第三節(jié)空間點(diǎn)、直線、平面間的位置關(guān)系

用基礎(chǔ)知1R3E打牢強(qiáng)雙星［固本源］得基礎(chǔ)分］拿把程度

［知識(shí)能否憶起］

一、平面的基本性質(zhì)

名稱圖示文字表達(dá)符號(hào)表達(dá)

假如一條直線上的兩

4G/,B0,且

公理1點(diǎn)在一種平面內(nèi)，那么

BGam

這條直線在此平面內(nèi)

過不在一條直線上的\

公理2三點(diǎn)，有且只有一種平

面

假如兩個(gè)不重疊的平

面有一種公共點(diǎn)，那么P￡a,且PS歸aC￡

公理3

它們有且只有一條過=1,且尸￡!

該點(diǎn)的I公共直線

二、空間直線的位置關(guān)系

1.位置關(guān)系日勺分類

［［相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一種公共點(diǎn)；

共面直理——

1日行直線:同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn):

〔異面直線：不一樣在任何一種平面內(nèi),沒有公共點(diǎn).

2.平行公理

平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

3.等角定理

空間中假如兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

4.異面直線所成的角(或夾角)

(1)定義：設(shè)a,b是兩條異面直線，通過空間中任一點(diǎn)0作直線a'//a,b'//b,把a(bǔ)

與b’所成11勺銳角(或宜.角)叫做異面直線a與b所成U勺角.

(2)范圍:(0,(.

三、直線與平面的位置關(guān)系

位置關(guān)系圖示符號(hào)表達(dá)公共點(diǎn)個(gè)數(shù)

直線/在平面a內(nèi)lua無數(shù)個(gè)

八/

直線/與平面a相交一種

直線/與平面。平行l(wèi)//a0個(gè)

四、平面與平面的位置關(guān)系

位置關(guān)系圖示符號(hào)表達(dá)公共點(diǎn)個(gè)數(shù)

/a/

兩個(gè)平面平行。個(gè)

zi__/

7

兩個(gè)平面相交痣aCB=l無數(shù)個(gè)(這些公共點(diǎn)均在交線/1.)

1.三個(gè)公理的作用

(1)公理1的作用：①檢查平面；②判斷直線在平面內(nèi)；③由直線在平面內(nèi)判斷直線上

的)點(diǎn)在平面內(nèi).

(2)公理28勺作用：確定平面8勺根據(jù)，它提供了把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的條件.

(3)公理3的］作用：①鑒定兩平面相交；②作兩相交平面的交線；③證明多點(diǎn)共線.

2.異面直線的有關(guān)問題

\a

(1)鑒定措施：①反證法；②運(yùn)用結(jié)論即過平面外一點(diǎn)與平廠七廠77

a

面內(nèi)一點(diǎn)B勺直線與平面內(nèi)不過該點(diǎn)的直線是異面直線，如圖.

(2)所成的角的求法：平移法.

高頻考點(diǎn)要通關(guān)抓考點(diǎn)］學(xué)技法］得成高分］拿盤程度

?a-平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用

L典題導(dǎo)入

［例1］(2023?湘潭模擬)如圖所示，在正方體ABCD-AxB}CyDx中，E

為A8的中點(diǎn)，尸為4A的中點(diǎn)，

求證：CE,DRD4三線共點(diǎn).

［自主解答］

,；EF於CDi,

???直線。產(chǎn)和CE必相交.

設(shè)DiFCCE=P,

???尸尸且。1FU平面AAiDiDt

??.尸￡平面AAiDiD.

義PWEC且CEU平面ABCD,

.?.尸￡平面A8C。，

即P是平面ABCD與平面AAiD\D□勺公共點(diǎn).

而平面A8COA平面AA\D\D=AD.

：.P^AD.

:?CE、D\F.DA三線共點(diǎn).

>?一題多變

本例條件不變?cè)囎C明E，C,Di，尸四點(diǎn)共面.

證明：???￡：,尸分別是48和44口勺中點(diǎn)，

，瑁7做自4|8又AG觸SG娥B(yǎng)C.

???四邊形AiOCB為平行四邊形.

：.A\B//CD\,從而石尸〃COi.

工EF與。。確定一種平面.

???￡,Ci,F,。四點(diǎn)共面.

2由題悟法

1.證明線共點(diǎn)問題常用的措施是：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證交點(diǎn)在第三條直

線上.

2.證明點(diǎn)或線共面問題一般有如下兩種途徑：①首先由所給條件中的部分線（或點(diǎn)）確

定一種平面，然后再證其他線（或點(diǎn)）均在這個(gè)平面內(nèi)；②將所有條件分為兩部分，然后分別

確定平面，再證平面重疊.

3以題試法

1.（1）（2023?江西模擬）在空間中，下列命題對(duì)歐IH勺是（）

A.對(duì)邊相等的四邊形一定是平面圖形

B.四邊相等的四邊形一定是平面圖形

C.有一組對(duì)邊平行的四邊形一定是平面圖形

D.有一組對(duì)角相等的四邊形一定是平面圖形

（2）對(duì)于四面體A8CQ,下列命題對(duì)時(shí)H勺是（寫出所有對(duì)的）命題口勺編號(hào)）.

①相對(duì)棱AB與CD所在直線異面；

②由頂點(diǎn)4作四面體的高，其垂足是△BC。三條高線的交點(diǎn);

③若分別作△4BC和AAM的邊AB上町島.，則這兩條高所在的直線異面;

④分別作三組相對(duì)棱中點(diǎn)II勺連線，所得的三條線段相交于一點(diǎn).

解析：（1）由“兩平行直線確定一種平面”知C對(duì)的.

（2）由四面體。勺概念可知，A8與C。所在日勺直線為異面直線，故①

對(duì)的;

由頂點(diǎn)A作四面體日勺高，只有當(dāng)四面體A8CO的對(duì)棱互相垂直時(shí),

其垂足是△BCO日勺三條高線口勺交點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；當(dāng)DA=DB,CA=C4時(shí)，這兩條高線去面,

故③錯(cuò)誤；設(shè)4優(yōu)BC,CD,DA。勺中點(diǎn)依次為E,F,M,N,易證四邊形EFMN為平行四

邊形，因此EM與FN相交于一點(diǎn)，易證另一組對(duì)棱中點(diǎn)口勺連線也過它們的交點(diǎn)，故④對(duì)的.

答案；(1)C(2)①④

異面直線的鑒定

I典題導(dǎo)入

［例2］（2023?金華模擬）在圖中，G,MM,"分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn),

則表達(dá)直線GH,MN是異面直線的圖形有.（填上所有對(duì)的答案的序號(hào)）

［自主解答］圖①中，直線GH//MN;

圖②中，G,H,N三點(diǎn)共面，但M4面GMV,

因此直線G〃與MN異面；

圖③中，連接A/G,GM〃HN,

因此GH與MN共面；

圖④中，G,M,N共面，但陰面GMM

因此GH與MN異面.

因此圖②④中G”與MN異面.

［答案］②?

2由題悟法

1.異面直線的鑒定常用的是反證法，先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行

或相交，由假設(shè)的I條件出發(fā)，通過嚴(yán)格的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否認(rèn)假設(shè)肯定兩條直線異面.此

法在異面直線口勺鑒定中常常用到.

2.客觀題中，也可用下述結(jié)論：過平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)不過該

點(diǎn)的直線是異面直線.

3以題試法

2.已知〃?，〃，/為不一樣的直線，?,用為不一樣的平面，有下面四個(gè)命題：

①〃?，〃為異面宜線，過空間任一點(diǎn)P,一定能作一條直線/與〃?，〃都相交.

②〃7,〃為異面直線，過空間任一點(diǎn)P,一定存在一種與直線,〃，〃都平行的平面.

③a_L/?,aCl￡=/,"?Ua,〃u”，〃?，〃與/都斜交，則加與〃一定不垂直；

④機(jī)，〃是a內(nèi)兩相交直線，則a與夕相交歐I充要條件是"I,〃至少有一條與4相交.

則四個(gè)結(jié)論中對(duì)的的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2

C.3D.4

解析：選B①錯(cuò)誤，由于過直線〃，存在一種與直線〃平行的平面，當(dāng)點(diǎn)。在這個(gè)平

面內(nèi)且不在直線〃?上時(shí)，就不滿足結(jié)論；②錯(cuò)誤，由于過直線機(jī)存在一種與直線〃平行的

平面，當(dāng)點(diǎn)P在這個(gè)平面內(nèi)時(shí)，就不滿足結(jié)論；③對(duì)日勺，否則，若〃山在宜線機(jī)上取

一點(diǎn)作直線由a_L￡,得〃_L〃.從而有〃_La,則/」/；④對(duì)的!?

■11異面直線所成角

1:典題導(dǎo)入

［例引（2023?大綱全國(guó)卷）已知正方體48C。一中，￡,尸分別為3以，CCiW

中點(diǎn)，那么異面直線AE與。尸所成角的J余弦值為

［自主解答］連接。匕?'］AE//DF,

:.SFD即為異面直線AE與所成的角.

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a,

則D\D=a,。/=坐"。1尸=坐〃，

乙乙

…金翼工

2?~^-0甘4

3

I答案1j

2由題悟法

求異面直線所成的j角一般用平移法，環(huán)節(jié)如下：

⑴一作：即找或作平行線，作出異面直線所成的角;

（2）二證：即證明作出的角是異面直線所成的角；

（3）三求：解三角形，求出所作H勺角，假如求出H勺角是銳角或直角，則它就是規(guī)定的角,

假如求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是規(guī)定的角.

晶以題試法

3.（2023?忠山模擬）四棱錐P-ABCOH勺所有側(cè)棱長(zhǎng)都為小，底面48C。是邊長(zhǎng)為2FI勺

正方形，則CD與以所成角的余弦值為（）

A*

43

C--

55

解析：選B如圖所示，由于四邊形A8C。為正方形，故C。

〃A8,則CQ與以所成的角即為A8與以所成的角在也/\\

%B內(nèi)，PB=PA=y［5,AB=2,運(yùn)用余弦定理可知：/'\/

fir--------

以2+A爐一以F5+4-5V5

cosZPAB=2XPAXAR=2X2X^=5.

［小題能否全?。?/p>

1.（教材習(xí)題改編）已知〃，〃是異面直線，直線c平行于直線小那么c與伙）

A.異面B.相交

C.不也許平行D.不也許相交

解析：選C由已知直線c與b也許為異面直線也也許為相交直線，但不也許為平行直

線，若〃〃c,則?！ˋ與〃，〃是異面直線相矛盾.

2.（2023?東北三校聯(lián)考）下列命題對(duì)伊、W、J個(gè)數(shù)為（）

①通過三點(diǎn)確定一種平面；

②梯形可以確定一種平面；

③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面；

④假如兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重疊.

A.0B.1

C.2D.3

解析：選C①④錯(cuò)誤，②③對(duì)的.

3.已知空間中有三條線段48,3C和CO,且NA8C=N3CO,那么直線A3與。。時(shí)

位置關(guān)系是（）

A.AB//CD

B.與CO異面

C.AB與C。相交

D.A8〃CO或4B與CO異面或A8與CO相交

解析：選D若三條線段共面，假如48,BC,C。構(gòu)成等腰三角形，則直線AB與CD

相交，否則直線44與CQ平行?；若不共面，則直線A3與C。是異面直

線.

4.（數(shù)材習(xí)題改編）如圖所示，在正方體/WCQ—AiBiGQi中，E,

F分別是AB,AD曰勺中點(diǎn)，則異面直線BiC與EF所成的I角口勺大小為

解析：連接辦小，DC,

則BiDi/ZEF,

故NOiBC為所求，5CB1Dl=BiC=/）iC,

???NDiBC=60°.

答案：60°

5.（數(shù)材習(xí)題改編）平行六面體ABCD-AsB^D］中既與AB共面又與CC\共面的棱U勺條

數(shù)為.

解析：如圖，與A6和CG都相交的棱有8C;與A8相交且與CCi

平行的棱有A4,BBi；與48平行且與CG和交口勺棱有CO,CiDi,

故符合條件口勺棱共有5條.

答案：5

夕

第四節(jié)直線、平面平行的鑒定及性質(zhì)

強(qiáng)雙星［固本源］得基礎(chǔ)分］拿盤程度

JmLi基礎(chǔ)知1R要打牢

［知識(shí)能否憶起］

一、直線與平面平行

1.鑒定定理

文字語言圖形語言符號(hào)語言

平面外一條直線與此壬

--------agCa

鑒定定理面內(nèi)的一條直線平行,則bUa,=^a//a

直線與此平面平行b//a

2.性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號(hào)語言

一條直線與一種平面平

4〃a]

行，則過這條直線的任

aUB}=^//b

性質(zhì)定理a

一平面與此平面的交線

與該直線平行

二、平面與平面平行

1.鑒定定理

文字語言圖形語言符號(hào)語言

aUa、

bUa

一種平面內(nèi)的J兩條相交

>=>a〃

鑒定定理直線與另一種平面平

行，則這兩個(gè)平面平行

口b//ft>

A

2.兩平面平行日勺性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號(hào)語言

假如兩個(gè)平行平面同步

性質(zhì)定理和第三個(gè)平面相交，那aQy=a?=^a//b

么它們口勺交線平行8Cy=b

1.平行問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系：

線“線I鑒定翼畫畫鬻*畫畫性質(zhì)

2.在處理線面、面面平行的鑒定期，一般遵照從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線

線平行，，到“線面平行”，再到“面面平行”；而在性質(zhì)定理的應(yīng)用中，其次序恰好相反,

但也要注意，轉(zhuǎn)化的方向總是由題目的詳細(xì)條件而定，決不可過于“模式化”.

3.輔助線（面）是求證平行問題的關(guān)鍵，注意平面幾何中位線，平行四邊形及相似中有

關(guān)平行性質(zhì)口勺應(yīng)用.

1gl高頻考點(diǎn)要通關(guān)抓考點(diǎn)|學(xué)技法|得成高分|*征程度

tA-l線面平行、面面平行的基本問題

［典題導(dǎo)入

［例I］（2023?福延高考）如圖，正方體人8c。一4由CiOi中，AB=2,

點(diǎn)石為人￡>W、J中點(diǎn)，點(diǎn)尸在CD上.若石尸〃平面人小。，則線段￡7叩勺長(zhǎng)

度等于.

［自主解答］由于直線E”〃平而ABC,七為=平面ABC。，且平面A8iCD平面ABC。

=ACf因此E尸〃AC.又由于點(diǎn)E是D4的中點(diǎn)，因此產(chǎn)是。?？谏字悬c(diǎn)，由中位線定理可得

￡：產(chǎn)=/。.又由于在正方體ABCQ-481Goi中，AB=2,因此AC=2，I因此E尸=g.

I答案］也

/?>一題多變、

本例條件變?yōu)椤癊是A。中點(diǎn)，F(xiàn),G,H,N分別是A4,A.D.,。。與的中點(diǎn),

若M在四邊形EFG”及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)”，則M滿足什么條件時(shí)，有MN〃平面4GCA.

解：如圖，

1GN〃平面A4CC,

EG〃平面4A1GC,

又GNCEG=G,

???平面EGN〃平面AAtCiC.

???當(dāng)M在線段EG上運(yùn)動(dòng)時(shí)，恒有MN〃平面A41GC

2由題悟法

處理有關(guān)線面平行、面面平行的基本問題要注意：

(1)鑒定定理與性質(zhì)定理中易忽視的條件，如線面平行口勺鑒定定理中條件線在面外易忽

視.

(2)結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形，結(jié)合圖形作出判斷.

(3)舉反例否認(rèn)結(jié)論或用反證法推斷命題與否對(duì)的.

3以題試法

1.(1)(2023?浙江高三調(diào)研)已知直線/〃平面a,PEa,那么過點(diǎn)尸且平行于直線/H勺直

線()

A.只有一條，不在平面a內(nèi)

B.有無數(shù)條，不一定在平面a內(nèi)

C.只有一條，且在平面Q內(nèi)

D.有無數(shù)條，一定在平面Q內(nèi)

解析：選C由直線/與點(diǎn)。可確定一種平面小且平面。，僅有公共點(diǎn)，因此它們有

一條公共直線，設(shè)該公共直線為小，由于/〃a,因此〃/加，故過點(diǎn)P且平行于直線/U勺直

線只有一條，且在平面。內(nèi).

（2）（2023?流坊模擬）已知，2表達(dá)直線，a,1表達(dá)平面.若，〃u。，〃u。，l、U0,

hup,/1n/2=M,則?！?的一種充足條件是（）

A.機(jī)〃外且/1〃aB.B旦n；/B

C.機(jī)〃/且〃〃/2D.〃?〃/］且〃勿2

解析：選D由定理“假如一種平面內(nèi)有兩條相交直線分別與另一種平面平行，那么這

兩個(gè)平面平行”可得，由選項(xiàng)D可推知a〃民

“二直線與平面平行的鑒定與性質(zhì)

1典題導(dǎo)入

［例2］（2023?遼寧高考）如圖，直三棱柱ABC-A'B'C,

N8AC=90。，AB=AC=y［2,AAf=1,點(diǎn)M,N分別為A'B

和夕C'口勺中點(diǎn).

（I）證明：MN〃平面A'ACC'；

⑵求三棱錐A'-MNC的體積.（錐體體積公式其中S為底面面積，〃為高）

［自主解答］（1）證明：法一：連接AB'、AC',由于點(diǎn)M,N

分別是A'B和B'Cf的中點(diǎn)，

因此點(diǎn)M為A夕口勺中點(diǎn).

又由于點(diǎn)N為8,C的中點(diǎn),

因此MN〃AC'

又/WM平面A'ACC,

ACu平面A'ACC1,

因此MN〃平面A'ACC.

法二：取A'B'的中點(diǎn)P.連接MP.

而點(diǎn)M,N分別為AB'與8'C的中點(diǎn),因此M戶〃AA',

PN//ArC.

因此MP〃平面4'ACC',PN〃斗&A'ACC'.^MPQPN=P,

因此平面A/PN〃平面A'4CC'.而MNU平面MPM

因此MN〃平面A'ACC'.

(2)法一：連接BN,由題意得A'NIB'C',平面AfB'CG平面B'BCC'=

B'C',因此A'NJ?平面NBC.

又A，N=暴，C=\,

故VA-MNC=VN-A'A/C=2^V-A'8c=權(quán)\，-NBC=3

法二：VA'-MNC=VA--NBC~VM-NBC=2^A-.VBC=^.

2由題悟法

運(yùn)用鑒定定理證明線面平行H勺關(guān)鍵是找平面內(nèi)與已知直線平行的直線，可先直觀判斷平

面內(nèi)與否已經(jīng)有，若沒有，則需作出該直線，常考慮三角形的中位線、平行四邊形的對(duì)邊或

過己知直線作一平面找其交線.

務(wù)以題試法

2.(2023?湘博模擬)如圖，在棱長(zhǎng)為2口勺正方體ABCO-ABiGd

中，E,尸分別是BD,BBi的中點(diǎn).

(1)求證：E尸〃平面4BCD；

(2)求證：EFLADi.

解：(1)在正方體ABCQ-AIBIG。中，連接

在平面8Bi。內(nèi)，E,F分別為BD,8Bi口勺中點(diǎn)，

:.EF〃B\D.

又?.?BiDU平面4SCD.

ERI平面AiBCD,

〃平面Ai&CD.

(2)VABCD-AIBICIDI是正方體，

：.ADi±AiD,ADi±A\B\,

又A\D(~^A\B\=A\,

???ADiJ■平面AlBlD.

又由(1)知,EF〃B\D,：.EF±ADi.

平面與平面平行的鑒定與性質(zhì)

1典題導(dǎo)入

［例3］如圖，已知ABCQ-AiSG2是棱長(zhǎng)為3的正方體，點(diǎn)E/).

在AAI上，點(diǎn)/在CG上，G在8以上，且AE=R7I=BIG=1,H是/：

BiC的中點(diǎn).

(1)求證：E,B,F,D］四點(diǎn)共面：

(2)求證：平面AGH〃平面BED\F.

［自主解答］(1)在正方形AA\B\I3中,

VAE=BiG=l,

：.BG=AlE=2t

???OG獻(xiàn)4￡

???四邊形AiGBE是平行四邊形.

:.A\G〃BE.

又GF^BiG,

???四邊形CiFGBi是平行四邊形.

：.FG^C\B^DXA\.

???四邊形AiGFDi是平行四邊形.

：.A\G^D\F.

；.DF穗EB.

故及B,F,小四點(diǎn)共面.

3

(2)，?,”是BC的中點(diǎn),???3IH=5

又Ar=1.49=2

又康=］，且NFCB=NGBiH=90。,

:ABIHGSACBF.

:./B\GH=NCFB=NFBG.

：.HG//FB.

TGHQ面FBEDi,FBU面FBEDi,:?GH〃面BED\F.

由(I)知4G〃8旦4GQ面/BEG,BEU面FBEDi,

???AiG〃而BEDiF.

且“GnAiG=G,

???平面4GH〃平面BEDF

2由題悟法

常用的判斷面面平行的措施

(1)運(yùn)用面面平行的鑒定定理；

(2)面面平行的傳遞性(a〃夕，MH、

(3)運(yùn)用線面垂直的性質(zhì)(/_La,11m.

易以題試法

I)

3.(2023?北京東城二橫)如圖，矩形AMNQ所在H勺平面與直角梯

形MBCN所在H勺平面互相垂直，MB//NC,MN1MB.

忠

⑴求證：平面AM4〃平面ONC；心

(2)若MC_LC&求證：BCLAC.

證明：(I)由于M8〃NC,M網(wǎng)平面ONC,NCU平面DNC,

因此〃平面DNC

又由于四邊形AMNO為矩形，因此M4〃OM

又M4Q平面DNC,QNU平面DNC.

因此M4〃平面DNC

又MAAM8=M,且M4,MBU平面AM8,

因此平面AM8〃平面DNC.

(2)由于四邊形AMN。是能形，

因此AM.LMN.

由于平面AMND，平面MBCN,且平面AMNDG平面MBCN=MN,

因此人M_L平面MBCN.

由于3CU平面MBCN,

因此AM_LBC.

由于MC_LBC,MCnAM=M,

因此8c_L平面AMC

由?ACU平面AMC,

因此8c_LAC.

［小題能否全?。?/p>

1.（教材習(xí)題改編）下列條件中，能作為兩平面平行均充足條件的」是（）

A.一種平面內(nèi)的一條直線平行于另一種平面

B.一種平面內(nèi)的兩條直線平行于另一種平面

C.一種平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一種平面

D.一種平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一種平面

解析：選D由面面平行U勺定義可知，一平面內(nèi)所有的I直線都平行于另一種平面時(shí)，兩

平面才能平行，故D對(duì)的.

2.已知直線a,b，平面a,則如下三個(gè)命題：

①若方Ua,貝！〃〃a：

②若a//b,a//a,貝！力〃a；

③若“〃a,b//a>W1,a//b.

其中真命題的個(gè)數(shù)是1）

A.0B.1

C.2D.3

解析：選A對(duì)于命題①，若bUa,則應(yīng)有a〃a或"Ua,因此①不對(duì)的；

對(duì)于命題②，若?！╞,a//a,則應(yīng)有〃〃a或》UQ.因此②也不對(duì)的J：

對(duì)于命題③，若a〃a,?！ǔ鰟t應(yīng)有a〃。或。與方相交或。與。異面，因此③也不對(duì)

電

3.（教材習(xí)題改編諾一直線上有相異三個(gè)點(diǎn)A,B,。到平面a的距離相等，那么直線

/與平面al向位置關(guān)系是（）

A.I//aB./la

C./與a相交且不垂直D./〃。或/u”

解析：選D由于/上有三個(gè)相異點(diǎn)到平面a的距離相等，則/與a可以平行，/U。時(shí)

也成立.

4.平面a〃平面廳，￡U〃，bUp,則直線〃，〃的位置關(guān)系是.

解析：由a〃尸可知，a,方口勺位置關(guān)系是平行或異面.

答案：平行或異面

5.（2023?衡?陽質(zhì)檢）在正方體/WC7）-A|4iGQi中，上是。。?的中點(diǎn)，則BDi與平面ACE

的位置關(guān)系為.

解析；如圖.

連接AC,BO交于。點(diǎn)，連接OE,由于OE//B6,而OEU平面ACE,

8。汽平面ACE,因此BQi〃平面4CE.

答案：平行

第五節(jié)/直線、平面垂直的鑒定與性質(zhì)

IUI基礎(chǔ)卻狙要打牢強(qiáng)雙星［固本源］得基礎(chǔ)分］掌展程度

【知識(shí)能否憶起I

一、直線與平面垂直

1.直線和平面垂直日勺定義

直線/與平面?內(nèi)的任意一條直線都垂直,就說直線/與平面a互相垂直.

2.直線與平面垂直的鑒定定理及推論

文字語言圖形語言符號(hào)語言

一條直線與一種平面

1a，bUa、

內(nèi)的兩條相交直線都

鑒定定理>=>/±a

垂直，則該直線與此平ZS7/_La

面垂直lib.

假如在兩條平行直線

卜

中，有一條垂直于平j(luò)a//b]

推論~\=>b.La

面，那么另一條直線也理aVa\

垂宣這個(gè)平面

3.直線與平面垂直的性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號(hào)語言

垂直于同一種平面的兩aJ=a

性質(zhì)定理

條直線壬紅二b~La

二、平面與平面垂直

I.平面與平面垂直日勺鑒定定理

文字語言圖形語言符號(hào)語言

一種平面過另一種平面

鑒定定理的垂線,則這兩個(gè)平面

/_La|

垂直力7

2.平面與平面垂直日勺性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號(hào)語言

兩個(gè)平面垂直，則一種

rJ—1口?

性質(zhì)定理平面內(nèi)垂在于交線的直>=>/±?

線垂直于另一種平面no/_LaJ

1.在證明線面垂直、面面垂直時(shí)，一定要注意鑒定定理成立的條件.同步抓住線線、

線面、面面垂直的轉(zhuǎn)化關(guān)系，即:

2.在證明兩平面垂直時(shí)，一般先從既有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的直線圖中

不存在，則可通過作輔助線來處理，如有平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理.

3.幾種常用的結(jié)論：

(1)過空間任一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直.

(2)過空間任一點(diǎn)有且只有一種平面與已知直線垂直.

1gl高頻考點(diǎn)委通關(guān)抓考點(diǎn)］學(xué)技法］得成高分］拿盤程度

垂直關(guān)系的基本問題

WA-I

&典題導(dǎo)入

［例1］(2023?超州模擬)若機(jī)，〃為兩條不重疊的直線，。，夕為兩個(gè)不重疊的平面，給

出下列命題:①若機(jī)，〃都平行于平面。，則機(jī)，〃一定不是相交直線；②若〃?、〃都垂直于

平面a,則〃?，〃一定是平行直線；③已知a,/?互相垂直，〃互相垂直，若〃?_La,則〃

J_H；④〃在平面a內(nèi)口勺射影互相垂直,則m,n互相垂苣.其中的假命題的序號(hào)是_______.

［自主解答］①顯然錯(cuò)誤，由于平面a〃平面人平面a內(nèi)的所有直線都平行人因此0

內(nèi)的兩條相交直線可同步平行于a;②對(duì)H勺；如圖1所示，若aA￡=/,且〃〃/,當(dāng)m±a

時(shí)，〃?_!_〃，但〃〃力,因此③錯(cuò)誤；如圖2顯然當(dāng)〃7'■!■〃’時(shí)，77?不垂直于〃，因此④錯(cuò)誤.

［答案］①?④

2由題悟法

處理此類問題常用的措施有：①根據(jù)定理?xiàng)l件才能得出結(jié)論的，可結(jié)合符合題意肚圖形

作出判斷：②否認(rèn)命題時(shí)只需舉一種反例.③尋找恰當(dāng)?shù)奶厥饽Ｐ停ㄈ鐦?gòu)造長(zhǎng)方體）進(jìn)行篩選.

品以題試法

1.（2023?長(zhǎng)春模擬）設(shè)a,5是兩條不一樣的直線，?,夕是兩個(gè)不一樣的平面，則下列

四個(gè)命題：

①若a_L〃，a_La,仄a,則〃〃a：②若a〃a,aA-fl,則a_L■:③若〃_L/?,a邛,則〃

〃〃或aUa；④若〃_L〃，a_La,bA.fl,則a_LK

其中對(duì)日勺命題的J個(gè)數(shù)為（）

A.IB.2

C.3D.4

解析：選D對(duì)于①，由/，不在平面a內(nèi)知，直線人或者平行于平面a,或者與平面a

相交，若直線。與平面a相交，則直線〃與直線a不也許垂直，這與已知相矛盾，

因此①對(duì)的.對(duì)于②，由4〃a知，在平面a內(nèi)必存在直線m〃a,又a邛,因此有0，成,

因此小夕，②對(duì)的.對(duì)于③，若直線。與平面a相交于點(diǎn)A,過點(diǎn)A作平面a、6的交線的

垂線〃?，則〃?，夕，又3,則有?！ㄐ。@與“直線a、陽有公共點(diǎn)A”相矛盾，因此③對(duì)

歐L對(duì)于④，過空間一點(diǎn)。分別向平面。、夕引垂線。|、仇，則有?！?。1，b//b\,又alb,

因此ai_L"，因此。_1_6因此④對(duì)的.綜上所述，其中對(duì)的命題日勺個(gè)數(shù)為4.

“二直線與平面垂直的鑒定與性質(zhì)

1：典題導(dǎo)入

[例2]（2023?廣東而考）如圖所示，在四棱錐P—A8CQ中，

A4J_平面％Q,AB//CD,PD=AD,石是。8的中點(diǎn)，F(xiàn)是DC

上時(shí)點(diǎn)且DF=%B,PH為△%/）中AD邊上日勺高.

(1)證明：P”_L平面ABC。；

(2)若P，=l,4。=淄，F(xiàn)C=\,求三棱錐E-8C/口勺體積；

⑶證明：E凡L平面用及

［自主解答］(1)證明：由于A8JL平面心。，P”u平面見D,

因此PHA.AB.

由于?！睘椤饕?。中A。邊上8勺高，因此P〃_L4。.

由于PHQ平面ABC。，ABQAD=A,AB,AOU平面ABC。，

因此PH工平面ABCD.

(2)如圖，連接BH,1又8”8勺中點(diǎn)G,連接EG.

由于E?足尸6口勺中點(diǎn)，

因此EG〃/V/,

且EG=gpH=；.

由于平面ABCD,

因此EGJ?平面ABCD

由于A8_L平面%。，4OU平面附

因此A8_LAD.

因此底面ABCD為直角梯形.

因此VE-BCF=\S^CFEG=^FCADEG=^.

(3)證明：取附中點(diǎn),M,連接MD,ME.

由于E是尸8的中點(diǎn)，因此ME斜向48

又由于。尸斜岐48,因此ME^DF,因此四邊形MEFO是平行四邊形，因此E/〃MD

由于PQ=A。，因此

由于48_L平面以。，因此MQ_LA8.

由于用048=4因此MOJL平面布8,因此E凡L平面％8.

2由題悟法

證明直線和平面垂直的常用措施有：

(1)運(yùn)用鑒定定理.

(2)運(yùn)用鑒定定理的J推論3〃〃，ala^bLa).

(3)運(yùn)用面面平行的性質(zhì)(a_La,a〃6±fl).

(4)運(yùn)用面面垂直口勺性質(zhì).

當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí)，在一種平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一種平面.

3以題試法

2.(2023?后東模擬)如圖所示，已知%J_矩形/所在平面,

M,N分別是/W,PC的中點(diǎn).

(1)求證：M/V1CD；

(2)若NPD4=45。，求證：MNJL平面PCD

證明：⑴連接AC,AN,BN,

???％_!?平面A8CQ,：.PA±AC,

在RtZ\B4C中，N為PC中點(diǎn)，：.AN=^PC.

???抬_L平面48C。，：.Ri±BCt又BC_LA8,

PAC}AB=A,

???BC-L平面PAB.：.BC±PB.

從而在Rt△0中，BN為斜邊PC上H勺中線,

:,BN=gpC.

，4N=mV.，/\4/W為等腰三角形，又股為A4的中點(diǎn)，，例NJ_A〃,

又???A8〃CO,：.MN±CD.

（2）連接PM,MC,VZPDA=45°,PAA.AD,：.AP=AD.

???四邊形A8CZ）為矩形，：,AD=BC,：.AP=BC.

又IM為AB□勺中點(diǎn),AM=BM.

而N以M=NC8M=90°,

???△氏Mg△CBM.

：,PM=CM.

又N為PC8勺中點(diǎn)、,:.MN1PC.

由（1）知，MN工CD,PCHCD=C,工MN上平面PCD.

<<￡面面垂直的鑒定與性質(zhì)

1：典題導(dǎo)入

［例3］(2023?江蘇在考)如圖，在直三棱柱ABC—4由Ci中，4田i

=AG，D,E分別是棱BC,CG上的I點(diǎn)(點(diǎn)。不一樣于點(diǎn)C)，且4。

1DE,/為SG的中點(diǎn).

求證：⑴平面AOE1平面BC3B1；

⑵直線A尸〃平面AOE.

［自主解答］(1)由于A8C—A向C是直三棱柱，因比CG-L平面48C,

又4QU平面ABC,因此CCJAD

又由于AO_LQ￡,CCi,DEU平面3CCi&,

CCiODE=E,

因此AQJ?平面8CG81.又4OU平面ADE,

因此平面AOEJ■平面BCCiBi.

(2)由于48i=AG,F為BiG口勺中點(diǎn),

因此4F-LBiG.

由于CGJ■平面4囪G,且4FU平面ASG,

因此CCi±AiF.

又由于CCi,8]C]U平面BCC\B\,CC]C\B\C\=C\,

因此4FJ?平面BCC\B\.

由（1）知AQ_L平面6CG3i,因此Ai尸〃AO.

又4OU平面AQE,A]RI平面AOE,

因此4F〃平面ADE.

2由題悟法

1.鑒定面面垂直於J措施：

(1)面面垂直口勺定義.

(2)面面垂直H勺鑒定定理(a_L/?,aUa=aJ_p).

2.在已知平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為線面垂直或線線垂直.

轉(zhuǎn)化措施：在一種平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后深入轉(zhuǎn)化為線線垂直.

務(wù)以題試法

3.(2023?瀘州一模)如圖，在四棱錐尸一ABCO中，底面A8C。為

菱形，N84O=60。，。為AQ的中點(diǎn).

⑴若以=尸。，求證：平面PQ8_L平面附。；

(2)若點(diǎn)M在線段PC上，且PM=/PC(/>0),試確定實(shí)數(shù)/日勺值，使得以〃平面A7Q8.

解：(1)由于以=PQ,。為AQ日勺中點(diǎn)，因此PQ_LA。.

連接BO,由于四邊形ABC。為菱形，/8八。=60。,

因此,48=BO.

因此BQ±AD.

由于8QU平面產(chǎn)Q優(yōu)FQU平面PQB,

BQQPQ=Qt

因此4。1?平面PQB.

由于AQU平面見。，因此平面PQ8_L平面附D

（2）當(dāng)1=（時(shí)，以〃平面MQB.

證明如下：

連接AC,設(shè)ACC80=O,連接0M.在△AOQ與AC03中，

由于4?！?。，因）H：/0QA=N04C,NOAQ=NOCB.

因此△AOQs/\co8因此萬7=7^=5?因此彳7=?即77^=?

w2

由PM^PC,知CCA-因此先行蕓，因此人

.P3

由于OMU平面MQB,南《平面MQB,因此南〃平面MQB.

［小題能否全?。?/p>

1.（教材習(xí)題改編）已知平面a,區(qū)直線/,若a邛,an6=/,則（）

A.垂直于平面。的平面一定平行于平面a

B.垂直于直線/的直線一定垂直于平面a

C.垂直于平面夕的平面一定平行于直線/

D.垂直于直線/H勺平面一定與平面。、夕都垂直

解析：選DA中平面可與a平行或相交，不對(duì)的.

B中直線可與?垂直或斜交，不對(duì)的.

C中平面可與直線/平行或相交，不對(duì)的.

2.（2023?阻門模擬）如圖，O為正方體SBCD-MB\C\D\口勺底面

ABC。的中心，則下列直線中與小0垂直口勺是（）

A.A\DB.AA\

C.A.\D\D.A\C\

解析：選D易知4G_L平面B8。。.

又SOU平面881D1D,???4G_L8iO.

3.已知a,夕是兩個(gè)不一樣的平面，加，〃是兩條不重疊的直線，則下列命題中對(duì)內(nèi)的

是（）

A.若/〃〃a,aC\p=n,則〃?〃〃

B.若機(jī)_La,〃?_!_〃，則〃〃a

C.若m_La,a_L￡,則m_L〃

D.若a_1_夕，aC0=〃，rn_Ln?貝【J〃?_1_夕

解析：選C對(duì)于選項(xiàng)A,若〃?〃a,aC夕=〃，則加〃〃，或〃?，〃是異面直線，因此A

錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B,〃也許在平面a內(nèi)，因此B錯(cuò)誤；對(duì)于