甘肅省民樂(lè)縣第一中學(xué)等校2024?2025學(xué)年高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，則（）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則（）A．5 B． C．2 D．13．已知向量，若，則（）A． B．7 C． D．4．已知橢圓的焦點(diǎn)在圓上，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．5．設(shè)，則（）A． B． C． D．6．半徑為2的球內(nèi)切于正三棱柱，則正三棱柱的體積為（）A． B． C． D．7．已知函數(shù).若任意，存在，使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．8．若關(guān)于的不等式有且只有兩個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．給出下列說(shuō)法，其中正確的有（）A．隨機(jī)變量，若，則B．隨機(jī)變量，若，則C．一組數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，若，則D．對(duì)于獨(dú)立性檢驗(yàn)，隨機(jī)變量的觀(guān)測(cè)值越大，判定“兩變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤的概率越大10．已知函數(shù)的部分圖象如圖，則（）A．B．C．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增11．在數(shù)列中，，，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．已知雙曲線(xiàn)，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為；是雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，且，則.13．在的展開(kāi)式中，各二項(xiàng)式系數(shù)的和與各項(xiàng)系數(shù)的和之比為，則.14．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為.若，則.四、解答題（本大題共5小題）15．隨著科技的進(jìn)步，近年來(lái)，我國(guó)新能源汽車(chē)產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展，各大品牌新能源汽車(chē)除了靠不斷提高汽車(chē)的性能和質(zhì)量來(lái)提升品牌競(jìng)爭(zhēng)力，在廣告投放方面的花費(fèi)也是逐年攀升.某校數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)某品牌新能源汽車(chē)近5年的廣告費(fèi)投入（單位:億元）進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，具體數(shù)據(jù)見(jiàn)下表:年份代號(hào)12345廣告費(fèi)投入4.85.66.27.68.8并隨機(jī)調(diào)查了400名市民對(duì)該品牌新能源汽車(chē)的認(rèn)可情況，得到的部分?jǐn)?shù)據(jù)見(jiàn)下表:認(rèn)可不認(rèn)可50歲以下1406050歲及以上12080(1)求廣告費(fèi)投入與年份代號(hào)之間的線(xiàn)性經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(2)依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為市民的年齡與對(duì)該品牌新能源汽車(chē)的認(rèn)可度有關(guān)聯(lián)?附:①經(jīng)驗(yàn)回歸方程中，；②，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82816．已知無(wú)窮數(shù)列滿(mǎn)足：對(duì)于.（為常數(shù)）.(1)若，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；(2)若，求證：.17．如圖，在四棱錐中，平面，，，，點(diǎn)在棱上.(1)當(dāng)為上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)時(shí)，求證：平面；(2)若直線(xiàn)與平面所成的角為，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求二面角的余弦值.18．已知點(diǎn)，直線(xiàn)，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線(xiàn)的距離相等，記點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn).(1)指出曲線(xiàn)是什么曲線(xiàn)，并求曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)交曲線(xiàn)于兩點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限，.①求的面積的最小值.②是否存在垂直于軸的定直線(xiàn)被以為直徑的圓所截得的弦長(zhǎng)為定值？如果存在，求出直線(xiàn)的方程；如果不存在，說(shuō)明理由.19．已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，求的極值點(diǎn)；(2)討論的單調(diào)性；(3)若函數(shù)在上恒小于0，求a的取值范圍.

參考答案1．【答案】C【詳解】解即，得，所以.解不等式，得或2，所以.所以.故選C.2．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選B.3．【答案】A【詳解】因?yàn)?，所?若，則，即，解得.故選A.4．【答案】D【詳解】由題意得橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，即，，所以，所以，則橢圓的離心率.故選D.5．【答案】A【詳解】，因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞增，所以，即，，所以.故選A6．【答案】A【詳解】因?yàn)榘霃綖?的球內(nèi)切于正三棱柱，所以正三棱柱的高，且該組合體過(guò)球心且平行于平面的截面為球的大圓內(nèi)切于與全等的正三角形，如圖.由正三角形及其內(nèi)切圓的性質(zhì)，得，所以的面積為，所以正三棱柱的體積為.故選A.7．【答案】B【詳解】因?yàn)椋院瘮?shù)的值域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得最小值，當(dāng)無(wú)限趨向于0且大于0時(shí)，無(wú)限趨向于正無(wú)窮，所以的值域?yàn)?若任意，存在，使成立，則函數(shù)的值域?yàn)楹瘮?shù)的值域的子集，所以，解得.故選B.8．【答案】C【詳解】設(shè)，則不等式即有且只有兩個(gè)整數(shù)解.因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)無(wú)限趨向于負(fù)無(wú)窮大時(shí)，無(wú)限趨向于負(fù)無(wú)窮大，當(dāng)無(wú)限趨向于正無(wú)窮大時(shí)，無(wú)限趨向于0.因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，，，，則，函數(shù)的大致圖象如圖由圖可知，要使有且只有兩個(gè)整數(shù)解，這兩個(gè)整數(shù)解必然是0，1，所以解得.又，所以.故選C.9．【答案】ABC【詳解】對(duì)于，隨機(jī)變量，所以，解得，故A正確；對(duì)于，由正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知，，故正確；對(duì)于C，因?yàn)椋?jīng)驗(yàn)回歸直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以，故C正確；對(duì)于，對(duì)于獨(dú)立性檢驗(yàn)，隨機(jī)變量的觀(guān)測(cè)值越大，判定“兩變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤的概率越小，故錯(cuò)誤.故選ABC.10．【答案】AC【詳解】由函數(shù)的圖象可知解得設(shè)函數(shù)的最小正周期為，由函數(shù)的圖象可知，，所以，所以.由，得，又，所以，所以.故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.令，解得，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng).故C正確.令，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.因?yàn)椋院瘮?shù)在區(qū)間上不單調(diào).故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選AC.11．【答案】ABD【詳解】由，得，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，A正確.根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得，即，則，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，B正確.根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得，即，所以，C錯(cuò)誤.由，，D正確.故選ABD.12．【答案】【詳解】在雙曲線(xiàn)中，，，所以，所以雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為.因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，為直徑的圓上.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以.因?yàn)?，所以，所以，所以，所?13．【答案】【詳解】在的展開(kāi)式中，各二項(xiàng)式系數(shù)的和為；令，得的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為.根據(jù)題意，得，解得.14．【答案】/0.125【詳解】因?yàn)?，由正弦定理?又，所以，即.因?yàn)椋?，所以，解?因?yàn)?，所?15．【答案】(1)(2)有關(guān)聯(lián)【詳解】（1）由題意，得，則，所以則，故廣告費(fèi)投入與年份代號(hào)之間的線(xiàn)性經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.（2）零假設(shè)為：市民的年齡與對(duì)該品牌新能源汽車(chē)的認(rèn)可度無(wú)關(guān)聯(lián).由題中表格數(shù)據(jù)，計(jì)算得.依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為市民的年齡與對(duì)該品牌新能源汽車(chē)的認(rèn)可度有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05.16．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）由題意得，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.當(dāng)時(shí)，等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差為2，所以，所以.所以，所以.（2）當(dāng)時(shí)，等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差為1，所以，所以.因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，可得.綜上，.17．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2).【詳解】（1）如圖，連接交于點(diǎn)，連接.因?yàn)?，所以∽，所?因?yàn)闉樯峡拷c(diǎn)的四等分點(diǎn)，所以.因?yàn)?，所?因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?（2）因?yàn)槠矫?，所以為與底面所成的角，所以.因?yàn)?，所?由題意得，又平面，所以?xún)蓛纱怪?故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線(xiàn)分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以.設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則.設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則.因?yàn)椋侄娼堑钠矫娼菫殇J角，所以二面角的余弦值為.18．【答案】(1)，曲線(xiàn)是拋物線(xiàn)(2)①32；②存在，【詳解】（1）由題意，點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到定直線(xiàn)的距離相等，由拋物線(xiàn)的定義知，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，即曲線(xiàn)是拋物線(xiàn).由題意知，拋物線(xiàn)開(kāi)口向右，且，所以，所以?huà)佄锞€(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）①設(shè).由題意知，直線(xiàn)的傾斜角不為0，設(shè)直線(xiàn)的方程為.由消去，化簡(jiǎn)得.，則，所以.因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的面積的最小值是32.②假設(shè)存在直線(xiàn)滿(mǎn)足題意.設(shè)以為直徑的圓為圓，則.如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為.設(shè)圓與直線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)為，連接，則.又，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線(xiàn)被以為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)為定值.因此存在直線(xiàn)滿(mǎn)足題意19．【答案】(1)極大值點(diǎn)，無(wú)極小值點(diǎn)；(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；(3).【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，令，得,當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.在時(shí)取得極大值，無(wú)極小值.所以的極大值點(diǎn)是，無(wú)極小值點(diǎn).（2），則，，當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)單調(diào)遞