第一步②?③，得?5y=?5．…第二步y(tǒng)=1．…第三步y(tǒng)=1代入①，得x=3．…第四步所以，原方程組的解為x=3y=1．…填空：①以上求解步驟中，第一步的依據(jù)是；②第二步的基本思想是“消元”，即把“二元”變?yōu)椤耙辉保诖诉^程中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（填序號）；A．?dāng)?shù)形結(jié)合B．類比思想C．轉(zhuǎn)化思想D．分類討論③小彬同學(xué)的解題過程從第步開始出現(xiàn)錯誤，直接寫出該方程組的正確解：．【題型7中考最熱考法之以跨學(xué)科背景考查一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用】【規(guī)律方法】本題以物理學(xué)科為背景考查一元一次方程的實(shí)際問題，形成問題意識，并能結(jié)合現(xiàn)實(shí)素材，理解物理知識，在解決本題的同時感受數(shù)學(xué)和實(shí)際生活的聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值?！纠?】（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）小偉用撬棍撬動一塊大石頭，已知阻力和阻力臂分別為1000N和0.6m，當(dāng)動力臂由1.5m增加到2m時，撬動這塊石頭可以節(jié)省N的力．（杠桿原理：阻力×阻力臂＝動力×動力臂）【變式7-1】（2023·山西大同·大同一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）由于王亮在實(shí)驗(yàn)室做實(shí)驗(yàn)時，沒有找到天平稱取實(shí)驗(yàn)所需藥品的質(zhì)量，于是利用杠桿原理制作天平稱取藥品的質(zhì)量（杠桿原理：動力×動力臂=阻力×阻力臂）．如圖1，當(dāng)天平左盤放置質(zhì)量為60克的物品時，右盤中放置20克砝碼天平平衡；如圖2，將待稱量藥品放在右盤后，左盤放置12克砝碼，才可使天平再次平衡，則該藥品質(zhì)量是（

）

A．6克 B．4克 C．3.5克 D．3克【變式7-2】（2023·浙江杭州·校聯(lián)考一模）公元前3世紀(jì)，古希臘科學(xué)家阿基米德發(fā)現(xiàn)：若兩物體與支點(diǎn)的距離與其重量成反比，則杠桿平衡，后來人們把它歸納為“杠桿原理”，通俗地說，杠桿原理為：阻力×阻力臂=動力×動力臂．小偉欲用撬棍挑動一塊大石頭，已知阻力和阻力臂分別為1200N和0.5m，動力臂為1.5m，則攪動這塊大石頭至少需要的動力是（

）

A．360N B．400N C．450N D．600N【變式7-3】（2023·浙江·統(tǒng)考二模）綜合與實(shí)踐問題提出：數(shù)學(xué)實(shí)踐活動課上，老師提出了一個問題：請你借助一架天平和若干個10克的砝碼測量出一個牙杯和一個牙刷的重量．

實(shí)驗(yàn)探究：準(zhǔn)備若干個相同的牙杯和若干個相同的牙刷（每個牙杯的重量相同，每個牙刷的重量也相同），設(shè)一個牙杯的重量為x克，經(jīng)過實(shí)驗(yàn)，小明將信息記錄在下表：記錄天平左邊天平右邊天平狀態(tài)牙杯總重量牙刷總重量記錄14個牙杯，2個10克的砝碼20個牙刷平衡4x_________記錄23個牙杯14個牙刷和1個10克的砝碼平衡3x_________解決問題：（1）用含x的代數(shù)式表示出表中的兩空（即牙刷的總重量）．（2）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)利用一元一次方程的知識求出一個牙杯的重量和一個牙刷的重量．設(shè)計方案：（3）根據(jù)（2）中的結(jié)論，若將天平左邊放置5只牙杯，則天平右邊需放置_________個牙刷和5個10克的砝碼可使天平平衡．

【題型8中考最熱考法之以真實(shí)問題情境為背景考查二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用】【例8】（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）2023年7月28日至8月8日，第31屆世界大學(xué)生運(yùn)動會將在成都舉行．“當(dāng)好東道主，熱情迎嘉賓”，成都某知名小吃店計劃購買A，B兩種食材制作小吃．已知購買1千克A種食材和1千克B種食材共需68元，購買5千克A種食材和3千克B種食材共需280元．(1)求