高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1安徽省阜陽(yáng)市兩校2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題共58分）一、單選題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)符合題目要求．1.圓與圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.內(nèi)切 C.外切 D.內(nèi)含【答案】C【解析】圓的圓心，半徑為，圓的圓心，半徑，兩圓的圓心距為，所以，所以兩圓的位置關(guān)系為外切.故選：C.2.已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，解得.故選：A.3.已知空間向量，，若與垂直，則等于（）A. B. C.3 D.【答案】D【解析】因?yàn)?，，與垂直，所以，解得，所以，所以.故選D.4.已知直線與曲線在點(diǎn)處的切線垂直，則直線的斜率為（）A.-1 B.1 C. D.2【答案】C【解析】由函數(shù)，可得，則，所以直線的斜率為.故選：C．5.若數(shù)列滿足，，則（）A. B.2 C.3 D.【答案】A【解析】∵數(shù)列滿足，，∴，∴，，，，∴是周期為3的周期數(shù)列，而，故．故選：A6.已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意，，則數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，因此，所以故選：B7.記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.590 B.602 C.630 D.650【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，兩式相減可得.由，，解得，所以，滿足上式，故，所以.故選：A8.已知過(guò)點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由得，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與曲線切于點(diǎn)，則切線斜率為，所以切線方程為因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)，所以，整理得，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的切線有兩條，所以方程有兩不同實(shí)根，因此，解得或，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：B二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A.B.C.當(dāng)時(shí)，取最大值D.當(dāng)時(shí)，的最小值為19【答案】ABD【解析】對(duì)A，則，由等差數(shù)列性質(zhì)可得，即.因，若公差，則，不滿足，故，則.則，故A正確；對(duì)B，由A，，故.則，則，又，故，故B正確；對(duì)C，由可得，故當(dāng)時(shí)，取最大值，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，由，，可得.故當(dāng)時(shí)，需要滿足，故的最小值為19，故D正確.故選：ABD10.已知直線與圓交于點(diǎn)，點(diǎn)中點(diǎn)為，則（）A.的最小值為B.的最大值為4C.為定值D.存在定點(diǎn)，使得為定值【答案】ACD【解析】直線，即，故直線過(guò)定點(diǎn),且圓的圓心為，半徑為2,，故在圓內(nèi)，對(duì)于A，當(dāng)和直線垂直時(shí)，圓心到直線的距離最大，距離，此時(shí)最小，，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，為圓的直徑，此時(shí)直線過(guò)圓心，方程無(wú)解，故直線不可能過(guò)圓心，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)，則，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，聯(lián)立圓得，，此時(shí)當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線，聯(lián)立圓，得，即，，，,帶入得：，故為定值，故C正確；對(duì)于D，中點(diǎn)為，故,且在上，所以,故是直角三角形，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，為定值，故D正確.故選：ACD11.已知拋物線的焦點(diǎn)為，從點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)拋物線上的點(diǎn)（原點(diǎn)除外）反射，則反射光線平行于軸.經(jīng)過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線交拋物線于兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線交軸于點(diǎn)；拋物線在點(diǎn)處的切線與軸分別交于點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】對(duì)于AB，設(shè)點(diǎn)，則，，則，而，所以，故A錯(cuò)誤；又，則，故B正確；對(duì)于C，如下圖所示，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線，與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，又題意所給拋物線的光學(xué)性質(zhì)可得，又，所以，從而，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋?，即為的角平分線，又由拋物線定義知，結(jié)合，可得四邊形為菱形，而軸經(jīng)過(guò)線段中點(diǎn)，從而與軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)，所以，故D正確.故選：BCD.第II卷（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，則________．【答案】3【解析】等比數(shù)列中，，由，得，由，得，所以．故答案為：3．13.已知曲線與直線相切，則______.【答案】【解析】由，得，設(shè)切點(diǎn)為，則，，消去得，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，，此時(shí).故答案為：14.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，數(shù)列滿足，若對(duì)任意恒成立，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，又，解得，由①，則當(dāng)時(shí)，②，兩式①②相減得，，即，又，則，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，的公差的等差數(shù)列，故，則令，又則數(shù)列是遞增數(shù)列，且；數(shù)列是遞減數(shù)列，，若恒成立，且恒成立，所以，且，解得，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)，求曲線的斜率為的切線方程．解：（1）對(duì)求導(dǎo)，可得.把代入，得到.解得.把代入，得到.（2）已知，把代入可得.對(duì)求導(dǎo)，可得.因?yàn)榍€切線斜率為，所以令，即.解得或.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)切點(diǎn)為，切線方程為，整理得.當(dāng)切點(diǎn)為，切線方程為，整理得.綜上所得，的斜率為的切線方程為或.16.如圖，在四棱錐中，平面，點(diǎn)M是棱上一點(diǎn)，且．（1）若，求證：平面；（2）求二面角的正弦值；解：（1）∵在四棱錐中，平面，∴以A為原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，∵點(diǎn)M是棱上一點(diǎn)，，，．∴，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，∵平面，∴平面．（2），設(shè)平面的法向量，則，取，得，又為平面的一個(gè)法向量，設(shè)二面角的平面角為，則則，則∴二面角的正弦值為．17.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，（且）．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）當(dāng)時(shí)，，即，解得．因?yàn)椋ǎ?，所以（），又（，），，所以（），又，所以?shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，所以．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，滿足上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）由（1）知，所以，所以，所以，所以．18.已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，且的面積為．（1）求雙曲線的方程；（2）記點(diǎn)在軸上的射影為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)．探究：是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）設(shè)雙曲線的焦距為，由題意得，，解得，故雙曲線的方程為．（2）由題意得，，當(dāng)直線的斜率為零時(shí)，則．當(dāng)直線的斜率不為零時(shí)，設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，聯(lián)立，整理得，則，解得且，所以，所以．綜上，，為定值．19.定義1：若數(shù)列滿足①，②，則稱為“兩點(diǎn)數(shù)列”；定義2：對(duì)于給定的數(shù)列，若數(shù)列滿足①，②，則稱為的“生成數(shù)列”.已知為“兩點(diǎn)數(shù)列”，為的“生成數(shù)列”.（1）若，求的前項(xiàng)和；（2）設(shè)為常數(shù)列，為等比數(shù)列，從充分性和必要性上判斷是的什么條件；（3）求的最大值，并寫出使得取到最大值的的一個(gè)通項(xiàng)公式.解：（1）依題意故因?yàn)?，所以，?dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，即的奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)分別成等比數(shù)列.故當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.綜上所述，（2）充分性：因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，所以是?為首項(xiàng)，1為公比的等比數(shù)列，故是的充分條件.必要性：假設(shè)為等比數(shù)列，而不為常數(shù)列，則中存在等于0的項(xiàng)，設(shè)項(xiàng)數(shù)最小的等于0的項(xiàng)為，其中，所以，則等比數(shù)列的公比為.又，得等比數(shù)列的公比為，與式矛盾，所以假設(shè)不成立，所以當(dāng)為等比數(shù)列時(shí)，為常數(shù)列，故是的必要條件.綜上，可知是的充要條件.（3）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.綜上所述，或或（上述四種情形每種中或1）.又由題意可知，所以，所以，故的最大值為，此時(shí)的通項(xiàng)公式可以是安徽省阜陽(yáng)市兩校2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題共58分）一、單選題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)符合題目要求．1.圓與圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.內(nèi)切 C.外切 D.內(nèi)含【答案】C【解析】圓的圓心，半徑為，圓的圓心，半徑，兩圓的圓心距為，所以，所以兩圓的位置關(guān)系為外切.故選：C.2.已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，解得.故選：A.3.已知空間向量，，若與垂直，則等于（）A. B. C.3 D.【答案】D【解析】因?yàn)椋?，與垂直，所以，解得，所以，所以.故選D.4.已知直線與曲線在點(diǎn)處的切線垂直，則直線的斜率為（）A.-1 B.1 C. D.2【答案】C【解析】由函數(shù)，可得，則，所以直線的斜率為.故選：C．5.若數(shù)列滿足，，則（）A. B.2 C.3 D.【答案】A【解析】∵數(shù)列滿足，，∴，∴，，，，∴是周期為3的周期數(shù)列，而，故．故選：A6.已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意，，則數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，因此，所以故選：B7.記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.590 B.602 C.630 D.650【答案】A【解析】因?yàn)椋?，兩式相減可得.由，，解得，所以，滿足上式，故，所以.故選：A8.已知過(guò)點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由得，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與曲線切于點(diǎn)，則切線斜率為，所以切線方程為因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)，所以，整理得，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的切線有兩條，所以方程有兩不同實(shí)根，因此，解得或，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：B二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A.B.C.當(dāng)時(shí)，取最大值D.當(dāng)時(shí)，的最小值為19【答案】ABD【解析】對(duì)A，則，由等差數(shù)列性質(zhì)可得，即.因，若公差，則，不滿足，故，則.則，故A正確；對(duì)B，由A，，故.則，則，又，故，故B正確；對(duì)C，由可得，故當(dāng)時(shí)，取最大值，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，由，，可得.故當(dāng)時(shí)，需要滿足，故的最小值為19，故D正確.故選：ABD10.已知直線與圓交于點(diǎn)，點(diǎn)中點(diǎn)為，則（）A.的最小值為B.的最大值為4C.為定值D.存在定點(diǎn)，使得為定值【答案】ACD【解析】直線，即，故直線過(guò)定點(diǎn),且圓的圓心為，半徑為2,，故在圓內(nèi)，對(duì)于A，當(dāng)和直線垂直時(shí)，圓心到直線的距離最大，距離，此時(shí)最小，，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，為圓的直徑，此時(shí)直線過(guò)圓心，方程無(wú)解，故直線不可能過(guò)圓心，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)，則，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，聯(lián)立圓得，，此時(shí)當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線，聯(lián)立圓，得，即，，，,帶入得：，故為定值，故C正確；對(duì)于D，中點(diǎn)為，故,且在上，所以,故是直角三角形，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，為定值，故D正確.故選：ACD11.已知拋物線的焦點(diǎn)為，從點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)拋物線上的點(diǎn)（原點(diǎn)除外）反射，則反射光線平行于軸.經(jīng)過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線交拋物線于兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線交軸于點(diǎn)；拋物線在點(diǎn)處的切線與軸分別交于點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】對(duì)于AB，設(shè)點(diǎn)，則，，則，而，所以，故A錯(cuò)誤；又，則，故B正確；對(duì)于C，如下圖所示，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線，與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，又題意所給拋物線的光學(xué)性質(zhì)可得，又，所以，從而，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，即為的角平分線，又由拋物線定義知，結(jié)合，可得四邊形為菱形，而軸經(jīng)過(guò)線段中點(diǎn)，從而與軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)，所以，故D正確.故選：BCD.第II卷（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，則________．【答案】3【解析】等比數(shù)列中，，由，得，由，得，所以．故答案為：3．13.已知曲線與直線相切，則______.【答案】【解析】由，得，設(shè)切點(diǎn)為，則，，消去得，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，，此時(shí).故答案為：14.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，數(shù)列滿足，若對(duì)任意恒成立，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，又，解得，由①，則當(dāng)時(shí)，②，兩式①②相減得，，即，又，則，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，的公差的等差數(shù)列，故，則令，又則數(shù)列是遞增數(shù)列，且；數(shù)列是遞減數(shù)列，，若恒成立，且恒成立，所以，且，解得，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)，求曲線的斜率為的切線方程．解：（1）對(duì)求導(dǎo)，可得.把代入，得到.解得.把代入，得到.（2）已知，把代入可得.對(duì)求導(dǎo)，可得.因?yàn)榍€切線斜率為，所以令，即.解得或.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)切點(diǎn)為，切線方程為，整理得.當(dāng)切點(diǎn)為，切線方程為，整理得.綜上所得，的斜率為的切線方程為或.16.如圖，在四棱錐中，平面，點(diǎn)M是棱上一點(diǎn)，且．（1）若，求證：平面；（2）求二面角的正弦值；解：（1）∵在四棱錐中，平面，∴以A為原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，∵點(diǎn)M是棱上一點(diǎn)，，，．∴，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，∵平面，∴平面．（2），設(shè)平面的法向量，則，取，得，又為平面的一個(gè)法向量，設(shè)二面角的平面角為，則則，則∴二面角的正弦值為．17.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，（且）．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）當(dāng)時(shí)，，即，解得．因?yàn)椋ǎ?，所以（），又（，），，所以（），又，所以?shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，所以．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，滿足上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）由（1）知，所以，所以，所以，所以．18.已知雙曲