第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年上海市普陀區(qū)宜川中學高一（下）期中數(shù)學試卷一、單選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設點O是正三角形ABC的中心，則向量AO，BO，OC是(

)A.相同的向量 B.模相等的向量 C.共線向量 D.共起點的向量2.函數(shù)y=sinx2的單調遞增區(qū)間是A.[kπ?π4,kπ+π4](k∈Z) B.[kπ+3.若|a|=3，a在b方向上的數(shù)量投影是32，則?aA.π6 B.2π3 C.π24.已知函數(shù)f(x)=4sinπx,0≤x≤112f(x?1),x>1，若函數(shù)y=f2(x)+2af(x)+2?a在[0,+∞)有A.(?∞,?3)∪(?187,?2) B.(?∞,?187)∪(1,+∞)二、填空題：本題共12小題，每小題5分，共60分。5.若復數(shù)z=?1+ai(i為虛數(shù)單位)的實部和虛部相等，則實數(shù)a的值為______．6.若AB=3a?4b，AC=5a7.函數(shù)y=sin(3x?π8.不等式x?12x+5>0的解集為______．9.已知4a=5b=1010.如果cosα=?15，且α是第三象限的角，那么cos(α+11.已知sin(α+π12)=312.一個人騎自行車由A地出發(fā)向東騎行了6km到達B地，由B地向南東30°方向騎行了6km到達C地，從C地向北偏東60°騎行了23km到達D地，則A，D兩地的距離是______km13.已知函數(shù)f(x)=3?axa?1(a>0)，若f(x)在區(qū)間(0,1]上是嚴格減函數(shù)，則實數(shù)14.復數(shù)z滿足|z?5|=|z?1|=|z+i|，則|z|=______．15.已知A，B，C是半徑為l的圓O上的三點，AB為圓O的直徑，P為圓O內一點(含圓周)，則PA?PB+16.若存在實數(shù)φ，使函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)?12(ω>0)在x∈[π,3π]上有且僅有2三、解答題：本題共5小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題14分)

已知z為復數(shù)，z+2i和z2?i均為實數(shù)，其中i是虛數(shù)單位．

(1)求復數(shù)z；

(2)若z1=18.(本小題14分)

已知函數(shù)y=f(x)，其中f(x)=4x+k2x(k∈R)．

(1)是否存在實數(shù)k，使函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)？若存在，請寫出證明．

(2)當k=1時，若關于x19.(本小題14分)

在△ABC中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，已知b=23，c=2，bsinC?2csinBcosA=0．

(1)求△ABC的面積S；

(2)函數(shù)f(x)=4cosx(sinxcosA+cosxsinA)(x∈[0,2])，求函數(shù)20.(本小題14分)

如圖，點G是△OAB重心，P、Q分別是邊OA、OB上的動點，且P、G、Q三點共線．

(1)設PG=λPQ，將OG用λ、OP、OQ表示；

(2)設OP=xOA，OQ=yOB，問：1x+1y是否是定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由；

(3)在(2)的條件下，記△OAB21.(本小題14分)

若函數(shù)y=f(x)的定義域、值域均為[a,b]，則稱y=f(x)為[a,b]上的方正函數(shù)；

(1)若y=12x2?x+32為區(qū)間[1,b](b>1)的方正函數(shù)，求實數(shù)b的值；

(2)是否存在實數(shù)對(a,b)，使得函數(shù)f(x)=?x1+|x|為區(qū)間[a,b](a<b)上的方正函數(shù)？若存在，請寫出符合要求的所有實數(shù)對(a,b)，若不存在，請說明理由；

(3)設f(x)=ax2+bx+c，g(x)=cx2參考答案1.B

2.C

3.D

4.A

5.?1

6.2a7.2π38.(?∞,?59.2

10.211.72512.213.(1,3]

14.315.[?416.[117.解：(1)設z=a+bi(a,b∈R)，

由z+2i=a+(b+2)i為實數(shù)，可得b+2=0，則b=?2．

又z2?i=a+bi2?i=(a+bi)(2+i)(2?i)(2+i)=2a+25+a?45i為實數(shù)，則a?45=0，

得a=4，∴z=4?2i；

(2)∵z1=z?+18.解：(1)函數(shù)f(x)=4x+k2x定義域為R，

若f(x)是奇函數(shù)，則f(0)=1+k=0，

解得k=?1，此時f(x)=4x?12x=2x?2?x，

f(?x)=2?x?2x=?(2x?2?x)=?f(x)，符合題意，

故k=?1．

(2)當k=1時，f(x)=19.解：(1)因為bsinC?2csinBcosA=0，由正弦定理可得sinBsinC?2sinCsinBcosA=0，

又因為A，B，C∈(0,π)，則sinB≠0，sinC≠0，

可得1?2cosA?0，即cosA=12，則A=π3，

所以△ABC的面積S=12bcsinA=12×23×2×32=3；

(2)由(1)可得f(x)=4cosx(sinxcosπ3+cosxsinπ3)=4cosx(1220.解：(1)OG=OP+PG=OP+λPQ=OP+λ(OQ?OP)=(1?λ)OP+λOQ；

(2)1x+1y=3，理由如下：

因為點G是△OAB重心，

所以OG=23OM=23×12(OA+OB)=13OA+13OB，

又由(1)可知OG=(1?λ)OP+λOQ，又OP=xOA，OQ=yOB，

所以OG=(1?λ)xOA+λyOB，

而OA，OB不共線，所以(1?λ)x=13λy=13，解得1x=3?3λ1y=3λ，

所以1x+1y=3；

21.解：(1)因為y=12x2?x+32=12(x?1)2+1，函數(shù)圖象開口向上，且對稱軸為x=1，所以函數(shù)y=12x2?x+32在[1,b]上單調遞增，

由題意，y=12x2?x+32為區(qū)間[1,b](b>1)的方正函數(shù)，

所以當x=1時，ymin=12?1+32=1；

當x=b時，ymax=12b2?b+32=b，解得b=3或b=1(舍去)．

因此，若y=12x2?x+32為區(qū)間[1,b](b>1)的方正函數(shù)，則實數(shù)b的值為3；

(2)對函數(shù)f(x)=?x1+|x|，

因為f(?x)=??x1+|x|=x1+|x|=?f(x)．

所以f(x)為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，

又當x≥0時，f(x)=?x1+x=?1+1x+1．

所以函數(shù)f(x)在[0.+∞)上單調遞減，

由圖象對稱性可知，函數(shù)f(x)在(?∞,+∞)上單調遞減，

如存在實數(shù)對(a,b)，使得函數(shù)f(x)=?x1+|x|為區(qū)間[a,b](a<b)上的方正函數(shù)，

則f(a)=bf(b)=a，即?a1+|a|=b?b1+|b|=a，又a<b，

顯然ab<0，所以a<0，b>0，所以?a1?a=b?b1+b=a，即a+b=aba+b=?ab，

解得a=b=0，這與a<b矛盾．

故不存在實數(shù)對(a,b)，使得函數(shù)f(x)=?x1+|x|為區(qū)間[a,b](a<b)上的方正函數(shù)；

(3)當a=0時，f(x)=bx+c，g(x)=?bx+a．

若b>0，則f(x)在[?1,1]上單調遞增，g(x)在[?1,1]上單調遞減，

由函數(shù)f(x)=bx+c是[?1,1]上的方正函數(shù)，則f(x)min=f(?1)=?b+c=?1f(x)max=f(1)=b+c=1，解得b=1c=0，

此時，g(x)=?x也為[?1,1]上的方正函數(shù)；

若b=0，則f(x)=c，f(x)max=f(x)min=c不滿足題意；

若b<0，則f(x)在[?1,1]上單調遞減，g(x)在[?1,1]上單調遞增，

由函數(shù)f(x)=bx+c是[?1,1]上的方正函數(shù)，則f(x)min=f(1)=b+c=?1f(x)max=f(?1)=?b+c=1，解得b=?1c=0，

此時，g(x)=x也為[?1,1]上的方正函數(shù)；

故當a=0時，存在實數(shù)b=±1，c=0，使得y=f(x)，y=g(x)均為[?1,1]上的方正函數(shù)；

當a>0時，函數(shù)f(x)=ax2+bx+c圖象開口向上，且對稱軸為x=?b2a，

①若?b2a≤?1，即b≥2a，函數(shù)f(x)在[?1,1]上單調遞增，由方正函數(shù)的概念，可知f(?1)=?1f(1)=1，

即a?b+c=?1a+b+c=1，解得a+c=0b=1，所以由2a≤1，解得0<a≤12，

此時，g(x)=?ax2?x+a圖象開口向下，對稱軸為x=?12a，

由?12a≤?1，則函數(shù)g(x)在[?1,1]上單調遞減，且g(x)max=g(?1)=?a+1+a=1，g(x)mi