（4）平面向量——2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)易錯重難提升【新高考版】易混重難知識1.向量共線（平行）定理：向量與共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)，使.2.平面向量基本定理：如果是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)，使.3.平面向量共線的坐標表示（1）設(shè)，其中共線的充要條件是存在實數(shù)，使.（2）如果用坐標表示，向量共線的充要條件是.4.向量的夾角：已知兩個非零向量，如圖，是平面上的任意一點，作，則叫做向量與的夾角.記作.當時，向量同向；當時，向量垂直，記作；當時，向量反向.5.投影向量：如圖，設(shè)是兩個非零向量，，過的起點和終點，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，這種變換稱為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.6.向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)是非零向量，它們的夾角是是與方向相同的單位向量，則（1）；（2）；（3）當與同向時，；當與反向時，，特別地，或；（4）由可得，；（5）7.向量數(shù)量積的運算律（1）交換律：；（2）數(shù)乘結(jié)合律：；（3）分配律：.8.向量模的坐標表示：（1）若向量，則；（2）若點，向量，則.由此可知，向量的模的坐標運算的實質(zhì)是平面直角坐標系中兩點間的距離的運算.9.向量夾角的坐標表示：設(shè)都是非零向量，，是與的夾角，則.10.向量垂直的坐標表示：設(shè)向量，則.易錯試題提升1.已知向量，，且，則()A. B. C. D.82.在中，若點D滿足，則()A. B.C. D.3.在中，點D在邊AB上，.記，，則()A. B. C. D.4.已知向量，，則()A.2 B.3 C.4 D.55.已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點，則的取值范圍是()A. B. C. D.6.已知平面向量，，且，則()A. B. C. D.7.已知正方形ABCD的邊長為4，點E，F(xiàn)分別為線段CD，BC上的點，若，，則的最小值是()A.1 B. C. D.8.已知非零向量，滿足，且，則的形狀是()A.三邊均不相等的三角形 B.直角三角形C.等腰（非等邊）三角形 D.等邊三角形9.（多選）設(shè)向量，，則下列說法錯誤的是()A.若，則a與b的夾角為鈍角B.的最小值為2C.與b共線的單位向量只有一個，為D.若，則或10.（多選）已知點O為所在平面內(nèi)一點，且，則下列選項正確的有()A.B.直線AO過BC邊的中點C.D.若，則11.設(shè)向量a，b的夾角的余弦值為，且，，則__________.12.已知，.若與垂直，則實數(shù)__________.13.如圖所示，已知在矩形ABCD中，，設(shè)，，，則__________.14.在平行四邊形ABCD中，點E是邊AB的中點，點F在邊CD上，滿足.若，，且，則_________.15.在中，，，，D在邊BC上，延長AD到P，使得，若（m為常數(shù)），則CD的長度是__________.

答案以及解析1.答案：C解析：由題意，得，解得，所以，所以.2.答案：D解析：由，得，得，得.故選：D.3.答案：B解析：方法一：因為，所以，所以.方法二：如圖，利用平行四邊形法則，合成出向量，由圖易知（即向量m）的系數(shù)為負數(shù)，排除A，C，D，故選B.4.答案：D解析：由題意知，所以.5.答案：A解析：，又表示在方向上的投影數(shù)量，所以結(jié)合圖形可知，當P與C重合時投影數(shù)量最大，當P與F重合時投影數(shù)量最小.又，，故當點P在正六邊形ABCDEF內(nèi)部運動時，，故選A.6.答案：A解析：因為，，，所以，所以，所以，故選：A.7.答案：B解析：如圖所示，以AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立平面直角坐標系xAy，則，，.設(shè)，，，則，故，解得或；，故，解得或.因為，所以當，時，取得最小值，為.8.答案：D解析：因為和分別表示向量和向量方向上的單位向量，由，可得的平分線與垂直，所以為等腰三角形，且.因為且，所以.又，所以，所以，所以為等邊三角形.故選D.9.答案：CD解析：對于A，若a與b的夾角為鈍角，則且a與b不共線，則，解得且，A說法正確；對于B，，當且僅當時，等號成立，B說法正確；對于C，，與b共線的單位向量為，即與b共線的單位向量為或，C說法錯誤；對于D，，即，解得，D說法錯誤.故選CD.10.答案：ACD解析：，則，A正確；如圖，若，，，則，所以O(shè)是的重心，直線AO過EF中點，而EF與BC不平行，所以直線AO不過BC邊的中點，B錯誤；又，而，，所以，C正確；若，且，所以，而，D正確.故選ACD.11.答案：11解析：.12.答案：1解析：因為，，所以，，因為與垂直，所以，解得.13.答案：解析：.如圖，延長BC至點E，使，連接.，，且，四邊形ACED是平行四邊形，，，.14.答案：1解析：以A為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系.設(shè)，則由題意可得，，，.所以，.因為，所以，即，所以，解得或（舍去），